课时5.2.1 三角函数的概念
01考点梳理
知识点一 三角函数的定义
（1）任意角的三角函数的定义
条件 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）
定义 正弦函数 把点P的纵坐标 叫做α的正弦函数， 记作sin α，即y＝
余弦函数 把点P的横坐标 叫做α的余弦函数， 记作cos α，即x＝
正切函数 把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切函数，记作tan α，即＝
三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
（2）三角函数值的符号
如图所示：
正弦一、二正，三、四负；余弦一、四正，二、三负；
正切一、三正，二、四负．
知识点二 诱导公式（一）
终边相同的角的同一三角函数的值
（1）终边相同的角的同一三角函数的值 ．
（2）公式：
sin（α＋k·2π）＝ ，cos（α＋k·2π）＝ ，tan（α＋k·2π）＝ ，其中k∈Z.
答案：y sin α x cos α tan α(x≠0) 相等 sin α cos α tan α
02考点解读
题型一 同角三角函数的基本关系
1．已知是第二象限的角.化简：的值为____________.
【答案】
【解析】因为是第二象限的角，所以，
所以
.
故答案为：.
题型二 同角三角函数的基本关系求值
2．如图，是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角（）满足，式中分别为杂化轨道中轨道所占的百分数. 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为，它表示参与杂化的轨道数之比为，由此可计算得一个中的凸32面体结构中的六边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】解：设一个中的凸32面体结构中共有个五边形，个六边形，
∵每个顶点都是三个面的公共点，
∴，又，解得，
∴共有20个六边形；
又由题意得，，，
∴，解得，
∵，
∴，
故选：A．
题型三 三角函数的化简、求值
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，，
由，解得，所以．
故选：A．
题型四 三角函数恒等式的证明
4．已知，，，，，求证：.
【答案】证明见解析.
【解析】因，，，
由及，有，整理得，
又，同理得，
于是有，即，
所以.
03题组训练
1．若角的终边上有一点，则
A．3 B． C．1 D．
【答案】D
【解析】因为，所以.
故选D
2．如果角的终边过点，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意得，它与原点的距离，
所以.
故选：C.
3．“，且”是“角x的终边在第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，则角x的终边在第二、四象限，∵，∴角x的终边在第四象限，反之也成立.
故选：C.
4．以原点为圆心的单位圆上一点P从出发，沿逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，由任意角的三角函数定义可得，.∴点Q的坐标为.
故选：D.
5．已知是第二象限角，为其终边上一点，且，则x的值为_________.
【答案】
【解析】∵，∴或，∴或，
∵是第二象限角，∴（舍去）或（舍去）或.
故答案为：.
6．如图所示，在平面直角坐标系中，动点P，Q从点出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P，Q两点在第2019次相遇时，点P的坐标为________.
【答案】
【解析】因为点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，所以两点相遇1次的路程是单位圆的周长，即，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2019次时，共用了2019秒，所以此时点P所转过的弧度为，由终边相同的角的概念可知，与的终边相同，所以此时点P位于y轴上，故点P的坐标为.
故答案为：.
7．已知函数，若，则______.
【答案】-2
【解析】函数，
由,
得，
故答案为-2.
8．已知角的终边所在的直线上有一点，.
（1）若，求实数m的值；
（2）若且，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依题意得，，所以；
（2）由且得，为第三象限角，故，所以.
9．已知，且有意义.
（1）试判断角所在的象限；
（2）若角的终边上一点是，且（为坐标原点），求的值及的值.
【答案】（1）第四象限角；（2），.
【解析】（1）由，可知，由有意义可知，
所以角是第四象限角；
（2）由于角是第四象限角，且点是角的终边上一点，则，
，，
由正弦函数的定义可知.
10．化简求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）1；（2）
【解析】（1）
；
（2）
.课时5.2.1 三角函数的概念
01考点梳理
知识点一 三角函数的定义
（1）任意角的三角函数的定义
条件 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）
定义 正弦函数 把点P的纵坐标 叫做α的正弦函数， 记作sin α，即y＝
余弦函数 把点P的横坐标 叫做α的余弦函数， 记作cos α，即x＝
正切函数 把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切函数，记作tan α，即＝
三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
（2）三角函数值的符号
如图所示：
正弦一、二正，三、四负；余弦一、四正，二、三负；
正切一、三正，二、四负．
知识点二 诱导公式（一）
终边相同的角的同一三角函数的值
（1）终边相同的角的同一三角函数的值 ．
（2）公式：
sin（α＋k·2π）＝ ，cos（α＋k·2π）＝ ，tan（α＋k·2π）＝ ，其中k∈Z.
02考点解读
题型一 同角三角函数的基本关系
1．已知是第二象限的角.化简：的值为____________.
题型二 同角三角函数的基本关系求值
2．如图，是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角（）满足，式中分别为杂化轨道中轨道所占的百分数. 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为，它表示参与杂化的轨道数之比为，由此可计算得一个中的凸32面体结构中的六边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
题型三 三角函数的化简、求值
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
题型四 三角函数恒等式的证明
4．已知，，，，，求证：.
03题组训练
1．若角的终边上有一点，则
A．3 B． C．1 D．
2．如果角的终边过点，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．“，且”是“角x的终边在第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．以原点为圆心的单位圆上一点P从出发，沿逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是第二象限角，为其终边上一点，且，则x的值为_________.
6．如图所示，在平面直角坐标系中，动点P，Q从点出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P，Q两点在第2019次相遇时，点P的坐标为________.
7．已知函数，若，则______.
8．已知角的终边所在的直线上有一点，.
（1）若，求实数m的值；
（2）若且，求实数m的取值范围.
9．已知，且有意义.
（1）试判断角所在的象限；
（2）若角的终边上一点是，且（为坐标原点），求的值及的值.
10．化简求值：
（1）；
（2）.课时5.2.2 同角三角函数的基本关系
01考点梳理
(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 .即sin2α＋cos2α＝ .
(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的 ．即＝ .成立的角α的范围是.
答案：1 1 正切
02考点解读
题型一 同角三角函数的基本关系
1．求下列三角方程的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）或；（3）或；（4）或．
【解析】（1）因为：；
所以：,.
所以解集为：.
（2）因为：，
所以：
.
解得：或（舍）
所以解集为：或.
（3）因为：
所以：
所以：或.
所以解集为：或.
（4）因为：.且.
所以：.
化简得：.
解得：或.
所以解集为：或．
题型二 同角三角函数的基本关系求值
2．已知，是关于的方程的两个实根，且，则的值为________．
【答案】
【解析】由，是关于的方程的两个实根，
∴，解得，
又，则，解得，则，
∴．
故答案为：
题型三 三角函数的化简、求值
3．已知，是关于的方程的两个实根，且，则________.
【答案】
【解析】由于，是关于的方程的两个实根，则，解得.
，.
而，所以，则，可得，
，解得，
所以，，则，因此，.
故答案为：.
题型四 三角函数恒等式的证明
4．已知，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】,
,
,
等式成立.
03题组训练
1．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴.
∴
故选：B
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴．
故选：D.
3．已知是第三象限角，且，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是第三象限角，所以，，故.
又因为，
所以.故，
所以，故选B.
4．已知，则＝
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，所以.
故选D
5．已知，且，则________．
【答案】
【解析】由，知是第三象限角，所以，
故．
故答案为：.
6．若为第三象限角，则的值为________．
【答案】
【解析】∵为第三象限角，
∴，
∴原式．
故答案为：.
7．已知角的始边与轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点，则____．
【答案】10
【解析】根据角的终边过，利用三角函数的定义式，可以求得
所以有，
故答案是10.
8．设且，若，则______．
【答案】1
【解析】设且，若，
所以，所以，
又，所以，
又由，
则
所以
故答案为1．
9．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】∵右边，
左边
，
∴左边=右边，故原等式成立．
10．已知求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）
，
即，
解得或.
∵，
∴为第二象限角，
∴，∴.
故答案为
（2）原式.
故答案为课时5.2.2 同角三角函数的基本关系
01考点梳理
(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 .即sin2α＋cos2α＝ .
(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的 ．即＝ .成立的角α的范围是.
02考点解读
题型一 同角三角函数的基本关系
1．求下列三角方程的解集：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
题型二 同角三角函数的基本关系求值
2．已知，是关于的方程的两个实根，且，则的值为________．
题型三 三角函数的化简、求值
3．已知，是关于的方程的两个实根，且，则________.
题型四 三角函数恒等式的证明
4．已知，求证：．
03题组训练
1．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知是第三象限角，且，则
A． B． C． D．
4．已知，则＝
A． B． C． D．
5．已知，且，则________．
6．若为第三象限角，则的值为________．
7．已知角的始边与轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点，则____．
8．设且，若，则______．
9．求证：．
10．已知求：
（1）；（2）.
