课时5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
01考点梳理
知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性
1．函数的周期性
(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有____________________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)所有周期中存在一个________________，那么这个最小正数就叫做f(x)最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数的周期性
(1)正弦函数是周期函数，____________(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是__________.
(2)余弦函数是周期函数，____________(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是__________.
知识点2 正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数是____________，余弦函数是____________.
知识点二 正弦函数、余弦函数的性质
答案：f(x＋T)＝f(x) 最小的正数 2kπ 2π 2kπ 2π 奇函数 偶函数
02考点解读
题型一 正弦函数、余弦函数的图像
1．已知点在余弦曲线上，则m＝（ ）
A． B．－ C． D．－
【答案】B
【解析】因为点在余弦函数的图象上，所以，
故选：B．
题型二 值域与最值问题
2．已知函数，给出下列结论：
①是周期函数；
②在区间上是增函数；
③若，则；
④函数在区间上有且仅有1个零点．
其中正确结论的序号是______．（将你认为正确的结论序号都填上）
【答案】①③
【解析】解：函数，
对于①：由所以函数的最小正周期为，故①正确；
对于②：由于，，，，
故函数在上不是单调增函数，故②错误；
对于③：函数）的最大值为1，若，
则，
所以，，，
故则；故③正确；
对于④：当时，，
由于，即，解得或，
所以函数有两个零点，故④错误．
故答案为：①③．
题型三 单调性问题
3．函数在上单调递减，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递减，
所以，所以.
所以
因为的单调递减区间为，
所以，解得，
由于，故.
所以当时，得的最大区间：.
故的最大值是.
故选：C.
题型四 奇偶性问题
4．函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【答案】B
【解析】，
因为，
函数是偶函数.
故选：B
题型五 正弦、余弦函数的综合应用
5．已知函数f(x)=sin 2x－cos 2x－.
（1）求f(x)的最小正周期和最大值；
（2）讨论f(x)在上的单调性.
【答案】（1），最大值为；（2）f(x)在上单调递增；在 上单调递减.
【解析】(1)f(x)=sin 2x－cos 2x－＝ ，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)当x∈时，，
从而当，即时，f(x)单调递增，
当，即时，f(x)单调递减.
综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减.
03题组训练
1．下列关于函数,的单调性的叙述,正确的是.
A．在上单调递增,在上单调递减
B．在上单调递增,在上单调递减
C．在及上单调递增,在上单调递减
D．在上单调递增,在及上单调递减
【答案】C
【解析】因为,，
所以函数的单调性和正弦函数的单调性相同，
所以函数在及上单调递增,在上单调递减.
故选：C
2．已知 ，函数 在 内单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵
∴的单调减区间为
∵，函数 在 内单调递减，且
∴取，得
∴
∴，故答案选B
3．若函数同时满足下列三个性质：①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在区间上单调递增，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】逐一验证，由函数的最小正周期为，而中函数最小正周期为,故排除B；
又，所以的图象不关于直线对称，故排除C；
若，则，故函数在上单调递减，故排除D；
令，得，所以函数在上单调递增．由周期公式可得,当时,, 所以函数同时满足三个性质.
故选A．
4．函数y＝sin x的定义域为，值域为，则b－a的最大值与最小值之和等于（ ）
A． B． C．2π D．4π
【答案】C
【解析】作出y＝sin x的一个简图，如图所示
∵函数的值域为，
∴定义域中，b－a的最小值为
定义域中，b－a的最大值为
故可得，最大值与最小值之和为2π.
故选：C
5．函数的定义域为________.
【答案】
【解析】解:要使函数有意义,则必有,即.
结合正弦曲线或单位圆,如图所示,可知当时,.
(1) (2)
故函数的定义域为.
故答案为: .
6．设是定义域为，最小正周期为的函数，若，
则____________．
【答案】
【解析】由题意结合函数的解析式和函数的周期性可得：
.
7．设函数的最大值为，最小值为，则=___________ .
【答案】2
【解析】，令，则为奇函数，
所以的最大值和最小值和为0，又.
有，即.
答案为：2.
8．等式是否成立 如果这个等式成立,能否说是正弦函数,的一个周期 为什么
【答案】见解析
【解析】等式成立,但不能说是正弦函数,的一个周期.
因为不满足函数周期的定义,即对定义内任意x,不一定等于,如,所以不是正弦函数,的一个周期.
9．不通过求值,比较下列各组数的大小:
(1)与;
(2)与.
【答案】(1)(2)
【解析】解:(1)因为,正弦函数在区间上单调递增,所以
.
(2),.
因为,且函数在区间上单调递减,所以,
即.
10．已知定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，的内角满足，求角的取值范围．
【答案】
【解析】①当时，．
由在上单调递增，
得，解得．
②当时，．
∵为上的奇函数，在上单调递增，
∴在上单调递增，，
∴由，得，
∴．
③当时，，
∵为上的奇函数，
∴，
∴成立．
综上所述，角的取值范围是.课时5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
01考点梳理
知识点 正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象画法 五点法 五点法
关键 五点 _________，__________， _________，________，__________ _________，__________， _________，________，__________
答案：(0,0) (π，0) (2π，0) (0,1) (π，-1) (2π，1)
02考点解读
题型一 正弦函数、余弦函数的图像
1．下列在(0,2π)上的区间能使cos x＞sin x成立的是（ ）
A． B． C． D．∪
题型二 值域与最值问题
2．函数取最小值时的的集合是___________，取最大值时的的集合是___________.
题型三 单调性问题
3．在区间中，使与都单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．
题型四 奇偶性问题
4．(多选)关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下说法，其中正确的是（ ）
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是偶函数
C．存在φ，使f(x)是奇函数
D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
题型五 正弦、余弦函数的综合应用
5．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间．
03题组训练
1．用“五点法”作在的图象时，应取的五点为（ ）
A． B．
C． D．
2．在同一平面直角坐标系内，函数与的图象
A．重合B．形状相同，位置不同C．关于y轴对称D．形状不同，位置不同
3．函数的大致图象是（ ）
A．B． C． D．
4．不等式cosx<0，x∈[0,2π]的解集为( )
A． B．
C． D．
5．使不等式成立的的取值集合是（ ）
A．B．
C．D．
6．满足的的取值范围是______．
7．若方程在上有解,则实数m的取值范围是________.
8．在内使成立的实数的取值范围是______．
9．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，求实数的取值范围．
10．方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围．课时5.4.3 正切函数的性质与图象
01考点梳理
一、正切函数的性质与图象
1.正切函数的性质
函数 y=tan x,x∈R
周期 最小正周期为
奇偶性
单调性 在每一个区间 上都 .
值域
2.正切函数的图象
(1)正切函数的图象如右图所示.
(2)正切函数的图象叫做 .
(3)正切函数的图象的特征:
正切曲线是被与y轴平行的一系列直线 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.
答案：π 奇函数 (-+kπ,+kπ)(k∈Z) 单调递增 R 正切曲线 x=+kπ,k∈Z
02考点解读
题型一 正切函数的图象的应用
1．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，
则
所以，即函数是偶函数
故排除A，C，
当时，，排除D.
故选：B
题型二 正切函数单调性的应用
2．直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，
所以，所以，即
由可得
当时可得在上单调递增
因为函数在区间上是增函数，所以实数的取值范围是
故选：B
题型三 周期性与对称性
3．下列函数中，既是奇函数又以为最小正周期的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：A选项：是周期为的偶函数，故A不正确；
B选项：是周期为的奇函数，故B正确；
C选项：，周期为且非奇非偶函数，故C不正确；
D选项：是周期为的奇函数，故D不正确.
故选：B.
题型四 正切函数的综合应用
4．函数在区间内的大致图象是下列图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
在上单调增，在上单调减.
03题组训练
1．函数在一个周期内的图象是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方法一：
由题意得函数的周期为，故可排除B，C，D．选A．
方法二：
令，则有，故，当k＝0时，得，可知函数图象与x轴一交点的横坐标为，故可排除C、D．
令，得，即函数图象的一条渐近线为，故排除B．选A．
2．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的值域为
C．点是函数的图像的一个对称中心
D．
【答案】D
【解析】因为，
所以函数的最小正周期，故A正确.
由正切函数的图像和性质可知函数的值域为，故B正确.
由，，
得，，
当时，，
所以点是函数的图像的一个对称中心，故C正确.
因为，
，
所以，故D不正确.
故选：D.
3．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
当时，
，
且单调递增，
所以，
因为的周期为，
所以不等式的解集为.
故选：A.
4．已知函数（）的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意,可知,所以,即,
所以,
故选:A
5．函数（且）的值域为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：且，且，
由于正切函数的图象及单调性，得：
或，
即
故选B．
6．已知函数，的部分图像如下图，则=____________.
【答案】
【解析】由题意，∴，
又，，而，∴，
，，
∴，
∴．
故答案为．
7．关于函数，有以下命题：
①函数的定义域是
②函数是奇函数；
③函数的图象关于点对称；
④函数的一个单调递增区间为.
其中，正确的命题序号是______________.
【答案】①③
【解析】
对于①，由 有 ，所以①是正确的；对于②，由于函数 的定义域不是关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，②错误；对于③，由于 ，所以函数的图象关于点 对称；对于④，令 ，解得 ，故单调递增区间为 ，所以④是错误的．本题正确答案为①，③．
8．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为函数在区间上单调递增，
所以，∴，∴，
∴，解得
故答案为
9．已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）用定义判断函数的奇偶性；
（3）在上作出函数的图象．
【答案】（1）；（2）奇函数,见解析；(3)见解析
【解析】（1）由,得（）,
所以函数的定义域是.
（2）由（1）知函数的定义域关于原点对称,
因为,所以是奇函数.
（3）,
所以在上的图象如图所示,
10．已知，，其中.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）求的取值范围，使在区间上是单调函数．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时， ， ，
根据二次函数的性质可得：当时， 的最大值为；
（2）函数 图象的对称轴为，
∵在 上是单调函数，
∴或 ，
即或 .
因此，角的取值范围是 .课时5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
01考点梳理
知识点 正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象画法 五点法 五点法
关键 五点 _________，__________， _________，________，__________ _________，__________， _________，________，__________
答案：(0,0) (π，0) (2π，0) (0,1) (π，-1) (2π，1)
02考点解读
题型一 正弦函数、余弦函数的图像
1．下列在(0,2π)上的区间能使cos x＞sin x成立的是（ ）
A． B． C． D．∪
【答案】AC
【解析】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，
在(0,2π)上，当时，或，
结合图象可知，在(0,2π)上的区间能使成立的是和.
故选：AC
题型二 值域与最值问题
2．函数取最小值时的的集合是___________，取最大值时的的集合是___________.
【答案】，； ，.
【解析】解：当取最小值时，
，即，所以；
当取最大值时，
，即，所以，
故答案为：，；，.
题型三 单调性问题
3．在区间中，使与都单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在区间中，的减区间是，的减区间是；
和的公共减区间是．
故选：B．
题型四 奇偶性问题
4．(多选)关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下说法，其中正确的是（ ）
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是偶函数
C．存在φ，使f(x)是奇函数
D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
【答案】BC
【解析】解：因为φ=0时，f(x)=sinx是奇函数；φ=时，f(x)=cosx是偶函数，
所以B，C正确，A，D错误，
故选：BC.
题型五 正弦、余弦函数的综合应用
5．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）．
的最小正周期；
（2）由，得，
所以函数的单调递增区间为．
03题组训练
1．用“五点法”作在的图象时，应取的五点为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴周期T＝2π．
由“五点法”作图可知:
应描出的五个点的横坐标分别是x＝0，，π，，2π．代入解析式可得点的坐标分别为，∴B正确．
故选：B．
2．在同一平面直角坐标系内，函数与的图象
A．重合B．形状相同，位置不同C．关于y轴对称D．形状不同，位置不同
【答案】B
【解析】根据正弦函数的周期性及图象特征，
可知函数与的图象位置不同，但形状相同，
故选B.
3．函数的大致图象是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【解析】∵f（x），
∴y＝|sinx|（）的图象关于y轴对称，
当x＝0时，y＝0，
由此可以观察只有C符合，
故选：C．
4．不等式cosx<0，x∈[0,2π]的解集为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
方法一：
由函数y＝cos x的图象知，在[0，2π]内使cos x＜0的x的范围是．
故不等式的解集为．选A
方法二：
由得，，
又，
所以．
故不等式的解集为．选A．
5．使不等式成立的的取值集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，，
故的取值集合是，
故选：C.
6．满足的的取值范围是______．
【答案】
【解析】画出函数的图象，如图所示．
由图象，可知在上，满足的的取值范围为，
故答案为.
7．若方程在上有解,则实数m的取值范围是________.
【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：
8．在内使成立的实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】∵，∴，∴，
在同一平面直角坐标系中画出与的图象，
如图所示，
观察图象易得．
故答案为.
9．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，求实数的取值范围．
【答案】．
【解析】，
其图象如图所示．
若使的图象与直线有且仅有两个不同的交点，
根据图象，可得实数的取值范围是．
10．方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】作出与的大致图象，如图所示．
由图象，可知当，即时，
的图象与的图象有两个交点，
即方程在上有两个不同的实数根，
故实数的取值范围为．课时5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
01考点梳理
知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性
1．函数的周期性
(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有____________________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)所有周期中存在一个________________，那么这个最小正数就叫做f(x)最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数的周期性
(1)正弦函数是周期函数，____________(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是__________.
(2)余弦函数是周期函数，____________(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是__________.
知识点2 正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数是____________，余弦函数是____________.
知识点二 正弦函数、余弦函数的性质
02考点解读
题型一 正弦函数、余弦函数的图像
1．已知点在余弦曲线上，则m＝（ ）
A． B．－ C． D．－
题型二 值域与最值问题
2．已知函数，给出下列结论：
①是周期函数；
②在区间上是增函数；
③若，则；
④函数在区间上有且仅有1个零点．
其中正确结论的序号是______．（将你认为正确的结论序号都填上）
题型三 单调性问题
3．函数在上单调递减，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．4
题型四 奇偶性问题
4．函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
题型五 正弦、余弦函数的综合应用
5．已知函数f(x)=sin 2x－cos 2x－.
（1）求f(x)的最小正周期和最大值；
（2）讨论f(x)在上的单调性.
03题组训练
1．下列关于函数,的单调性的叙述,正确的是.
A．在上单调递增,在上单调递减
B．在上单调递增,在上单调递减
C．在及上单调递增,在上单调递减
D．在上单调递增,在及上单调递减
2．已知 ，函数 在 内单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若函数同时满足下列三个性质：①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在区间上单调递增，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数y＝sin x的定义域为，值域为，则b－a的最大值与最小值之和等于（ ）
A． B． C．2π D．4π
5．函数的定义域为________.
6．设是定义域为，最小正周期为的函数，若，
则____________．
7．设函数的最大值为，最小值为，则=___________ .
8．等式是否成立 如果这个等式成立,能否说是正弦函数,的一个周期 为什么
9．不通过求值,比较下列各组数的大小:
(1)与;
(2)与.
10．已知定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，的内角满足，求角的取值范围．课时5.4.3 正切函数的性质与图象
01考点梳理
一、正切函数的性质与图象
1.正切函数的性质
函数 y=tan x,x∈R
周期 最小正周期为
奇偶性
单调性 在每一个区间 上都 .
值域
2.正切函数的图象
(1)正切函数的图象如右图所示.
(2)正切函数的图象叫做 .
(3)正切函数的图象的特征:
正切曲线是被与y轴平行的一系列直线 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.
02考点解读
题型一 正切函数的图象的应用
1．函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
题型二 正切函数单调性的应用
2．直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三 周期性与对称性
3．下列函数中，既是奇函数又以为最小正周期的函数是（ ）
A． B． C． D．
题型四 正切函数的综合应用
4．函数在区间内的大致图象是下列图中的（ ）
A．B．C．D．
03题组训练
1．函数在一个周期内的图象是( )
A． B． C． D．
2．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数的值域为
C．点是函数的图像的一个对称中心D．
3．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数（）的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是
A．0 B． C． D．
5．函数（且）的值域为
A． B． C． D．
6．已知函数，的部分图像如下图，则=____________.
7．关于函数，有以下命题：
①函数的定义域是
②函数是奇函数；
③函数的图象关于点对称；
④函数的一个单调递增区间为.
其中，正确的命题序号是______________.
8．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．
9．已知函数．
（1）求函数的定义域；（2）用定义判断函数的奇偶性；（3）在上作出函数的图象．
10．已知，，其中.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）求的取值范围，使在区间上是单调函数．
