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湖北省卓越高中千校联盟2022届高三理数高考终极押题卷
一、单选题
1．（2022·湖北模拟）瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下，被誉为“数学中的天桥”，据此（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．-i
2．（2022·湖北模拟）非空集合A、B满足，，，则（ ）
A． B．R C．A D．B
3．（2022·湖北模拟）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北模拟）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·湖北模拟）已知，是双曲线C：的左右焦点，过的直线l与双曲线C的左支、右支分别交于A、B两点，，则双曲线C的离心率（ ）
A． B．2 C． D．3
6．（2022·湖北模拟）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·湖北模拟）若过点可作曲线三条切线，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·湖北模拟）奥密克戎变异毒株传染性强、传播速度快隐蔽性强，导致上海疫情严重，牵动了全国人民的心．某医院抽调了包括甲、乙在内5名医生随机派往上海①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生，“医生甲派往①医院”记为事件A：“医生乙派往①医院”记为事件B；“医生乙派往②医院”记为事件C，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立
C． D．
二、多选题
9．（2022·湖北模拟）在新加坡举行的2020世界大学生辩论赛中，中国选手以总分230.51分获得冠军．辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某队选手一个原始分数，评定该队选手的成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．若某队选手得到的7个原始分成等差数列，且公差不为零，则5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
10．（2022·湖北模拟）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（ ）
A．最大值为 B．最大值为1
C．最大值是2 D．最大值是
11．（2022·湖北模拟）已知圆C：，则下列四个命题表述正确的是（ ）
A．圆C上有且仅有3个点到直线1：的距离都等于1
B．过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，直线MN的方程为
C．一条直线与圆C交于不同的两点P，Q，且有，则∠PCQ的最大值为
D．若圆C与E：相外切，则
12．（2022·湖北模拟）棱长为1的正方体中，P、Q分别在棱BC、上，，，，且，过A、P、Q三点的平面截正方体得到截面多边形，则（ ）
A．时，截面一定为等腰梯形
B．时，截面一定为矩形且面积最大值为
C．存在x，y使截面为六边形
D．存在x，y使与截面平行
三、填空题
13．（2022·湖北模拟）已知定义域为R的函数，有且，，则的解集为 ．
14．（2022·湖北模拟）已知抛物线，过其焦点F的直线l与其交与A、B两点，，其准线方程为 ．
15．（2022·湖北模拟），的最小值为 ．
16．（2022·湖北模拟）定义表示不超过x的最大整数，例如，，．函数，当，时，的值域为，记集合中元素的个数为，则 ， ．
四、解答题
17．（2022·湖北模拟）内角，、、对应的边分别为、、，且，
（1）求；
（2）若，求的面积．
18．（2022·湖北模拟）已知数列，满足，，且，．
（1）若为等比数列，求值；
（2）在（1）的条件下，求数列的前n项和．
19．（2022·湖北模拟）如图，四棱台中，上底面A1B1C1D1是边长为1的菱形，下底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD且
（1）求证：平面平面；
（2）若直线AB与平面所成角的正弦为，求棱台的体积．
20．（2022·湖北模拟）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，某冰雪运动品商店对消费达一定金额的顾客开展了“冬奥”知识有奖竞答活动，试题由若干选择题和填空题两种题型构成，共需要回答三个问题，对于每一个问题，答错得0分；答对填空题得30分答对选择题得20分现设置了两种活动方案供选择，方案一：只回答填空题；方案二：第一题是填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次是填空题，若上题回答错误，则下一次是选择题．某顾客获得了答题资格，已知其答对填空题的概率均为，答对选择题的概率均为P，且能正确回答问题的概率与回答次序无关
（1）若该顾客采用方案一答题，求其得分不低于60分的概率；
（2）以得分的数学期望作为判断依据，该顾客选择何种方案更加有利？并说明理由．
21．（2022·湖北模拟）如图，椭圆M：的两焦点为，，A，B是左右顶点，直线l与椭圆交于异于顶点的C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BC斜率之积为．
（1）求椭圆M的方程；
（2）直线AC与直线BD交于点Q，设点P与点Q横坐标分别为，，则是否为常数，若是，求出该常数值；若不是，请说明理由．
22．（2022·湖北模拟）已知
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）有两个不同的零点，，若恒成立，求的范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角函数的化简求值；复数的三角形式
【解析】【解答】
，
故答案为：B
【分析】易知，再根据已知条件转化为即可求解.
2．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】∵，则，
∴，
故答案为：C．
【分析】由可得，即可求解.
3．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】设直角圆锥底面半径为，则其侧棱为，
所以顶点到底面圆圆心的距离为：，
所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为，
所以.
故答案为：A.
【分析】设直角圆锥底面半径为，则其侧棱为，根据轴截面为等腰直角三角形可得顶点到底面圆心的距离，外接球半径为，代入球表面积和圆锥侧面积公式即可求解.
4．【答案】B
【知识点】复合三角函数的单调性
【解析】【解答】因为在上单调递减，又，所以，
所以，即.
故答案为：B.
【分析】根据正弦函数的单调性可知在上单调递减，又，所以，即可判断大小.
5．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】∵，则
即边的中线与边垂直，则
同理可知为正三角形，
∴，取AB中点D，，，
∵，则，整理得
∴
故答案为：C．
【分析】由可得，推出，同理可知为正三角形，，取AB中点D，根据，利用勾股定理即可求得双曲线的离心率.
6．【答案】D
【知识点】三角函数的化简求值；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，所以，所以
.
故答案为：D.
【分析】根据诱导公式化简可得，化简代入求解即可.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切点为，
由，故切线方程为，
因为在切线上，所以代入切线方程得，
则关于t的方程有三个不同的实数根，
令，则或，
所以当，时，，为增函数，
当时，，为减函数，
且时，，时，，
所以只需，解得
故答案为：A
【分析】设切点为，根据导数的几何意义可知切线方程得，则关于t的方程有三个不同的实数根，令，求导利用导数判断其单调性求其极值，只需，求解即可.
8．【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】将甲、乙在内5名医生派往①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生有个基本事件，它们等可能．
事件A含有的基本事件数为，则，同理，
事件AB含有的基本事件数为，则
事件AC含有的基本事件数为，则
，
即事件A与B相互不独立，事件A与C相互不独立，A、B不正确；
，，
故答案为：C．
【分析】根据题意可求，，，，根据若事件A与B相互独立，则即可判断AB，根据条件概率即可判断CD.
9．【答案】A,B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】7个原始分成公差的等差数列，设为，，，，，，，则中位数及平均数均为a，方差为，极差为
则5个有效分为，，，，，中位数及平均数均为a，方差为，极差为
∴A、B符合题意，C、D不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】设原始分为，，，，，，，即可得中位数、平均数、方差和极差；5个有效分为，，，，，从而求得中位数、平均数、方差，极差，即可判断.
10．【答案】B,C,D
【知识点】向量的共线定理；平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，，，，设，
则，，，
由，得且，
，A不符合题意；
时，B符合题意；
，C符合题意；
，D符合题意．
故答案为：BCD.
【分析】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，易得各点坐标以及，，由，，即可判断A；，即可判断B；由判断C；由即可判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】点到直线的距离公式；圆的切线方程；圆与圆的位置关系及其判定；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】圆C的圆心，半径，
圆心到直线l：的距离，故圆C上有4个点到直线l的距离为1，A不正确；
过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，则A、C、M、N四点共圆，且为AC为直径，方程为，MN是其圆C的公共弦，直线MN为，B符合题意；
设PQ的中点为D，则．因为，
即，可得，
则，故的最大值为，C符合题意；
圆E：的圆心，半径
根据题意可得，即得，D不符合题意．
故答案为：BC．
【分析】易知圆心，半径，根据点到直线的距离即可判断A；过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，可知A、C、M、N四点共圆，且以AC为直径，方程为，MN是其圆C的公共弦，直线MN为，可判断B；设PQ的中点为D，则．因为，可得，则，即可判断C；圆E的圆心，半径根据题意可得，得，即可判断D．
12．【答案】B,D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】对A，时，截面为矩形，A不符合题意；
对B，当时，点与点重合，设过A、P、Q三点的平面交于，则因为平面平面，故，且，此时截面为矩形，当点与点重合时面积最大，此时截面积，B符合题意；
对C，截面只能为四边形、五边形，C不符合题意；
对D，当，时，延长交延长线于，画出截面如图所示.
此时因为，，故，则.由面面平行的截面性质可得，，故，此时，故且，故平行四边形，故，根据线面平行的判定可知与截面平行，D符合题意．
故答案为：BD
【分析】对于A，举反例判断即可；对于B，当时，点与点重合，再根据面面平行的性质与线面垂直的性质判断即可；对于C，直观想象根据截面的可能情况判定即可；对于D，根据线面平行与截面的性质举例当，时成立判定即可.
13．【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】，
在为增函数，又为偶函数，
∴，则，得或，
解集为
故答案为：．
【分析】由题意知，函数为偶函数，且时，为增函数，的解集转化为即可.
14．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】设线段AB中点为D，则F为线段BD中点，过A、B、D、F分别向抛物线准线作垂线，垂足分别为、、、，，
由梯形中位线得，，
∴准线方程为
故答案为：．
【分析】设线段AB中点为D，则F为线段BD中点，过A、B、D、F分别向抛物线准线作垂线，垂足分别为、、、，由，结合梯形中位线性质即可求解.
15．【答案】3
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】令，则
当时，单调增，
当时，令，
时，递减
时，递增
∴
综上：
故答案为：3．
【分析】令，则，分，讨论函数的单调性求，从而确定函数的最小值.
16．【答案】；
【知识点】数列的应用；数列的求和
【解析】【解答】，，，此区间段内有1个元素，
，，，此区间段内有1个元素，
，，，此区间段内有2个元素，
，，，此区间段内有3个元素，
……
，，，此区间段内有个元素，
，，，此时有1个元素，
∴，
，，
故答案为：，
【分析】根据题意，由的定义分析的表达式，进而可得区间段内的个数，相加即可得，从而得，根据裂项相消求和即可.
17．【答案】（1）解：因为，，，，
所以，所以，又
所以，，所以
（2）解：因为，所以，又，所以，所以为锐角，
所以，所以，
所以
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由，，两式作商结合正弦定理可得，再根据同角三角函数基本关系计算，即可求得b的值；
（2）易得，由，可知，根据三角形内角关系计算，代入面积公式计算即可.
18．【答案】（1）解：由题
∵为等比数列，设公比为q
则
∴，
∴，即，解得或
当时，，即
又，
∴成以3为首项，以为公比的等比数列
当时，即
又，
∴成以3为首项，以1为公比的等比数列
综上：或
（2）解：由（1）得，
∴
∴
【知识点】等比数列；数列的求和
【解析】【分析】（1） 由题 ，由于为等比数列，满足，列方程组解即可；
（2） 由（1）得，，分组求和即可.
19．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD对角线相互垂直，
∴
∵平面ABCD，平面ABCD，
∴
∵，平面，平面
∴平面
∵平面
∴平面平面
（2）解：设，则且
∴且，
∴平面ABCD
以O为原点，OA、OB、所在的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图，
则，设，
则
，，，
设平面的一个法向量
则可得，
取，得
由题
整理得，则
∴，
∴
【知识点】棱台的结构特征；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）由已知条件推出平面 ，由线面垂直证明平面平面 ；
（2） 设，由且，推出平面ABCD，以O为原点，OA、OB、所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.
20．【答案】（1）解：采用方案一答题，得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题
∴其概率为
（2）解：若采用方案一，设其答对题数为，得分为X
则，，
∴
若采用方案二，设其得分为Y，则，20，30，50，60，90
，
，，
令，则，解得或（舍去）
即，选方案一数学期望大
，则，方案一、方案二数学期望一样
，则，选方案二数学期望大
综上所述：选方案一；方案一、方案二均可；选方案二．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【分析】（1）根据题意得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题，结合二项分布概率公式求解即可；
（2）根据题意分别求，，作差比较大小判断即可.
21．【答案】（1）解：由题，，设，
则，
∴，又，
∴，，
∴椭圆M的方程为：
（2）解：直线l若过原点，由对称性知不合题，
设直线l：，则
，消去x得，
设，则
∴①
AC：②，BD：③
②③联立得
①代入得
解得，即
∴，
∴为常数，值为1
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由直线AC与直线BC斜率之积为，建立等式得，再结合可求解；
（2） 设直线l：，则 ，再根据直线AC与直线BD交于点Q，可得，从而可得为常数.
22．【答案】（1）解：定义域为
ⅰ）即时，
，或
ⅱ）即时，，恒成立
ⅲ）即，
，或
综上：
时，，单调递减；、，单调递增
时，，单调递增
时，，单调递减；、，单调递增
（2）解：，由题，
则，设
∴
∴
恒成立
，
∴
∴恒成立
设，
∴恒成立
ⅰ）时，，
∴，
∴在上单调递增
∴恒成立，
∴合题
ⅱ），，
∴，
∴在上单调递增
时，，
∴在上单调递减
∴，，不满足恒成立
综上：
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数的零点
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，分，，讨论函数的单调性；
（2）由有两个零点可得， 设 ，则，恒成立， 设，恒成立，求导分，讨论的单调性，从而确定的范围.
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湖北省卓越高中千校联盟2022届高三理数高考终极押题卷
一、单选题
1．（2022·湖北模拟）瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下，被誉为“数学中的天桥”，据此（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．-i
【答案】B
【知识点】三角函数的化简求值；复数的三角形式
【解析】【解答】
，
故答案为：B
【分析】易知，再根据已知条件转化为即可求解.
2．（2022·湖北模拟）非空集合A、B满足，，，则（ ）
A． B．R C．A D．B
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】∵，则，
∴，
故答案为：C．
【分析】由可得，即可求解.
3．（2022·湖北模拟）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】设直角圆锥底面半径为，则其侧棱为，
所以顶点到底面圆圆心的距离为：，
所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为，
所以.
故答案为：A.
【分析】设直角圆锥底面半径为，则其侧棱为，根据轴截面为等腰直角三角形可得顶点到底面圆心的距离，外接球半径为，代入球表面积和圆锥侧面积公式即可求解.
4．（2022·湖北模拟）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】复合三角函数的单调性
【解析】【解答】因为在上单调递减，又，所以，
所以，即.
故答案为：B.
【分析】根据正弦函数的单调性可知在上单调递减，又，所以，即可判断大小.
5．（2022·湖北模拟）已知，是双曲线C：的左右焦点，过的直线l与双曲线C的左支、右支分别交于A、B两点，，则双曲线C的离心率（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】∵，则
即边的中线与边垂直，则
同理可知为正三角形，
∴，取AB中点D，，，
∵，则，整理得
∴
故答案为：C．
【分析】由可得，推出，同理可知为正三角形，，取AB中点D，根据，利用勾股定理即可求得双曲线的离心率.
6．（2022·湖北模拟）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角函数的化简求值；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，所以，所以
.
故答案为：D.
【分析】根据诱导公式化简可得，化简代入求解即可.
7．（2022·湖北模拟）若过点可作曲线三条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切点为，
由，故切线方程为，
因为在切线上，所以代入切线方程得，
则关于t的方程有三个不同的实数根，
令，则或，
所以当，时，，为增函数，
当时，，为减函数，
且时，，时，，
所以只需，解得
故答案为：A
【分析】设切点为，根据导数的几何意义可知切线方程得，则关于t的方程有三个不同的实数根，令，求导利用导数判断其单调性求其极值，只需，求解即可.
8．（2022·湖北模拟）奥密克戎变异毒株传染性强、传播速度快隐蔽性强，导致上海疫情严重，牵动了全国人民的心．某医院抽调了包括甲、乙在内5名医生随机派往上海①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生，“医生甲派往①医院”记为事件A：“医生乙派往①医院”记为事件B；“医生乙派往②医院”记为事件C，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立
C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】将甲、乙在内5名医生派往①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生有个基本事件，它们等可能．
事件A含有的基本事件数为，则，同理，
事件AB含有的基本事件数为，则
事件AC含有的基本事件数为，则
，
即事件A与B相互不独立，事件A与C相互不独立，A、B不正确；
，，
故答案为：C．
【分析】根据题意可求，，，，根据若事件A与B相互独立，则即可判断AB，根据条件概率即可判断CD.
二、多选题
9．（2022·湖北模拟）在新加坡举行的2020世界大学生辩论赛中，中国选手以总分230.51分获得冠军．辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某队选手一个原始分数，评定该队选手的成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．若某队选手得到的7个原始分成等差数列，且公差不为零，则5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
【答案】A,B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】7个原始分成公差的等差数列，设为，，，，，，，则中位数及平均数均为a，方差为，极差为
则5个有效分为，，，，，中位数及平均数均为a，方差为，极差为
∴A、B符合题意，C、D不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】设原始分为，，，，，，，即可得中位数、平均数、方差和极差；5个有效分为，，，，，从而求得中位数、平均数、方差，极差，即可判断.
10．（2022·湖北模拟）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（ ）
A．最大值为 B．最大值为1
C．最大值是2 D．最大值是
【答案】B,C,D
【知识点】向量的共线定理；平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，，，，设，
则，，，
由，得且，
，A不符合题意；
时，B符合题意；
，C符合题意；
，D符合题意．
故答案为：BCD.
【分析】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，易得各点坐标以及，，由，，即可判断A；，即可判断B；由判断C；由即可判断D.
11．（2022·湖北模拟）已知圆C：，则下列四个命题表述正确的是（ ）
A．圆C上有且仅有3个点到直线1：的距离都等于1
B．过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，直线MN的方程为
C．一条直线与圆C交于不同的两点P，Q，且有，则∠PCQ的最大值为
D．若圆C与E：相外切，则
【答案】B,C
【知识点】点到直线的距离公式；圆的切线方程；圆与圆的位置关系及其判定；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】圆C的圆心，半径，
圆心到直线l：的距离，故圆C上有4个点到直线l的距离为1，A不正确；
过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，则A、C、M、N四点共圆，且为AC为直径，方程为，MN是其圆C的公共弦，直线MN为，B符合题意；
设PQ的中点为D，则．因为，
即，可得，
则，故的最大值为，C符合题意；
圆E：的圆心，半径
根据题意可得，即得，D不符合题意．
故答案为：BC．
【分析】易知圆心，半径，根据点到直线的距离即可判断A；过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，可知A、C、M、N四点共圆，且以AC为直径，方程为，MN是其圆C的公共弦，直线MN为，可判断B；设PQ的中点为D，则．因为，可得，则，即可判断C；圆E的圆心，半径根据题意可得，得，即可判断D．
12．（2022·湖北模拟）棱长为1的正方体中，P、Q分别在棱BC、上，，，，且，过A、P、Q三点的平面截正方体得到截面多边形，则（ ）
A．时，截面一定为等腰梯形
B．时，截面一定为矩形且面积最大值为
C．存在x，y使截面为六边形
D．存在x，y使与截面平行
【答案】B,D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】对A，时，截面为矩形，A不符合题意；
对B，当时，点与点重合，设过A、P、Q三点的平面交于，则因为平面平面，故，且，此时截面为矩形，当点与点重合时面积最大，此时截面积，B符合题意；
对C，截面只能为四边形、五边形，C不符合题意；
对D，当，时，延长交延长线于，画出截面如图所示.
此时因为，，故，则.由面面平行的截面性质可得，，故，此时，故且，故平行四边形，故，根据线面平行的判定可知与截面平行，D符合题意．
故答案为：BD
【分析】对于A，举反例判断即可；对于B，当时，点与点重合，再根据面面平行的性质与线面垂直的性质判断即可；对于C，直观想象根据截面的可能情况判定即可；对于D，根据线面平行与截面的性质举例当，时成立判定即可.
三、填空题
13．（2022·湖北模拟）已知定义域为R的函数，有且，，则的解集为 ．
【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】，
在为增函数，又为偶函数，
∴，则，得或，
解集为
故答案为：．
【分析】由题意知，函数为偶函数，且时，为增函数，的解集转化为即可.
14．（2022·湖北模拟）已知抛物线，过其焦点F的直线l与其交与A、B两点，，其准线方程为 ．
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】设线段AB中点为D，则F为线段BD中点，过A、B、D、F分别向抛物线准线作垂线，垂足分别为、、、，，
由梯形中位线得，，
∴准线方程为
故答案为：．
【分析】设线段AB中点为D，则F为线段BD中点，过A、B、D、F分别向抛物线准线作垂线，垂足分别为、、、，由，结合梯形中位线性质即可求解.
15．（2022·湖北模拟），的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】令，则
当时，单调增，
当时，令，
时，递减
时，递增
∴
综上：
故答案为：3．
【分析】令，则，分，讨论函数的单调性求，从而确定函数的最小值.
16．（2022·湖北模拟）定义表示不超过x的最大整数，例如，，．函数，当，时，的值域为，记集合中元素的个数为，则 ， ．
【答案】；
【知识点】数列的应用；数列的求和
【解析】【解答】，，，此区间段内有1个元素，
，，，此区间段内有1个元素，
，，，此区间段内有2个元素，
，，，此区间段内有3个元素，
……
，，，此区间段内有个元素，
，，，此时有1个元素，
∴，
，，
故答案为：，
【分析】根据题意，由的定义分析的表达式，进而可得区间段内的个数，相加即可得，从而得，根据裂项相消求和即可.
四、解答题
17．（2022·湖北模拟）内角，、、对应的边分别为、、，且，
（1）求；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：因为，，，，
所以，所以，又
所以，，所以
（2）解：因为，所以，又，所以，所以为锐角，
所以，所以，
所以
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由，，两式作商结合正弦定理可得，再根据同角三角函数基本关系计算，即可求得b的值；
（2）易得，由，可知，根据三角形内角关系计算，代入面积公式计算即可.
18．（2022·湖北模拟）已知数列，满足，，且，．
（1）若为等比数列，求值；
（2）在（1）的条件下，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：由题
∵为等比数列，设公比为q
则
∴，
∴，即，解得或
当时，，即
又，
∴成以3为首项，以为公比的等比数列
当时，即
又，
∴成以3为首项，以1为公比的等比数列
综上：或
（2）解：由（1）得，
∴
∴
【知识点】等比数列；数列的求和
【解析】【分析】（1） 由题 ，由于为等比数列，满足，列方程组解即可；
（2） 由（1）得，，分组求和即可.
19．（2022·湖北模拟）如图，四棱台中，上底面A1B1C1D1是边长为1的菱形，下底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD且
（1）求证：平面平面；
（2）若直线AB与平面所成角的正弦为，求棱台的体积．
【答案】（1）证明：∵菱形ABCD对角线相互垂直，
∴
∵平面ABCD，平面ABCD，
∴
∵，平面，平面
∴平面
∵平面
∴平面平面
（2）解：设，则且
∴且，
∴平面ABCD
以O为原点，OA、OB、所在的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图，
则，设，
则
，，，
设平面的一个法向量
则可得，
取，得
由题
整理得，则
∴，
∴
【知识点】棱台的结构特征；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）由已知条件推出平面 ，由线面垂直证明平面平面 ；
（2） 设，由且，推出平面ABCD，以O为原点，OA、OB、所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.
20．（2022·湖北模拟）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，某冰雪运动品商店对消费达一定金额的顾客开展了“冬奥”知识有奖竞答活动，试题由若干选择题和填空题两种题型构成，共需要回答三个问题，对于每一个问题，答错得0分；答对填空题得30分答对选择题得20分现设置了两种活动方案供选择，方案一：只回答填空题；方案二：第一题是填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次是填空题，若上题回答错误，则下一次是选择题．某顾客获得了答题资格，已知其答对填空题的概率均为，答对选择题的概率均为P，且能正确回答问题的概率与回答次序无关
（1）若该顾客采用方案一答题，求其得分不低于60分的概率；
（2）以得分的数学期望作为判断依据，该顾客选择何种方案更加有利？并说明理由．
【答案】（1）解：采用方案一答题，得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题
∴其概率为
（2）解：若采用方案一，设其答对题数为，得分为X
则，，
∴
若采用方案二，设其得分为Y，则，20，30，50，60，90
，
，，
令，则，解得或（舍去）
即，选方案一数学期望大
，则，方案一、方案二数学期望一样
，则，选方案二数学期望大
综上所述：选方案一；方案一、方案二均可；选方案二．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【分析】（1）根据题意得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题，结合二项分布概率公式求解即可；
（2）根据题意分别求，，作差比较大小判断即可.
21．（2022·湖北模拟）如图，椭圆M：的两焦点为，，A，B是左右顶点，直线l与椭圆交于异于顶点的C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BC斜率之积为．
（1）求椭圆M的方程；
（2）直线AC与直线BD交于点Q，设点P与点Q横坐标分别为，，则是否为常数，若是，求出该常数值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：由题，，设，
则，
∴，又，
∴，，
∴椭圆M的方程为：
（2）解：直线l若过原点，由对称性知不合题，
设直线l：，则
，消去x得，
设，则
∴①
AC：②，BD：③
②③联立得
①代入得
解得，即
∴，
∴为常数，值为1
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由直线AC与直线BC斜率之积为，建立等式得，再结合可求解；
（2） 设直线l：，则 ，再根据直线AC与直线BD交于点Q，可得，从而可得为常数.
22．（2022·湖北模拟）已知
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）有两个不同的零点，，若恒成立，求的范围．
【答案】（1）解：定义域为
ⅰ）即时，
，或
ⅱ）即时，，恒成立
ⅲ）即，
，或
综上：
时，，单调递减；、，单调递增
时，，单调递增
时，，单调递减；、，单调递增
（2）解：，由题，
则，设
∴
∴
恒成立
，
∴
∴恒成立
设，
∴恒成立
ⅰ）时，，
∴，
∴在上单调递增
∴恒成立，
∴合题
ⅱ），，
∴，
∴在上单调递增
时，，
∴在上单调递减
∴，，不满足恒成立
综上：
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数的零点
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，分，，讨论函数的单调性；
（2）由有两个零点可得， 设 ，则，恒成立， 设，恒成立，求导分，讨论的单调性，从而确定的范围.
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