13.1.1　棱柱、棱锥和棱台(共35张PPT)

(共35张PPT)
第13章　立体几何初步
13.1.1　棱柱、棱锥和棱台
01
预习案　自主学习
02
探究案　讲练互动
03
自测案　当堂达标
04
应用案　巩固提升
学习指导 核心素养
1.理解棱柱的定义，知道棱柱的结构特征，并能识别和作图．
2.理解棱锥、棱台的定义，知道棱锥、棱台的结构特征，并能识别和作图． 直观想象：棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
1．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
结构特征及分类 图形及记法
棱
柱 结构
特征 (1)两个底面是全等的________，且对应边互相______(2)侧面都是____________
记作棱柱ABCDEF
A′B′C′D′E′F′
分
类 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱……
平行
平行四边形
多边形
结构特征及分类 图形及记法
棱
锥 结构
特征 (1)底面是__________(2)侧面是有一个__________的三角形
记作棱锥S ABCD
分
类 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥……
多边形
公共顶点
结构特征及分类 图形及记法
棱
台 结构
特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台
(1)上下底面互相平行，且是相似图形
(2)各侧棱延长线相交于一点
记作棱台ABCD
A′B′C′D′
分
类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台……
2.棱柱、棱锥、棱台的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).
3．多面体
由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体．
1．棱柱的侧面一定是平行四边形吗？
提示：根据棱柱的概念可知，棱柱的侧面一定是平行四边形．
2．棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？
提示：根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定相交于一点．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)棱柱的侧面都是平行四边形．(　　)
(2)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台．　(　　)
(3)将棱台的各侧棱延长可交于一点．(　　)
√
√
×
2．(多选)下面多面体中，是棱柱的有(　　)


解析：根据棱柱的定义进行判定知，这4个都满足．
√
√
√
√
3．下面四个几何体中，是棱台的是(　　)

√
解析：A项中的几何体是棱柱．
B项中的几何体是棱锥；
D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；
很明显C项中的几何体是棱台．
4．在三棱锥A BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为　(　　)
A．1　　　　 B．2　　　　
C．3　　　　 D．4
解析：每个面都可作为底面，有4个．
√
5．下列说法正确的有________．(填序号)
①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；
②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
解析：棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对．
棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③ 对．因而正确的有①③.
答案：①③
探究点1　棱柱的结构特征
(1)下列命题中正确的是(　　)
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
√
(2)下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；
②每一个面都不会是三角形；
③两底面平行，并且各侧棱也平行；
④被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确的序号是__________．
解析】　(1)由棱柱的定义可知，选D．
(2)①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
②错误，棱柱的底面可以是三角形；
③正确，由棱柱的定义易知正确；
④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.
【答案】　(1)D　(2)③④
棱柱结构特征的辨析技巧
(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．①看
“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．　
　 如图所示的三棱柱ABC A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不 是，请说明理由．
解：截面以上的几何体是三棱柱AEF A1HG，截面以下的几何体是四棱柱 BEFC B1HGC1.
探究点2　棱锥、棱台的结构特征
下列关于棱锥、棱台的说法：
①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③棱锥的侧面只能是三角形；
④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确的序号是________．
【解析】　①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．
②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形．
③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．
④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．
⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
所以正确说法的序号为②③④.
【答案】　②③④
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
1．如图，在三棱台A′B′C′ ABC中，截去三棱锥A′ ABC，则剩余部分是 (　　)
A．三棱锥　　　　　　　 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱台
√
解析：由题意知，在三棱台A′B′C′ ABC中，截去三棱锥A′ ABC，剩下的部分如图所示，故剩余部分是四棱锥A′ BB′C′C.故选B．
2．(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．棱锥的各个侧面都是三角形
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥
C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
D．棱锥的各侧棱长相等
√
√
解析：由棱锥的定义知，棱锥的各侧面都是三角形，故A正确；
有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故B错；
四面体就是由4个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故C正确；
棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故D错．
1．下面的几何体中是棱柱的有(　　)

A．3个　　 B．4个　　
C．5个　　 D．6个
√
解析：棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行．(2)其余各面是平行四边形．(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤都符合，故选C．
2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为(　　)
A．四棱柱 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱锥
解析：根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．
√
3．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有____________个面，其棱长为____________．
4．画一个三棱台，再把它分成：
(1)一个三棱柱和另一个多面体；
(2)三个三棱锥，并用字母表示．
解：画三棱台一定要利用三棱锥．
(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′ AB″C″，
另一个多面体是B′C′C″B″BC.
(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′ ABC，
B′ A′BC，C′ A′B′C.
本部分内容讲解结束