苏教版（2019）必修第二册第13章 立体几何图形 13.2.1　平面的基本性质（共46张PPT）

(共46张PPT)
第13章　立体几何初步
13.2.1　平面的基本性质
01
预习案　自主学习
02
探究案　讲练互动
03
自测案　当堂达标
04
应用案　巩固提升
学习指导 核心素养
1.了解平面的概念，会用图形与字母表示平面．
2.能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系．
3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实和三个推论，理解三个基本事实和三个推论的作用． 1.直观想象：平面的概念及点、线、面的位置关系．
2.直观想象、逻辑推理：三个基本事实和三个推论．
1．平面
(1)平面的概念
平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．平面通常用____________来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的________的直观图作为平面的直观图．
平行四边形
正方形
(2)平面的表示法
平面通常用希腊字母α，β，γ，… 表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示；如图的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
1．几何里的平面有什么特点？
提示：(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．
(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
2．点、线、面之间的关系
2．如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系？
3．平面的基本事实
基本
事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本
事实1 过_____________
___的三个点，__________一个平面 平面ABC ①确定平面的依据
②判定点线共面
不在一条直线上
有且只有
两个点
平面内
基本
事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本
事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的_________ P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据
②判定点在直线上
公共直线
基本事实1：确定平面的依据；基本事实2：判定直线在平面内的依据；基本事实3：判定两个平面相交的依据．
4．基本事实的推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
图形语言表述：如图所示．

推论2：经过两条______直线，有且只有一个平面．
图形语言表述：如图所示．
相交
推论3：经过两条______直线，有且只有一个平面．
图形语言表述：如图所示．
平行
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两两相交的三条直线确定一个平面．(　　)
(2)经过一条直线和一个点确定一个平面．(　　)
(3)如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点.(　　)
(4)平面α和平面β交于不共线的三点A，B，C.(　　)
(5)直线a与直线b相交于点A，可用符号表示为a∩b＝A.(　　)
√
×
×
×
×
√
√
解析：对于A，直线AB在平面α内，应为AB α，故A错误；
对于B，直线a在平面α，β内，应为a α，a β，故B错误；
对于C，因为A∈a，a α，所以A∈α，故C正确；
4．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：
(1)点C与平面β：____________．
(2)点A与平面α：____________．
(3)直线AB与平面α：__________．
(4)直线CD与平面α：__________．
(5)平面α与平面β：____________．
探究点1　图形、文字、符号语言的相互转化
(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形．
平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.
(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．
α∩β＝l，A∈l，AB α，AC β.
【解】　(1)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．
(2)文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区 别．　
　 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
解：(1)点P∈直线AB.

(3)点M∈平面AC.

(5)直线AB∩直线BC＝点B.
(6)直线AB 平面AC.
(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.
探究点2　点、线共面问题
证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
【解】　已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明：方法一：(纳入平面法)
因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.
又因为l2 α，
所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二：(辅助平面法)
因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，
所以l2，l3确定一个平面β.
因为A∈l2，l2 α，所以A∈α.
因为A∈l2，l2 β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明点、线共面的常用方法
(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．　
　 如图，已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面．
证明：因为a∥b，所以a和b确定一个平面α，因为l∩a＝A，l∩b＝B，
所以A∈α，B∈α.故l α.
又a∥c，所以a和c确定一个平面β.
同理l β.
即l和a既在平面α内又在平面β内，且l与a相交，故平面α，β重合，即直线a，b，c，l共面．
探究点3　三点共线、三线共点问题
　 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
可设D1F∩CE＝P.
又D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
所以根据基本事实3可得P∈DA，
即CE，D1F，DA三线交于一点．
[变条件、变问法]若将题目条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：点D，A，M三点共线．
证明：因为D1F∩CE＝M，
且D1F 平面A1D1DA，
所以M∈平面A1D1DA，
同理M∈平面BCDA，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，
所以M∈AD成立．
所以点D，A，M三点共线．
1．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：AB，CD，l共点．
证明：因为在梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，
所以AB，CD必定相交于一点，
如图，设AB∩CD＝M.又因为AB α，CD β，
所以M∈α且M∈β，
又因为α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l共点．
2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．
证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β(即平面ABCD)，又因为AB∩α＝E，AB β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共 点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．
1．能确定一个平面的条件是(　　)
A．空间三个点　　　　　　
B．一个点和一条直线
C．无数个点
D．两条相交直线
解析：不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．
√
2．经过同一条直线上的3个点的平面(　　)
A．有且只有一个
B．有且只有3个
C．有无数个
D．不存在
解析：经过共线3个点的平面有无数个，比如：课本中每一页都过共线的三点．
√
3．如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则
(　　)
A．l α　　 B．l α
C．l∩α＝M　　 D．l∩α＝N
解析：因为M∈a，a α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l α.
√
4．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________．
解析：因为α∩β＝l，AB∩l＝C，所以C∈β，C∈AB，所以AB∩β＝C.
答案：C
答案：直线l在平面α 内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l 上，图形如图所示．
本部分内容讲解结束