苏教版（2019）必修第二册第13章 立体几何图形 13.2.2　空间两条直线的位置关系（共48张PPT）

(共48张PPT)
第13章　立体几何初步
13.2.2　空间两条直线的位置关系
01
预习案　自主学习
02
探究案　讲练互动
03
自测案　当堂达标
04
应用案　巩固提升
学习指导 核心素养
1.了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义．
2.理解并掌握基本事实4和“等角”定理，并能解决有关问题．
3.会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角． 直观想象、逻辑推理：空间两条直线的位置关系及异面直线所成的角．
1．空间直线的位置关系
(1)异面直线
定义：把不同在__________平面内的两条直线叫作异面直线．
任何一个
(2)空间两条直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
相交直线 在同一平面内 ______________
平行直线 ______________ 没有
异面直线 不同在任何一个平面内 ______
有且只有一个
在同一平面内
没有
1．分别在两个平面内的直线一定是异面直线吗？
提示：不能把异面直线误认为是分别在不同平面内的两条直线，如图，虽然有a α，b β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝ O，所以a与b不是异面直线．
(2)“等角”定理
如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
平行
传递性
a∥c
2．如何利用定理判断两个角是相等的还是互补的？
提示：定理实质上是由如下两个结论组合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相 同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补．
3．异面直线所成的角
(1)定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．
(2)异面直线所成的角
定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的______________叫作异面直线a，b所成的角(或夹 角).
范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°.特别地，当θ＝______时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
锐角(或直角)
90°
异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)异面直线没有公共点．(　　)
(2)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　)
(3)两条异面直线一定在两个不同的平面内．(　　)
(4)分别在两个平面内的直线一定是异面直线．(　　)
(5)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c是异面直线．(　　)
(6)如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等．
(　　)
√
√
×
×
×
×
2．异面直线是指(　　)
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
√
解析：对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面，所以A应排除．
对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如图，就是相交的情况，所以B应排除．
对于C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，所以C应排除．只有D符合定义．
3．正方体的6个面中相互平行的平面有(　　)
A．2对　　 B．3对　　
C．4对　　 D．5对
解析：前后两个面、左右两个面、上下两个面都平行．
√
4．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　)
A．30°
B．30°或150°
C．150°
D．以上结论都不对
√
5．正方体ABCD A1B1C1D1的各个面中与直线A1B1平行的平面有________个．
解析：由正方体图形特点，知直线A1B1与平面CC1D1D和平面ABCD平 行．
答案：2
探究点1　空间两直线位置关系的判定
如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
【解析】　经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交 点，则两直线平行，所以(1)应该填“平行”；
点A1、B、B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以(2)(4)应该填“异面”；
直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以(3)应该填“相交”．
【答案】　(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面
(1)判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4判断．
1．三棱锥A BCD的6条棱所在直线成异面直线的有(　　)
A．3对　　　　　　　　
B．4对
C．5对
D．6对
√
解析：三棱锥A BCD的六条棱所在直线中，
成异面直线的有AB和CD，AD和BC，BD和AC，
所以三棱锥A BCD的六条棱所在直线成异面直线
的有3对．故选A．
2．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是(　　)
A．异面　　　　　　　　　 B．相交
C．平行 D．异面或相交
解析：a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，但a与c异面、相交都有可能．
√
探究点2　平行公理和等角定理的应用
　 如图，已知E，F分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．
(1)证明两直线平行的常用方法
①利用平面几何的结论，如平行四边形的对边,三角形的中位线与底边；
②定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；
③利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
(2)证明两角相等的方法
①利用等角定理；
②利用三角形全等或相似．
[注意]　在应用等角定理时,应注意说明这两个角同为锐角、直角或钝角．　
如图，已知在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
(2)由(1)可知MN∥A1C1.
又因为ND∥A1D1，所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，
所以∠DNM＝∠D1A1C1.
探究点3　异面直线所成的角
　 如图，在正方体ABCD EFGH中，O为侧面ADHE的中心．

求：(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
【解】　(1)如图，因为CG∥BF.
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，
又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.
(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．
所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，
又知O为AH的中点，
所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.
1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．
解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成
的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，
故OP与CD所成的角为45°.
2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角．
求异面直线所成角的步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．
[提醒]　求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中 去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.　
如图所示，在三棱锥A BCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角．
因为AB⊥CD，所以EG⊥GF.
所以∠EGF＝90°.
所以△EFG为等腰直角三角形．
所以∠GFE＝45°，
即EF与AB所成的角为45°.
1．不平行的两条直线的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　　 B．异面
C．平行 D．相交或异面
解析：若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．
√
2．若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是
(　　)
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
解析：如图：
√
3．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为(　　)
A．平行
B．直线在平面内
C．相交或直线在平面内
D．平行或直线在平面内
解析：若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行或直线在平面内．
√
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度数为________．
解析：连接AB1，B1C，因为AC∥A1C1，所以∠B1OC
(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的角．
又因为AB1＝B1C，O为AC的中点，所以B1O⊥AC，
故∠B1OC＝90°，所以OB1与A1C1所成的角的大小为90°.
答案：90°
本部分内容讲解结束