苏教版（2019）必修第二册第13章 立体几何图形 13.2.4　两平面垂直（共60张PPT）

(共60张PPT)
第13章　立体几何初步
13.2.4　两平面垂直
01
预习案　自主学习
02
探究案　讲练互动
03
自测案　当堂达标
04
应用案　巩固提升
学习指导 核心素养
1.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小．
2.理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理．
3.理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题． 1.直观想象、逻辑推理：两平面垂直的判定与性质．
2.直观想象、数学运算：求二面角的大小．
1．二面角
(1)定义：一般地，一条直线和由这条直线出发的____________所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的____，每个半平面叫作二面角的面．
(2)图形和记法
图形：
记作：二面角______________．
两个半平面
棱
α AB β
2．二面角的平面角
(1)定义：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．
(2)图形、符号及范围
图形：

符号：OA⊥l，OB⊥l ∠AOB是二面角α l β 的平面角．
范围：_____≤∠AOB≤_______．平面角是______的二面角叫作直二面角．
0°
180°
直角
1．二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？
提示：无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．
3．平面与平面垂直
(1)定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是__________，那么就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理
直二面角
垂线
一个平面内
交线
垂直
a⊥β
图形语言
作用 ①面面垂直 线面垂直
②作面的垂线
2．两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面 吗？
提示：不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．
3．如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？
提示：正确．若设α∩β＝l，a α，b β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关．(　　)
(2)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的.(　　)
(3)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.(　　)
(4)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．
(　　)
(5)如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面．
(　　)
×
×
×
×
√
2．在二面角α l β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α l β的平面角，则必须具有的条件是(　　)
A．AO⊥BO，AO α，BO β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
√
3．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(　　)
A．有1个　　　　　　　 B．有2个
C．有无数个 D．不存在
√
4．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　)
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
解析：由题意知α与γ可能平行，也可能相交．如图，α与δ平行，α与γ相交．
√
5．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是______．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)
解析：因为在正方体中，CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.
又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，
所以BD⊥平面AA1C1C.
又BD 平面EBD，所以平面EBD⊥平面AA1C1C.
答案：垂直
√
(2)一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为(　　)
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不确定
√
【解析】　(1)如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD的中
点，因为A1D＝A1B，所以在△A1BD中，A1O⊥BD.
又因为在正方形ABCD中，AC⊥BD，
所以∠A1OA为二面角A1 BD A的平面角．
(2)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D AA1 E与二面角B1 AB C的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．
(1)求二面角大小的步骤

简称为“一作二证三求”．　
(2)作出二面角的平面角的方法,
方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角α a β的平面角．
方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠AFE为二面角A BC D的平面角．
方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．如图所示，∠AOB为二面角α l β的平面角．
[提醒]　二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．
【证明】　因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.
所以AC2＝AE2＋CE2，
所以AE⊥CE，∠AEC是二面角A BD C的平面角，又因为∠AEC＝90°,
所以二面角A BD C为直二面角，
所以平面ABD⊥平面BCD.
角度二　利用判定定理证明平面与平面垂直
　 (2020·高考江苏卷)在三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
(1)求证：EF∥平面AB1C1；
(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.
【证明】　(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，
所以EF∥AB1.
又EF 平面AB1C1，AB1 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1.
(2)因为B1C⊥平面ABC，AB 平面ABC，
所以B1C⊥AB.
又AB⊥AC，B1C 平面AB1C，
AC 平面AB1C，B1C∩AC＝C，
所以AB⊥平面AB1C.
又因为AB 平面ABB1，
所以平面AB1C⊥平面ABB1.
证明平面与平面垂直的两种常用方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：
①找出两相交平面的平面角；
②证明这个平面角是直角；
③根据定义，这两个相交平面互相垂直．
(2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：
证明：由四边形ABCD为正方形，可得CD⊥AD，
又PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥CD，PD⊥AD，
故CD⊥平面AQPD，从而CD⊥PQ.
从而四边形AQED是平行四边形，
则QE∥AD，所以QE⊥PD，
所以DQ＝QP.
设QA＝1，则AB＝1，PD＝2.
在△DQP中，
有DQ＝QP＝，PD＝2.
所以DQ2＋QP2＝PD2，
故∠PQD＝90°，即DQ⊥PQ.
又CD∩DQ＝D，
所以PQ⊥平面DCQ.
又PQ 平面PQC，
所以平面PQC⊥平面DCQ.
探究点3　面面垂直的性质定理的应用
已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.
【证明】　如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，
因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD 平面PAC，且AD⊥PC，
所以AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，所以AD⊥BC.
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
因为AD∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAC.
又AC 平面PAC，所以BC⊥AC.
应用面面垂直的性质定理应注意的问题
若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．　
如图，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，求证：AE∥平面BCD.
证明：如图，取BC的中点M，
连接DM，AM，
因为BD＝CD，
所以DM⊥BC.
又因为平面BCD⊥平面ABC，
DM 平面BCD，两平面交线为BC，
所以DM⊥平面ABC.
又AE⊥平面ABC，
所以AE∥DM.
又因为AE 平面BCD，DM 平面BCD，
所以AE∥平面BCD.
又因为A′N⊥BE，A′N⊥CD，
所以A′N⊥平面BCDE.
又因为A′N 平面A′BE，
所以平面A′BE⊥平面BCDE.
垂直关系的转化
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
1．(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相
交，那么这条直线和交线平行
B．如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
C．如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行
D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直
√
√
√
解析：A．线面平行的性质定理；
B．线面垂直的判定定理；
C．这两条直线可能相交或平行或异面；
D．面面垂直的判定定理．
2．在下列关于直线m，l和平面α，β的说法中， 正确的是(　　)
A．若l β，且α⊥β，则l⊥α
B．若l⊥β，且α∥β，则l⊥α
C．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α
D．若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α
√
解析：A项中l与α可以平行或斜交，A项错．
B项中，l⊥β且α∥β，所以l⊥α正确．
C项中，l可在α内，C项错．
D项中，l可在α内，D项错．
3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(　　)
A．平面ABC⊥平面ADC　 B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC
解析：因为AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面BCD.又AD 平面ADC，所以平面ADC⊥平面BCD.
√
4.在三棱锥P ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2，则二面角P AB C的大小为________．
本部分内容讲解结束