2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题精选解析(二)

2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)
例5
已知：如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09重庆26”，拖动点G在OC上运动，可以体验到，△DCG与△DEF保持全等，双击按钮“M的横坐标为1.2”，可以看到，EF＝2，GO＝1．
拖动点P在AB上运动的过程中，可以体验到，存在三个时刻，△PCG可以成为等腰三角形．
思路点拨
1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到．
2．过点M作MN⊥AB，根据对应线段成比例可以求FA的长．
3．将∠EDC绕点D旋转的过程中，△DCG与△DEF保持全等．
4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG为等腰三角形，根据点P的位置确定点Q的位置，再计算点Q的坐标．
满分解答
（1）由于OD平分∠AOC，所以点D的坐标为（2，2），因此BC＝AD＝1．
由于△BCD≌△ADE，所以BD＝AE＝1，因此点E的坐标为（0，1）．
设过E、D、C三点的抛物线的解析式为，那么 解得，．因此过E、D、C三点的抛物线的解析式为．
（2）把代入，求得．所以点M的坐标为．
如图2，过点M作MN⊥AB，垂足为N，那么，即．解得．
因为∠EDC绕点D旋转的过程中，△DCG≌△DEF，所以CG＝EF＝2．因此GO＝1，EF＝2GO．
（3）在第（2）中，GC＝2．设点Q的坐标为．
①如图3，当CP＝CG＝2时，点P与点B（3，2）重合，△PCG是等腰直角三角形．此时，因此。由此得到点Q的坐标为．
②如图4，当GP＝GC＝2时，点P的坐标为（1，2）．此时点Q的横坐标为1，点Q的坐标为．
③如图5，当PG＝PC时，点P在GC的垂直平分线上，点P、Q与点D重合．此时点Q的坐标为（2，2）．
图3 图4 图5
考点伸展
在第（2）题情景下，∠EDC绕点D旋转的过程中，FG的长怎样变化？
设AF的长为m，那么．
点F由E开始沿射线EA运动的过程中，FG先是越来越小，F与A重合时，FG达到最小值；F经过点A以后，FG越来越大，当C与O重合时，FG达到最大值4．
例6
在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM//x轴（如图1所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．
（1）求b的值和点D的坐标；
（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆与圆O外切，求圆O的半径．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09上海24”，拖动点P在x轴正半轴上运动，可以体验到，△POD的形状可以成为等腰三角形，分别双击按钮“PD＝PO”、“OD＝OP”和“DO＝DP”可以显示三个等腰三角形．在点P运动的过程中，两个圆保持相切，可以体验到，当PD＝PO时，圆O不存在．
思路点拨
1．第（1）题情景简单，内容丰富，考查了对称点的坐标特征、待定系数法、代入求值、数形结合．
2．分三种情况讨论等腰三角形POD的存在性，三个等腰三角形的求解各具特殊性．
3．圆O与圆P的半径、圆心距都是随点P而改变，但是两圆外切，圆心距等于半径和的性质不变．
满分解答
（1）因为点A的坐标为（1，0），点B与点A关于原点对称，所以点B的坐标为（－1，0）．将B（－1，0）代入y＝x＋b，得b＝1．将y＝4代入y＝x＋1，得x＝3．所以点D的坐标为（3，4）．
（2）因为D（3，4），所以OD＝5，．
①如图2，当PD＝PO时，作PE⊥OD于E．在Rt△OPE中，，，所以．此时点P的坐标为．
②如图3，当OP＝OD＝5时，点P的坐标为．
③如图4，当DO＝DP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为．
图2 图3 图4
（3）圆P的半径，两圆的圆心距为OP．当两圆外切时，圆O的半径．
①如图2，当PD＝PO时，，此时圆O不存在．
②如图3，当OP＝OD＝5时，作DH⊥OP于H．在Rt△DHP中，DH＝4，HP＝2，所以．此时．
③如图4，当DO＝DP时，．
考点伸展
如图5，在本题情景下，如果圆P与圆C外切，那么点P的变化范围是什么？
如图6，当圆P经过点C时，点P在CD的垂直平分线上，点P的坐标为．
因此当点P在x轴上点的右边时，圆P与圆C外切．
图5 图6
图2