2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题精选解析(三)

2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题精选解析(三)
例1 .如图，已知一次函数y = - x +7与正比例函数y = x的图象交于点A，且与x轴交于点B.
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
解析：（1）根据题意，得eq \b\lc\{(\a\al\co(y=-x+7,y=x,))，解得 ，∴A(3，4) .
令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）.
（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4.
由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，得
(3+7)×4-×3×(4-t)- t(7-t)- t×4=8
整理,得t2-8t+12=0, 解之得t1=2,t2=6（舍）
当P在CA上运动，4≤t＜7.
由S△APR= ×(7-t) ×4=8，得t=3（舍）
∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.
②当P在OC上运动时，0≤t＜4.
∴AP=，AQ=t，PQ=7-t
当AP =AQ时， （4-t）2+32=2(4-t)2,
整理得，t2-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍)
当AP=PQ时，（4-t）2+32=(7-t)2,
整理得，6t=24. ∴t=4(舍去)
当AQ=PQ时，2（4-t）2=(7-t)2
整理得，t2-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍)
当P在CA上运动时，4≤t＜7. 过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.
设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.
由cos∠OAC= = ，得AQ = (t-4)．
当AP=AQ时，7-t = (t-4)，解得t = .
当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE= AP
得t-4= (7-t)，解得t =5.
当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F
AF= AQ = ×(t-4).
在Rt△APF中，由cos∠PAF＝ ＝ ，得AF＝ AP
即 ×(t-4)= ×(7-t)，解得t= .
∴综上所述，t=1或 或5或 时，△APQ是等腰三角形.
例2 已知两直线，分别经过点A(1，0)，点B，并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线交于点K，如图所示。
(1)求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
(2)抛物线的对称轴被直线，抛物线，直线和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。
(3)当直线绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标。
解析 (1)解法1：由题意易知：△BOC∽△COA
∴，即 ∴ ∴点C的坐标是(0，)
由题意，可设抛物线的函数解析式为
把A(1，0)，B(，0)的坐标分别代入，得
解这个方程组，得 ∴抛物线的函数解析式为
解法2：由勾股定理，得
又∵OB=3，OA=1，AB=4 ∴ ∴点C的坐标是(0，)
由题意可设抛物线的函数解析式为，把C(0，)代入
函数解析式得 所以，抛物线的函数解析式为
(2)解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF
理由如下：
可求得直线的解析式为，直线的解析式为
抛物线的对称轴为直线
由此可求得点K的坐标为(，)，点D的坐标为(，)，点E的坐标为(，)，点F的坐标为(，0) ∴KD=，DE=，EF= ∴KD=DE=EF
解法2：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF
理由如下：
由题意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，则可得
，，
由顶点D坐标(，)得　∴KD=DE=EF=
(3)解法1：(i)以点K为圆心，线段KC长为半径画圆弧，交抛物线于点，由抛物线对称性可知点为点C关于直线的对称点
∴点的坐标为(，)，此时△为等腰三角形
(ii)当以点C为圆心，线段CK长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点和点A，而三点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形
(iii)作线段KC的中垂线l，由点D是KE的中点，且，可知l经过点D，
∴KD=DC
此时，有点即点D坐标为(，)，使△为等腰三角形；
综上所述，当点M的坐标分别为(，)，(，)时，△MCK为等腰三角形。
解法2：当点M的坐标分别为(，)，(，)时，△MCK为等腰三角形。
理由如下：
(i)连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为(，)
又∵点C的坐标为(0，)，则GC∥AB
∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形
∴△CGK为正三角形
∴当与抛物线交于点G，即∥AB时，符合题意，此时点的坐标为(，)
(ii)连接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形
∴当过抛物线顶点D时，符合题意，此时点坐标为(，)
(iii)当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，但点
A、C、K在同一直线上，不能构成三角形
综上所述，当点M的坐标分别为(，)，(，)时，△MCK为等腰三角形。
例3 已知，以AC为边在外作等腰，其中。
(1)如图1，若，，四边形ABCD是平行四边形，则______；
(2)如图2，若，是等边三角形，，。求BD的长；
(3)如图3，若为锐角，作于H。当时，是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。
解析：(by iC)：第（1）问没什么好说的，送分。
第（2）问，这个如果有这个条件的化，可以转化为共圆来做，可是此题并非如此。同样的如果按常规方法，如作高，求BD，题中条件基本用不上。
考虑题中的，在“外”的正，由（数学）图形的对称性，容易想到同里以AB，（BC边）向外也等边三角形，如图：正，
此时已经转化成极其常见的“经典基本图形”，连CN，
立即有：
对于第（2）问，反思一下条件，其实直接将绕点A顺时针旋转即可，想到旋转，就基本搞定了，你懂的。
第（3）问：知道第(2)的思路与解法后，直接构造出2AH线段即可，如图：
，
显然有：，
由三边对应相等，有两阴影三角形面积相等，
再倒倒角，知成立。
（备用图）
A
B
C://www./C
D
K
E
F
O
y
x