2013中考数学压轴题函数面积问题精选解析(三)

2013中考数学压轴题函数面积问题精选解析(三)
例5
如图1，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．
（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
图1 图2
解析
（1）(1,0)，点P每秒钟运动1个单位长度．
（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H．
在Rt△ABE中，BE＝8，AE＝10－4＝6，所以AB＝10．由△ABE≌△BCF，知BF＝AE＝4，CF＝BE＝6．所以EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．因此点C的坐标为（14，12）．
（3）过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥轴于N．因为PM//BE，所以，即．因此．于是．
设△OPQ的面积为(平方单位)，那么，定义域为0≤≤10．
因为抛物线开口向下，对称轴为直线，所以当时，△OPQ的面积最大．此时P的坐标为(，)．
（4）当或时, OP与PQ相等．
图3 图4
考点伸展
附加题的一般思路是：点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍．先求直线AB、BC、CD的解析式，根据直线的解析式设点P的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO＝PQ．
附加题也可以这样解：
①如图4，在Rt△AMP中，设AM＝3m，MP＝4 m，AP＝5m，那么OQ＝8m．根据AP、OQ的长列方程组解得．
②如图5，在Rt△GMP中，设GM＝3m，MP＝4 m，GP＝5m，那么OQ＝8m．在Rt△GAD中，GD＝7.5．根据GP、OQ的长列方程组解得．
③如图6，设MP＝4m，那么OQ＝8m．根据BP、OQ的长列方程组解得，但这时点P不在BC上．
图5 图6
例6
在直角坐标系中，抛物线经过点（0，10）和点（4，2）．
（1）求这条抛物线的解析式.
（2）如图1，在边长一定的矩形ABCD中，CD＝1，点C在y轴右侧沿抛物线 滑动，在滑动过程中CD∥x轴，AB在CD的下方.当点D在y轴上时，AB落在x轴上.
①求边BC的长.
②当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C的坐标.
图1
解析
（1）因为抛物线经过点（0，10）和点（4，2），所以 解得，．因此抛物线的解析式为y＝x2－6x＋10．
（2）①因为CD＝1，点D在y 轴上，所以点C的横坐标为1．在y＝x2－6x＋10中，当x＝1时，y＝5．所以边BC的长为5．
②因为矩形边长一定，所以BC＝5．如图2，当矩形ABCD在x轴上方部分的面积与这个矩形面积的比为1:5时，点C的纵坐标为1．解方程x2－6x＋10＝1，得．此时点C的坐标为(3，1)．
如图3，当矩形ABCD在x轴上方部分的面积与这个矩形面积的比为5:1时，点C的纵坐标为4．解方程x2－6x＋10＝4，得，．此时点C的坐标为(3＋，4)或(3－，4)．
图2 图3
考点伸展
在本题情景下，以CD为半径的⊙C如果与坐标轴相切，那么符合条件的点C有哪些？
解：由于CD＝1，抛物线的顶点为（3，1），因此与坐标轴相切的⊙C有三个，点C的坐标分别为（1，5），（－1，17），（3，1）．
在本题情景下，以CB为半径的⊙C如果与坐标轴相切，那么符合条件的点C有哪些？
解：由于点（5，5）恰好在抛物线上，因此与坐标轴相切的⊙C有两个，点C的坐标分别为（5，5），（－5，65）．