2013中考数学压轴题函数梯形问题精选解析(三)

2013中考数学压轴题函数梯形问题精选解析(三)
例1
已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．
①求点D的坐标；
②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E，若，求四边形BDEP的面积．
图1
解析
（1）直线y＝3x－3与x轴的交点为A(1，0)，与y轴的交点为B(0,－3)．
将A(1，0)、B(0,－3)分别代入y＝ax2＋2x＋c，
得 解得
所以抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3．
对称轴为直线x＝－1，顶点为(－1,－4)．
（2）①如图2，点B关于直线l的对称点C的坐标为(－2,－3)．
因为CD//AB，设直线CD的解析式为y＝3x＋b，
代入点C(－2,－3)，可得b＝3．
所以点D的坐标为（0，3）．
②过点P作PH⊥y轴，垂足为H，那么∠PDH＝∠DPE．
由，得．
而DH＝7，所以PH＝3．
因此点E的坐标为（3，6）．
所以．
图2 图3
考点伸展
第（2）①用几何法求点D的坐标更简便：
因为CD//AB，所以∠CDB＝∠ABO．
因此．所以BD＝3BC＝6，OD＝3．因此D（0，3）．
例2
如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
图1
解析
（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，
得 解得，，． 所以．
（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－y M′＝yP′－yB．
直线OC的解析式为，设点P的坐标为，那么．
解方程，得，．
x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以．
图2 图3
（3）如图3，△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，作EK⊥OD于K．
设点A′移动的水平距离为m，那么OG＝1＋m，GB′＝m．
在Rt△OFG中，．所以．
在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以．
所以．
在Rt△OEK中，OK＝2 EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK；所以OK＝4HK．
因此．所以．
所以．
于是．
因为0＜m＜1，所以当时，S取得最大值，最大值为．
考点伸展
第（3）题也可以这样来解：设点A′的横坐标为a．
由直线AC：y＝－x＋3，可得A′(a, －a＋3)．
由直线OC：，可得．
由直线OA：y＝2x及A′(a, －a＋3)，可得直线O′A′：y＝2x－3a＋3，．
由直线OC和直线O′A′可求得交点E(2a－2，a－1)．
由E、F、G、H 4个点的坐标，可得。