2013中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析(二)

2013中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析(二)
例3
如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
图1 图2
解析
（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1，）．
（2） 梯形O1A1B1C1的面积，由此得到．由于，所以．整理，得．因此得到．
当S=36时， 解得 此时点A1的坐标为（6，3）．
（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．
在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．
在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．
因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．
由于，，所以．解得．
图3 图4
考点伸展
第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．
例4
如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．
图1
解析
(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上，所以 解得，．
(2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB＝5．因为四边形A A′B′B为菱形，所以A A′＝B′B＝ AB＝5．因为，所以原抛物线的对称轴x＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x＝4．
因此平移后的抛物线的解析式为．
图2
(3) 由点A (-2，4) 和点B′ (6，0)，可得A B′＝．
如图2，由AM//CN，可得，即．解得．所以．根据菱形的性质，在△ABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．
①如图3，当时，，解得．此时OD＝3，点D的坐标为（3，0）．
②如图4，当时，，解得．此时OD＝，点D的坐标为（，0）．
图3 图4
考点伸展
在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．
我们也可以讨论△B′CD与△CB B′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算．