2013中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析(二)

2013中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析(二)
例3
在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．
（1）求点B的坐标；
（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．
①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
图1
解析
(1) 因为抛物线经过原点，所以． 解得，（舍去）．因此．所以点B的坐标为（2，4）．
(2) ①如图4，设OP的长为t，那么PE＝2t，EC＝2t，点C的坐标为(3t, 2t)．当点C落在抛物线上时，．解得．
②如图1，当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合．此时3t＝10．解得．
如图2，当两条直角边PC与MN在同一条直线上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此时．解得．
如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此时．解得．
图1 图2 图3
考点伸展
在本题情境下，如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切，求t的值．
如图5，当P、Q重合时，两圆内切，．
如图6，当两圆外切时，．
图4 图5 图6
例4
如图1，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？
图1
解析
（1）在△ABC中，，，，所以 解得．
（2）①若AC为斜边，则，即，此方程无实根．
②若AB为斜边，则，解得，满足．
③若BC为斜边，则，解得，满足．
因此当或时，△ABC是直角三角形．
（3）在△ABC中，作于D，设，△ABC的面积为S，则．
①如图2，若点D在线段AB上，则．移项，得．两边平方，得．整理，得．两边平方，得．整理，得
所以（）．
当时（满足），取最大值，从而S取最大值．
图2 图3
②如图3，若点D在线段MA上，则．
同理可得，（）．
易知此时．
综合①②得，△ABC的最大面积为．
考点伸展
第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设，
例如在图2中，由列方程．
整理，得．所以
．
因此
．