2013中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析(三)

2013中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析(三)
例 5
如图1，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．
① 求S与t的函数关系式；
② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
图1
解析
（1）直线与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．
（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．在Rt△BNH中，BN＝t，，所以．
如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时
．定义域为0＜t≤2．
如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时
．定义域为2＜t≤5．
图2 图3
②把S＝4代入，得．解得，（舍去负值）．因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时．
③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM ，，所以．解得．
如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，．不存在∠ONM＝90°的可能．
所以，当或者时，△MON为直角三角形．
图4 图5
考点伸展
在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．
如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．
图6 图7
例6
已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．
（1）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图1，求证：；
思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．请你完成证明过程．
（2）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
图1 图2
解析
（1）如图3，将△沿直线对折，得△，连，则△≌△．因此，，，．
又由，得 ．由，，得．
又，所以△≌△．因此，．
所以．
在Rt△中，由勾股定理，得．即．
图3 图4
（2）关系式仍然成立．
如图4，将△沿直线对折，得△，连，则△≌△．
所以，，，．
又由，得 ．由，，得．
又，所以△≌△．因此，．
又由于
，
所以．
在Rt△中，由勾股定理，得．即．
考点伸展
当扇形CEF绕点C旋转至图5，图6，图7的位置时，关系式仍然成立．
图5 图6 图7