2013中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析(一)

2013中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析(一)
例1
如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段时，求tan∠CED的值；
②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．
图1
解析
（1）设抛物线的函数表达式为，代入点C(0，－3)，得．所以抛物线的函数表达式为．
（2）由，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC的函数表达式为，代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得 解得，．所以直线BC的函数表达式为．
（3）①因为AB＝4，所以．因为P、Q关于直线x＝1对称，所以点P的横坐标为．于是得到点P的坐标为，点F的坐标为．所以，．
进而得到，点E的坐标为．
直线BC:与抛物线的对称轴x＝1的交点D的坐标为（1，－2）．
过点D作DH⊥y轴，垂足为H．
在Rt△EDH中，DH＝1，，所以tan∠CED．
②，．
图2 图3 图4
考点伸展
第（3）题②求点P的坐标的步骤是：
如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的中点F的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标．
例2
设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．
（1）已知直线①；②；③；④和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；
（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．
图
解析
（1）直线①和③是点C的直角线．
（2）当∠APB＝90°时，△BCP∽△POA．那么，即．解得OP＝6或OP＝1．
如图2，当OP＝6时，l1：， l2：y＝－2x＋6．
如图3，当OP＝1时，l1：y＝3x＋1， l2：．
图2 图3