2013中考数学压轴题几何与函数问题精选解析(二)

2013中考数学压轴题几何与函数问题精选解析(二)
例3如图（1）,在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 图（1） 图（2） 图（3） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )【思路点拨】（1）证△AMN ∽ △ABC；（2）设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，先求出OD（用x的代数式表示），再过M点作MQ⊥BC 于Q，证△BMQ∽△BCA；（3）先找到图形娈化的分界点，＝2。然后 分两种情况讨论求的最大值： ① 当0＜≤2时， ② 当2＜＜4时。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
解析（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．
∴ △AMN ∽ △ABC．
∴ ，即．
∴ AN＝x．
∴ =．（0＜＜4）
（2）如图（2），设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．
在Rt△ABC中，BC ＝=5．
由（1）知 △AMN ∽ △ABC．
∴ ，即．
∴ ，
∴ ．过M点作MQ⊥BC 于Q，则．
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴ △BMQ∽△BCA．
∴ ．
∴ ，． ∴ x＝．
∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．
（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．
∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．
∴ △AMO ∽ △ABP．
∴ ． AM＝MB＝2．
故以下分两种情况讨论：
① 当0＜≤2时，．
∴ 当＝2时，
② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．
∵ 四边形AMPN是矩形，
∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．
又∵ MN∥BC，
∴ 四边形MBFN是平行四边形．
∴ FN＝BM＝4－x．
∴ ．
又△PEF ∽ △ACB．
∴ ．∴ ．
＝．
当2＜＜4时，．
∴ 当时，满足2＜＜4，．
综上所述，当时，值最大，最大值是2．
例4 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（1）求梯形ABCD的面积； ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（2）求四边形MEFN面积的最大值． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
解析
（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．
∵ AB∥CD，
∴ DG＝CH，DG∥CH．
∴ 四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1．
∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，
∴ △AGD≌△BHC（HL）．
∴ AG＝BH＝＝3．
∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5，
∴ DG＝4．
∴ ．
（2）∵ MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴ ME＝NF，ME∥NF．
∴ 四边形MEFN为矩形．
∵ AB∥CD，AD＝BC，
∴ ∠A＝∠B．
∵ ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°，
∴ △MEA≌△NFB（AAS）．
∴ AE＝BF．
设AE＝x，则EF＝7－2x．
∵ ∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°，
∴ △MEA∽△DGA．
∴ ．∴ ME＝．
∴ ．
当x＝时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为．
（3）能．
由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝．
若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF．
即 7－2x．解，得 ．
∴ EF＝＜4．
∴ 四边形MEFN能为正方形，其面积为． 00000000………….
A
B
C
M
N
P
O
A
B
C
M
N
D
O
A
B
C
M
N
P
O
A
B
C
M
N
D
图（ 2）
O
Q
A
B
C
M
N
P
图 （1）
O
A
B
C
M
N
P
图 （3）
O
A
B
C
M
N
P
图 （ 4）
O
E
F
C
D
A
B
E
F
N
M
C
D
A
B
E
F
N
M
G
H
C
D
A
B
E
F
N
M
G
H