2013中考数学压轴题几何与函数问题精选解析(三)

2013中考数学压轴题几何与函数问题精选解析(三)
例5如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动．设，．
（1）求点到的距离的长；
（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.
解析
（1），，，．
点为中点，．
，．
，
，．
（2），．
，，
，，
即关于的函数关系式为：．
（3）存在，分三种情况：
①当时，过点作于，则．
，，
．
，，
，．
②当时，，
．
③当时，则为中垂线上的点，
于是点为的中点，
．
，
，．
综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．
例6
如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．
求证：ΔBEF ∽ΔCEG
（2） 当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由
（3）设BE＝x，△DEF的面积为 y，请你求 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？
解析
（1） 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以
所以
所以
（2）的周长之和为定值．理由一：
过点C作FG的平行线交直线AB于H ，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH
因此，的周长之和等于BC＋CH＋BH
由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，
所以BC＋CH＋BH＝24
理由二：
由AB＝5，AM＝4，可知
在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：
，
所以，△BEF的周长是， △ECG的周长是
又BE＋CE＝10，因此的周长之和是24．
（3）设BE＝x，则
所以配方得：
．
所以，当时，y有最大值．最大值为．
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
M
2
1
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
A
B
C
D
E
R
P
H
Q