2013中考数学压轴题几何与函数问题精选解析（一）

2013中考数学压轴题几何与函数问题精选解析（一）
例1已知，，（如图）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长； ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )【思路点拨】（1）取中点，联结；（2）先求出 DE; （3）分二种情况讨论。
解析
（1）取中点，联结， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
为的中点，，． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
又，． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
，得； ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
（2）由已知得． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
，即． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
解得，即线段的长为； ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
（3）由已知，以为顶点的三角形与相似， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
又易证得． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
①当时，，．． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
，易得．得； ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
②当时，，． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
．又，． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
，即，得． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
解得，（舍去）．即线段的长为2． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
综上所述，所求线段的长为8或2． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
例2（山东青岛）已知：如图（1），在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题： ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
（1）当为何值时，？ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
（2）设的面积为（），求与之间的函数关系式； ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
（3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由； ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
（4）如图（2），连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
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图（1） 图（2） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
【思路点拨】（1）设BP为t，则AQ = 2t，证△APQ ∽△ABC；（2）过点P作PH⊥AC于H． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
（3）构建方程模型，求t；（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，若四边形PQP ′ C是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t的值
解析 （1）在Rt△ABC中，，
由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t，
若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，
∴，∴，∴．
（2）过点P作PH⊥AC于H．
∵△APH ∽△ABC，
∴，∴，∴，
∴． 　
（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．
∴， 解得：．
若PQ把△ABC面积平分，则， 即－＋3t=3．
∵ t=1代入上面方程不成立，
∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．
（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，
若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．
∵PM⊥AC于M，∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴， ∴，
∴， ∴，
∴，解得：．
∴当时，四边形PQP ′ C 是菱形．
此时，　，
在Rt△PMC中，，
∴菱形PQP ′ C边长为．
B
A
D
M
E
C
B
A
D
C
备用图
A
Q
C
P
B
A
Q
C
P
B
图①
B
A
Q
P
C
H
P ′
B
A
Q
P
C
图②
M
N