2013中考数学压轴题矩形问题精选解析(二)

2013中考数学压轴题矩形问题精选解析(二)
例3 有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝5，把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN（MN交AB于M，交AD于N）．
（1）如图1，当BE＝ 时，求AM的长；
（2）当点E在BC上运动时，设BE＝x，AN＝y，求y关于x的函数关系式，并确定函数的定义域；
（4）连接DE，是否存在这样的点E，使△AME与△DNE相似？若存在，求出此时BE的长，若不存在，请说明理由．
解析：（1）设BM＝a，∵AB＝2，∴ME＝AM＝2－a
在Rt△BME中，BM 2＋BE 2＝ME 2
∴a 2＋2＝( 2－a )2，∴a＝
∴AM＝
（2）设BM＝a，∵BE＝x，∴a 2＋x 2＝( 2－a )2
∴a＝ ，∴AM＝2－ ＝
延长NM交CB延长线于点F
∵∠F＝∠ANM＝∠ENM，∴EF＝EN＝AN＝y
∴BF＝y－x
∵△BFM∽△ANM，∴ ＝
∴ ＝ EQ \F( , ) ，∴y＝
由 eq \b\lc\{( eq \a\al\co1\vs4(0＜x ≤2,0＜ ≤5)) 解得5－ ≤x ≤2
∴函数的定义域为5－ ≤x ≤2
（3）存在
∵y＝ ≥2 eq \r(,·) ＝2≥x，即AN ≥BE
∴∠DNE≥90°
又∵∠AME≥90°，AM＝ME
∴若△AME∽△DNE，则DN＝EN
∴∠NDE＝∠NED
∵AM＝ME，∴∠MAE＝∠MEA
∵AD∥BC，∴∠NDE＝∠DEC
∴∠BAE＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD
∴ ＝ ，∴ ＝
解得x1＝4（舍去），x2＝1
∴BE＝1
∴存在点E，使△AME与△DNE相似，此时BE的长为1
A
B
D
C
备用图
A
B
D
C
备用图
A
B
D
C
N
E
M
图1
A
B
D
C
N
E
M
F
A
B
D
C
N
E
M