2013中考数学压轴题矩形问题精选解析(三)

2013中考数学压轴题矩形问题精选解析(三)
例5 如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为A（5，0），C（0，3）．射线y＝kx交折线A－B－C于点P，点A关于OP的对称点为A′．
（1）当点A′ 恰好在CB边上时，求CA′ 的长及k的值；
（2）若经过O、A、A′ 三点的抛物线恰好以A′ 为顶点，求k的值及该抛物线的解析式；
（3）如图2，当点P在AB边上，点A′ 在CB上方时，连接A′O、A′P分别交CB边于点E、F．是否存在实数k使△A′EF≌△BPF？若存在，求出k值；若不存在，说明理由；
（4）以OP为直径作⊙M，则⊙M与矩形OABC最多有_________个公共点，直接写出公共点个数最多时k的取值范围．
解析：（1）当点A′ 恰好在CB边上时，连接A′O、A′P，如图1
∵OA′＝OA＝5，OC＝3
∴CA′＝ ＝ ＝4
∴A′B＝CB－CA′＝5－4＝1
设PA＝x，则A′P＝PA＝x，BP＝3－x
在Rt△A′PB中，A′B 2＋BP 2＝A′P 2
∴1 2＋( 3－x )2＝x 2，解得x＝ ，∴P（5，）
∴k＝ ＝
（2）连接A′O、A′P、A′A，设A′A交射线OP于点D，如图2
则OP垂直平分A′A
∵经过O、A、A′ 三点的抛物线恰好以A′ 为顶点
∴由抛物线的对称性可知A′O＝A′A＝2A′D
∴∠A′OD＝30°，∴∠AOD＝∠A′OD＝30°
∴PA＝ EQ \F(, 3 )OA＝ EQ \F(5, 3 )，∴P（5， EQ \F(5, 3 )）
∴k＝ ＝ EQ \F(, 3 )
可得∠A′OA＝60°，∴△A′OA是等边三角形
∴点A′ 的坐标为（ ， EQ \F(5, 2 )）
设抛物线的解析式为为y＝a( x－ )2＋ EQ \F(5, 2 )
把O（0，0）代入上式，得0＝a( 0－ )2＋ EQ \F(5, 2 )
解得a＝ EQ \F(2, 5 )
∴抛物线的解析式为为y＝－ EQ \F(2, 5 )( x－ )2＋ EQ \F(5, 2 )
（3）假设存在实数k，使△A′EF≌△BPF，如图3
∵∠A′＝∠B＝90°，∠A′FE＝∠BFP
∴A′E＝BP，A′F＝BF
设A′E＝BP＝a，A′F＝BF＝b
则A′P＝PA＝3－a，EF＝PF＝3－a－b，OE＝5－a
CE＝5－( 3－a－b )－b＝2＋a
在Rt△OCE中，OC 2＋CE 2＝OE 2
∴3 2＋( 2＋a )2＝( 5－a )2，解得a＝
∴PA＝3－ ＝ ，∴P（5，）
∴k＝ ＝
（4）以OP为直径的⊙M与矩形OABC最多有6个公共点
提示：∵∠OAP＝90°
∴当点P在AB边上时，⊙M经过O、A、P三点，如图4
∵∠COP＜90°，∴⊙M必与OC边交于另一点
又∵⊙M与BC边最多有2个公共点
∴⊙M与矩形OABC最多有6个公共点
当点P在BC边上时，情况亦然
①当⊙M与BC边相切于点D时，连接DM并延长交OA于E，如图5
则MD⊥BC，∴DE∥AB∥OC，∴DE＝OC＝3
∵M是OP的中点，∴E是OA的中点
∴ME＝ PA
设PA＝x，则ME＝ x，DM＝ OP＝
∵DM＋ME＝DE，∴ ＋ x＝3
解得x＝ ，∴P（5，）
∴k＝ ＝
②当⊙M与AB边相切于点E时，连接EM并延长交OC于D，如图6
设CP＝x，则DM＝ x，ME＝ OP＝
∵DM＋ME＝DE，∴ x＋ ＝5
解得x＝ ，∴P（ ，3）
∴k＝ ＝
又∵当点P与点B重合时，⊙M经过O、A、B、C四点，此时k＝
∴当⊙M与矩形OABC有6个公共点时，k的取值范围是：＜k ＜ 且k≠
例6
如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD绕中心O顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′
（1）求点A在旋转过程中所走过的路径的长；
（2）求矩形ABCD在旋转过程中所扫过的面积；
（3）若点P为线段BC上一点，且使得∠APA′＝60°，则满足条件的点P有几个？请你选择一个点P求△APA′ 的面积．
解析：
（1）易知点A的路径是以O为圆心、以OA长为半径、圆心角为90° 的一段圆弧
∵AB＝1，BC＝，∴AC＝2，OA＝1
∴点A在旋转过程中所走过的路径的长为： ＝
（2）如图，将矩形ABCD绕它的对称中心O旋转90°，扫过的面积是图中阴影部分的面积
∵AB＝1，A′D′＝BC＝，∴A′G＝DG＝BE＝C′E＝ EQ \F(－1, 2 )
∵AB＝1，AD＝
∴∠ADB＝∠DBC＝30°，∠OFC＝∠A′C′D′＝∠BDC＝60°
∴∠A′OD＝∠BOC′＝30°
∴S阴影＝S⊙O －2( S扇形BOD －2 S△BOE )＝S⊙O －2 S扇形BOD ＋4 S△BOE )
＝π×1 2－2× ＋4×× EQ \F(－1, 2 )×
＝ π＋ EQ \F(－1, 2 )（cm2）
（3）满足条件的点P有2个
提示：在BC上取点P1，使BP1＝ EQ \F(, 3 )
则∠AP1B＝60°，P1H＝－ EQ \F(, 3 )－ EQ \F(－1, 2 ) ＝ EQ \F(, 6 ) ＋
A′H＝－ EQ \F(－1, 2 ) ＝ EQ \F(＋1, 2 )
∴tan∠A′P1H＝ ＝，∴∠A′P1H＝60°
∴∠AP1A′＝60°
在BC上取点P2，使P2H＝A′G＝ EQ \F(－1, 2 )
则△A′P2H≌△AA′G，∴A′P2＝A′A＝ ＝
BP2＝ EQ \F(＋1, 2 )－ EQ \F(－1, 2 )＝1＝AB，∴AP2＝
∴AP2＝A′P2＝A′A，∴△AP2A′ 是等边三角形
∴∠AP2A′＝60°
又∵△AP2A′ 的外接圆与BC最多有2个交点
∴满足条件的点P有2个
若求△AP1A′ 的面积
∵S梯形ABHA′ ＝ ×( 1＋ EQ \F(＋1, 2 ) )× EQ \F(＋1, 2 )＝ EQ \F(, 2 ) ＋ ，S△ABP1 ＝ ×1× EQ \F(, 3 ) ＝ EQ \F(, 6 )
S△A′P1H ＝ ×( EQ \F(, 6 ) ＋ )× EQ \F(＋1, 2 )＝ EQ \F(, 6 ) ＋
∴S△AP1A′ ＝S梯形ABHA′ －S△ABP1 －S△A′P1H ＝ EQ \F(, 6 ) ＋
若求△AP2A′ 的面积
则S△AP2A′ ＝ ×× EQ \F(, 2 )×＝ EQ \F(, 2 )
B
A
C
x
O
y
备用图
B
A
C
x
O
y
P
A′
图1
B
A
C
x
O
y
P
A′
图2
EP
FP
B
A
C
x
O
y
P
A′
图1
B
A
C
x
O
y
P
A′
图2
D
B
A
C
x
O
y
P
A′
图3
EP
FP
B
A
C
x
O
y
P
图4
M
B
A
C
x
O
y
P
图5
DP
M
EP
B
A
C
x
O
y
E
图6
DP
PP
M
D
B
A
C
O
A′
B′
C′
D′
D
B
A
O
C
C′
D′
A′
B′
E
F
O
G
D
B
A
C
C′
D′
A′
B′
E
P1
P2
H
G