2013中考数学压轴题矩形问题精选解析(一)

2013中考数学压轴题矩形问题精选解析(一)
例1．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′ 和折痕OP．设BP＝t．
（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′ 上，得点C′ 和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′ 恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
解析：（Ⅰ）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6
在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t
根据勾股定理，OP 2＝OB 2＋BP 2
即( 2t )2＝6 2＋t 2，解得t＝2（t＝－2舍去）．
∴点P的坐标为（2，6）
（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的
∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP
∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC
∵∠OPB′＋∠OPB＋∠QPC′＋∠QPC＝180°，∴∠OPB＋∠QPC＝90°
∵∠BOP＋∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ
又∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴ ＝
由题设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11－t，CQ＝6－m
∴ ＝ ，∴m＝ t 2－ t＋6（0＜t ＜11）
（Ⅲ）点P的坐标为（ EQ \F(11－ , 3 ) ，6）或（ EQ \F(11＋ , 3 ) ，6）
提示：过点P作PH⊥OA于H
易证△PC′H∽△C′QA，∴ ＝
∵PC′＝PC＝11－t，PH＝OB＝6，AQ＝m，C′Q＝CQ＝6－m
∴AC′＝ ＝
∴ EQ \F( 6 , ) ＝
∵ ＝ ，即 ＝
∴ EQ \F( 6 , ) ＝ ，∴36－12m＝t 2，即12m＝36－t 2
又m＝ t 2－ t＋6，即12m＝2t 2－22t＋72
∴2t 2－22t＋72＝36－t 2，即3t 2－22t＋36＝0
解得：t＝ eq \f(11±,3)
∴点P的坐标为（ EQ \F(11－ , 3 ) ，6）或（ EQ \F(11＋ , 3 ) ，6）
例2（在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E是AB边上一点（与A、B不重合），EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH＝∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N．
（1）如图1，当点H与点F重合时，求BE的长；
（2）如图2，当点H在线段FD上时，设BE＝x，DN＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）连接AC，当△FHE与△AEC相似时，求线段DN的长．
解析：（1）∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠BEC＝90°
∵∠AEH＝∠BEC，∴∠BEC＝45°
∵∠B＝90°，∴BE＝BC
∵BC＝3，∴BE＝3
（2）过点E作EG⊥CN，垂足为点G
∴BE＝CG
∵AB∥CN，∴∠AEH＝∠N，∠BEC＝∠ECN
∵∠AEH＝∠BEC，∴∠N＝∠ECN，∴EN＝EC
∴CN＝2CG＝2BE
∵BE＝x，DN＝y，CD＝AB＝4
∴y＝2x－4（2≤x ≤3）
（3）∵∠A＝90°，∴∠AFE＋∠AEF＝90°
∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠BEC＝90°
∴∠AFE＝∠BEC，∴∠HFE＝∠AEC
当△FHE与△AEC相似时
①若∠FHE＝∠EAC
∵∠BAD＝∠B，∠AEH＝∠BEC
∴∠FHE＝∠ECB，∴∠EAC＝∠ECB
∴tan∠EAC＝tan∠ECB，∴ ＝
∴ ＝ ，∴BE＝ ，∴DN＝
②若∠FHE＝∠ECA，作EG⊥CN于G，交AC于O
∵EN＝EC，EG⊥CN，∴∠1＝∠2
∵AH∥EG，∴∠FHE＝∠1，∴∠FHE＝∠2
∴∠2＝∠ECA，∴OE＝OC
设OE＝OC＝3k，则AE＝4k，AO＝5k
∴AO＋OC＝8k＝5，∴k＝
∴AE＝ ，BE＝ ，∴CN＝3，∴DN＝1
综上所述：线段DN的长为 或1
A
B
x
O
y
C
P
B′
图②
C′
Q
A
B
x
O
y
C
P
B′
图①
A
B
x
O
y
C
P
B′
C′
Q
A
B
x
O
y
C
P
Q
H
A
E
B
F
C
备用图
D
A
E
B
N
D
C
图1
F
(H)
A
B
E
N
D
C
F
H
图2
A
B
E
N
D
C
F
H
G
A
B
H
N
C
D
F
E
C
C
1
2
A
B
H
C
D
F
E
N
G
O