2013中考数学压轴题菱形问题精选解析(二)

2013中考数学压轴题菱形问题精选解析(二)
例3 已知菱形ABCD的边长为10，对角线BD＝16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图1，求证：△PBE∽△PDF；
（2）连接PC，当PE＋PF＋PC的值最小时，求PB的长；
（3）如图2，对角线AC、BD交于点O，以PO为半径的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，求PB的长．
解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB
∴∠ABD＝∠ADB
又∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴∠PEB＝∠PFD＝90°
∴△PBE∽△PDF
（2）解：如图1，连接AC交BD于O，则AC⊥BD
延长FP交BC于M，则FM⊥BC
∵BD平分∠ABC，PE⊥AB，PM＝PE
∴PE＋PF＝PM＋PF＝FM
在Rt△AOB中，BO＝ BD＝8，∴AO＝ ＝ ＝6
∴AC＝2AO＝12
又∵S菱形ABCD ＝ AC·BD＝BC·FM
∴×12×16＝10·FM，即FM＝
（说明PE＋PF的值不变即可得分，不必求出FM的值）
因此，要使PE＋PF＋PC的值最小，只要PC取最小值
所以当CP⊥BD，即点P与点O重合时，PE＋PF＋PC的值最小
此时PB＝BO＝ BD＝8
（3）设PB＝x，则PD＝BD－PB＝16－x
∵PF⊥AD，∴在Rt△PFD中，DF＝DP·cos∠ADB＝ ( 16－x )
①当⊙P与⊙D外切时
情形一：如图2，当P点在点O左侧时，PO＝OB－PB＝8－x
此时PO＋DF＝PD，∴( 8－x )＋ ( 16－x )＝16－x
解得x＝6，即PB＝6
情形二：如图3，当P点在点O右侧时，PO＝PB－OB＝x－8
此时PO＋DF＝PD，∴( x－8 )＋ ( 16－x )＝16－x
解得x＝ ，即PB＝
②如图4，当⊙P与⊙D内切时，PO＝PB－OB＝x－8
∵PD ＞DF，∴PO－DF＝PD
∴( x－8 )－ ( 16－x )＝16－x，解得，x＝ ，即PB＝
综上所述，以PO为半径的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，PB的长为6或 或
例4 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2．
（1）若CE＝1，求BC的长；
（2）求证：AM＝DF＋ME．
解析：
（1）解：∵四边形ABCD是菱形
∴BC＝CD，∴∠1＝∠DAC＝∠DCA＝∠ACB
∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DCA
∴DM＝CM
又∵ME⊥CD，CE＝1，∴CD＝2CE＝2
∴BC＝CD＝2
（2）证明：延长AB和DF相交于点G，
∵F为BC的中点，∴BC＝2CF＝2BF
∵CD＝2CE，BC＝CD，∴CE＝CF
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，
又∵∠ECM＝∠FCM，CM＝CM，∴△CEM≌△CFM
∴ME＝MF
∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠2＝∠G
又∵∠DFC＝∠GFB，CF＝BF，∴△DCF≌△GBF
∴DF＝GF
∵∠2＝∠G，∠1＝∠2，∴∠1＝∠G
∴AM＝GM
∵MG＝GF＋MF，DF＝GF，ME＝MF
∴AM＝DF＋ME
C
A
B
D
O
备用图
C
P
A
F
B
D
O
E
图2
C
P
A
F
B
D
E
图1
C
P
A
F
B
D
O
E
图1
M
C
P
A
F
B
D
O
E
图2
C
O
A
F
B
D
P
E
图3
C
O
A
F
B
D
P
E
图4
1
2
B
E
A
C
D
M
F
1
2
B
E
A
C
D
M
F
G