2013中考数学压轴题菱形问题精选解析(三)

2013中考数学压轴题菱形问题精选解析(三)
例5 已知菱形ABCD中，BD为对角线，P、Q两点分别在AB、BD上，且满足∠PCQ＝∠ABD．
（1）如图1，当∠BAD＝90° 时，求证：DQ＋BP＝CD；
（2）如图2，当∠BAD＝120° 时，试探究线段DQ、BP、CD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长CQ交AD边于点E，交BA延长线于点M，作∠DCE的平分线交AD边于点F．若 ＝ ，EF＝ ，求线段BP的长．
解析：
（1）证明：连接AC
在菱形ABCD中，∵∠BAD＝90°
∴四边形ABCD为正方形，∴∠PAC＝∠QDC＝45°
∵∠PCQ＝∠ABD，∴∠PCQ＝45°
∴∠ACP＝45°－∠ACQ，又∠DCQ＝45°－∠ACQ
∴∠ACP＝∠DCQ，∴△APC∽△DQC
∴ ＝ ＝，∴AP＝DQ
∵AP＋BP＝AB＝CD，∴DQ＋BP＝CD
（2）DQ＋BP＝2CD
证明：连接AC，在DQ上取一点M，连接CM，使∠MCD＝∠MDC＝30°
则∠QMC＝∠PAC＝60°
过点M作MG⊥CD于G，则CG＝ CD，CG＝ EQ \F(, 2 ) CM
∴CD＝CM＝DM
∵∠ACP＝∠ACB－∠BCP＝60°－∠BCP
∠MCQ＝∠MCB－∠PCQ－∠BCP＝60°－∠BCP
∴∠ACP＝∠MCQ，∴△APC∽△MQC
∴ ＝ ＝ ＝，∴MQ＝ EQ \F(, 3 ) AP
∵MQ＝DQ－DM＝DQ－ EQ \F(, 3 ) CD，AP＝CD－BP
∴ EQ \F(, 3 )( CD－BP )＝DQ－ EQ \F(, 3 ) CD
∴DQ＋BP＝2CD
（3）解：在菱形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝30°
∵∠PCQ＝∠ABD＝30°，∴∠PCQ＝∠QDC
∵BM∥CD，∴∠PMC＝∠QCD
∴△CQD ∽△MPC，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝
设BC＝5k，则MC＝7k，过点C作CH⊥AB于H
则BH＝ BC＝ k，CH＝ EQ \F(, 2 ) BC＝ k，MH＝ ＝ k
∴BM＝BH＋MH＝8k，∴AM＝BM－AB＝3k
∵AM∥CD，∴ ＝ ＝
∴ ＝ ，∴AE＝ k
延长CF、BM交于点G，则∠DCF＝∠G
∵FC平分∠ECD，∴∠MCG＝∠DCF
∴∠MCG＝∠G，∴MG＝MC＝7k，∴AG＝AM＋MG＝10k
∵AG∥CD，∴ ＝ ＝
∴ ＝ ，∴AF＝ k
∴EF＝AF－AE＝ k＝ ，∴k＝1，∴CD＝5
过点C作CN⊥BD于N，则DN＝ EQ \F(, 2 ) CD＝
∴BD＝2DN＝5
∵DE∥BC，∴ ＝ ＝
∴ EQ \F( 5－ , 5 ) ＝ EQ \F( DQ , 5－DQ ) ，∴DQ＝
∴BP＝2CD－DQ＝
例6
如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠DAB=60度，点M是边AD上一点，且DM=2cm，点E,F分别从A，C两点同时出发，以1cm/s的速度分别沿AB,CB向点B运动，EM,CD的延长线相交于G，GF交AD于O，设运动时间为x（s），三角形CGF的面积为y（cm ）
解析：
（1）∵DC‖AB，
∴△DMG∽△AME，
∴ DG:AE=DM:AM，
∴AE=AN*DG/DM ，
即当x=4s时，GD的长度是2cm．
（2）∵△DMG∽△AME，
∴DG/AE=DM/AM ，
∴DG=DM*AE/AM=2x/4=x/2 ，
∴GC=6+x/2 ，
过F作FH⊥DC于H点，
∴FH=CF sin60°=√3/2 x ，
∴y=1/2 GC FH，
= 1/2（6+x/2)*√3/2 x．
（3）设运动x（s）时，GF分菱形上、下两部分的面积比为1：5，
此时△OGD∽△FGC，
∴DG:GC=OD:FC ，
∴ CD=GD*FC/GC=x /x+12，
过D作DP⊥BC于P，则PD=6×sin60°= 3√3，
即x /x+12 + x =2 ，
解得：x1=（√73-5/2 ） x2=-(√73-5）/2 （舍去），
经检验：(√73-5)/2 是原方程的解．
∴当 时：(√73-5)/2，GF分菱形上、下两部分的面积比为1：5．
A
B
C
D
P
Q
图1
B
P
Q
A
D
C
图2
A
B
C
D
P
Q
E
F
M
图3
A
B
C
D
P
Q
A
B
C
D
P
Q
M
G
A
B
C
D
P
Q
E
F
M
H
G
N