2013中考数学压轴题菱形问题精选解析(一)

2013中考数学压轴题菱形问题精选解析(一)
例1 如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠B＝30°，E为AB上一点，且AE＝4cm．动点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，PE交射线DA于点M，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△MAE的面积为3cm2 ？
（2）在点P出发的同时，动点Q从点D出发，以1cm/s的速度沿DC边向点C运动，连接MQ、PQ，试求△MPQ的面积S（cm2）与t（s）之间的函数关系式，并求出当t为何值时，△MPQ的面积最大，最大值为多少？
（3）连接EQ，则在运动中，是否存在这样的t，使得△PQE的外心恰好在它的一边上？若存在，请直接写出满足条件的t的个数，并选择其一求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．
解析：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴△EAM∽△EBP.
∵AE＝4cm，BE＝8cm，BP＝t cm，∴AM＝ t cm
由S△EAM ＝3cm2、∠MAE＝30°、AE＝4cm，得 × t×2＝3，解得t＝6
∴当t为6s时，△MAE的面积为3cm2
（2）∵AD∥BC，∴S梯形PCDM ＝ ( 12－t＋12＋ t )×6＝72－ t
∵S△MQD ＝ ( 12＋ t )× t＝ t 2＋3t，S△PCQ ＝ ( 12－t )( 12－t )× ＝
∴S＝S梯形PCDM － S△MQD － S△PCQ ＝－ t 2＋ t＋36
∵S＝－ t 2＋ t＋36＝－ ( t－2)2＋
∴当t＝2时，△MPQ的面积最大，最大值为
（3）存在，t的值有两个
∵△PQE的外心恰好在它的一边上，∴△PQE为直角三角形
∵∠PQE＜∠CQE＜90°，∴只能∠EPQ＝90°或∠PEQ＝90°
选择求∠EPQ＝90°时的t值（若求∠PEQ＝90°时的t值，则计算相当复杂）
∵BP＝DQ，BC＝DC，∴PQ∥BD
∴PE⊥BD
∵AC⊥BD，∴PE∥AC
又∵BA＝BC，∴BP＝BP＝8cm
∴当t＝8s时，∠EPQ＝90°
例2 如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
解析：
（1）证明：连接AC
∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°
∴∠BAC＝60°，∠B＝60°
∴△ABC是正三角形，∴AB＝AC
又△AEF为正三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF
而∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF
∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF
（2）当E、F在BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积不发生变化，其值为4
由（1）知，S△ABE ＝S△ACF
∴S四边形AECF ＝S△ABC ＝ EQ \F(, 4 )×4 2＝4
而△CEF的面积发生变化，其最大值为
∵S△CEF ＝S四边形AECF －S△AEF ＝4－ EQ \F(, 4 )AE 2
当AE⊥BC时，AE的长最小，最小值为AB·sin60°，即AE＝4× EQ \F(, 2 )＝2
∴S△CEF的最大值为4－ EQ \F(, 4 )(2)2＝
A
B
D
Q
C
P
E
M
A
B
D
C
E
备用图
A
B
D
Q
C
P
E
M
A
C
B
F
E
D
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