2013中考数学压轴题旋转问题精选解析(一)

2013中考数学压轴题旋转问题精选解析(一)
例1 如图，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？
解析：
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.
(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；
②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；
(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
解析：（1）①当四边形EDBC是等腰梯形时，∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°，
根据三角形的外角性质，得α=∠EDB-∠A=30，此时，AD=1；
②当四边形EDBC是直角梯形时，∠ODA=90°，而∠A=30°，
根据三角形的内角和定理，得α=90°-∠A=60，此时，AD=1.5．
（2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．
∵∠α=∠ACB=90°，
∴BC‖ED，
∵CE‖AB，
∴四边形EDBC是平行四边形．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30度，
∴AB=4，AC=2 ，
∴AO= = ．
在Rt△AOD中，∠A=30°，
∴AD=2，
∴BD=2，
∴BD=BC．
又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形．
例3
（1）如图1，圆心接中，，、为的半径，于点，于点求证：阴影部分四边形的面积是的面积的．
（2）如图2，若保持角度不变，
求证：当绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是的面积的．
C
A
B
N
M
（第1题）