2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(二)

2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(二)
例4．请阅读下列材料：
问题：已知方程x 2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝ ．
把x＝ 代入已知方程，得()2＋ －1＝0．
化简，得y 2＋2y－4＝0．
故所求方程为y 2＋2y－4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；
（1）已知方程x 2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：___________________；
（2）已知关于x的一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
解析：（1）y 2－y－2＝0 2分
（2）设所求方程的根为y，则y＝ （x≠0），于是x＝ （y≠0） 3分
把x＝ 代入方程ax 2＋bx＋c＝0，得a()2＋b·＋c＝0 4分
去分母，得a＋by＋cy 2＝0 5分
若c＝0，有ax 2＋bx＝0，于是方程ax 2＋bx＋c＝0有一个根为0，不符合题意
∴c≠0，故所求方程为cy 2＋by＋a＝0（c≠0） 6分
例5． 已知关于x的一元二次方程x 2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0，且a＞b＞c＞0．
（1）若方程有实数根，求证：a，b，c不能构成一个三角形的三边长；
（2）若方程有实数根x0，求证：b＋c＜x0＜a；
（3）若方程的实数根为6和9，求正整数a，b，c的值．
解析：（1）∵方程有实数根，∴△＝(a＋b＋c)2－4(ab＋bc＋ca)≥0
∴a 2＋b 2＋c 2－2ab－2bc－2ca≥0
∴a(a－b－c)－b(a＋c－b)－c(a＋b－c)≥0
∴0≤a(a－b－c)－b(a＋c－b)－c(a＋b－c)＜a(a－b－c)
∵a＞0，∴a－b－c＞0，即a＞b＋c
∴a，b，c不能构成一个三角形的三边长 4分
（2）设y＝x 2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca
则当x＝b＋c时，y＝bc＞0；当x＝a时，y＝bc＞0
函数y＝x 2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca图象的顶点坐标为（ ，－ ）
当x＝ 时，y＝－ ≤0
由（1）知a＞b＋c，∴b＋c＜ ＜a
∴方程的实数根在b＋c与a之间，即b＋c＜x0＜a 7分
（3）∵方程x 2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0的实数根为6和9
∴a＋b＋c＝6＋9＝15，ab＋bc＋ca＝6×9＝54
∴a 2＋b 2＋c 2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝15 2－2×54＝117＜11 2
由（2）知a＞9，∴9 2＜a 2＜11 2
∵a为正整数，∴a＝10 8分
∴b＋c＝5，∴10b＋bc＋10c＝54
∴bc＝54－10(b＋c)＝54－10×5＝4
由b＋c＝5，bc＝4及b＞c，解得b＝4，c＝1 10分
例6．已知方程x 2＋2ax＋a－4＝0有两个不同的实数根，方程x 2＋2ax＋k＝0也有两个不同的实数根，且其两根介于方程x 2＋2ax＋a－4＝0的两根之间，求k的取值范围．
解析：∵方程x 2＋2ax＋a－4＝0有两个不同的实数根
∴△1＞0，而△1＝4a 2－4(a－4)＝4(a－ )2＋15≥15 1分
又∵方程x 2＋2ax＋k＝0也有两个不同的实数根
∴△2＝4a 2－4k＞0，即k ＜a 2 3分
对于二次函数y1＝x 2＋2ax＋a－4和y2＝x 2＋2ax＋k，它们的对称轴相同，且与x轴都有两个不同的交点
∵y2与x轴的两个交点都在y1与x轴的两个交点之间
∴y2与y轴的交点在y1与y轴的交点上方，如图 4分
∴k ＞a－4 5分
∴k的取值范围是：a－4＜k ＜a 2 6分
O
x
y
（0，k）
（0，a－4）
y2
y1