2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(三)

2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(三)
例8．已知关于x的方程x 2－4|x|＋3＝k．
（1）当k为何值时，方程有4个互不相等的实数根？
（2）当k为何值时，方程有3个互不相等的实数根？
（3）当k为何值时，方程有2个互不相等的实数根？
（4）是否存在实数k，使得方程只有1个实数根？若存在，求k的值和方程的根；若不存在，请说明理由．
解析：（1）令t＝|x|，则原方程化为：t 2－4t＋3－k＝0
△＝(－4)2－4(3－k)＝4k＋4 1分
要使原方程有四个互不相等的实数根，则方程t 2－4t＋3－k＝0必须有两个不相等的实数根
∴4k＋4＞0，∴k ＞－1 2分
同时t1·t2＝3－k ＞0，∴k ＜3 3分
∴当－1＜k ＜3时，原方程有4个互不相等的实数根 4分
（2）要使原方程有3个互不相等的实数根，则方程t 2－4t＋3－k＝0必须有一个零根和一个正根
∴4k＋4＞0，∴k ＞－1 5分
同时t1·t2＝3－k＝0，∴k＝3 6分
∴当k＝3时，原方程有3个互不相等的实数根 7分
（3）要使原方程有2个互不相等的实数根，则方程t 2－4t＋3－k＝0必须只有一个非零根
∴4k＋4＝0，∴k＝－1 8分
且当x＝0时，3－k≠0，即k≠3 9分
∴当k＝－1时，原方程有2个互不相等的实数根 10分
（4）要使原方程只有1个实数根，则方程t 2－4t＋3－k＝0必须有两个零根
∴4k＋4＝0，∴k＝－1 11分
同时t1·t2＝3－k＝0，∴k＝3 12分
∴不存在符合条件的k值 13分
例9．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4x 2＋4(m－1)x＋m 2＝0的两个非零实数根，则x1与x2能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．
解析：∵关于x的一元二次方程4x 2＋4(m－1)x＋m 2＝0有两个非零实数根
∴△＝[4(m－1)]2－4×4m 2＝－32m＋16≥0
∴m≤
又x1＋x2＝1－m，x1x2＝ m 2
当x＋3＝0时，－m＝0，m＝0
假设x1，x2能同号，则有以下两种可能：
①若x1＞0，x2＞0，则：
eq \b\lc\{() 即 eq \b\lc\{( eq \a\al\co1\vs4(1－m＞0, m 2＞0)) 解得m＜1且m≠0
此时m的取值范围是m≤ 且m≠0
②若x1＜0，x2＜0，则：
eq \b\lc\{() 即 eq \b\lc\{( eq \a\al\co1\vs4(1－m＜0, m 2＞0)) 解得m＞1（不合题意，舍去）
故当m≤ 且m≠0时，方程的两个实数根同号
例10．已知α、β为关于x的方程x 2－2mx＋3m＝0的两个实数根，且(α－β)2＝16，如果关于x的另一个方程x 2－2mx＋6m－9＝0的两个实数根都在α和β之间，求m的值．
解析：∵α、β为方程x 2－2mx＋3m＝0的两个实数根
∴α＋β＝2m，αβ＝3m
∵(α－β)2＝16，∴(α＋β)2－4αβ＝16
∴4m 2－12m＝16，解得m1＝－1，m2＝4
方法一：
①当m1＝－1时
方程x 2－2mx＋3m＝0化为：x 2＋2x－3＝0，解得：α＝－3，β＝1
方程x 2－2mx＋6m－9＝0化为：x 2＋2x－15＝0，解得：x1＝－5，x2＝3
∵－5和3都不在－3和1之间，∴m＝－1不合题意，舍去
②当m＝4时
方程x 2－2mx＋3m＝0化为：x 2－8x＋12＝0，解得：α＝2，β＝6
方程x 2－2mx＋6m－9＝0化为：x 2－8x＋15＝0，解得：x1＝3，x2＝5
∵3和5都在2和6之间，∴m＝4
综合①②可得m＝4
方法二：
设y＝x 2－2mx＋6m－9，则该函数的图象为开口向上的抛物线
∵方程x 2－2mx＋6m－9＝0的两个实数根都在α和β之间
∴ eq \b\lc\{() 两式相加得α 2＋β 2－2m(α＋β)＋12m－18＞0
即(α＋β)2－2αβ－2m(α＋β)＋12m－18＞0
∴4m 2－6m－4m 2＋12m－18＞0，∴m＞3
∴m＝4