2013中考数学压轴题正方形问题精选解析(三)

2013中考数学压轴题正方形问题精选解析(三)
例6 如图，点A的坐标为（0，－4），点B为x轴上一动点，以线段AB为边作正方形ABCD（按逆时针方向标记），正方形ABCD随着点B的运动而相应变动．点E为y轴的正半轴与正方形ABCD某一边的交点，设点B的坐标为（t，0），线段OE的长度为m．
（1）当t＝3时，求点C的坐标；
（2）当t＞0时，求m与t之间的函数关系式；
（3）是否存在t，使点M（－2，2）落在正方形ABCD的边上？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
解析：（1）过点C作CF⊥x轴于F
则△CFB≌△BOA，得CF＝BO＝3，FB＝OA＝4
∴点C的坐标为（－1，3）
（2）当0＜t ≤4时，点E为y轴的正半轴与BC边的交点，如图1
易证△BOE∽△AOB，得 ＝
即 ＝ ，∴m＝ t 2
当t ＞4时，点E为y轴的正半轴与CD边的交点，如图2
易证△EDA∽△AOB，得 ＝
而DA＝AB，∴AB 2＝OB·EA
即4 2＋t 2＝t( m＋4)，∴m＝t＋ －4
（3）存在
当t ≤0时
∵正方形ABCD位于x轴的下方（含x轴），∴此时不存在
当0＜t ≤4时
①若点M在BC边上，有 ＝
解得t＝2或t＝－4（舍去）
②若点M在CD边上，有 ＝
解得t＝2或t＝4
当t ＞4时
①若点M在CD边上，有 EQ \F( t＋ －4－2 , 4 ) ＝
解得t＝2（舍去）或t＝4（舍去）
②若点M在AD边上，有 EQ \F( 2－ , 4 ) ＝
解得t＝12
综上所述：存在，符合条件的t的值为2、4、12
例7 如图，点P是正方形ABCD边AB上一动点（不与点A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE、DF．
（1）求证：∠ADP＝∠EPB；
（2）若正方形ABCD边长为4，点F能否为边BC的中点？如果能，请你求出AP的长；如果不能，请说明理由．
（3）当 的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．
解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°
∴∠ADP＋∠APD＝90°
∵∠DPE＝90°，∴∠APD＋∠EPB＝90°
∴∠ADP＝∠EPB
（2）不能
设AP＝x（0＜x ＜4）
∵∠A＝∠PBF＝90°，∠ADP＝∠FPB
∴△ADP∽△BPF，∴ ＝ ，∴ ＝
∴BF＝－ x 2＋x＝－ ( x－2)2＋1
∴当x＝2（即P为AB中点）时，BF有最大值1
∴点F不能为边BC的中点
（3）假设△PFD∽△BFP，则 ＝
∵△ADP∽△BPF，∴ ＝
∴ ＝ ，∴PB＝AP
∴当 ＝ 时，△PFD∽△BFP
例8 如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝2AE＝4．将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转α（0°≤α≤60°）．
（1）如图2，当∠BEA＝120°时，求DG的长；
（2）设BE的延长线交直线DG于点P，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转60°，求旋转过程中点P运动的路线长；
（3）在旋转的过程中，是否存在某时刻使得BF＝BC，若存在，试求出DP的长；若不存在，请说明理由．
解析：（1）∵正方形ABCD和正方形AEFG
∴AD＝AB，AG＝AE，∠EAG＝∠BAD＝90°
∴∠DAG＝∠BAE＝90°－∠EAD
∴△DAG≌△BAE，∴∠DGA＝∠BEA＝120°
过点A作AH⊥DG，交DG延长线于H，如图2
则∠AGH＝60°，∴∠GAH＝30°
∴GH＝ AG＝1，AH＝ EQ \F(, 2 )AG＝
在Rt△ADH中，AH 2＋DH 2＝AD 2
∴( )2＋( DG＋1)2＝4 2
解得DG＝－1（舍去负值）
（2）由（1）知△DAG≌△BAE，∴∠ADG＝∠ABE
如图3，∵∠1＝∠2，∴∠BPD＝∠BAD＝90°
连接BD，则△BPD是以BD为斜边的直角三角形
设BD的中点为O，连接OP，则OP＝ BD＝ EQ \F(, 2 )AB＝2
∴旋转过程中，点P运动的路线是以O为圆心，以OP为半径的一段圆弧
如图4，当边AE在边AB上时，P与A重合
当∠BAE＝60°时，设AB的中点为M，连接ME
则AE＝AM＝BM＝ AB，∴△AEM是等边三角形
∴∠EMA＝60°，∴∠MBE＝∠MEB＝30°
∴∠BEA＝90°，∴B、E、F三点共线
∴P与F重合
连接AF，易知△OFA是等边三角形，∠AOF＝60°
∴点P运动的路线长为：2× π＝ EQ \F(2, 3 ) π
（3）假设存在某时刻使得BF＝BC，则BF＝BA
又EF＝EA，则BE＝BE，∴△BEF≌△BEA
∴∠BEF＝∠BEA，∴∠FEP＝∠AEP＝45°
∴P与G重合
过点A作AH⊥DG，交DG延长线于H，如图5
则∠AGH＝45°，AH＝GH＝ EQ \F(, 2 )AG＝
在Rt△ADH中，AH 2＋DH 2＝AD 2
∴( )2＋( DG＋ )2＝4 2
解得DG＝－（舍去负值）
即DP的长为 －
A
B
D
y
C
O
E
x
A
B
D
y
C
O
E
x
图1
A
B
D
y
C
O
E
x
图2
A
P
CP
FP
BP
EP
DP
C
B
A
E
G
D
F
图2
C
B
A
E
G
D
F
图1
C
B
A
D
备用图
C
B
A
E
G
D
F
图2
H
C
B
A
E
G
O
D
F
图3
P
1
2
C
B
A
E
G
O
(P)
D
F
图4
M
C
B
A
E
G
D
F
图5
(P)
H