2021-2022学年上海外国语大学附属双语学校八年级（下）期中数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年上海外国语大学附属双语学校八年级（下）期中数学试卷
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、选择题（本大题共6小题，共24分）
下列方程中，二项方程是
A. B.
C. D.
下列方程中，有实数解的是
A. B.
C. D.
一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是
A.
B.
C.
D. ．
一个多边形的内角和是外角和的倍，这个多边形是
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形
如图，李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，路途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程千米与行进时间小时的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是
A. B.
C. D.
下列说法：当多边形边数增加条时，它的内角和增加在四边形中，，，那么这个四边形是平行四边形．三角形的外角和小于其它多边形的外角和．边形共有条对角线．四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．其中正确说法的个数是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共14小题，共42分）
一次函数的图象在轴上的截距是______．
方程的根是______．
若点、点是直线为常数上的点，则，大小关系是______．
十边形共有______条对角线．
把方程化为两个二元一次方程是______．
用换元法解分式方程时，如果设，则原方程可化为关于的整式方程是______ ．
某工人要完成个零件，起初机器出现故障，每分钟比原计划少加工个零件，加工个零件后，换了一台新机器，每分钟比原计划多加工个零件．已知用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少分钟，设原计划每分钟加工个零件，则可列方程为：______．
如果关于的方程无实数解，那么满足的条件是______．
如图，在 中，于点，于点，，且，则 的周长为______．
在平行四边形中一边长为，它的一条对角线的长，那么它的另一条对角线的长度的取值范围______．
已知直线与坐标轴围成的三角形面积是，且经过，则这条直线的表达式是______．
若方程有增根，则______．
如果，，则直线不经过______象限．
在正方形中，边长为，点是对角线上一点，，是射线上一点，联结，射线交直线于，当时，______．
三、计算题（本大题共2小题，共12分）
解方程：．
解方程：．
四、解答题（本大题共8小题，共72分）
解方程组：．
解方程组：．
如图，在平面直角坐标系中为坐标原点，已知直线与轴、轴分别交于点、点．
求直线的表达式；
设点为线段上一点，过点分别作轴、轴，垂足分别为、，当平分时，求点的坐标．
已知：如图，在 中，，，垂足分别为、，、分别与相交于点、，联结、．
求证：四边形是平行四边形．
学校组织八年级部分学生乘坐甲、乙两辆大客车到洋山深水港参观，已知连接临港新城和深水港的东海大桥全长千米，假设两车都匀速行驶，甲车比乙车早分钟上桥，但由于乙车每小时比甲车多行千米，所以甲、乙两车同时下桥，求甲车的速度．
在一条笔直的公路上有、两地，甲骑自行车从地到地；乙骑自行车从地到地，到达地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人距地的距离与行驶时间之间的函数图象，根据图象解答以下问题：
写出、两地之间的距离；
求出点的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
若两人之间保持的距离不超过时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时的取值范围．
如图：为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图象经过点，交轴于点，反比例函数的图象也经过点．
求反比例函数的解析式；
过点作于点，求值；
若点是轴上的动点，点在反比例函数的图象上使得为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点的坐标．
已知：如图，在矩形中，，，，垂足是点是点关于的对称点，连接、．
求和的长；
若将沿着射线方向平移，设平移的距离为平移距离指点沿方向所经过的线段长度当点分别平移到线段、上时，直接写出相应的的值．
如图，将绕点顺时针旋转一个角，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点，与直线交于点是否存在这样的、两点，使为等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：有三项，不符合二项方程定义，
不合题意．
左边是二项式，右边为，符合二项方程的定义．
符合题意，
右边是，不是，不符合二项方程定义．
不合题意．
是分式方程，
不合题意．
故选：．
根据二项方程的定义判断求解．
本题考查二项方程的定义，掌握二项方程的定义是求解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
，
不论为何值，，不能为负数，
此方程无实数根，故本选项不符合题意；
B.，
方程两边都乘，得，
检验：当时，是增根，
即原分式方程无实数根，故本选项不符合题意；
C.，
要使有意义，必须且，
解得：，
经检验不是原方程的解，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
D.，
方程两边平方，得，
解得：，
经检验都是原方程的解，
即原方程的解是，，故本选项符合题意；
故选：．
移项后得出，根据算术平方根的非负性即可判断选项A；方程两边都乘得出，再进行检验即可判断选项B；根据二次根式有意义的条件得出且，求出，再进行检验即可判断选项C；方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可判断选项D．
本题考查了解无理方程，解分式方程和二次根式有意义的条件等知识点，能把解无理方程转化成有理方程和能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：由一次函数的图象可知，
当时，，
故选：．
根据题目中的函数图象，可以直接写出当时，的取值范围．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于 ， 边形的内角和为 ，此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
【解答】
解：设所求多边形边数为 ，
由题意得
解得 ．
则这个多边形是六边形．
故选 C ．
5.【答案】
【解析】解：随着时间的增多，行进的路程也将增多，排除；
由于停下修车误了几分钟，此时时间在增多，而路程没有变化，排除；
后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡．
故选：．
要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
此题主要考查了函数图象，首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：时间和运动的路程之间的关系采用排除法求解即可．
6.【答案】
【解析】解：当多边形边数增加条时，它的内角和增加，说法正确．
在四边形中，，，那么这个四边形是平行四边形，说法正确．
三角形的外角和等于其它多边形的外角和，说法错误．
边形共有条对角线，说法正确．
四边形的四个内角至少有一个角不小于直角，说法正确；
故选：．
分别根据多边形，三角形的外角，平行四边形的判定以及多边形的内角和公式逐一判断即可．
本题主要考查了平行四边形的判定，多边形的内角与外角以及三角形的外角性质，熟记相关知识是解答本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：当时，，
一次函数的图象在轴上的截距是．
故答案为：．
代入求出值，此题得解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记代入求出的值即可该函数图象在轴上的截距是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：方程两边同时平方，得：，
或，
解得：或，
经检验，是原方程的根，是增根，
原方程的根是．
故答案为：．
方程两边平方，化为整式方程，求解后再检验即可．
本题考查了无理方程，利用平方转化成整式方程是解无理方程的关键，注意要检验方程的根．
9.【答案】
【解析】解：中，，
随的增大而增大，
时，，
故答案为：．
根据一次函数的增减性判断即可．
本题考查一次函数的性质增减性，解题关键是掌握一次函数的增减性由决定．
10.【答案】
【解析】解：十边形共有：条对角线．
故答案为：．
边形对角线的总条数为：，且为整数，代入运算即可．
本题考查了多边形的对角线的知识，注意掌握公式：边形对角线的总条数为：，且为整数．
11.【答案】和
【解析】解：，
，
，
或．
故答案为：和．
先把方程变形得，再把左边分解得到，则原方程可转化为或．
本题考查了解一元二次方程--因式分解法：通常利用换元法或因式分解法把高次方程化为一元二次方程求解．
12.【答案】
【解析】解：设，
原方程变为，
方程两边都乘得．
故原方程可化为关于的整式方程是．
如果，那么，原方程变为：，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程．
本题考查用换元法使分式方程简便．换元后再在方程两边乘最简公分母可以把分式方程转化为整式方程．应注意换元后的字母系数．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
故答案为：．
根据题意可知：用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少分钟，即可列出相应的分式方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
14.【答案】
【解析】解：当时，方程无实数解，
．
故答案为：．
令未知数的系数为，即可得出结论．
本题主要考查了一元一次方程的解，正确找出方程无实数解的式子是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，
则，，
设，则，
在中，
根据勾股定理可得，，
同理可得，
则平行四边形的周长是，
故答案为．
要求平行四边形的周长就要先求出、的长，利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出．
考查了平行四边形的性质，解题关键是利用平行四边形的性质结合等角对等边、勾股定理来解决有关的计算和证明．
16.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
在中，，由三角形三边关系定理得：，
即，
．
故答案为：．
根据平行四边形性质推出，，在中，由三角形三边关系定理得出，求出即可．
本题考查了平行四边形的性质和三角形三边关系定理，关键是把已知数和未知数设法放在一个三角形中，题目比较好，难度适中．
17.【答案】或
【解析】解：根据题意，设与轴交点坐标为
则，
解得，
，
当时，与轴交点为
，解得，
函数解析式为；
当时，与轴的交点为
解得，
函数解析式为．
这个一次函数的解析式是或．
故答案为：或．
先根据面积求出三角形在轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解．
本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据三角形面积求出与轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况．
18.【答案】
【解析】解：，
，
整理得：，
方程有增根，
把代入中，
，
，
故答案为：．
先将分式方程去分母，再把代入整式方程中，进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的增根，把的值代入整式方程中进行计算是解题的关键．
19.【答案】第二
【解析】解：，，
，
，，
，，
直线经过第一、三、四象限．
故答案为：第二．
由，得到，，然后根据一次函数图象与系数的关系易得直线经过第一、三、四象限．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为．
20.【答案】
【解析】解：过点作于，过点作于，设交于，如图：
四边形是正方形，边长为，
，，，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
故答案为：．
过点作于，过点作于，设交于，证明四边形是正方形，由，可得，即得，又，可得∽，得，，再由∽，有，可得．
本题考查正方形性质及应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形和相似三角形．
21.【答案】解：方程两边同乘，得，
整理，得，
，
，．
经检验：，都是原方程的根．
所以原方程的根是，．
【解析】观察可得最简公分母是，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解．
本题考查解分式方程的能力．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
22.【答案】解：法一移项，得．
设，则原方程可变形为：．
．
，．
当时，即，
．
当时，即，
此时方程无解．
经检验，是原方程的解．
所以原方程的解为：．
法二移项，得，
两边平方，得，
整理，得，
．
，．
经检验，是原方程的解．
所以原方程的解为：．
【解析】解决本题可用换元法或者变形方程，利用两边平方变无理方程为整式方程，求解整式方程．
本题主要考查了解无理方程，掌握换元法和无理方程的一般解法是解决本题的关键．
23.【答案】解：，
由得：
，
，
把代入得：
，
，
，
，
，
，
或，
把代入得：，
把代入得：，
原方程组的解为：或．
【解析】由第一个方程可得，然后再代入到第二个方程中，进行计算求出一元二次方程的解，从而求出的值，即可解答．
本题考查了解二元二次方程组，把二元二次方程转化为一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】解：设，，则原方程组变形为：
，
解得，
，即，
解得，
经检验，是原方程组的解，
原方程组的解为：．
【解析】设，，可解得，即得，可解得，再检验，即可得答案．
本题考查解分式方程，解题的关键是用换元法把方程组变形．
25.【答案】解：直线与轴、轴分别交于点、点．
，
解得，
直线的表达式为：；
设点的坐标为．
轴、轴，平分，
，
解得，
点的坐标为
【解析】利用待定系数法即可求得直线的表达式；
根据角平分线的性质即可求解．
本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求一次函数解析式、角平分线的性质，熟练掌握待定系数法以及角平分线的性质定理是解决本题的关键．
26.【答案】证明：法：在 中，，，
，
，
，
，即，
，
，，
，
，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
法：连接，与相交于点，
在 中，，，，，
，
，，
，
，
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【解析】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
法：由平行四边形对边平行，且与垂直，得到与垂直，根据与垂直，得到与平行，得到一对内错角相等，利用等角的补角相等得到，根据与平行，得到一对内错角相等，再由，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；
法：连接，与交于点，利用平行四边形的对角线互相平分得到，，再由与平行，得到一对内错角相等，根据与垂直，与垂直，得一对直角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，根据等式的性质得到，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证．
27.【答案】解：设甲车的速度的速度为，则乙车的速度为．
由题意：，整理得，，
解得或，
经检验：或都是分式方程的解，
但是不符合实际意义，所以．
答：甲车的速度为．
【解析】设甲车的速度的速度为，则乙车的速度为，根据甲的时间乙的时间，列出方程即可解决．
本题考查分式方程的应用，找等量关系是解应用题的关键，注意解分式方程时必须检验，列方程时注意时间单位是小时，属于中考常考题型．
28.【答案】解：时，甲距离地千米，
所以，、两地的距离为千米；
由图可知，甲的速度：千米时，
乙的速度：千米时，
，千米，
所以，点的坐标为，表示甲、乙两人出发小时后相遇，此时距离地千米；
设小时甲、乙两人相距，
若是相遇前，则，解得，
若是相遇后，则，解得，
若是甲到达地前，而乙到达地后按原路返回时，
则，
解得，
所以，当或时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系．
【解析】根据时，甲距离地千米，由此即可解决问题．
根据相遇时间即可解决．
分三个时间段求出时间即可，是相遇前，则，是相遇后，则，若是甲到达地前，而乙到达地后按原路返回时，则，分别解方程即可．
本题考查一次函数的应用、相遇问题等知识，理解题意是解题的关键，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考常考题型．
29.【答案】解：过点分别作轴于，轴于，
是等腰直角三角形，
，
设点，
点在直线上，
，
，
，
的图象也经过点，
，
，
反比例函数的解析式为；
，
，
把代入，得，
，
，
在中，，
在中，，
得，
值为；
若，，如图，
，，，
≌，
，
又，
，
即，
，
，
把代入得，
；
若，，如图，
过点作轴，过点分别作于，交轴于，
在与中，
，，，
≌，
，，
设，则，，
，
，
，
，
；
若，，如图，
过点作轴于，过点作轴于，
在与中，
，，
≌，
，，
设，则，，，
由，得，
，
，
综上，所有符合条件的点的坐标为或或
【解析】过点分别作轴于，轴于，设点，根据点在直线上，可得，从而得出答案；
根据点、的坐标，首先得出和的长，再利用勾股定理可得答案；
若，利用证明≌，得，可得答案，若，过点作轴，过点分别作于，交轴于，得≌，则，，设，则，列方程从而得出答案，若，过点作轴于，过点作轴于，同理可解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一线三等角的基本模型是解题的关键．
30.【答案】解：在中，，，
由勾股定理得：．
，
．
在中，，，由勾股定理得：．
设平移中的三角形为，如答图所示：
由对称点性质可知，．
由平移性质可知，，，．
当点落在上时，
，
，
，
，即；
当点落在上时，
，
，
，，
，
又易知，
为等腰三角形，
，
，即．
存在．理由如下：
在旋转过程中，等腰依次有以下种情形：
如答图所示，点落在延长线上，且，易知，
，，
，
，
．
在中，由勾股定理得：．
；
如答图所示，点落在上，且，易知，
，
，
，则此时点落在边上．
，
，
，
．
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
；
如答图所示，点落在上，且，易知．
，，
．
，
．
，
，
，
，
．
在中，由勾股定理得：，
；
如答图所示，点落在上，且，易知．
，，，
，
，
．
综上所述，存在组符合条件的点、点，使为等腰三角形；
的长度分别为、、或．
【解析】本题是几何变换压轴题，涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识点．第问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论；在计算过程中，注意识别旋转过程中的不变量，注意利用等腰三角形的性质简化计算．
利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
依题意画出图形，如答图所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出的值；
在旋转过程中，等腰有种情形，如答图所示，对于各种情形分别进行计算．
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