武威市民勤县2021-2022学年高二下学期期中考试
数学（理）
（时间：120分钟总分：150分）
一、单选题（每小题5分，共计60分）
1．已知集合,则 ( )
A． B． C． D．
2．已知是等比数列，，则
A． B． C． D．
3．设是虚数单位，复数在复平面内对应的点在直线上，则实数的值为
A．1 B．0 C．-1 D．2
ξ 1 2 3 4
P
4．设ξ的分布列为
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于（ ）
A． B． C． D．
5．以下说法中正确个数是（ ）
①用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有一个钝角”；
②欲证不等式成立，只需证；
③用数学归纳法证明(，，在验证成立时，左边所得项为；
④“凡是自然数都是整数，0是自然数，所以0是整数.”以上三段论推理完全正确.
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图所示的程序框图，若输入的，输出的，则判断框中可以填（ ）
A． B． C． D．
7．若函数满足，则的值为（ ）．
A．1 B．2 C．0 D．
8．的展开式中，的系数为（ ）
A．80 B．40 C． D．
9．已知a，b＞0，且a＋2b＝1，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
10．甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（ ）
A．0.36 B．0.352 C．0.288 D．0.648
11．已知双曲线C：的一个焦点为F，若F关于双曲线C的渐近线的对称点恰好在双曲线C上，则双曲线C的离心率为
A． B． C． D．
12．已知函数满足，且，则函数零点的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．0个
二、填空题（每小题5分，共计20分）
13．若命题，是假命题，则实数的一个值为_____________．
14．已知实数x、y满足条件，则的最大值为____________
15．疫情期间，为了抗击新冠早日取得胜利，六名老师报名了志愿者服务，社区街道把这六名老师分配到四个小区协助医务人员开展核酸检测工作，每个小区至少1人，则不同的分配方案有______种．（结果用数值表示）
16．研究表明，函数 为奇函数时，函数的图象关于点成中心对称。若函数的图象对称中心为，那么_____
三、解答题（共计70分）
17．（本题10分）在△ABC中，内角 的对边长分别为 ，且.
（1）求，
（2）若，，求△ABC的面积S△ABC
18．（本题12分）在等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
19．（本题12分）自疫情以来，与现金支付方式相比，手机支付作为一种更方便快捷并且无接触的支付方式得到了越来越多消费者和商家的青睐．某研究型学习小组为了调查研究“支付方式的选择与年龄是否有关”，从市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如下表：
手机支付 现金支付 合计
60岁以下 80 20 100
60岁以上 65 35 100
合计 145 55 200
(1)根据以上数据，判断是否有的把握认为支付方式的选择与年龄有关；
(2)将频率视为概率，现从60岁以下市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中选择“手机支付”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，数学期望和方差．
参考公式：，其中
0.10 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
20．（本题12分）如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M为BC的中点.
（I）证明：AM⊥PM ；
(II) 求二面角P－AM－D的大小.
21．（本题12分）已知定点F(1,0)，定直线：x=-1，动圆M过点F，且与直线相切.
（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点D(1,2)作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C于异于点D的两点P,Q，试证明直线PQ的斜率为定值，并求出该定值.
22．（本题12分）设函数．
（Ⅰ）当k=3时，求函数在区间上的最值；
（Ⅱ）若函数在区间上无零点，求实数k的取值范围．第4页，共4页武威市民勤县2021-2022学年高二下学期期中考试
数学（理）参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两个集合的交集即可.
【详解】
解：由A中不等式变形得：，即为变形可得：，解得，即A=，对于B中由x2﹣3x+2＞0，得x＜1或x＞2，故B={x|y=log2（x2﹣3x+2）}={x|x＜1或x＞2}，即.
故选:D.
【点睛】
本题考查函数的定义域及其求法及分式不等式解法，考查交集及其运算，是基础题．
2．C
【解析】
【分析】
由等比数列性质知，且 由此能求出的值．
【详解】
解：∵数列{an}为等比数列，且 ∴=（﹣4） （﹣16）=64，且，∴=﹣8．
故选C．
【点睛】
本题考查等比数列的性质，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．
3．C
【解析】
根据复数的运算得，得到复数在复平面内对应的点为，代入直线的方程，即可求解．
【详解】
由题意，复数，
所以复数在复平面内对应的点为，
则，解得，故选C．
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示的应用，其中解答熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
4．D
【解析】
先求E(ξ)，进一步求出E(η).
【详解】
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.
故选：D.
5．B
【解析】
①根据“至多有一个”的反设为“至少有两个”判断即可．
②利用不等式的性质判断即可；
③令代入左式即可判断；
④根据三段论的定义判断即可.
【详解】
命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有两个钝角”；①错
欲证不等式成立，因为，故只需证，②错
（，，当时，左边所得项为；③正确
命题中，大前提为：凡是自然数都是整数，小前提为：0是自然数，结论为：0是整数，其中大前提、小前提都正确，则④正确；
故选：B
【点睛】
本题主要考查了反证法以及数学归纳法的应用，属于基础题.
6．A
【解析】
【分析】
根据程序框图的算法功能，模拟程序运行即可推理判断作答.
【详解】
由程序框图知，直到型循环结构，先执行循环体，条件不满足，继续执行循环体，条件满足跳出循环体，则有：
当第一次执行循环体时，，，条件不满足，继续执行循环体；
当第二次执行循环体时，，，条件不满足，继续执行循环体；
当第三次执行循环体时，，，条件不满足，继续执行循环体；
当第四次执行循环体时，，，条件不满足，继续执行循环体；
当第五次执行循环体时，，，条件满足，跳出循环体，输出，
于是得判断框中的条件为：，
所以判断框中可以填：.
故选：A
7．C
【解析】
求导得到，取带入计算得到答案.
【详解】
，则，
则，故.
故选：C.
【点睛】
本题考查了求导数值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
8．D
【解析】
【分析】
利用二项展开式的通项公式求解.
【详解】
的展开式中含的项为，
的展开式中含的项为，
所以的展开式中，的系数为，
故选：D
9．C
【解析】
【分析】
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.
【详解】
∵a＋2b＝1，
∴＝＝9，
当且仅当时即时等号成立,
故选：C.
10．D
【解析】
【分析】
由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，然后由独立事件和互斥事件的概率公式求解即可
【详解】
由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，则获胜的概率为
二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为，
而这两种情况是互斥的，所以甲最终获胜的概率为，
故选：D
11．B
【解析】
【分析】
通过点关于直线的对称点的求解方法，得到关于渐近线的对称点坐标；代入双曲线方程，构造出关于的齐次方程，即可求解出双曲线的离心率．
【详解】
设，渐近线方程为，
对称点为，
即有，
且，
解得，，
将，即，
代入双曲线的方程可得，
化简可得，即有，
解得．
本题正确选项：
【点睛】
求解离心率问题重点是构造出关于的齐次方程．本题解题关键是能求解出点关于直线的对称点，构造方程求解对称点时，主要在三个等量关系中任选两个：①两点连线与对称轴垂直；②两点中点在对称轴上；③两点到对称轴的距离相等．
12．B
【解析】
【分析】
根据，可得，即有，可推出，解方程，得或，判断零点个数即可.
【详解】
，∴，，∵代入，得，∴.
或，
；，
如图所示，
函数与函数的图像交点个数为2个，所以的解得个数为2个；综上，零点个数为3个，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了导数公式的逆用，以及函数与方程问题，函数的零点个数，数形结合，属于难题.
13．（上任一数均可）
【解析】
【分析】
由命题的否定是真命题易得的范围．
【详解】
由题意是真命题，
所以，解得．
故答案为：（上任一数均可）．
14．2
【解析】
【分析】
画出不等式组表示的平面区域，目标函数化为，结合图象求出最优解．
【详解】
解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示：
目标函数可化为，结合图象可知目标函数过点时，截距取得最小值，即取得最大值，
所以的最大值为2．
故答案为：2．
15．1560
【解析】
【分析】
分组分配问题，先将6人分成4组，再进行排列
【详解】
若6名老师按3，1，1，1分成4组，则有种分组方法，
若按2，2，1，1分成4组，则有种分组方法，
故共种分配方案
故答案为：1560
16．
【解析】
【分析】
构造奇函数，即可求得的值，进而求得的值.
【详解】
令，则，
则
由，可得为奇函数，
则函数的图象对称中心为，则
故答案为：
17．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理变化角可得，再根据三角形内角和 可得，代入整理即可得解；
（2）由（1）知代入即可求得，由面积公式即可得解.
【详解】
（1）由正弦定理得，
又，
，
，，
，
（2）由余弦定理得，
或(舍).
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列通项公式可构造方程求得公差，进而得到；
（2）由（1）可得，采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可得.
(1)
设等差数列的公差为，
由得：，又，，
.
(2)
由（1）得：，
.
19．(1)有的把握认为支付方式的选择与年龄有关
(2)分布列见解析，，
【解析】
【分析】
（1）利用公式求出卡方，通过与3.841比较大小得到结论；（2）计算出的可能取值与相应的概率，进而求出分布列，利用二项分布数学期望和方差的公式进行求解.
(1)
根据题意可得:的观测值，所以有的把握认为支付方式的选择与年龄有关．
(2)
由题意可知：在60岁以下的市民中抽到1人选择“手机支付”的概率为，所以，的所有可能取值为0，1，2，3．
，，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
，．
20．（1）见解析； （2）45°.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,求出与的坐标，利用数量积为零，即可证得结果；（Ⅱ）求出平面PAM与平面ABCD的法向量，代入公式即可得到结果.
【详解】
（I）证明:以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,依题意，可得
∴
∴
即,∴AM⊥PM .
(II)设，且平面PAM，则
,即 ∴ ,
取，得；取，显然平面ABCD，
∴，结合图形可知，二面角P－AM－D为45°.
【点睛】
空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
21．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设，由化简即可得结论；
（Ⅱ）设直线的斜率为，则直线的斜率为，联立直线方程与抛物线方程求出两点坐标，继而求出斜率
【详解】
（Ⅰ）设点到直线的距离为，依题意
设，则有
化简得
所以点的轨迹的方程为
（Ⅱ）设直线的斜率为，则直线的斜率为.令，
联立方程组：，消去并整理得：
设，因为点的坐标为，所以，故，
从而点的坐标为，用去换点坐标中的可得点的坐标为，所以直线的斜率为
【点睛】
本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离，求轨迹方程的常见方法很多，本题采用了直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可．在求直线的斜率为定值时需要求出两点坐标，结合斜率公式求出结果．
22．（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出导函数，研究单调性即可得到函数在区间上的最值；（Ⅱ）考查图象的位置关系，即可得到实数k的取值范围．
【详解】
（I）当k=3时，，当时，，
因此，函数在上单调递增，
.
（II）令可得，引入函数
结合函数图象讨论：
①当时，直线，满足题设；
②当时，曲线在x=0处与直线相切时，，
从而时满足题设；
③若直线过点，则，分析知，，满足题设.
综上所述，实数k的取值范围是.
【点睛】
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
答案第12页，共12页
