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失分点8 忽视基本不等式的应用条件致误
例8 函数y＝x＋的值域是______．
正解 当x>1时，y＝x＋＝x－1＋＋1≥2
＋1＝2＋1，当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立；[来源:]
当x<1时，－y＝－x＋＝1－x＋－1
≥2－1＝2－1，∴y≤1－2；
当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立．[来源:]
∴原函数的值域为(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)．
补救训练8 函数y＝的最小值为________．[来源:]
解析 y＝＝＋
令t＝≥2，∴y＝t＋ (t≥2)．
由于y＝t＋在(1，＋∞)上是增函数．∴当t＝2即x＝0时，y最小＝2＋＝.
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失分点12 忽视向量共线致误
例12 已知a＝(2, 1)，b＝(λ， 1)，λ∈R，a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．
正解 因θ为锐角，有0
又∵cos θ＝＝，∴0<≠1，
∴，解得
∴λ的取值范围是.
补救训练12 设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为.若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的范围．[来源: .Com]
解 ∵2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ<0)．
由(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0得2t2＋15t＋7<0，
∴－7若2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ<0)，∴(2t－λ)e1＋(7－tλ)e2＝0.[来源:]
∴，即t＝－，
∴t的取值范围为－7[来源:]
[来源:]
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失分点20 考虑不周全忽视特殊情况致误
例20 双曲线－＝1 (a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且PF1＝2PF2，则双曲线离心率的取值范围为________．
正解 设PF2＝m，∠F1PF2＝θ (0<θ≤π)，[来源: ]
当点P在右顶点处时，θ＝π.
由条件，得PF1＝2m，F1F22＝m2＋(2m)2－4m2cos θ，
且|PF1－PF2|＝m＝2a.
所以e＝＝＝.
又－1≤cos θ<1，所以e∈(1,3]．
补救训练20 已知双曲线－＝1 (b>a>0)，直线l过点A(a, 0)和B(0，b)，且原点到直线l的距离为c (c为半[来源:]
焦距)，则双曲线的离心率为________．
解析 因为直线l过点A(a,0)和B(0，b)，
所以其方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
又原点到直线l的距离为c，所以＝c.
又a2＋b2＝c2，所以4ab＝c2，即16a2(c2－a2)＝3c4.
所以3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝.
又b>a>0，e2＝＝>＝2.[来源: .Com]
所以e2＝4，故e＝2.
[来源: ]
[来源:]
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失分点6 极值点概念不清致误
例7 已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝________.
正解 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得
联立①②得或 [来源: ]
当a＝4，b＝－11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1两侧的符号相反，符合题意．
当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去．
综上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7.
补救训练6 求函数f(x)＝x4－x3的极值，并说明是极小值还是极大值．
解 由f′(x)＝4x3－3x2，当f′(x)＝0，
即4x3－3x2＝0时，解得x1＝0，x2＝.
f(x)及f′(x)在区间中的变化情况，见下表：
x (－∞，0) 0 (0， ) (，＋∞)
f′(x) － 0 － 0[来源: ] ＋
f(x) 单调递减 不是极值点 单调递减[来源: ] 极小值 单调递增[来源:]
由上表可知函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，在区间上还是减函数，于是，x＝0不是函数的极值点．而函数f (x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，因此在x＝处取得极小值，其值为－，无极大值．
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失分点4 函数概念不清致误
例4 已知函数f(x2－3)＝lg，求f(x)的定义域．
正解 由f(x2－3)＝lg，设x2－3＝t，则x2＝t＋3，因此f(t)＝lg.∵>0，即x2>4，∴t＋3>4，即t>1.∴f(x)的定义域为{x|x>1}．
补救训练4 已知g (x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，那么f(2)的值为________．
解析 令g(x)＝1－2x＝2，∴x＝－，
∴f(2)＝f[g(－)]＝＝3.[来源:]
[来源: ]
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失分点15 忽视等比数列中的隐含条件致误
例15 各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40＝__________.
正解 记b1＝S10，b2＝S20－S10，b3＝S30－S20，b4＝S40－S30，[来源:]
b1，b2， b3，b4是以公比为r＝q10>0的等比数列．[来源: ]
∴b1＋b2＋b3＝10＋10r＋10r2＝S30＝70，
∴r2＋r－6＝0，[来源: ]
∴r＝2，r＝－3(舍去)，
∴S10＝b1＋b2＋b3＋b4＝＝150.
补救训练15 已知x，y∈N*，若x,4，y成等比数列，则x＋y的最小值是________．
解析 xy＝(4)2＝32＝1×32＝2×16＝4×8 (x、y∈N*)．
∴x＋y的最小值为12.
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失分点5 忽视函数的定义域致误
例5 函数y＝log (x2－5x＋6)的单调递增区间为__________．
正解 由x2－5x＋6>0知{x|x>3或x<2}．令u＝x2－5x＋6，则u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是减函数，
∴y＝log (x2－5x＋6)的单调增区间为(－∞，2)．
补救训练5 函数f(x)＝log4(7＋6x－x2)的单调递增区间是_______．
解析 设y＝log4u，u＝－x2＋6x＋7，
则二次函数u＝－x2＋6x＋7在(－∞，3]上为增函数，[来源: ]
在[3，＋∞)上为减函数．
又y＝log4u是增函数，函数f(x)＝log4 (7＋6x－x2)的定义域是(－1,7)，
故由复合函数的单调性知，所求函数的单调递增区间为(－1，3]．
[来源:]
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失分点19 忽视曲线存在的条件致误
例19 已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1,2)，且过定点A(1,2)作圆的切线有两条，求a的取值范围．
正解 将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝，
∴>0， ①
∴圆心C的坐标为(－，－1)，半径r＝.
当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，∴AC>r，
即 >，
化简得a2＋a＋9>0. ②
由①②得－补救训练22 已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是__________．
解析 因为焦点在y轴上，所以其标准方程应为[来源:]
＋＝1(a>b>0)，
故|m|－1>5－2m>0，
解得2[来源:]
[来源: ][来源:]
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失分点7 导数与单调性的关系理解不准致误
例7 函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是__________．
正解 f(x)＝ax3－x2＋x－5的导数f′(x)＝3ax2－2x＋1，[来源: ]
由f′ (x)≥0，得解得a≥.
补救训练8 已知函数f(x)＝－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在实数集R上是增函数，求实数m的取值范围．
解 ∵f(x)＝－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2，
∴f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7.
又f(x)在R上是增函数，
∴f′(x)≥0在R上恒成立．[来源:]
即x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7≥0在R上恒成立．∴Δ＝4(m2－6m＋8)≤0，得2≤m≤4.[来源:]
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失分点18 忽视对直线斜率为零或,斜率不存在等特殊情况的讨论致误
例18 a为何值时，(1)直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(3a－1)x－ay－1＝0平行？
(2)直线l3： 2x＋ay＝2与直线l4：ax＋2y＝1垂直？[来源: ]
正解 (1)①当a＝0时，两直线的斜率不存在，直线l1：x－1＝0，直线l2：x＋1＝0，此时，l1∥l2.
②当a≠0时，l1：y＝－x＋，
l2：y＝x－，
直线l1的斜率为k1＝－，
直线l2的斜率为k2＝，
要使两直线平行，必须解得a＝.
综合①②可得当a＝0或a＝时，两直线平行．
(2)方法一 ①当a＝0时，直线l3的斜率不存在，直线l3：
x－1＝0，直线l4：y－＝0，此时，l3⊥l4.[来源: ]
②当a≠0时，直线l3：y＝－x＋与直线l4：y＝－x＋，直线l3的斜率为k3＝－，直线l4的斜率为k4＝－，要使两直线垂直，必须k3·k4＝－1，
即－·＝－1，不存在实数a使得方程成立．
综合①②可得当a＝0时，两直线垂直．
方法二 要使直线l3：2x＋ay＝2和直线l4：ax＋2y＝1垂直，根据两直线垂直的充要条件，必须A1A2＋B1B2＝0，即2a＋2a＝0，解得a＝0，所以，当a＝0时，两直线垂直．
补救训练21 与抛物线y2＝2x有且仅有一个交点，并且过点(0,1)的直线方程为_____________________．
解析 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴时．
因为过点(0,1)，所以x＝0，即y轴，它正好与抛物线y2＝2x相切．
②当所求直线斜率为零时，直线为y＝1，平行x轴，它正好与抛物线y2＝2x只有一个交点．
③当直线与x轴不平行也不垂直时，设所求的过点(0,1)的直线为y＝kx＋1 (k≠0)，则
故有k2x2＋(2k－2)x＋1＝0.
令Δ＝0，解得k＝，所以，所求直线为x－2y＋2＝0.
综上，满足条件的直线为：y＝1、x＝0和x－2y＋2＝0.
[来源:]
[来源: .Com]
[来源:]
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失分点14 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误
例14 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q是________．
正解 ①当q＝1时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，[来源:]
∴S3＋S6＝S9成立．
②当q≠1时，由S3＋S6＝S9
得＋＝
∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0.
∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.
补救训练14 已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的取值范围是___________________．
解析 设三角形的一边长为a，
①当q≥1时，由a＋aq>aq2，解得1≤q<； [来源:]
②当0a，解得综合①②，得q的取值范围是21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
失分点16 对数列的递推关系转化不当致误
例16 已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an),bn＝，n∈N*，求数列{bn}的通项公式．
正解 ∵f(x)＝，∴an＋1＝f(an)＝，∴＝＋.
∴－1＝(－1)，又bn＝，
∴＝－1，∴＝·，∴bn＋1＝2bn，又b1＝＝2，
∴{bn}是以2为首项，公比为2的等比数列，∴bn＝2n.
补救训练16 已知函数f(x)满足：对任意的x∈R，x≠0，恒有f()＝x成立，数列{an}、{bn}满足a1＝1，b1＝1，且对任意n∈N*，均有an＋1＝，bn＋1－bn＝.[来源:]
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(3)对于λ∈[0,1]，是否存在k∈N*，使得当n≥k时，bn≥(1－λ)f(an)恒成立？若存在，试求k的最小值；若不存在，请说明理由．[来源: ]
解 (1)令t＝，则t≠0，∵f()＝x，
∴f(t)＝(t≠0)，即f(x)＝(x≠0)．
(2)∵f(an)＝，∴an＋1＝＝＝，[来源: ]
∴＝＋2，即－＝2，
∴{}是以1为首项，公差为2的等差数列，
∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴an＝.
又bn＋1－bn＝＝2n－1，
∴bn－bn－1＝2n－3，
bn－1－bn－2＝2n－5，
bn－2－bn－3＝2n－7，
… …
b3－b2＝3，
b2－b1＝1，
把以上各式累加得，bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)
＝＝n2－2n＋1，∴bn＝n2－2n＋2.
(3)对于λ∈[0,1]时，bn≥(1－λ)f(an)恒成立，等价于λ∈[0,1]时，n2－2n＋2≥(1－λ)·(2n－1)恒成立，等价于λ∈[0,1]时，(2n－1)·λ＋n2－4n＋3≥0恒成立，
设g(λ)＝(2n－1)λ＋n2－4n＋3≥0，对于λ∈[0,1]，
(2n－1)·λ＋n2－4n＋3≥0恒成立，
则有解得n≥3或n≤1.
由此可见存在k∈N*，使得当n≥k时，bn≥(1－λ)f(an)恒成立，其最小值为3.
[来源: ]
[来源: ]
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失分点2 忽视集合元素的特征致误
例2 设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}， UA＝{5}，则实数a＝________.
正解 由 UA＝{5}，得5∈U且5∈A，a2＋2a－3＝5且|2a－1|≠5，解得a＝2，或a＝－4.
当a＝－4时，集合A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，显然不符合题意．故a＝2.[来源:]
另解 由题意得解得a＝2.
补救训练2 若A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且A∪B＝{1, 3，x}，则这样的x为________．
解析 由已知得B A，∴x2∈A且x2≠1.
(1)x2＝3，得x＝±，都符合．
(2) x2＝x，得x＝0或x＝1，而x≠1，∴ x＝0.综合(1)(2)，共有3个值．
[来源: ]
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失分点10 忽视三角函数值对角的范围的限制致误
例10 已知cos α＝，sin (α＋β)＝，0<α<，0<β<，求cos β.
正解 ∵0<α<且cos α＝∴<α＋β<π，又sin(α＋β)＝<，∴<α＋β<π.
∴cos(α＋β)＝－＝－，
sin α＝＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝.
补救训练10 已知α、β∈(0，)，cos α＝，且cos β＝，求α＋β.
解 方法一 ∵α、β∈(0，)且cos α＝，cos β＝，
∴sin α＝，sin β＝，[来源: ]
∴sin(α＋β)＝sin α·cosβ＋sin β·cos α[来源: ]
＝×＋×＝.
又cos α＝<，cos β＝<，∴<α<，<β<，∴<α＋β<π，∴α＋β＝.
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失分点11 解三角形时，忽视分类讨论而致误
例11 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且a＝1，c＝.
(1)若C＝，求A；(2)若A＝，求b.
正解 (1)由正弦定理得＝，即sin A＝＝.
又a(2)由＝，得sin C＝＝＝，
∴C＝或.
当C＝时，B＝，∴b＝2；当C＝时，B＝，∴b＝1.
综上所述，b＝2或b＝1.
补救训练11 在△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．
解 由正弦定理得sin C＝＝.
又因为AB>AC，所以C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，A＝90°，[来源: ]
于是S△ABC＝AB·AC＝×2×2＝2.
当C＝120°时，A＝30°，于是
S△ABC＝AB·AC·sin A＝×2×2×＝.
故△ABC的面积是2或.
[来源: ]
[来源: ]
[来源: ]
[来源: ]
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失分点1 忽视空集致误
例1 已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m
－1}，若A∪B＝A.求实数m的取值范围．
正解 ∵A∪B＝A，∴B A.∵A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}．
①若B＝ ，则m＋1>2m－1，即m<2，故m<2时，A∪B＝A；
②若B≠ ，如图所示，则m＋1≤2m－1，即m≥2.
由B A得解得－3≤m≤3.
又∵m≥2，∴2≤m≤3.由①②知，当m≤3时，A∪B＝A.
补救训练1 已知集合A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，p∈R}，若A∩R*＝ ，则实数p的取值范围为____________．
即解得p≤－4.
故当A∩R*＝ 时，p的取值范围是(－4，＋∞)．[来源: ]
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失分点17 对线面关系定理条件把握不准致误
例17 已知m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面．给出下列命题：
(1)若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α，或n⊥β；
(2)若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；
(3)若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
(4)若α∩β＝m，n∥m，且n α，n β，则n∥α，且n∥β；
(5)若m、n为异面直线，则存在平面α过m且使n⊥α.[来源:]
其中正确的命题序号是________．
正解 (1)是错误的．
如正方体中面ABB′A′⊥面ADD′A′，交线为AA′.
直线AC⊥AA′，但AC不垂直面ABB′A′，同时AC也不垂直面ADD′A′.
(2)正确．实质上是两平面平行的性质定理．
(3)是错误的．在上面的正方体中，A′C不垂直于平面A′B′C′D′，但与B′D′垂直．这样A′C就垂直于平面A′B′C′D′内与直线B′D′平行的无数条直线．
(4)正确．利用线面平行的判定定理即可．[来源:]
(5)错误．从结论考虑，若n⊥α且m α，
则必有m⊥n，事实上，条件并不能保证m⊥n.故错误．
补救训练17 已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条
直线，给出下列四个命题：[来源: ][来源: ]
①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；
②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；
④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.
其中正确命题的序号是________．[来源: ]
解析 ①有直线l α的可能；②正确；③中包含两个点在平面两侧的情况；④正确．故填②④.
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失分点9 图象变换方向或变换量把握不准致误
例9 要得到y＝sin(－3x)的图象，需将y＝(cos 3x－sin 3x)的图象向___________个单位(写出其中的一种特例即可)．
正解 y＝(cos 3x－sin 3x)＝sin＝sin，
要由y＝sin到y＝sin(－3x)只需对x加上即可，因而是对y＝(cos 3x－sin 3x)向左平移个单位．
补救训练9 将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再把横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin x的图象，则函数f(x)的解析式为f(x)＝____________.
解析 将y＝sin x的图象横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象，再将y＝sin 2x的图象向右平移个单位，得到y＝sin 2的图象．
故f(x)＝sin.[来源:]
[来源:]
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失分点13 数列概念理解不透致误
例13 已知数列{an}的前n项之和为Sn＝n2＋n＋1，则数列{an}的通项公式为__________．
正解 当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n，[来源:]
∴an＝
补救训练13 已知数列{an}的首项为a1＝3，通项an与前n项和Sn之间满足2an＝Sn·Sn－1(n≥2)．
(1)求证：{}是等差数列，并求其公差；(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1)当n≥2时，2(Sn－Sn－1)＝Sn·Sn－1，两端同除以Sn·Sn－1，得－＝－，根据等差数列的定义，知{}是等差数列，且公差为－.
(2)由第(1)问的结果可得＝＋(n－1)×(－)，即Sn＝.
当n＝1时，a1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝.[来源:]
所以an＝
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失分点3 对命题的否定不当致误
例3 已知M是不等式≤0的解集且5∈M，则a的取值范围是________．
正解 方法一 ∵5∈M，∴>0或5a－25＝0，∴a<－2或a>5或a＝5，故填a≥5或a<－2.
方法二 若5∈M，则≤0，∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，∴－2≤a<5，∴5∈M时，a<－2或a≥5.
补救训练3 已知集合M＝{x|<0}，若2∈M，则实数a的取值范围是________．
解析 若2∈M，则<0，即(2a－1)(2a2＋1)<0，∴a<，∴当2∈M时，a的取值范围为：a≥.[来源:]
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