1.2.2矩形的判定 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
1.2.2矩形的判定
北师大版 九年级上册
教学目标
【教学目标】1.理解并掌握矩形的判定方法．
2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力.
3.经历探索矩形判定的过程，发展实验探索的意识；形成几何分析思路和方法.
4.培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要.
【重点】理解并掌握矩形的判定方法及其证明，掌握判定的应用.
【难点】定理的证明方法及运用.
新知导入
问题: 什么是矩形？矩形有哪些性质？
A
B
C
D
O
矩形：有一个角是直角的平行四边形.
矩形性质：①是轴对称图形;
②四个角都是直角;
③对角线相等且平分.
新知讲解
探究1：如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.
随着∠α的变化，两条对角线将发生怎样的变化
随着∠α的增大，较长的对角线会变短，较短的对角线会变长．
新知讲解
探究1：如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.
当两条对角线长度相等时，平行四边形有什么特征？你得到了怎样的猜想？
变成了矩形
新知讲解
猜想:当对角线相等时，该平行四边形可能是矩形.
一起证明一下我们的猜想吧！
新知讲解
已知：如图，在□ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC=BD.
求证：□ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC.
又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
∵AB ∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠ABC=∠DCB= ×180°=90°
∴□ABCD是矩形（矩形的定义）.
归纳总结
矩形的判定定理：
符号语言：
在□ABCD中，
∵AC=BD，
∴□ABCD是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形。
新知讲解
探究2：矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？
猜想 一个四边形至少有3个角是直角时，这个四边形是矩形．
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
新知讲解
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
归纳总结
矩形的判定定理：
符号语言：
在四边形ABCD中，
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
有三个角是直角的四边形是矩形。
针对训练
1．对角线_______的平行四边形是矩形；有三个角是直角的_________是矩形．
2．下列说法错误的是( 　 　)
A. 有一组对角互补的平行四边形一定是矩形
B. 两条对角线相等的平行四边形一定是矩形
C. 对角线互相平分的四边形一定是矩形
D. 有三个角是直角的四边形一定是矩形
相等
四边形
C
新知讲解
【例2】如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
又∵△ABO是等边三角形，
∴OA=OB=AB=4.
∴OA=OC=OB=OD=4.
∴AC=BD=2OA=2×4=8.
∴□ABCD是矩形，∴∠ABC=90°
新知讲解
【例2】如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2+BC2=AC2，
∴S□ABCD=
课堂练习
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是 ( 　　)
A. AB＝CD　　　B. AD＝BC
C. AB＝BC D. AC＝BD
D
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC的中点，则DE＝　　　．
4
课堂练习
3.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的角平分线,则四边形ABCD是（ ）
A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
C
课堂练习
4．已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M，N分别为BC，AD的中点．
求证：四边形BMDN是矩形．
证明：在正三角形ABD和BCD中，M，N分别为BC，AD的中点.
∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠DBC=60°，
∠BND=∠DMB=90°，∠NBD=30°.
∴∠NBM=90°.
∴四边形BMDN是矩形.
课堂练习
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
求证：四边形ADCF为矩形．
解：∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD.
∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD.∴AF＝CD.
又∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∴∠ADC＝90°.
∴四边形ADCF为矩形．
课堂练习
6.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形CEDO是矩形吗？说出你的理由.
D
A
B
C
E
O
解：四边形CEDO是矩形.
理由如下：已知四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
∴∠BOC=90°.
∵DE∥AC,CE∥BD，
∴四边形CEDO是平行四边形.
∴四边形CEDO是矩形（矩形的定义）.
课堂总结
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明.
矩形的判定
定义
定理
谢谢
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