1.3.2正方形的判定 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
1.3.2正方形的判定
北师大版 九年级上册
教学目标
【教学目标】
1.掌握正方形的概念，正方形的判定方法.
2.经历探索正方形有关判别条件的过程，了解正方形与矩形、菱形的关系.
3.进一步加深对特殊与一般的认识，培养发现问题、解决问题的能力及逻辑思维能力．
【重点】正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.
【难点】正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.
新知导入
问题：什么是正方形？正方形有哪些性质？
A
B
C
D
正方形：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：
①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.
O
新知讲解
将一长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
剪下一个等腰直角三角形就能剪出一个正方形.
新知讲解
正方形和矩形有什么关系？满足什么条件的矩形是正方形？
菱形
正方形
1.一个角是直角
2.对角线相等
猜想：
新知讲解
已知：如图，在矩形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
新知讲解
通过矩形判定正方形：
判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形。
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
AB=AD，
所以四边形ABCD是正方形。
判定方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形。
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
AC⊥BD，
所以四边形ABCD是正方形。
A
B
C
D
O
新知讲解
正方形和菱形有什么关系？满足什么条件的菱形是正方形？
矩形
正方形
1.一组邻边相等
2.对角线互相垂直
猜想：
新知讲解
已知：如图,在菱形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
新知讲解
通过菱形判定正方形：
判定方法1：有一个角是直角的菱形是正方形。
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形，
∠ABC=90°，
所以四边形ABCD是正方形。
判定方法2：对角线相等的菱形是正方形。
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形，
AC=BD，
所以四边形ABCD是正方形。
A
B
C
D
O
新知讲解
例2 已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形.
证明：∵ BF∥CE, CF∥BE,
∴ 四边形BECF是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC＝90°, ∠DCB＝90°,
又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB ,
∴∠EBC= ∠ABC=45°,∠ECB= ∠DCB=45°,
新知讲解
例2 已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形.
∴ ∠EBC=ECB, ∴EB=EC,
∴□BECF是菱形（菱形的定义）,
∵△EBC中∠EBC=45°,∠ECB=45°,
∴∠BEC=90°,
∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.
新知讲解
我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形。
任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明.
新知讲解
A
D
C
B
A1
B1
C1
D1
以正方形四边的中点为顶点，可以组成一个正方形。
证明思路：
利用三角形的中位线证出A1D1=A1B1=C1D1
=C1B1，从而得到四边形A1B1C1D1是矩形，再根据一组邻边相等得出A1B1C1D1是正方形。
新知讲解
顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
矩形
正方形
任意四边形
平行四边形
菱形
正方形
E
F
G
H
E
F
G
H
E
F
G
H
课堂练习
1. 下列条件中，能判定四边形是正方形的是 (　 　)
A. 4个角都是直角
B. 对角线互相平分且垂直
C. 对角线相等且互相平分
D. 对角线相等、互相垂直且互相平分
D
课堂练习
2.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A. AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B. AD∥BC，∠A=∠C
C. AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D. AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
A
B
C
D
O
课堂练习
3.如图，四边形ABCD中∠ABC=∠BCD=∠CDA
=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
A
B
C
D
O
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）．
②③或①④
课堂练习
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形．
∴矩形CEDF是正方形．
课堂练习
A
B
C
D
E
F
G
证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线，
DE⊥AC，DG⊥AB，
∴DE=DG，
同理：DG=DF，
∴DE=DF，
∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
又∵∠C=90°，
∴四边形CEDF是矩形，又DE=DF,
∴四边形CEDF是正方形.
6.在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥BC.求证:四边形CEDF为正方形.
课堂总结
1 .定义法：
2.矩形法：
一邻边相等
一个直角
+
+
平行四边形
=
正方形
3.菱形法：
一邻边相等
+
矩形
=
正方形
一个直角
+
菱形
=
正方形
对角线互相垂直
+
矩形
=
正方形
对角线相等
+
菱形
=
正方形
正方形的判定
谢谢
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