2020—2021成都市高一下期期末名校联盟考试文科试题 及详细解析

成都市名校联盟2020—2021学年度下期期末考试
高一数学文科试题及详细解析
第I卷（60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1、已知向量=（1，2），=（4，m），且，则实数m的值为（ ）
A 8 B 2 C -8 D -2
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量坐标运算法则与基本方法；④两向量垂直的充分必要条件及运用。
【解答思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量坐标运算法则与基本方法和两平面向量垂直的充分必要条件，得到关于实数m方程，求解方程求出实数m的值就可得出选项。
【详细解答】向量=（1，2），=（4，m），且， .=4+2m=0，即m=-2，
D正确，选D。
2、已知实数a，b满足aA < B ln（b-a）>0 C > D <
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②对数定义与性质；③指数函数定义与性质。
【解题思路】根据对数，不等式和指数函数的性质，分别对各选项说法的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A， 当a， A错误；对B，当00时， < ，C错误；对D，对任意的实数a，b，只要满足a3、下列四个说法正确的是（ ）
A 直角三角形绕一边旋转得到的旋转体一定是圆锥 B 用一个平面去截圆锥圆锥底面和截面之间的部分一定是圆台 C 正视图和侧视图的高一定是相等的，正视图和俯视图的长一定是相等的 D 利用斜二测画法画出正方形的直观图和原来正方形的面积之比是2
【解析】
【考点】①旋转体定义与性质； ②圆锥定义与性质；③圆台定义与性质；④几何体三视图定义与性质；⑤几何体直观图定义与性质。
【解答思路】根据旋转体，圆锥，圆台，几何体三视图和几何体直观图的性质，对各选项说法的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A， 沿直角三角形斜边旋转得到的旋转体不是圆锥， A错误；对B，当截面与圆锥的底面不平行时，圆锥底面和截面之间的部分不是圆台，B错误；对C，根据几何体三视图的画法可知，正视图和侧视图的高一定是相等的，正视图和俯视图的长一定是相等的， C是正确的，C正确，选C。
4、在ABC中，点D在BC边上，且 =3，则（ ）
A =+ B =+
C =+ D =+
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量几何运算法则及运用；③平面向量几何运算的基本方法。
【解题思路】根据平面向量的性质，运用平面向量几何运算法则和基本方法，求出向量
关于向量，的表示式就可得出选项。 A
【详细解答】如图， =-， =3，
==-，=+= B D C
+-=+，B正确，选B。
5、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，c=，A=，则b=（ ）
A 1 B 2 C 2 D 1或2
【解析】
【考点】①三角形边角关系定理及运用；②三角形余弦定理及运用。
【解题思路】根据三角形边角关系定理，运用三角形余弦定理得到关于b的方程，求解方程求出b的值就可得出选项。
【详细解答】在ABC中，a=1，c=，A=， 1=3+-2bcos，-3b+2=0，
b=1或b=2， D正确，选D。
6、某圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图所示，圆柱表面上点P在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点Q在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上从P到Q的路径中，最短路径的长度为（ ）
A B C D 1
【解析】
【考点】①几何体三视图定义与性质；②圆柱定义与性质。
【解题思路】根据几何体三视图和圆柱的性质，结合问题条件可知，当且仅当点A与点B在左视图的对角线上时，在此圆柱侧面上从P到Q的路径中，路径最短，从而求出最短路径的长度就可得出选项。
【详细解答】如图， 圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图所示，圆柱表面上点P在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点Q在左视图上的对应点为B， 当且仅当点A与点B在左视图的对角线上时，在此圆柱侧面上从P到Q的路径中，路径最短，即|PQ|= =，B正确，选B。
7、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A= ，b+c=10，a=2，则 =（ ）
A 5 B 6 C 14 D 16
【解析】
【考点】①三角形余弦定理及运用；②三角形面积公式及运用。
【解题思路】根据三角形余弦定理，运用三角形面积公式，结合问题条件求出的值就可得出选项。
【详细解答】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A= ，b+c=10，a=2， 40=+-2bccos=-3bc=100-3bc，bc=20，=bcsin=20
= 5，A正确，选A。
8、已知等差数列{}的前n项和为，若>0，+<0，则满足>0的最小正整数n的值为（ ）
A 22 B 23 C 24 D 25
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及
运用。
【解题思路】根据等比数列的性质，运用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合问题条件得到关于n的不等式，求解不等式求出满足>0的最小正整数就可得出选项。
【详细解答】设等差数列{}的首项为， 公差为d，>0，+<0，+11d>0①，2+21d<0②，联立①②解得：-11d<<0，d>0，=n+d>-11dn+d>
(-23n) 0，d>0，n(n-23) 0，n 23，满足>0的最小正整数n的值为23，B正确， 选B。
9、我国南北朝时期，数学家，天文学家祖峘提出了著名的祖峘原理：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等，如图所示，扇形的半径为2，圆心角为，若扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）
A B 2 C D
【解析】
【考点】①旋转体定义与性质；②球定义与性质；③圆锥定义与性质；④组合体定义与性质；⑤求组合体体积的基本方法。
【解题思路】根据旋转体，球，圆锥和组合体的性质，运用求组合体的基本方法，结合问题
条件，求出图中阴影部分旋转后所得几何体的体积，利用“幂势同”，原理求出不规则几何体的体积就可得出选项。
【详细解答】图中阴影部分旋转后所得几何体是半球体与圆锥的组合体，=
8=，=24=， =-=-=，该不规则几何体的体积为， C正确， 选C。
10、设a>0，b>0，若a+b=1，则+的最小值为（ ）
A 5 B 7 C 9 D 11
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②基本不等式及运用。
【解题思路】根据不等式的性质，运用基本不等式求出+的最小值就可得出选项。
【详细解答】 a+b=1， +=（a+b）.（+）=1+++4=5++， a>0，b>0，+2224，即+=5++5+49，+的最小值
为9，C正确，选C。
11、已知A，B是球O的球面上两点，AOB=，P为该球面上动点，若三棱锥O—PAB体积的最大值为，则球O的表面积为（ ）
A 12 B 16 C 24 D 36
【解析】
【考点】①球定义与性质；②三角形面积公式及运用；③三棱锥体积公式及运用；④球的表面积公式及运用。
【解题思路】根据球的性质，运用三角形面积公式和三棱锥体积公式，结合问题条件得到关于球O半径R的方程，求解方程求出R的值，利用球的表面积公式求出球O的表面积就可得出选项。
【详细解答】如图，设球O的半径为R， A，B是 A B
球O的球面上两点， AOB=，P为该球面上动 P
点，当且仅当OP平面OAB时，三棱锥O—PAB
体积的最大，=sinR==，R=2，=4
=44=16， B正确，选B。
12、已知数列{}满足+=3n+1，为数列{}的前n项和，则=（ ）
A 300 B 320 C 340 D 360
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②常数数列定义与性质；③数列递推公式及运用；④求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】根据数列递推公式，常数数列和等差数列的性质，结合问题条件得到数列{}当n为奇数时，数列{+}是以17为首项，6为公差的等差数列；当n为偶数时，数列{+}是3为常数的常数数列，运用求数列前n项和的基本方法求出的值就可得出选项。
【详细解答】①当,n为奇数时，-=3n+1，+=3n-2，+=6n-1，数列{+}是以17为首项，6为公差的等差数列；②当n为偶数时，+=3n+1，-=3n-2，+=3，数列{+}是以3为常数的常数数列， =++++-------++++=（+）+（+）+-------+（
+）+(+)=35+=15+325=340，C正确，选C。
第II卷（非选择题，共90分）
二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上。
13、求值: = 。
【解析】
【考点】①正切三角函数定义与性质；②三角函数和角公式及运用。
【解答思路】根据正切三角函数的性质，运用三角函数和角公式，结合问题条件就可求出的值。
【详细解答】=tan(+)=tan=， =。
14、已知平面向量，满足：||=1，||=4，且与的夹角为，则|-2|= 。
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量几何运算法则与基本方法；④求平面向量模的基本方法。
【解答思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量运算法则与基本方法和求平面向量模的基本方法就可求出|-2|的值。
【详细解答】平面向量，满足：||=1，||=4，且与的夹角为，|-2|
=||-4.+4||=1-414+416=57，即|-2|=。
15、在数列{}中，=2，=（n2，n），则= 。
【解析】
【考点】①数列递推公式及运用；②已知数列前几项，求数列通项公式的基本方法；③求数列某项值的基本方法。
【解答思路】根据数列递推公式，运用已知数列前几项，求数列通项公式的基本方法，结合问题条件求出数列{}的通项公式，利用求数列某项值的基本方法就可求出的值。
【详细解答】在数列{}中，=2，=（n2，n），=，----
=，=，..------..=..-----..，=，=2n， =29=18。
16、已知a-2ax+1>0对xR恒成立，则a的取值范围是 。
【解析】
【考点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次函数定义与性质；③求解一元二次不等式的基本方法。
【解答思路】根据一元二次不等式和一元二次函数的性质，运用求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式组，求解不等式组就可求出a的取值范围。
【详细解答】 a-2ax+1>0对xR恒成立，a>0①，=4-4a=4a(a-1)<0②，联立①②解得：0三、解答题（本大题共6小题，共70分，答案应写出文字说明，证明过程和演算步骤）
17、（本小题满分10分）
已知函数f(x)= -ax+b+2，aR，bR。
（1）若关于x的不等式f(x)<0的解集为（1，2），求实数a，b的值；
（2）若关于x的不等式f(x)b在x[1，3]上能成立，求实数a的取值范围。
【解析】
【考点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次函数定义与性质；③求解一元二次不等式的基本方法；④已知一元二次不等式解集，求不等式中参数求证范围的基本方法。
【解答思路】（1）根据一元二次不等式和一元二次函数的性质，运用求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值；（2））根据一元二次不等式和一元二次函数的性质，运用求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（1）关于x的不等式f(x)<0的解集为（1，2）， f(1)=1-a+b+2=0①, f(2)=4-2a+b+2=0②，联立①②解得：a=3，b=0，若关于x的不等式f(x)<0的解集为（1，2），则实数a，b的值分别为3，0；（2）f(x)b在x[1，3]上能成立，-ax+20在x[1，3]上能成立， f(1)=1-a+20①，f(3)=9-3a+20②，联立①②解得：a， 若关于x的不等式f(x)b在x[1，3]上能成立，则实数a的取值范围是[，+）。
18、（本小题满分12分）
已知向量=（2sinx，cosx+sinx），=（cosx，cosx-sinx），若函数f(x)= .。
（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
（2）若为钝角，且f（+）=，求tan的值。
【解析】
【考点】①向量坐标定义与性质；②向量数量积定义与性质；③向量数量积坐标运算的基本方法；④三角函数辅助角公式及运用；⑤正弦型三角函数定义与性质；⑥处理正弦型三角函数的基本方法；⑦三角函数诱导公式及运用；⑧三角函数二倍角公式及运用；⑨同角三角函数基本关系及运用。
【解答思路】（1）根据等向量坐标和向量数量积的性质，运用向量数量积坐标运算的基本方法和三角函数辅助角公式得到正弦型三角函数，利用处理正弦型三角函数的基本方法就可求出函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；（2）由（1）得到f（+）关于的等式，运用三角函数诱导公式和二倍角公式求出sin，cos的值，利用同角三角函数的基本关系就可求出tan的值。
【详细解答】（1）向量=（2sinx，cosx+sinx），=（cosx，cosx-sinx），函数f(x)=
.=2sinxcosx+cosx-sinx=sin2x+cos2x=sin(2x+)， 函数f(x)的最小正周期T
==，由2k-2x+2k+解得：k- xk+ （kZ）， 函数f(x)的单调递增区间为[k- ，k+ ]（kZ）；（2） f（+）=sin[2（+）+]=sin（2+）=cos2=， cos2= ，为钝角，sin=，
cos=-，tan==-。
19、（本小题满分12分）
已知在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC同时满足下列4个条件中的三个：①A=，②a=4，③c=4，④sinC=。
（1）指出这三个条件，并说明理由；
（2）求边长b和三角形的面积。
【解析】
【考点】①三角形边角关系定理及运用；②三角形正弦定理及运用；③三角形余弦定理及运用；④三角形面积公式及运用。
【解答思路】（1）根据三角形边角关系定理，结合问题条件就可得到这三个条件；（2）由（1）根据三角形余弦定理，求出b的值，运用三角形面积公式就可求出三角形的面积的值。
【详细解答】（1）①若三个条件是：①A=，②a=4，④sinC=，或①A=，③c=4，④sinC=， sinC=<，C是锐角，0是锐角三角形矛盾， 三个条件不是：①A=，②a=4，④sinC=，或①A=，③c=4，④sinC=；②若三个条件是：②a=4，③c=4，④sinC=， sinC=<，C是锐角，0=44=8。
20、（本小题满分12分）
已知数列{}的前n项和为，=2，= 。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设=，求数列{ }的前n项和为。
【解析】
【考点】①数列前n项和与通项之间的关系及运用；②等比数列定义与性质；③对数定义与性质；④求数列前n项和的基本方法。
【解答思路】（1）根据数列前n项和与通项之间的关系，结合问题条件得到关于，的等式，运用等比数列的性质，就可证明数列{}是等比数列；（2）由（1）得到数列{}的通项公式，从而得到数列{ }的通项公式，数列{ }的通项公式，运用求数列前n项和的基本方法求出，就可证明 <。
【详细解答】（1）当n2时，= ，=，-=-=，
=2，=2，=2，===2，当n2时，数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列， =2=（n2），当n=1时，==12，
数列{}的通项公式为：= 2，n=1；（2）当n=1时，=2=1，当n2时，
，n2，= =n-1，当n=1时，
==1，当n2时，==-， =1+1-+-+-------
+-+-=2-=。
21、（本小题满分12分）
成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，根据自行车比赛的需要，需预留出AC，AD两条服务车道（不考虑宽度），DC，CB，BA，AE，DE为赛道，ABC=AED=，BAC=，BC=2（km），
CD=4（km）（注：km为千米）。
（1）若cosCAD=，求服务通道AD的长；
（2）在（1）的条件下，求折线赛道AED的最长值（即AE+ED最大）（结果保留根号）。
【解析】
【考点】①三角形正弦定理及运用；②三角形余弦定理及运用；③基本不等式及运用。
【解答思路】（1）根据三角形正弦定理和余弦定理，得到关于AD的方程，求解方程就可求出服务通道AD的长；（2）根据三角形余弦定理，由（1）得到关于AE,ED的表示式，运用基本不等式得到关于AE+ED的不等式，从而就可求出AE+ED的最大值。
【详细解答】（1）在ABC中，BC=2（km），ABC=，BAC=，
=，AC===3（km），在ACD中，AC=3（km），CD=4（km），cosCAD=，32=18+AD-6AD， AD-
AD-14=0，AD=5（km），即服务通道AD的长为5（km）；（2）在ADE中，
AD=5（km），AED=，50=AE+ED-2AE.EDcosAED=-2AE.ED
+AE.ED=-AE.ED-，AE+ED
，当且仅当AE=ED时，等号成立，折线赛道AED的最长值为（km）。
22、（本小题满分12分）
已知数列{}满足=.（n），且=2，=16。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设=（2n-1），求数列{ }的前n项和为；
（3）设=，记数列{}的前n项和为，证明： <2。
【解析】
【考点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项及运用；③求数列前n项和的基本方法。
【解答思路】（1）根据等比数列的性质，运用等比数列的通项公式，结合问题条件就可求出数列{}的通项公式；（2）由（1）得到数列{}的通项公式，运用求数列前n项和的基本方法就可求出数列{ }前n项和的值；（3）由（1）得到数列{}的通项公式，运用求数列前n项和的基本方法得到的表示式，从而就可证明<2。
【详细解答】（1）数列{}满足=.（n），数列{}是等比数列，设数列{}的公比为q，=2，=16，2=16，q=2，数列{}的通项公式为
=2=；（2）=（2n-1）==（2n-1），=2+3+5+-----
+（2n-3）. +（2n-1）①，2=+3+5+-----+（2n-3）. +（2n-1）②，①-②得：-=2+2（++------+）-（2n-1）=2+2-（2n-1）
=2-8+2-（2n-1）=-6-（2n-3），=6+（2n-3）；（3）=
==<，=++-----+<++-------+<
<2-2<2。
O