2019—2020成都市高一下期期末调研考试理科试题及详细解析

成都市2019—2020学年度下期期末考试
高一数学理科试题及详细解析
第I卷（60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1、coscos -sinsin =（ ）
A 0 B - C - D 1
【解析】
【考点】①余弦三角函数定义与性质；②余弦三角函数和角公式及运用。
【解题思路】根据余弦三角函数的性质，运用余弦三角函数和角公式，求出coscos -sinsin 的值就可得出选项。
【详细解答】 coscos -sinsin =cos（+）=cos=0， coscos -sinsin =0， A正确，选A。
2、二次不等式a+bx+c0的解为全体实数的条件是（ ）
A a>0，且0 B a>0，且 0 C a<0，且0 D a<0，且0
【解析】
【考点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次函数定义与性质；③求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次不等式性质和一元二次函数的性质，运用求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件，求出二次不等式a+bx+c0的解为全体实数的条件就可得出选项。
【详细解答】二次不等式a+bx+c0的解为全体实数， 一元二次函数y= a+bx+c
的图像开口向上，且与X轴只有一个公共点，即a>0，且 0， B正确， 选B。
3、已知sin= ，则cos2=（ ）
A B - C D -
【解析】
【考点】①三角函数定义与性质；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据三角函数的性质，运用三角函数二倍角公式，求出cos2的值就可得出
选项。
【详细解答】 sin= ， cos2=1-2 sin=1-2=，A正确，选A。
4、已知单调递减的等比数列{}中，>0，则该数列的公比q的取值范围是（ ）
A q=1 B q<0 C q>1 D 0【解析】
【考点】①等比数列定义与性质；②派对等比数列单调性的基本方法。
【解题思路】根据等比数列的性质，运用判断等比数列单调性的基本方法，求出公比q的取值范围就可得出选项。
【详细解答】等比数列{}单调递减，>0， 公比q的取值发球是（0，1），D正确，选D。
5、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a：b：c=4：5：7，则ABC为（ ）
A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形
【解析】
【考点】①三角形边角关系定理及运用；②三角形余弦定理及运用；③皮带三角形形状的基本方法。
【解题思路】根据三角形边角关系定理，得到在ABC中角C为最大角，运用三角形余弦定理求出cosC的值，从而得出ABC的形状就可得出选项。
【详细解答】 a：b：c=4：5：7， a===-<0， 角C为钝角，即ABC为钝角三角形， C正确，选C。
6、若aA lna【解析】
【考点】①对数函数定义与性质；②不等式定义与性质；③指数函数定义与性质。
【解题思路】根据对数函数，不等式和指数的性质，分别对各选项说法的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，当a，B错误；对C，c-a-(c-b)= c-a-c+b=b-a>0， c-a > c-b >0， < ，C正确，选C。
7、把四边形ABCD按斜二测画法得到平行四边形（如图所示），其中=
=2，=，则四边形ABCD一定是一个（ ）
A 菱形 B 矩形 C 正方形 D 梯形
【解析】
【考点】①直观图定义与性质；②斜二测画法定义与性质；③运用斜二测画法作直观图的基本方法。
【解题思路】根据直观图和斜二测画法的性质，运用斜二测画法作直观图的基本方法，由四边形ABCD的直观图得到四边形ABCD的图像就可得出选项。
【详细解答】四边形ABCD按斜二测画法得到平行四边形中，=
=2，=，CD==4，sinBCD==，BCD=，B/C/AD，
BC=AD=4，四边形ABCD是菱形，A正确，选A。
8、在ABC中，若角B=，AC=，AB=，则角C=（ ）（ ）
A B C 或 D 或
【解析】
【考点】①正弦三角函数定义与性质；②三角形正弦定理及运用；③三角形边角关系定理及运用。
【解题思路】根据三角形正弦定理，结合问题条件求出sinC的值，运用三角形边角关系定理和正弦三角函数的性质求出角C就可得出选项。 A
【详细解答】如图， 在ABC中，角B=，AC=，
AB=，= ，sinC== B C
=， AB=>=AC，角C= 或，D正确，选D。
9、体积为的某三棱锥的三视图如图所示（其三个视图均为直角三角形），则该三棱锥四个面的面积中，最大值为（ ）
A B 2 C 3 D 6
【解析】
【考点】①几何体三视图定义与性质；②三棱锥体积公式及运用；④三角形面积公式及运用。
【解题思路】根据三棱锥体积公式和几何体三视图的性质，结合问题条件得到关于x的方程，求解方程求出x的值，运用三角形面积公式求出该三棱最大三角形的面积，就可得出选项。
【详细解答】如图， 三棱锥的体积V=.x==，x=2，该三棱锥的四
个面中，面积最大的面是以=2为边的等边三角形，该三棱锥四个面的面积中，最大值为22= 2，B正确，选B。
10、若数列{}满足=（n2，n），且=，则=（ ）
A B C D
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②数列递推公式及运用；③求等差数列通项公式及运用。
【解题思路】根据数列递推公式和等差数列的性质，结合问题条件得到数列{}是以2为首项，2为公差的等差数列，运用等差数列通项公式求出，从而求出就可得出选项。
【详细解答】数列{}满足=（n2，n）， -=2，, =，
=2，数列{}是以2为首项，2为公差的等差数列， =2+2（n-1）=2n，= ，A正确，选A。
11、夏季是暴雨和洪水高发季节，需要做好各项防汛工作，为更好地考查防汛抗洪实地情况，某校高一数学兴趣小组前往某水库实地测量其大坝相关数据，如图所示，CE是该大坝坡面，该小组在坝底所在水平地面的A处测得坝顶E的仰角为，对着大坝在水平地面上前进30m后到达B处，测得仰角为原来的2倍，继续在水平地面上前进10m后到达坡底C处，测得仰角为原来的4倍，则该大坝的高度为（ ）
A 10m B 15m C 20m D 5m
【解析】
【考点】①锐角三角函数定义与性质；②三角形余弦定理及运用；③三角函数二倍角公式及运用。
【解答思路】根据三角形余弦定理和三角函数二倍角公式，结合问题条件得到关于，AE的方程组，前进方程组求出cos2，AE的值，从而求出sin的值，运用锐角三角函数的性质求出DE的值就可得出选项。
【详细解答】如图，A+AEB=EBC，A =，EBC =2，AEB=，BE=AB=30m，AE=900+900+23030cos2=1800(1+ cos2)①，同理可得：BEC=2，BC=CE=10m ，900 =300+300+21010cos4=600（(1+ cos4）②，联立①②解得：cos2=，AE=30， cos2==1-2sin，sin=，DE=AE sin=30=15（m），该大坝的高度为15m，B正确，选B。
12、下列四个说法中，错误的是（ ）
①若a，b均为正数，则+ ；②若x（0，），则sinx+的最小值为2；③若a>b>1，则>；④若a>b>0，则a+>b+。
A ①②③ B ①③ C ②③ D ②④
【解析】
【考点】①基本不等式及运用； ②正弦三角函数定义与性质；③不等式定义与性质；④判断命题真假的基本方法。
【解答思路】根据正弦三角函数和不等式的性质，运用基本不等式和判断命题真假的基本方法，结合问题条件对各命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①， a，b均为正数， >0， >0 ，+ ，当且仅当= ，即a=b时，等号成立，①正确；对②， x（0，），0< sinx<1， >1，
sinx，②错误；对③， a>b>1， a-1>b-1>0，>，a(b-1)>b(a-1)，-a>-b，ab>0，a+-b-=（a-b）+（-）>0， a+>b+，④正确， 综上所述，说法错误的是②③，C正确，选C。
第II卷（非选择题，共90分）
二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上。
13、等比数列{}中，=1，q=-3，则= （用数字作答）。
【解析】
【考点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用。
【解答思路】根据等比数列的性质，运用等比数列通项公式，结合问题条件就可求出的值。
【详细解答】等比数列{}中，=1，q=-3， ==81。
14、将2sinx+2sinxcosx化为Asin(x+)+B（A>0，>0，||<）的形式为 。
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式及运用；②三角函数辅助角公式及运用。
【解答思路】根据三角函数二倍角公式和辅助角根据，就可将2sinx+2sinxcosx化为Asin(x+)+B（A>0，>0，||<）的形式。
【详细解答】2sinx+2sinxcosx=sin2x-cos2x+1=2sin（2x- ）+1， 将2sinx
+2sinxcosx化为Asin(x+)+B（A>0，>0，||<）的形式为2sin（2x- ）+1。
15、二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法，在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置，是古代劳动人民对天文，气象进行长期观察，研究的产物，凝聚了古代劳动人民的智慧，古代数学著作《周牌算经》中记载有这样一个问题，从夏至之日起，小暑，大暑，立秋，处暑，白露，秋分，寒露，霜降，立冬，小雪，大雪这十二个节气的日影子依次成等差数列，若大暑，立秋，处暑的日影子长的和为18尺，立冬的日影子长为10.8尺，则夏至的日影子长为 尺。
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用。
【解答思路】设夏至的日影子长为尺，等差数列的公差为d，根据等差数列的性质，运用等差数列的通项公式，结合问题条件得到关于，d的方程组，求解方程组求出的值就可求出夏至的日影子长。
【详细解答】设夏至的日影子长为尺，等差数列的公差为d，3+9d=18①，+9d
=10.8②，联立①②解得：=3.6，d=0.8，夏至的日影子长为3.6尺。
16、已知A，B，C为ABC的三内角，且角A为锐角，若tanB=2tanA，则+的最小值为 。
【解析】
【考点】①三角形内角和定理及运用；②正切三角函数定义与性质；③三角函数诱导公式及运用；④正切三角函数和角公式及运用；⑤基本不等式及运用。
【解答思路】根据三角形内角和定理和三角函数诱导公式，运用正切三角函数和角公式得到tanC关于tanB的表示式，从而得到+关于tanB的表示式，利用基本不等式就可求出+的最小值。
【详细解答】A+B+C=， A=-（B+C），tanA=-tan（B+C）=-，
角A为锐角， tanB=2tanA>0， tanB=- 2 tan（B+C）=-2， tanC
=，+===+，
>0，>0，当且仅当=，即tanB=1时，+=+
2取得最小值为，+的最小值为。
三、解答题（本大题共6小题，共70分，答案应写出文字说明，证明过程和演算步骤）
17、（本小题满分10分）
图形ABCDE由矩形ABCD和扇形ADE组合而成（如图所示），ADDE，AB=2AD=2，求将该图形沿CE旋转一周后所形成的几何体的表面积和体积。
【解析】
【考点】①旋转体定义与性质；②求圆柱表面积的基本方法；③求半球表面积的基本方法；④求圆柱体积的基本方法；⑤求半球体积的基本方法。
【解答思路】根据旋转体的性质和求圆柱，半球表面积的基本方法，就可求出旋转体的表面积；运用求圆柱和半球体积的基本方法，结合问题条件就可求出旋转体的体积。
【详细解答】如图，该图形沿CE旋转一周后所形成的几何体是圆柱和半球的组合体，AB=2AD=2， 圆柱的底面积为1=，侧面积为212=4，半球表面积为41
=2，将该图形沿CE旋转一周后所形成的几何体的表面积为S=+4+2=7； 圆柱的体积为12=2，半球的体积为1=， 将该图形沿CE旋转一周后所形成的几何体的体积为V=2+=。
18、（本小题满分12分）
已知等差数列{}中，++=18，+=0。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和的最大值。
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④求函数最值的基本方法。
【解答思路】（1）根据等差数列的性质，运用等差数列的通项公式，结合问题条件得到关于等差数列{}的首项，公差的方程组，求解方程组求出首项，公差的值就可求出数列{}的通项公式；（2）由（1）得到数列{}的前n项和关于n的解析式，利用求函数最值的基本方法就可求出数列{}的前n项和的最大值。
【详细解答】（1）设等差数列{}的公差 为d，++=18，+=0， 3+6d
=18①，2+10d=0②，联立①②解得：=10，d=-2，数列{}的通项公式为=10-2（n-1）=-2n+12；（2）由（1）知，=10n+(-2)=-+11n，当且仅当n=-=6时，取得最大值为-36+116=30，数列{}的前n项和的最大值为30。
19、（本小题满分12分）
已知sin=，cos（+）=-，0<<<。
（1）求tan2的值；
（2）求角的大小。
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用；③三角函数差角公式及运用；④变角的基本方法；⑤已知三角函数值，求角的基本方法。
【解答思路】（1）根据同角三角函数基本关系，结合问题条件求出cos的值，从而求出tan的值，运用三角函数二倍角公式就可求出tan2的值；（2）根据同角三角函数基本关系，结合问题条件求出sin（+）的值，运用变角的基本方法求出sin的值，利用已知三角函数值，求角的基本方法就可求出角的大小。
【详细解答】（1） sin=，0<<， cos= = ， tan=4，
tan2= = =- ；（2） cos（+）=-，0<<<， sin(+)==，（+）-=， sin= sin [（+）-]
=sin(+)cos- cos（+）sin=+==，0<<， =。
20、（本小题满分12分）
已知函数f(x)= -5x-a(a-5)。
（1）当a=1时，求当x（0，+）时，函数g(x)= 的值域；
（2）解关于x的不等式f(x)0。
【解析】
【考点】①一元二次函数定义与性质；②基本不等式及运用；③求解不等式的基本方法。
【解答思路】（1）当a=1时，得到函数g(x)= =x-5+ ，运用基本不等式求出x+ 的取值范围，从而求出函数g(x)= 的值域；（2）根据一元二次函数的性质，运用求解不等式的基本方法，就可求出关于x的不等式f(x)0的解集。
【详细解答】（1）当a=1时，函数f(x)= -5x+4， g(x)= =x-5+ ， x（0，+）， x+ 2 4，等号当且仅当x= ，即x=2时成立， g(x)= =x-5+ 4-5-1，函数g(x)= 的值域为[-1，+）；（2）函数f(x)= -5x
-a(a-5)=（x-a）（x+a-5），关于x的不等式f(x)0，（x-a）（x+a-5）0，①当a<5-a，即a<时，不等式（x-a）（x+a-5）0的解集为[a，5-a]；②当a=5-a，即a=时，不等式（x-a）（x+a-5）0的解集为{}；③当a>5-a，即a>时，不等式（x-a）（x+a-5）0的解集为[5-a，a]，综上所述，当a<时，关于x的不等式f(x)0的解集为[a，5-a]，当a=时，关于x的不等式f(x)0的解集为{}，当a>时，关于x的不等式f(x)0的解集为[5-a，a]。
21、（本小题满分12分）
已知数列{}的前n项和为，且满足2=3-3。
（1）证明：数列{}是等比数列；
（2）若数列{ }满足= ，记数列{ }的前n项和为，证明： <。
【解析】
【考点】①数列前n项和与通项之间的关系及运用；②等比数列定义与性质；③对数定义与性质；④求数列前n项和的基本方法。
【解答思路】（1）根据数列前n项和与通项之间的关系，结合问题条件得到关于，的等式，运用等比数列的性质，就可证明数列{}是等比数列；（2）由（1）得到数列{}的通项公式，从而得到数列{ }的通项公式，数列{ }的通项公式，运用求数列前n项和的基本方法求出，就可证明 <。
【详细解答】（1）数列{}的前n项和为，且满足2=3-3，①当n=1时，2=3
-3，=3；②当n2时，2=3-3，2=3-3，2（-）=3-3，
=3， =3， 2（+）=3-3，=23+3=9，当n2时，数列{}是以9为首项，3为公比的等比数列， =9=（n2），当n=1时，==3成立， 数列{}是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）由（1）知=，
数列{ }满足= ，= ==n， =，=+
++-------++①，=+++-------++②，①-②得：=
+++-------+-=-=--=-（+），
=-（+）单调递增， -（+），=-（+）<， <。
22、2020年5月6日，成都东部新区正式挂牌，标志着经过三年的规划设计后，一个承接成渝地区双城经济圈建设，落实成都东进战略的新区正式成立，为落实东部新区“双城一园，一轴一带”的空间布局的需要，某规划部门拟规划如图所示的三角形（ABC）产业园区，其中AcsinA=BCcosB。
（1）求角B的大小；
（2）若在该产业园区内再规划一个核心功能区ADE，（D，E是边BC上的点），且C=，
DAE=，AC=200米，求核心功能区ADE面积的最小值。
【解析】
【考点】①三角形正弦定理及运用；②三角函数辅助角公式及运用；③正弦型三角函数定义与性质；④三角形面积公式及运用；⑤求三角函数最值的基本方法。
【解答思路】（1）根据三角形正弦定理，运用三角函数辅助角公式，结合问题条件得到关于 B的等式，利用正弦型三角函数的性质，就可求出角B的大小；（2）由（1）得到数列{}的通项公式，从而得到数列{ }的通项公式，数列{ }的通项公式，运用求数列前n项和的基本方法求出，就可证明 <。
【详细解答】（1）在ABC中，==2R，AcsinA=BccosB，2Rsin
Bsin=2RsincosB，sin（sinB- cosB）=0， sin>0，
sinB- cosB=2 sin（B-）=0， B-=0，B=；（2）设BAD=，（0，） ，则BDA=-，B=，C=，=-（+）=， AC=200米，AB=200米，在ABD中，= ，AB=200米，AD
==，CAE=-，CEA=-（+-）=+，
在ACE中，= ，AE==，=
AD.AE.sinDAE==
=30000(2-)，当且仅当2=，即=时，等号成立，
核心功能区ADE面积的最小值为30000(2-)平方米。