数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.3点到直线的距离（共15张ppt）

(共15张PPT)
点到直线的距离
点P到直线l的距离，就是P到直线 l的垂线段PQ的长度，其中Q为垂足.
探究！如图，已知点P (x0, y0 ) ，直线l :Ax+By+C=0，
如何求点P到直线l的距离呢
因此，求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出|PQ|，就可以得到点P到直线l的距离．


因此，垂线PQ的方程为
得直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为
点P0(x0 ，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离为：
可以验证，当A=0或B=0时，上述
公式仍然成立.
思考？上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离化为两点之间的距离，思路自然但运算量大，反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗？由此能否给出简化运算的方法？
在上述方法中，若设垂足Q的坐标为(x, y), 则
对于上式，你能给出它的几何意义吗？结合方程组，能否直接求出(x-x0)2+(y-y0)2，进而求出|PQ|呢？请你试一试！
把上面两式平方相加，得
探究！我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离？




M(x, y)
M(x, y)

把Ax1+By1+C=0 , Ax2+By2+C=0两
式相减，得A(x2 - x1)+B(y2 - y1)=0.
由平面向量的数量积运算可知，向
量(A, B)与向量(x2 - x1, y2 - y1)垂直.




M(x, y)



因为点M(x, y)在直线l上，所以
Ax+By+C=0，所以Ax+By=-C . 代入上式，得


思考？比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影, 通过向量运算求出结果,简化了运算. 除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗
过点P0分别作 y 轴与 x轴的平
行线，交直线 l 于 S和R.
x
y
O
S
R
l
Q
P0
直线P0R的方程为y=y0 ,
x
y
P0 (x0,y0)
O
x0
y0
S
R
Q
d
在Rt△SP0R中，由勾股定理可得，
x
y
O
S
R
l
Q
P0
解: (1)根据点到直线的距离公式，得
根据点到直线的距离公式可得
解：设AB边上的高为h, 则
AB的方程为
x
y
C
O
-1
1
2
2
3
3
1
B
A
化为一般式
例2 已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0),求 ABC的面积.
h就是点 C 到AB边的距离．
解：设AB边上的高为h, 则
AB的方程为
x
y
C
O
-1
1
2
2
3
3
1
B
A
例2 已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0),求 ABC的面积.