数学人教A版2019必修第二册10.1.3古典概型 课件（共37张ppt）

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第10章 概 率
10.1.3 古典概型
古典概型也叫传统概率,其定义是由法国数学家拉普拉斯(Laplace)提出的.如果一个随机试验所包含的样本点是有限的,且每个样本点发生的可能性均相等,则这个随机试验叫做拉普拉斯试验,这种条件下的概率模型就叫古典概型.古典概型是概率论中
最直观和最简单的模型,概率的许多运算规则,也是在这种
模型下得到的.
古典概型的产生
1.结合具体实例，理解古典概型．
2.能计算古典概型中简单随机事件的概率.
1.数学抽象：古典概型的概念．
2.逻辑推理：古典概型的判断.
3.数学运算：求古典概型.
4.数学建模：通过实际问题抽象出数学模型.
学习目标：
核心素养：
古典概型
1
古典概型
1
古典概型的定义
一般地，若实验E具有如下特征：
①有限性——样本空间的样本点只有有限个
②等可能性——每个样本点发生的可能性相等
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型
定义
古典概型
1
古典概型的定义
在古典概型中，每个基本事件发生的可能性都相等，称这些基本事件为等可能基本事件
由古典概型的定义可得，古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验，只要对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可
古典概型
1
古典概型的判断
判断一个概率模型是否为古典概型，依据在于——
每个样本点发生的可能性相等
样本空间的样本点，只有有限个
判断一个试验是否满足这两个特征，应根据具体的问题情境仔细分析，并不是所有的试验都是古典概型.
以下试验不是古典概型
①样本点的个数有限，
但出现的可能性并不相等
②样本点的个数无限，
但是出现的可能性相等
③样本点的个数无限，
出现的可能性也不相等
古典概型
1
古典概型的判断
并不是所有的试验都是古典概型.
例如在适宜的条件下,种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验的基本事件空间为｛发芽，不发芽｝，发芽与不发芽的这两种结果出现的机会一般是不均等的.
又比如从直径规格为300mm±0.6mm的一些钢管产品中，任意抽一根，测量其直径，测量值可能是从299.4mm~300.6mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个.
古典概型
1
古典概型的判断
【多选】下列试验中是古典概型的是( )
A.抛一枚硬币，观察其正面或反面出现的情况
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这四个球出颜色外完全相同，从中任取一个球
C.向一个圆面内随机的投一个点，该点落在圆内任意一点
D.射击运动员，向一靶心进行射击，观察其环数
选项A，正面和反面出现的概率相同，是古典概型；
选项B，每个球被抽到的概率相等，是古典概型；
选项C，基本事件有无限个，不是古典概型；
选项D，命中10环,9环,…,0环的概率不等，不是古典概型
古典概型的概率计算公式
2
古典概型的概率计算公式
2
古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率——
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
如果从集合的角度来理解古典概型，则——
A
U
古典概型的概率计算公式
2
古典概型的解题步骤
求出样本点总数n和事件A包含的样本点个数k
判断试验的事件是否是古典概型，并用字母表示所求的事件(如事件A)
用公式 求出事件A发生的概率
古典概型的概率计算公式
2
古典概型的解题步骤
利用古典概型的概率公式求有关事件的概率，关键在于求样本点的个数n和所求事件包含的样本点数k.求样本点的总数的基本方法是列举法，为了列举出所有的基本事件，常常需要借助有序数对，图表，树状图等.
利用古典概型的概率公式求随机事件的概率，首先要判断所求概率的事件是否为古典概型，只有古典概型才能运用其概率公式求概率；其次，在确定基本事件时，应注意它是否需要考虑顺序，这是利用概率公式求其概率的关键之处，应重视
以下试验不是古典概型
古典概型的概率计算公式
2
古典概型的解题步骤
从1，2，3，4，5五个数字中，任取两数，求两数都是奇数的概率.
从1，2，3，4，5五个数字中，任取两数，所有基本事件如下:(1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (2,3)， (2,4)， (2,5)， (3,4)， (3,5)， (4,5)，共10个，∴n=10.
用A来表示“两数都是奇数”这一事件，则事件A包含的基本事件有(1,3)， (1,5)， (3,5)，∴k=3，∴P(A)=
建立古典概率模型
一般来说，在建立概率模型时，把什么看作一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的，我们只要求每次试验有且只有一个基本事件出现. 对于同一个随机试验，可以根据需要建立满足我们要求的概率模型
一个随机试验，连同它的所有基本事件就构成了一个概率模型
一方面，对于同一个实际问题，有时可以建立不同的模型来解决，即一题多解，在多解的方法中，在寻求较为简洁的解法；另一方面，又可以用同一种模型去解决很多不同的问题，即多题一解
建立古典概率模型
从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取两数，组成一个两位数，求组成的两位数大于50的概率.
由于50的个位数字是0，因此大于50的两位数，只要十位上的数字不小于5即可.所有基本事件是1，2，3，4，5，6，共6个. 设十位上的数字不小于5为事件A，则事件A所包含的基本事件是5，6，共2个.
由古典概型的概率计算公式得所求概率 P(A)=
建立古典概率模型
方法二：把十位数字的取值看成一个基本事件，巧妙建立古典概型，使基本事件数较少，理解，运算都比较简便
方法一：将每一个两位数看成一个基本事件，列举出所有符合条件的两位数是传统解法，基本事件较多
从不同的角度把握实际问题，转化为不同的古典概型来解决，这是我们进行概率计算的重要思想.概率模型的所有可能结果数越少，问题的解决就变得越简单，但并不是基本概率模型中的任何事件的概率都可以在转化后求得.
忽视事件发生是否等可能而做错
坑①
任意掷两枚骰子，计算：
(1)出现的点数相同的概率；
(2)出现的点数之和为奇数的概率；
(3)出现点数之和为偶数的概率.
(1)列表可知基本事件有6×6=36个，其中点数相同的红色部分有6个，
点数 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
所以所求概率为
(2)点数之和为奇数的绿色部分有18个，所以所求概率为
(3)点数之和为奇数的蓝色部分以及红色部分共18个，所以所求概率为
对“有序”和“无序”判断不准而做错
坑②
甲乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，填空题2道.甲乙两人依次抽取1道题，求甲抽到选择题，乙抽到填空题的概率.
列举可得甲抽到选择题，乙抽到填空题的可能结果有6种，甲乙两人依次抽取1道题的结果有10种，所以
列举可得甲抽到选择题，乙抽到填空题的可能结果有6种，甲乙两人依次抽取1道题的结果有20种，所以甲抽到选择题，乙抽到填空题的概率为
甲抽到选择题，乙抽到填空题的概率为
忽略了甲乙依次抽取与顺序有关，甲从5道题中抽取1道题目有5中抽法，乙从剩下的4道题中抽取一道有4种抽法，一共5×4=20种抽法.
例1.单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A，B，C,D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案,假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案,答对的概率是多少？
解：试验有选A,选B,选C,选D共4种可能结果,试验的样本空间可以表示为Ω={A,B,C,D}. 考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等,所以这是一个古典概型.设M=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以n(M)=1.所以,考生随机选择一个答案,答对的概率
P(M)=
例2. 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
(2)求下列事件的概率：
A=“两个点数之和是5”；
B=“两个点数相等”；
C=“I号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
解：(1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果用数字m表示I号骰子出现的点数是m,数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n,则数组（m,n)表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}},其中共有36个样本点.由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.
(2)因为A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},所以n(A)=4,从而
因为B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5）(6,6)},所以n(B)=6,
因为C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1)（4,2),(4,3),（5,1),
(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)(6,5)},
所以n(C)=15,
类题通法
求解古典概型问题的一般思路：
(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）;
(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.
例3. 袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球,求下列事件的概率：(1)A=“第一次摸到红球”；(2)B=“第二次摸到红球”；(3)AB=“两次都摸到红球”
解：将两个红球编号为1,2,三个黄球编号为3,4,5.第一次摸球时有5种等可能结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果，将两球的结果配对，组成20种等可能的结果，如表所示
(1)第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1,2行）,即A={(1,2),(1,3),(1,4),
(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)},所以
(2)第二次摸到红球的可能结果也有8种（表中第1、2列）,即B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),
(1,2),(3,2),(4,2),(5,2)},所以
(3)事件AB包含2个可能结果，即AB={(1,2),(2,1)},所以
例4. 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间
(2)在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率
解:设第一次抽取的人记为x1,第二次抽取的人记为x2,则可用数组(x1,x2)表示样本点(1)根据相应的抽样方法可知:有放回简单随机抽样的样本空间
Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1) ),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}
不放回简单随机抽样的样本空间Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1), (B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1) ),(G2,B2),(G2,G1)}
按性别等比例分层抽样的样本空间
Ω3=(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1), (B2,G2)}
(2)设事件A=“抽到两名男生”,则对于有放回简单随机抽
样,A={ (B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)}.
因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型,因此P(A)=4/16=0.25
对于不放回简单随机抽样,A={(B1,B2),(B2,B1)}.因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型.因此P(A)=2/12=1/6.
因为按性别等比例分层抽样,不可能抽到两名男生,所以A=Φ,因此P(A)=0
此例表明,同一个事件A=“抽到两名男生”发生的概率,在按性别等比例分层抽样时最小,在不放回简单随机抽样时次之,在有放回简单随机抽样时最大,因此,抽样方法不同,则样本空间不同,某个事件发生的概率也可能不同
上述计算表明，在总体的男、女生人数相同的情况下，用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率为0.25;用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约为0.167,可以有效地降低出现“极端”样本的概率.特别是，在按性别等比例分层抽样中，全是男生的样本出现的概率为0,真正避免了这类极端样本的出现.所以，改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要.
核心知识
概率
古典概型
特点
公式
方法总结
求样本空间的方法：
（1）较简单的问题可用列举法；
（2）较复杂的问题可用坐标系、表格或树状图
易错提醒
1首先判断概率模型是否是古典概型
2.求样本点空间时注意是否有顺序要求
核心素养
数学运算：体现在求概率的过程
课堂小结：
1.标有数字1,2,3,4,5的卡片各一张,从这5张卡片中随机抽取1张,不放回地再随机抽取1张,则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　)
A
解析:如图:
基本事件的总数为20,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包括的基本事件个数是10个,故所求概率
训练与评价：
2.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事.“田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为( )
A
解析:设齐王的上,中,下三个等次的马分别为a,b,c,田忌的上,中,下三个等次的马分别记为A,B,C,从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,根据题意,其中Ab,Ac,Bc是田忌获胜,则田忌获胜的概率为 .
3.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次
随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为　　　　　.
解析:从5根竹竿中一次随机抽取2根的事件总数为10,它们的长度恰好相差0.3 m的事件数为2,分别是:2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率为
4.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工.根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的频率;
(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在[40,50)的概率.
解:(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.
(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,所以估计该企业职工对该部门评分不低于80的频率为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10=3(人),记为A1,A2,A3;受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10=2(人),记为B1,B2.从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即(B1,B2),