14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数 14.4.3　用频率直方图估计总体分布14.4.4　百分位数(共48张PPT)

(共48张PPT)
第14章　统　计
14．4　用样本估计总体
14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数
14.4.3　用频率直方图估计总体分布
14.4.4　百分位数
01
预习案　自主学习
02
探究案　讲练互动
03
自测案　当堂达标
04
应用案　巩固提升
学习指导 核心素养
1.会用标准差或方差估计总体的离散程度．
2.了解用频率直方图估计总体分布．
3.会用百分位数估计总体分布． 1.数据分析、数学运算：标准差、方差、百分位数的求解．
2.数据分析、数学建模：用频率分布直方图估计总体分布．
方差同标准差一样，都是用来测量样本数据的分散程度的特征数．方差
(标准差)越大(小)，则样本数据的离散程度越大(小).
2．百分位数
(1)一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有_____的数据小于或等于pk，且至少有(100－k)%的数据大于或等于pk.
(2)计算有n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤：
第1步：将所有数值按从小到大的顺序排列；
第2步：计算_______；
k%
平均数
向上取整
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)数据5，4，4，3，5，2的众数为4.(　　)
(2)数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半．(　　)
(3)方差与标准差具有相同的单位．(　　)
(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(　　)
×
×
√
√
解析：(1)中的众数应为4和5；
(2)正确；
(3)二者单位不一致；
(4)正确，平均数应减去该常数，方差不变．
2．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定
B．数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定
C．数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定
D．数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定
解析：由数据的极差、标准差、方差的定义可知，它们都可以影响样本数据的分布和稳定性，而数据的平均数则与之无关，故B不正确，A， C，D正确．
√
√
√
3．高二(1)班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172， 175，176，180，则这7人的60百分位数为(　　)
A．168　　　　　　　　 B．175
C．172 D．176
解析：将7人的身高从低到高排列：168，170，172，172，175，176， 180，因为7×60%＝4.2，
所以第5个数据为所求的60百分位数，即这7人的60百分位数为175.
故选B．
√
4．已知五个数据3，5，7，4，6，则该样本的标准差为________．
探究点1　标准差、方差的计算及应用
甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
用样本的标准差、方差估计总体的方法
(1)用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况．
(2)标准差、方差的取值范围是[0，＋∞).
(3)因为标准差与原始数据的单位相同，且平方后可能夸大了偏差的程 度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．　
　 为选派一名学生参加全市实践活动技能竟赛，A、B两位同学在学校的学习基地现场进行加工直径为20 mm的零件测试，他俩各加工的10个零件直径的相关数据如图所示(单位：mm).
(2)从图中折线趋势可知：
尽管A的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，
所以派A去参赛较合适．
探究点2　用频率直方图估计总体分布
为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举办了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统 计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若成绩在75.5～85的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？
分组 频数 频率
50.5～60.5 4 0.08
60.5～70.5 0.16
70.5～80.5 10
80.5～90.5 16 0.32
90.5～100.5
合计 50
分组 频数 频率
50.5～60.5 4 0.08
60.5～70.5 8 0.16
70.5～80.5 10 0.20
80.5～90.5 16 0.32
90.5～100.5 12 0.24
合计 50 1.00
故频率分布表为：
(2)如图：
利用频率分布表画出频率直方图，然后根据频率直方图对整体分布进行估计．　
　 某学校高一年级有学生400名，高二年级有学生500名．现用分层抽样的方法(按高一年级、高二年级分二层)，从该校的学生中抽取90名学生，调查他们的数学学习能力．
(1)高一年级学生中和高二年级学生中各抽取多少学生？
(2)通过一系列的测试，得到这90名学生的数学能力值．分别如表一和表二．
表一：


表二：
高一年级 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
人数 4 8 x 6 1
高二年级 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
人数 3 6 y 15 11
①确定x，y，并完成频率直方图；
②分别估计该校高一年级学生和高二年级学生的数学能力值的平均数；
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
③根据已完成的频率直方图，指出该校高一年级学生和高二年级学生的数学能力值分布特点的不同之处．(不用计算，通过观察直方图直接回答结论)
解：(1)高一年级学生中抽取40名学生，高二年级学生中抽取50名学生．
(2)①x＝21，y＝15；
频率直方图
高一学生数学能力值的频率直方图
高二学生数学能力值的频率直方图
②样本中高一年级学生的数学能力值的平均数是：
55×0.1＋65×0.2＋75×0.525＋85×0.15＋95×0.025＝73；
样本中高二年级学生数学能力值的平均数是：
55×0.06＋65×0.12＋75×0.3＋85×0.3＋95×0.22＝80；
由此估计该校高一年级学生数学能力值的平均数是73，高二年级学生的数学能力值的平均数是80.
③该校高二年级学生的数学能力值平均数高于高一年级学生，高二年级学生的数学能力值的差异程度比高一年级学生低．
探究点3　百分位数的应用
从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7．9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.
(1)分别求出这组数据的25，75，95百分位数；
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；
(3)若用25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标 准．
(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则15百分位数是第2个数据为7.9.
即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8，7.9.
(3)由(1)可知样本数据的25百分位数是8.15 g，50百分位数为8.5 g，95百分位数是9.9 g，所以质量小于8.15 g的珍珠为次品，质量大于或等于8.15 g且小于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于或等于8.5 g且小于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于或等于9.9 g的珍珠为特优品．
求一组n个数据的p百分位数的步骤：
(1)把所有数据按从小到大的顺序排列；
(2)计算i＝n×p%；
(3)若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则p百分位数为第j项数据；若i是整数，则p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．　
　 某中学高一年级新生有712人，其中男生326人，女生386人，现在想了解 男生的身高状况，从中抽取23个样本，观测数据如下(单位：cm)：
173．0 174.0 166.0 172.0 170.0 166.0 165.0 168.0
164．0 173.0 172.0 173.0 175.0 168.0 170.0 172.0
176．0 175.0 168.0 173.0 167.0 170.0 175.0
问题：
(1)请估计高一年级男生的25，50，75百分位数；
(2)如果要减小估计误差，可以怎么做？
解：(1)因为23×25%＝5.75，所以25百分位数为第6项数据168；
因为23×50%＝11.5，所以50百分位数为第12项数据172；
因为23×75%＝17.25，所以75百分位数为第18项数据173.
(2)扩大抽取的样本量．
1．一组数据的方差一定是(　　)
A．正数　　　　　　　 B．负数
C．任意实数 D．非负数
解析：方差可为0和正数．
√
2．如图是一次考试结果的频率直方图，若规定60分以上(含60分)为考试合格，则这次考试的合格率为(　　)
A．0.02
B．0.035
C．0.4
D．0.7
解析：观察频率直方图可知这次考试的合格率为(0.015＋0.02)×20＝0.7.故选D．
√
√
4．一个小商店从一家食品有限公司购进一批袋装白糖，抽取其中21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500 g，为了了
解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量(单位：g)如下：
486　495　496　498　499　493　493
498　484　497　504　489　495　503
499　503　509　498　487　500　508
估计这批袋装白糖的75百分位数是________．
解析：将数据按从小到大排列为484　486　487　489　493　493　495　495　496　497　498　498　498　499
499　500　503　503　504　508　509
75%×21＝15.75，所以这组数据的75百分位数为第16个数据为500.
故答案为：500.
答案：500
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