已知点P(3，m)，则P到y轴的距离为________．P到x轴的距离为________．
答案：3 |m|
动点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则OP的最小值为________．
解析：OP的最小值即为点O到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝2.
答案：2
两平行线3x＋4y－1＝0与3x＋4y＋4＝0的距离为________．
解析：在其中一条直线如3x＋4y－1＝0上任取一点(0，)，它到3x＋4y＋4＝0的距离为＝1.
答案：1
如果已知两点O(0，0)，A(4，－1)到直线mx＋m2y＋6＝0的距离相等，那么m可取不同实数值的个数有________个．
解析：解方程＝(m≠0)，
得m＝6或m＝－2或m＝4.
答案：3
到两条平行直线2x＋y＋1＝0和2x＋y＋5＝0的距离相等的点的轨迹方程是________．
解析：设P(x0，y0)是所求轨迹上的任意一点，则由题意得＝，∴|2x0＋y0＋1|＝|2x0＋y0＋5|，∴2x0＋y0＋1＝－2x0－y0－5，即2x0＋y0＋3＝0，又∵P(x0，y0)是任意的，故所求点的轨迹方程为2x＋y＋3＝0.
答案：2x＋y＋3＝0
[A级 基础达标]
已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________．
解析：由＝1，可求得a＝－1±.
再由a＞0得a＝－1.
答案：－1
若点(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围是________．
解析：≤3，解得0≤a≤10.
答案：0≤a≤10
直线l1经过点(3，0)，直线l2经过点(0，4)，且l1∥l2，d表示l1和l2间的距离，则d的取值范围是________．
解析：当l1，l2与过(3，0)、(0，4)两点的直线垂直时，dmax＝5.
答案：(0，5]
在直线x＋3y＝0上求一点，使它到原点的距离和到直线x＋3y＋2＝0的距离相等，则此点坐标是________．
解析：由于点在直线x＋3y＝0上，设点的坐标为(－3a，a)，又因为直线x＋3y＝0与直线x＋3y＋2＝0平行，则两平行线间的距离为＝，根据题意有＝，解得a＝±.
答案：(－，)或(，－)
在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有________条．
解析：法一：由图可知：符合条件的直线为y＝3，连结AB交y＝3于M，则y＝3关于直线AB对称的直线MN也满足题中条件，故共有2条．
法二：由题意知所求直线必不与y轴平行，可设直线y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.
d1＝＝1，d2＝＝2.
解得或
∴符合题意的有两条直线．
答案：2
若(x，y)是直线x＋y＋1＝0上的点，求x2＋y2－2x－2y＋2的最小值．
解：∵x2＋y2－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2，
设M(1，1)，则所求式的几何意义是点M(1，1)与直线x＋y＋1＝0上的点的距离的平方．可见其最小值为点M(1，1)到直线x＋y＋1＝0的距离的平方．
d＝＝.
∴x2＋y2－2x＋2y＋2的最小值为.
△ABC的三个顶点是A(－1，4)，B(－2，－1)，C(2，3)．
(1)求BC边的高所在直线方程；
(2)求△ABC的面积S.
解：(1)设BC边的高所在直线为l，
由题知kBC＝＝1，
则k＝＝－1，
又点A(－1，4)在直线l上，
所以直线l的方程为y－4＝－(x＋1)，
即x＋y－3＝0.
(2)BC所在直线方程为：
y＋1＝1×(x＋2)，即x－y＋1＝0，
点A(－1，4)到BC的距离
d＝＝2.
又BC＝＝4，
则S△ABC＝·BC·d
＝×4×2＝8.
[B级 能力提升]
点M在直线x－2y－1＝0上，且点M到直线x＋y－2＝0的距离为，则点M坐标为________．
解析：设M(2y＋1，y)，则＝，
∴y＝－或1，
∴M(3，1)或M(，－)．
答案：(3，1)或(，－)
m变化时，两平行线3x－4y＋m－1＝0和3x－4y＋m2＝0之间的距离最小值等于________．
解析：d＝＝≥.
答案：
已知正方形的中心为点M(－1，0)，一条边所在直线的方程是x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．
解：设与直线x＋3y－5＝0平行的直线为x＋3y＋m＝0，则中心M(－1，0)到这两直线等距离，由点到直线的距离公式得＝ |m－1|＝6＝ m＝7或m＝－5.
∴与x＋3y－5＝0平行的边所在直线方程为x＋3y＋7＝0.
设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线方程为3x－y＋n＝0，
则由＝，
得|n－3|＝6 n＝9或n＝－3，
∴另两边所在直线方程为3x－y＋9＝0和3x－y－3＝0.
(创新题)已知定点P(－2，－1)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，λ∈R.求证：不论λ取何值时，点P到直线l的距离不大于.
证明：法一：由点到直线的距离，得P(－2，－1)到直线l的距离
d＝
＝ .
整理，得(13d2－169)λ2＋(10d2－130)λ＋2d2－25＝0.
∵λ∈R，
∴Δ＝(10d2－130)2－4(13d2－169)(2d2－25)≥0，
解得0≤d≤.故结论成立．
法二：由已知l的方程得x＋y－2＋λ(3x＋2y－5)＝0.
由解得
∴直线l过定点M(1，1)．
又PM＝＝.
当且仅当l与PM垂直时，点P到l的距离最大，故0≤d≤.给出下列四个命题：
①在空间，若两条直线不相交，则它们一定平行；
②平行于同一条直线的两条直线平行；
③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；
④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.
其中正确的是________(填序号)．
解析：①在空间，两条直线不相交，可能平行，也可能异面，故①不正确；
②由公理4可知正确；
③不正确，一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它和另一条可能异面，也可能相交，
④由公理4可知正确．
答案：②④
下列说法正确的有________．(写出所有正确说法的编号)
①两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线；
②两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线；
③两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线；
④两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线．
解析：①只说明两直线不同在一个平面内，没有说明平面的任意性；②把两条直线放到特定的两个平面内，也不具有任意性；③从反面肯定了两直线的异面；④中的两条直线可能在同一平面内．故填③.
答案：③
.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线．
(1)∠DBC的两边与________的两边分别对应平行且方向相同；
(2)∠DBC的两边与________的两边分别对应平行且方向相反．
解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别对应平行且方向相同．
(2)D1B1∥BD，D1A1∥BC并且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别对应平行且方向相反．
答案：(1)∠D1B1C1 (2)∠B1D1A1
已知a，b，c是空间三条直线，则下列说法中正确的个数为________．
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；
③若a，b相交，b，c相交，则a，c也相交；
④若a，b共面，b，c共面，则a，c也共面．
解析：若a⊥b，b⊥c，则a，c共面(相交，平行)或异面，故①错；若a，b异面，b，c异面，则a，c相交或平行或异面，故②错；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交或平行或异面，故③错；若a，b共面，b，c共面，则a，c共面或异面，故④错．故填0.
答案：0
如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，则AD，BC所成角的大小为________．
解析：取AC的中点G，连结EG，FG(图略)，易知∠EGF＝90°.
答案：90°
[A级 基础达标]
下列说法中正确的是________(填序号)．
①两直线无公共点，则两直线平行；②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内的任一直线均构成异面直线；④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．
解析：对于①，两直线无公共点，可能平行，也可能异面；对于②，由两直线的位置关系知其正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的直线与平面内经过线面交点的直线是相交直线而不是异面直线；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线．
答案：②
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是AB、AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．
解析：∵在△ABC中，
AE∶EB＝AF∶FC，
∴EF∥BC，又∵BC∥B1C1，
∴EF∥B1C1.
答案：平行
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与NB是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．
解析：①错误，AM与CC1是异面直线．
②错误，取DD1中点P，则AP∥BN.
∵AP与AM相交，
∴AM与BN不平行．
③正确．④正确．
答案：③④
正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则B1D与CC1所成角的正切值为________．
解析：如图，B1D与CC1所成的角为∠BB1D.
∵△DBB1为直角三角形．
∴tan∠BB1D＝＝.
答案：
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AA1，AB，CC1的中点．试判断以下各对线段所在的直线的位置关系：
(1)AB与DD1：________．
(2)D1E与BC：________．
(3)D1E与BG：________．
(4)D1E与CF：________．
解析：(1)因为D1 面ABCD，D∈面ABCD，AB 面ABCD，D AB，所以AB所在直线与DD1所在直线是异面直线，依据是异面直线的判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)依据异面直线的判定定理，D1E的延长线与DA的延长线相交，交点不在BC所在直线上．(3)取D1D的中点M，连结MA，MG(图略)，可证四边形MABG为平行四边形，所以MA∥GB，又D1E∥MA，所以由公理4知，D1E∥BG.(4)延长D1E，CF，与DA的延长线交于同一点．
答案：(1)异面直线 (2)异面直线 (3)平行直线
(4)相交直线
已知不共面直线a，b，c相交于点P，A∈a，D∈a，B∈b，E∈c.
求证：BD和AE是异面直线．
证明：假设BD与AE不是异面直线，
则BD与AE确定一个平面α，
则A，B，D，E∈α，则A，D确定的直线a α.
又∵P∈a，∴P∈α.
∴P，E确定的直线c α，P，B确定的直线b α.
∴a，b，c共面，与已知a，b，c不共面矛盾，
所以BD 与AE是异面直线．
(2012·启东中学质检)如图，E、F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A、C1C的中点．
求证：四边形B1EDF是平行四边形．
证明：如图，
设Q是DD1的中点，连结EQ、QC1，
∵E是AA1的中点，
∴EQ A1D1，
又在矩形A1B1C1D1中，
A1D1 B1C1，
∴EQ B1C1(平行公理)，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E C1Q，
又∵Q、F是矩形DD1C1C的两边的中点，
∴QD C1F，
∴四边形DQC1F为平行四边形，
∴C1Q DF，又∵B1E C1Q，∴B1E DF，
∴四边形B1EDF是平行四边形．
[B级 能力提升]
如图所示的是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，
①BM与ED是异面直线；
②CN与BE是异面直线；
③DM与BN垂直．
以上三个命题中，正确的是________(填序号)．
解析：在正方体中，直线间的关系比较清楚，所以可以把原图还原为正方体，找出相应直线间的关系．
答案：①③
(2012·镇江质检)空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是________．
解析：如图，∵PQ AC，QR BD，∴∠PQR为异面直线AC与BD所成的角，由勾股定理得∠PQR＝90°.
答案：90°
如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．
(1)若AC⊥BD，求证：EFGH为矩形；
(2)若BD＝2，AC＝6，求EG2＋HF2；
(3)若AC，BD成30°角，AC＝6，BD＝4，求四边形EFGH的面积．
解：(1)∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD且EH＝FG＝，
∴四边形EFGH为平行四边形．
又∵AC⊥BD，HG∥AC，
∴EH⊥HG，∴四边形EFGH为矩形．
(2)由(1)知四边形EFGH为平行四边形，
∴EG2＋HF2＝2(EH2＋EF2)＝2×10＝20.
(3)∵AC，BD成30°角，EH＝BD＝2，HG＝AC＝3，
∴四边形EFGH的面积为EH·HGsin30°＝3.
(创新题)已知正方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求A1B与B1D1所成的角；
(2)求AC与BD1所成的角．
解：(1)如图，连结BD，A1D，A1B.
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴DD1 BB1，
∴四边形DBB1D1为平行四边形，
∴BD∥B1D1.
∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，
∴A1B＝BD＝A1D，
即△A1BD是正三角形，
∴∠A1BD＝60°.
∵∠A1BD是锐角，
∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，
∴A1B与B1D1所成的角为60°.
(2)取DD1的中点E，连结EO，EA，EC.
∵O为BD的中点，∴OE∥BD1.
∵∠EDA＝90°＝∠EDC，AD＝DC，
∴△EDA≌△EDC，∴EA＝EC.
在等腰△EAC中，∵O是AC的中点，
∴EO⊥AC，∴∠EOA＝90°.
∵∠EOA是异面直线AC与BD1所成角．
∴AC与BD1所成的角为90°.若两圆的方程分别为x2＋y2－4x－1＝0，x2＋y2－6x＋2y－15＝0，则两圆的位置关系为________．
解析：C1(2，0)，r1＝，C2(3，－1)，r2＝5，|C1C2|＝<5－，故两圆内含．
答案：内含
圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的公切线共有________条．
解析：C1(－2，2)，r1＝1，C2(2，5)，r2＝6，|C1C2|＝5＝r2－r1.∴两圆内切，∴公切线只有1条．
答案：1
两圆C1：x2＋y2－2x＝0，C2：x2＋y2＋4y＝0的公共弦所在直线的方程为________．
解析：法一：求出它们的两个交点A，B，再用两点式求出直线AB的方程．
法二：设一个交点为(x0，y0)，则x＋y－2x0＝0且x＋y＋4y0＝0，两式相减得2x0＋4y0＝0，即x0＋2y0＝0，也就是直线x＋2y＝0过定点(x0，y0)．而(x0，y0)是任一交点，∴x＋2y＝0过任一交点，而过两个点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y＝0.
答案：x＋2y＝0
半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为________．
解析：设圆心(a，b)，由题意有
∴或
∴圆心为(±4，6)，又半径为6.
∴圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝62.
答案：(x－4)2＋(y－6)2＝36或(x＋4)2＋(y－6)2＝36
[A级 基础达标]
两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦长________．
解析：由，
②－①得两圆公共弦所在直线方程为x－y－3＝0.
∴圆x2＋y2＝5的圆心到该直线的距离为
d＝＝.
设公共弦长为l，∴l＝2＝.
答案：
点P在圆O: x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则PQ的最小值为________．
解析：如图．
设连心线OC与圆O交于点P′，与圆C交于点Q′，当点P在P′处，点Q在Q′处时PQ最小，最小值为P′Q′＝OC－r1－r2＝1.
答案：1
与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
解析：曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝5.如图所示，所求的最小圆的圆心在直线y＝x上，其到直线的距离d＝＝，即为其半径，圆心坐标为(2，2)．所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
答案：(x－2)2＋(y－2)2＝2
(2012·南京质检)若a2＋b2＝4，则两圆(x－a)2＋y2＝1与x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．
解析：∵两圆的圆心分别为O1(a，0)，O2(0，b)，半径r1＝r2＝1，∴O1O2＝＝2＝r1＋r2，两圆外切．
答案：外切
两圆相交于A(1，3)和B(m，－1)两点，且两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值是________．
解析：由题意知，直线AB与x－y＋c＝0相互垂直，
则有×1＝－1，
∴m＝5，∴AB中点为(3，1)．
由圆的性质知，AB的中点在直线x－y＋c＝0上，
即3－1＋c＝0，∴c＝－2，从而m＋c＝5－2＝3.
答案：3
求过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程．
解：设所求圆的方程为x2＋y2－x－y－2＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0.
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(4λ－1)x＋(－4λ－1)y－8λ－2＝0.
因为所求圆过点(3，1)，所以有9(λ＋1)＋(λ＋1)＋3(4λ－1)＋(－4λ－1)－8λ－2＝0.解得λ＝－.所以所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋＝0.
即3x2＋3y2－13x＋3y＋6＝0.
求两圆x2＋y2－2x－6y＋9＝0和x2＋y2－2mx－2(m－1)y＋2m2－2m＝0的圆心距的最小值，并判断当这个圆心距取得最小值时两圆的位置关系．
解：将两圆方程化为标准方程得
(x－1)2＋(y－3)2＝1，
(x－m)2＋[y－(m－1)]2＝1.
两圆圆心距d＝
＝
＝.
故当m＝时，dmin＝，
此时，d＝>1＋1，
∴两圆相离．
[B级 能力提升]
若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程是________．
解析：∵圆x2＋y2＝1的圆心关于直线y＝x－1的对称点是(1，－1)，它也是圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0的圆心，∴a＝2，设点P(x，y)，则有＝|x|，即y2＋4x－4y＋8＝0.
答案：y2＋4x－4y＋8＝0
圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是________．
解析：两圆的方程相减得直线AB的方程：x＋3y＝0.
则AB的垂直平分线的方程是：y＝3(x－3)，
即3x－y－9＝0.
答案：3x－y－9＝0
从圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0外一点P(a，b)向圆引切线PT，T为切点，且PT＝PO(O为原点)，求PT的最小值及此刻P的坐标．
解：已知圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1，∴圆心C的坐标为(2，3)，半径r＝1，如图，连结PC，CT.由平面几何知识，
PT2＝PC2－CT2＝(a－2)2＋(b－3)2－1.
由已知PT＝PO，∴PT2＝PO2，即(a－2)2＋(b－3)2－1＝a2＋b2，
∴2a＋3b－6＝0，∴b＝，
∴PT2＝PO2＝a2＋b2＝a2＋()2＝a2＋(a－3)2＝(13a2－24a＋36)，∴PT＝＝.
∴当a＝时，PTmin＝＝，此时P点的坐标为(，)．
(创新题)已知点P(－2，－3)和以点Q为圆心的圆(x－4)2＋(y－2)2＝9.
(1)Q′为PQ中点，画出以PQ为直径，Q′为圆心的圆，再求出它的方程；
(2)作出以Q为圆心的圆和以Q′为圆心的圆的两个交点A，B.直线PA，PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？
(3)求直线AB的方程．
解：(1)∵已知圆的方程为(x－4)2＋(y－2)2＝32，
∴Q(4，2)．
PQ中点为Q′(1，－)，
半径为r＝＝，
故以Q′为圆心的圆的方程为
(x－1)2＋(y＋)2＝(如图所示)．
(2)∵PQ是圆Q′的直径，
∴PA⊥AQ，
∴PA是圆Q的切线，同理PB也是圆Q的切线．
(3)将圆Q与圆Q′方程相减，得6x＋5y－25＝0.
即直线AB的方程为6x＋5y－25＝0.如果不在平面α内的一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系为________．
解析：设平面α的垂线为a，过a上一点作l′∥l，设l′与a所确定的平面交α于b，则a⊥b，而a⊥l′，
∴l′∥b，∴l∥b，即可得l∥α.
答案：平行
下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°)；
②直线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°]；
③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；
④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．
其中正确的是________(填序号)．
解析：②应为[0°，90°]；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．
答案：①④
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，它的六个面中与棱AA1垂直的有________个．
解析：面A1B1C1D1与面ABCD都与棱AA1垂直．
答案：2
下列说法中正确的个数是________．
①如果一条直线和一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直；
②如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内的所有直线都垂直；
③如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直；
解析：①②正确，③中缺少两条“相交”直线这一条件．
答案：2
若点A 平面α，点B∈α，AB＝6，AB与α所成的角为45°，则A到α的距离为________．
解析：如图，过A作AH⊥平面α于H，连结BH，则∠ABH＝45°.
在Rt△ABH中，AH＝ABsin45°＝3.
答案：3
[A级 基础达标]
已知直线a和平面α、β，α∩β＝l，a α，a β，a在α，β内的射影分别为b和c，则b和c的位置关系是________．
解析：当直线a∥平面α，直线a∥平面β时，a∥b且a∥c，则b∥c；当直线a∩平面α＝A，直线a∩平面β＝B.且AB与l不垂直时，b与c异面；当a∩l＝O时，b与c相交于O.∴b和c的位置关系是相交、平行或异面．
答案：相交，平行或异面
垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是________．
解析：梯形的两腰所在的直线是相交的直线，故直线垂直于梯形所在平面内的两条相交直线，所以直线与平面垂直．
答案：垂直
如图，边长为2的正方形ABCD在α上的射影为EFCD，且AB到α的距离为，则AD与α所成的角为________．
解析：在Rt△AED中，AE＝，AD＝2，
∴∠ADE＝30°.
答案：30°
在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的有________．(填序号)
解析：在①中，设面BCD上的另一个顶点为A1，连结BA1，易得CD⊥BA1，CD⊥AA1，即CD⊥平面ABA1，∴CD⊥AB.
答案：①
如图，PA⊥面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
解析：∵PA⊥面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，
∴△PAB，△PAC为直角三角形．
∵BC⊥AC，∴△ABC为直角三角形．
∵BC⊥AC，BC⊥PA，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
∵PC 平面PAC，∴BC⊥PC.
∴△PBC也为直角三角形．
答案：4
如图，已知P是菱形ABCD所在平面外一点，且PA＝PC.求证：AC⊥平面PBD.
证明：设AC∩BD＝O，连结PO(图略)．
∵PA＝PC，∴AC⊥PO.
又ABCD为菱形，∴AC⊥BD.
而PO∩BD＝O，PO，BD 平面PBD，
∴AC⊥平面PBD.
已知在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.
证明：如图，过A作AO⊥平面BCD于O，则AO⊥CD.连结OB，OC，
∵AB⊥CD，AO∩AB＝A，
∴CD⊥平面AOB，∴BO⊥CD.
同理得CO⊥BD，∴O是△BCD的垂心．
连结DO并延长交BC于M，则DM⊥BC，
而AO⊥BC，AO∩DM＝O，∴BC⊥平面AOD，
∴BC⊥AD.
[B级 能力提升]
如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．
解析：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥QD，
又PQ⊥QD，PQ∩PA＝P，
∴QD⊥平面APQ，∴AQ⊥QD.
即Q在以AD为直径的圆上，当半圆与BC相切时，点Q只有一个．故BC＝2AB＝2，即a＝2.
答案：2
正△ABC边长为a，沿高AD把△ABC折起，使∠BDC＝90°，则B到AC的距离为________．
解析：如图，作DH⊥AC于H，连结BH.
∵BD⊥AD，BD⊥DC，AD∩DC＝D，∴BD⊥平面ACD.从而BD⊥DH，
∴DH为BH在平面ADC内的射影，∴BH⊥AC，
又正△ABC边长为a，∴DH＝a，
∴BH＝＝a.
答案：a
如图，已知α∩β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，a β，a⊥AB.求证：a∥l.
证明：∵EA⊥α，l α，
∴EA⊥l.同理EB⊥l.
∵EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.
∵EB⊥β，a β，∴EB⊥a.
又AB⊥a，AB∩EB＝B，
∴a⊥平面EAB.∴a∥l.
(创新题)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2AD，E为AB的中点，M为DE的中点，将△AED沿DE折起，使AB＝AC.
求证：AM⊥平面BCDE.
证明：取BC中点N，连结MN，AN.
∵AB＝AC，∴AN⊥BC.
又MN⊥BC，MN∩AN＝N，
∴BC⊥平面AMN，
∴BC⊥AM.
∵AD＝AE，∴AM⊥DE.
而直线BC与DE为相交直线，
∴AM⊥平面BCDE.过点(1，1)和圆x2＋y2＝1相切的直线方程为________．
答案：x＝1或y＝1
过点P(3，－4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，则切线长为________．
解析：圆心到P的距离为＝，
∴切线长为＝7.
答案：7
直线y＝x被圆(x－2)2＋(y－4)2＝10所截得的弦长为________．
解析：法一：求出两个交点，进而求出距离；
法二：弦心距为＝，∴弦长为2×＝4.
答案：4
若直线ax＋by＋1＝0与圆C：x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆C的位置关系是________．
解析：由题意<1，
∴a2＋b2>1，点P(a，b)到圆心的距离为
＝>1＝r，∴点P在圆C外．
答案：点P在圆C外
若直线x＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则a的值为________．
解析：利用平面几何知识求解，直线与圆的两交点分别为(2，)，(2，－)，故弦长为2＝2，解得a＝1或3.
答案：1或3
[A级 基础达标]
直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．
解析：∵d＝＝＜1，
∴直线与圆相交．
答案：相交
直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于________．
解析：圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心C(1，0)，半径r＝，直线x－y＋m＝0与圆相切时，d＝r，即＝，解得m＝－3或m＝.
答案：－3或
(2010·高考四川卷)直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A、B两点，则AB＝________．
解析：圆心到直线的距离d＝＝，半径R＝2，所以弦长AB＝2＝2＝2.
答案：2
圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝8上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点的个数为________．
解析：圆心(－1，－2)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，又圆半径r＝2，所以满足条件的点共有3个．
答案：3
过点A(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k等于________．
解析：由(1－2)2＋()2＝3<4可知，点A(1，)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，圆心为O(2，0)，要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥OA，所以kl＝－＝－＝.
答案：
已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切？
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．
解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方后得到标准方程x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切，则有＝2.
解得a＝－.
即当a＝－时，直线l与圆C相切．
(2)法一：过圆心C作CD⊥AB于点D，
则根据题意和圆的性质，
得
解得a＝－7或a＝－1.
即直线l的方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
法二：联立方程组并消去y，得(a2＋1)x2＋4(a2＋2a)x＋4(a2＋4a＋3)＝0.
设此方程的两根分别为x1，x2，
由AB＝2＝，
可求出a＝－7或a＝－1.
所以直线l的方程是7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
求通过直线l：2x＋y＋4＝0与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，并且有最小面积的圆的方程．
解：由x2＋y2＋2x－4y＋1＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴C(－1，2)．
设直线l与圆C交于A，B两点，D为AB的中点，∴kCD＝－＝.
∴CD的方程为y－2＝(x＋1)即x－2y＋5＝0.
由可得D的坐标为(－，)．
由点到直线的距离公式得CD＝＝，AD＝＝＝.
∴以D为圆心，AB为直径的圆是面积最小圆．
故所求圆的方程为：(x＋)2＋(y－)2＝.
[B级 能力提升]
(2010·高考山东卷)已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上．直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．
解析：设圆心坐标为(x0，0)(x0>0)，由于圆过点(1，0)，则半径r＝|x0－1|.圆心到直线l的距离为d＝.由弦长为2可知()2＝(x0－1)2－2，
整理得(x0－1)2＝4.
∴x0－1＝±2，∴x0＝3或x0＝－1(舍去)．
因此圆心为(3，0)，由此可求得过圆心且与直线y＝x－1垂直的直线方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
(2010·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
解析：由题设，得若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0，0)到直线的距离d满足0≤d＜1.
∵d＝＝，
∴0≤|c|＜13，即c∈(－13，13)．
答案：(－13，13)
矩形ABCD中，AB∶BC＝4∶3，点E在边CD上，且CE∶ED＝1∶7，试确定以BC为直径的圆与直线AE的位置关系．
解：如图，分别以AB、AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系．不妨设|AB|＝8，则|AD|＝6，
∴A(0，0)，B(8，0)，C(8，6)，E(7，6)，
∴直线AE的方程为y＝x，
即6x－7y＝0.
BC中点为M(8，3)，
∴以BC为直径的圆的方程为(x－8)2＋(y－3)2＝9.M(8，3)到AE的距离d＝＝<＝3＝r.
∴直线AE与圆相交．
(创新题)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：设这样的直线存在，其方程为y＝x＋m，
它与圆C的交点设为A(x1，y1)、B(x2，y2)．
则由
得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0 (*)
∴
∴y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2.
由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0.
∴2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0.
m2＋4m－4－m(m＋1)＋m2＝0.m2＋3m－4＝0.
∴m＝1或m＝－4.
容易验证：m＝1或m＝－4时(*)有实根．故存在这样的直线，有两条，其方程为y＝x＋1或y＝x－4.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
模块综合检测
(时间：120分钟；满分：160分)
模块综合检测一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分，把答案填在题中横线上)
直线l不在平面α内，用符号表示为________．
答案：l α
下列结论中，正确的是________(填序号)．
①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；
②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行；
③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；
④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内．
解析：过平面外一点可作一条直线与已知平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，所以①不对；若α⊥β，a⊥α则a β或a∥β，②不对；③当平面外的直线是平面的垂线时，能作无数个平面与已知平面垂直，否则只能作一个，因而③也不对．
答案：④
半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为________．
解析：设圆心坐标为(a，b)，由所求圆与x轴相切且与圆x2＋(y－3)2＝1相内切可知，所求圆的圆心必在x轴的上方，且b＝6，即圆心为(a，6)．由两圆内切可得＝6－1＝5，所以a＝±4.所以所求圆的方程为(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36.
答案：(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
如图所示，梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图(斜二测画法)，若A1D1∥O′y′，D1C1在O′x′上，A1B1∥O′x′，且有A1D1＝1，A1B1＝2，C1D1＝3，则平面图形ABCD的面积是________．
解析：把直观图还原为平面图求解．由于A1D1∥O′y′，D1C1在O′x′上，A1B1∥O′x′，所以原四边形ABCD是∠ADC＝90°的直角梯形，且AD＝2A1D1＝2，AB＝A1B1＝2，CD＝C1D1＝3，所以S梯形ABCD＝·(AB＋CD)·AD＝×(2＋3)×2＝5.
答案：5
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD1与直线A1C1所成的角是________度．
解析：只需求AD1与AC所成的角，再由△AD1C为正三角形即可求出．
答案：60
如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是________．
解析：设点M到截面ABCD的距离为h，由VC ABM＝VM ABC知
·S△ABM·1＝·S△ABC·h，
又S△ABM＝，S△ABC＝××＝.
∴h＝.
答案：
在直线y＝－2上有点P，它到点A(－3，1)和B(5，－1)的距离之和最小，则P点的坐标是________．
解析：点B关于直线y＝－2的对称点为B′(5，－3)，AB′的方程：＝，即x＋2y＋1＝0.令y＝－2，
得x＝3，所以P点坐标为(3，－2)．
答案：(3，－2)
正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为________．
解析：由已知得正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，
∴V棱柱＝××××＝.
答案：
已知直线l过直线l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0，则直线l的方程是________．
解析：法一：由直线l过l1与l2的交点，故可设直线l的方程为3x－5y－10＋λ(x＋y＋1)＝0，
即(3＋λ)x＋(λ－5)y＋λ－10＝0.
∵l∥l3，∴＝≠，∴λ＝－11.
∴直线l的方程为－8x－16y－21＝0，
即8x＋16y＋21＝0.
法二：因为l∥l3，所以可设l的方程为x＋2y＋m＝0，
又∵得
将点代入l的方程得m＝.
故l的方程为x＋2y＋＝0，即8x＋16y＋21＝0.
答案：8x＋16y＋21＝0
如图所示，正四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为________．
解析：如图所示，过S作SO1⊥面ABCD，由已知O1C＝AC＝1.
在Rt△SO1C中，∵SC＝，
∴SO1＝＝1，
∴O1S＝O1A＝O1B＝O1C＝O1D，故O1是过S，A，B，C，D的球的球心，∴球半径为r＝1，
∴球的体积为π·r3＝π.
答案：π
如果圆锥的轴截面是正三角形(此圆锥也称等边圆锥)，则该圆锥的侧面积与表面积的比是________．
解析：设圆锥的底面半径为R，根据题意得出圆锥的母线长l＝2R，所以圆锥的侧面积为πRl＝2πR2.圆锥的表面积为πRl＋πR2＝3πR2，所以S侧∶S表＝2∶3.
答案：2∶3
已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心O，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于________．
解析：如图所示，过点B1作平面ABC的垂线，垂足为D，连结AD，则∠B1AD就是所求的线面角．由题意知三棱锥A1－ABC为正四面体，设棱长为a，则AB1＝a，
棱柱的高A1O＝＝ ＝a.由于A1B1∥平面ABC，故B1D＝A1O＝a.在Rt△AB1D中，sin∠B1AD＝＝，故AB1与底面ABC所成角的正弦值为.
答案：
直线x＋y－2＝0截圆x2＋y2＝4得到的劣弧所对应的圆心角为________．
解析：圆心O(0，0)到直线的距离d＝＝，半径r＝2，设所求角为θ，则θ∈(0°，180°)，cos＝.
∴＝30°，∴θ＝60°.
答案：60°
已知点N(3，1)，点A，B分别在直线y＝x和y＝0上，则△ABN的周长的最小值是________．
解析：如图所示，点N(3，1)关于直线y＝x的对称点为P(1，3)，点N关于直线y＝0的对称点为M(3，－1)，直线PM交直线y＝x于点A，交直线y＝0于点B，连结AN，BN，则此时△ABN的周长最小，为AB＋AN＋BN＝AB＋AP＋BM＝PM＝2.
答案：2
二、解答题(本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(本小题满分14分)已知直线l1：(a＋1)x＋y－＝0，l2：x－y－＝0.
(1)当a为何值时，l1∥l2 当a为何值时，l1⊥l2
(2)若l1与l2相交，且交点在第一象限，求a的取值范围．
解：(1)当(a＋1)·(－1)－1＝0且－－≠0时，l1∥l2，上式无解，即不存在a∈R，使l1∥l2.
当(a＋1)·1－1＝0，即a＝0时，l1⊥l2.
(2)方程联立得交点坐标为，
所以解得1＜a＜2.
(本小题满分14分)在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点．
求证：(1)直线EF∥面ACD；
(2)面EFC⊥面BCD.
证明：(1)∵E，F分别是
AB，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥AD.
∵EF 面ACD，AD 面ACD，
∴直线EF∥面ACD.
(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，
∴EF⊥BD.
∵CB＝CD，F是BD的中点，
∴CF⊥BD.
又EF∩CF＝F，∴BD⊥面EFC.
∵BD 面BCD，∴面EFC⊥面BCD.
(本小题满分14分)已知圆C的方程为(x－a)2＋(y－a＋1)2＝1.
(1)若圆C过点A(1，－1)，求a的值；
(2)若圆C和直线x＋y＋－1＝0相切，求a的值；
(3)若原点和圆心C的距离最小时，求a的值；
(4)求证：圆C的圆心在一条定直线上．
解：(1)将点A(1，－1)的坐标代入圆的方程，
得(1－a)2＋a2＝1，即a2－a＝0.
∴a＝0或a＝1.
(2)由条件，得＝1，
即|2a＋－2|＝.
∴2a＋－2＝或2a＋－2＝－，
∴a＝1或a＝1－.
(3)原点和圆心C的距离为
OC＝＝
＝.
∴当a＝时，OCmin＝.
(4)证明：设圆心C(m，n)，则∴n＝m－1.
故圆心C在定直线y＝x－1上．
(本小题满分16分)如图，已知Rt△ABC中，AB＝AC＝，AD为斜边BC上的高，以AD为折痕，将△ABD折起，使∠BDC为直角．
(1)求证：平面ABD⊥平面BDC；
(2)求证：∠BAC＝60°；
(3)求点D到平面ABC的距离．
解：(1)证明：∵AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D，
∴AD⊥平面BDC.
又AD 平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BDC.
(2)证明：在原Rt△ABC中，AB＝AC＝，
∴BC＝2，∴BD＝DC＝1，
又折叠后∠BDC＝90°，
∴△BDC为等腰直角三角形．
∴BC＝，∴AB＝BC＝AC，
∴∠BAC＝60°.
(3)取BC的中点E，连结DE、AE.
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴DE⊥BC，AE⊥BC.
∴BC⊥平面ADE.
过D点作DM⊥AE，则DM⊥平面ABC.
在Rt△ADE中，AD＝1，DE＝，
∴AE＝.
∴斜边AE上的高DM＝＝，
∴D点到平面ABC的距离为.
(本小题满分16分)
如图，在四棱锥P ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离．
解：(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PD⊥BC.
因为∠BCD＝90°，所以BC⊥CD.
又PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD.
而PC 平面PCD，所以PC⊥BC.
(2)如图，过点A作BC的平行线交CD的延长线于E，过点E作PC的垂线，垂足为F，则有AE∥平面PBC，所以点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离．
又EF⊥PC，BC⊥平面PCD，
则EF⊥BC.
BC∩PC＝C，所以EF⊥平面PBC.
EF即为E到平面PBC的距离．
又因为AE∥BC，AB∥CD，
所以四边形ABCE为平行四边形．
所以CE＝AB＝2.
又PD＝CD＝1，PD⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PD⊥CD，∠PCD＝45°.
所以EF＝.
即点A到平面PBC的距离为.
(本小题满分16分)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1，0)．
(1)若l1与圆C相切，求l1的方程；
(2)若l1的倾斜角为，l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；
(3)若l1与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ面积的最大值．
解：(1)①若直线l1的斜率不存在，则直线x＝1，符合题意．
②若直线l1的斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即
kx－y－k＝0.
由题意知，圆心(3，4)到直线l1的距离等于半径2，
即：＝2，
解之得：k＝.
所求直线l1的方程是3x－4y－3＝0.
综上所述：所求直线l1方程是x＝1，或3x－4y－3＝0.
(2)直线l1的方程为y＝x－1.
∵M是弦PQ的中点，∴PQ⊥CM.
∴CM方程为y－4＝－(x－3)．
即x＋y－7＝0.
联立方程得
∴M点坐标为(4，3)．
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解析：AB＝＝5.
答案：5
已知点P(3，1)，Q(0，－1)，则点Q关于点P的对称点的坐标为________．
解析：点(x1，y1)关于点(x2，y2)对称点坐标为(2x2－x1，2y2－y1)，∴(0，－1)关于(3，1)的对称点坐标为(2×3－0，2×1－(－1))，即(6，3)．
答案：(6，3)
已知A(a，b)与B(2，1)的距离等于5，则a，b 满足的条件为________．
解析：由题意知＝5, 故(a－2)2＋(b－1)2＝25.
答案：(a－2)2＋(b－1)2＝25
已知点A(1，3)，B(m，1)，若直线l：x－2y＋1＝0恰好经过线段AB的中点，则m＝________．
解析：线段AB的中点坐标为(，2)，
代入直线l的方程，解得m＝5.
答案：5
直线2x－y＋3＝0关于直线y＝x＋2对称的直线方程是________．
解析：设(x′，y′)为直线2x－y＋3＝0上任一点，关于y＝x＋2的对称点为(x，y)，则由条件得，代入2x－y＋3＝0，得2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即x－2y＋3＝0.
答案：x－2y＋3＝0
[A级 基础达标]
若y轴上一点P与点(3，－1)的距离等于5，则P点的坐标为________．
解析：设P(0，y)，则＝5，解得y＝3或y＝－5，故点P的坐标为(0，3)或(0，－5)
答案：(0，3)或(0，－5)
已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB的垂直平分线方程是________．
解析：∵kAB＝＝－，∴AB的中垂线的斜率为2，
又AB中点为(，)，即(2，)，
故线段AB的垂直平分线方程是y－＝2(x－2)，
即4x－2y＝5.
答案：4x－2y＝5
(2012·徐州质检)x轴上任一点到定点(0，2)，(1，1)距离之和的最小值是________．
解析：点(1，1)关于x轴的对称点坐标为(1，－1)，要求的最小值为＝.
答案：
已知A(1，2)，B(－1，1)，C(0，－1)，D(2，0)，则四边形ABCD的形状为________．
解析：由kAB＝，kCD＝，kBC＝－2，kAD＝－2得
AB ∥CD，BC∥AD，AB⊥BC，ABCD为矩形，
又AB＝ ＝，
BC＝ ＝，∴AB＝BC，
故ABCD为正方形．
答案：正方形
直线l1：x－y＋1＝0关于点P(1，1)对称的直线l2的方程为________．
解析：因为点P不在直线l1上，所以l2∥l1，设l2的方程为x－y＋c＝0，在l1上取点A(－1，0)，则A关于点P的对称点A′(3，2)在直线l2上，所以3－2＋c＝0，即c＝－1，所以l2的方程为x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点，使PA＝PB，并求PA的值．
解：法一：设所求点P(x，0)，由PA＝PB得
＝，
于是有x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.
所以所求点P(1，0)且PA＝＝2.
法二：由已知得，线段AB的中点为M，直线AB的斜率为k＝，线段AB的垂直平分线的方程是y－＝·.
在上述式子中，令y＝0，解得x＝1.
所以所求点P的坐标为(1，0)，因此PA＝＝2.
已知过点P(0，1)的直线l和两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0相交于两点，点P(0，1)恰好是两交点的中点，求直线l的方程．
解：设l与l1、l2的交点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．
∵A为l1上的点，B为l2上的点，
∴x1－3y1＋10＝0，2x2＋y2－8＝0.
∵AB的中点为P(0，1)，
∴x1＋x2＝0，y1＋y2＝2.
∴x2＝－x1，y2＝2－y1.
∴∴
∴x2＝4，y2＝0.∴A(－4，2)、B(4，0)．
∴直线l的方程为y－0＝(x－4)，
即x＋4y－4＝0.
[B级 能力提升]
直线l与y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点为(1，－1)，则直线l的斜率为________．
解析：设l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立方程组，
解得P，Q，
因此，1＋＝－2，∴k＝－.
答案：－
光线从点A(－3，5)出发，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离为________．
解析：利用光学原理，求出点B(2，10)关于x轴的对称点B′(2，－10)．根据两点间的距离公式，
得AB′＝＝5.
答案：5
一条光线过点A(2，3)入射到直线x＋y＋1＝0上，被反射后经过点B(1，1)，求入射光线所在直线的方程．
解：求出点A(2，3)关于直线x＋y＋1＝0的对称点
A′(－4，－3)，A′在反射光线所在直线上．
∵kA′B＝，
∴反射光线所在直线的方程为y－1＝(x－1)．
即4x－5y＋1＝0，它与直线x＋y＋1＝0的交点坐标为(－，－)．∴k入射光线＝，
∴入射光线所在直线的方程为y－3＝(x－2)，
即5x－4y＋2＝0.
(创新题)如果点(x，y)在直线3x－4y＋4＝0上，
求＋的最小值及相应的x，y的值．
解：设直线3x－4y＋4＝0上的点为：M(x，y)，A(－3，5)，
B(2，15)，则
＋＝MA＋MB.
设A关于直线3x－4y＋4＝0的对称点A′(m，n)．
则解得A′(3，－3)．
∴kA′B＝－18.
∴A′B的方程为y＋3＝－18(x－3)，
即y＝－18x＋51.
解方程组得
又A′B＝＝5，
所以，所求算式的最小值为5，
取最小值时，x＝，y＝3.半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面是________．
解析：所形成的曲面是球面，球面所围成的几何体是球．
答案：球面
下列几何体中不是旋转体的是________(填序号)．
答案：④
将三角形绕虚线旋转一周，下列各方式中，可以得到右边立体图形的是方式________(填序号)．
答案：②
如果一个球恰好内切于一个棱长为10 cm的正方体盒子，那么这个球的半径为________cm.
解析：设球的半径为R，则2R＝10 cm，故R＝5 cm.
答案：5
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则以斜边所在直线为轴旋转一周可得旋转体，当用一个平面垂直于斜边去截这个几何体时，所得截面圆的直径的最大值是________．
解析：直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周，得到的旋转体是同底面的两个圆锥，截面圆的直径的最大值即为这两个圆锥的底面直径，也就是原直角三角形斜边上的高的2倍．
答案：
[A级 基础达标]
下列说法中，正确的序号是________．
①以等腰三角形底边上的中线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；
②经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；
③圆锥侧面的母线长一定大于圆锥底面圆直径．
解析：等腰三角形底边上的中线将该三角形分割成两个全等的直角三角形，这两个直角三角形绕其公共直角边旋转而成的几何体是圆锥，∴命题①正确．∵圆锥的任意两条母线长相等，而经过圆锥任意两条母线的截面三角形中有两条边恰为这两条母线，∴命题②正确．当生成圆锥的直角三角形的斜边长为5，两直角边长分别为3和4时，圆锥的母线长小于圆锥底面直径，∴命题③不正确．
答案：①②
下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周(如图所示)，能形成圆台的是________(填序号)．
解析：根据定义，①形成的是圆台，②形成的是球，③形成的是圆柱，④形成的是圆锥．
答案：①
下图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________(填序号)．
解析：当截面过底面直径时，截面如图①；当截面不过底面直径时，截面如图⑤.
答案：①⑤
(2012·盐城调研)如果圆柱的底面直径为4，母线长为2，那么圆柱的侧面展开图的面积为________．
解析：圆柱的侧面展开图为矩形，两邻边的长分别为圆柱的母线长和底面圆的周长．
S＝2π××2＝8π.
答案：8π
如果圆台两底面半径是7和1，则与两底面平行且等距离的截面面积为________．
解析：还原成圆锥，作出截面图(等腰三角形)，利用相似三角形计算．
答案：16π
如图，已知△ABC，以AB为轴，将△ABC旋转360°.试指出这个旋转体是由怎样的简单几何体构成的？画出这个旋转体的示意图．
解：这个旋转体可由一个大圆锥挖去一个同底面的小圆锥而得到，示意图如图所示．
用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．
解：设圆台的母线长为y，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x，4x(如图)，根据相似三角形的性质得＝，得y＝9.故圆台母线长为9 cm.
[B级 能力提升]
在半径为30 m的圆形广场中心上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，其轴截面的顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度应为________m.
解析：画出圆锥的轴截面，转化为平面几何问题求解，此题可转化为已知等腰三角形的顶角为120°，底边一半的长为30 m，求底边上的高线长．
答案：10
用不过球心O的平面截球O，截面是一个球的小圆O1，若球的半径为4 cm，球心O与小圆圆心O1的距离为2 cm，则小圆半径为________ cm.
解析：如图，r＝＝＝2(cm)．
答案：2
一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
解：(1)如图所示，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，又腰长为12 cm，所以高为AM＝＝3(cm)．
即圆台的高为3 cm.
(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得＝.
∴l＝20(cm)．
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
(创新题)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．
解：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm、3x cm，延长AA1交OO1的延长线于S.
在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，
则∠SAO＝45°，
∴SO＝AO＝3x，
∴OO1＝2x.
又S轴截面＝(6x＋2x)·2x＝392，
∴x＝7.
∴圆台的高OO1＝14 cm，母线长l＝OO1＝14 cm，两底面半径分别为7 cm，21 cm.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
有下列四个结论，其中正确结论的个数为________．
①互相垂直的两直线，有且只有一个公共点；②经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④两平行线之一垂直于一条直线，则另一条也垂直于此直线．
解析：①错误，异面直线也可能垂直．
②错误，应有无数条．
③错误，可能平行，相交或异面．
④正确．
答案：1
下列几何体中既能使截面是长方形，又能使截面是圆的是________．
①圆锥；②棱柱；③圆柱；④球．
解析：③平行于轴的截面是长方形，垂直于轴的截面是圆．
答案：③
下列给出4个“平面α与β重合”的条件，其中正确的一个是________(填序号)．
①有两个公共点；
②有无数个公共点；
③有不共线的三个公共点；
④有一条公共直线．
答案：③
在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若所取四点共面，则只能是正方体的表面或对角面，即正方形或长方形，
∴①正确，②错误；
棱锥A－BDA1符合③，∴③正确；
棱锥A1－BDC1符合④，∴④正确；
棱锥A1－ABC符合⑤，∴⑤正确．
答案：①③④⑤
如图甲，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(图乙)，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是________．
①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；
③GF⊥平面SEF；④GD⊥平面SEF.
解析：在图甲中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F；
在图乙中，SG⊥GE，SG⊥GF，
∴SG⊥平面EFG.
答案：①
正方体的表面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是________．
解析：设正方体棱长为b，则b＝2R，
S球＝4πR2＝4π·(b)2＝3πb2，
又a2＝6b2，∴S球＝a2.
答案：a2
四面体S－ABC的三组对棱分别相等，且长度依次为2，，5，则该四面体的体积为________．
解析：由已知对棱相等，将四面体“补”成如图所示的长方体，使四面体的对棱分别为长方体相对面的对角线．
设长方体的三棱长分别为x，y，z，
则解得
那么V四面体＝V长方体－4VD－SAB＝V长方体－4×V长方体＝V长方体＝8.
答案：8
在正三棱锥P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．
解析：由P－ABC为正三棱锥知，PB⊥AC，又由DE∥AC得，AC∥平面PDE.
答案：①②
如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于________．
解析：设底面半径为r，则2πr·2r＝S，故r＝，所以V＝πr2·2r＝.
答案：
若一圆锥的轴截面面积为4cm2，侧面积为8πcm2，则它的体积等于________cm3.
解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则有·2r·h＝4，·2πr·l＝8π，又h2＋r2＝l2，因此可得r＝2 cm，h＝2 cm，l＝4 cm，∴V圆锥＝πr2h＝8π cm3.
答案：8π
.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.
解析：设球的半径为r cm，
则πr2×8＋πr3×3＝πr2×6r，解得r＝4.
答案：4
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．
解析：设正方体的棱长为a，则S正方体＝6a2，正四面体D1－AB1C的棱长为a，S正四面体＝4××(a)2＝2a2，
所以＝＝ .
答案：
.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，若二面角C－AB－C1的大小为60°，则点C到平面ABC1的距离为________．
解析：
如图，取AB中点为O，连结C1O和CO.
∵三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，
∴CO⊥AB.∵AC1＝BC1，∴C1O⊥AB，
则∠C1OC即为二面角C－AB－C1的平面角．
又AB＝1，∴CO＝，C1C＝，OC1＝.
下面用等体积法求距离．
VC1－ABC＝VC－ABC1，
∴S△ABC·CC1＝S△ABC1·d，
即×＝×1××d.∴d＝.
答案：
已知Rt△ABC的斜边在平面α内，直角顶点C是α外一点，AC、BC与α所成角分别为30°和45°，则平面ABC与α所成锐角为________．
解析：如图所示，过点C作垂直于α的直线CO，交α于点O.
∴∠CAO＝30°，∠CBO＝45°.
设CO＝a，∴Rt△ACO中，AC＝2a，
在Rt△BCO中，BC＝a.
过C点在平面ABC内作CD⊥AB，连结OD，则∠CDO为平面ABC与α所成的锐角，AB＝a，
∴CD＝a，∴在Rt△CDO中，sin∠CDO＝＝，
∴∠CDO＝60°
答案：60°
二、解答题(本大题共6小题，共计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
(本小题满分12分)如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE＝2，BF＝.
求证：CF⊥C1E.
证明：由已知可得CC1＝3，CE＝C1F＝＝2，
EF2＝AB2＋，
EF＝C1E＝＝，
于是有EF2＋C1E2＝C1F2，CE2＋C1E2＝CC，
所以C1E⊥EF，C1E⊥CE.
又EF∩CE＝E，所以C1E⊥平面CEF.
又CF 平面CEF，故CF⊥C1E.
(本小题满分14分)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且二面角P－CD－B为45°.求证：
(1)AF∥平面PEC；
(2)平面PEC⊥平面PCD.
证明：(1)如图，取PC的中点G，连结EG，FG，因为F是PD的中点，所以FG∥CD，且FG＝CD，而AE∥CD，且AE＝CD，所以EA∥GF，且EA＝GF，故四边形EGFA是平行四边形，从而EG∥AF，又AF 平面PEC，EG 平面PEC，所以AF∥平面PEC.
(2)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，则∠PDA就是二面角P－CD－B的平面角，所以∠PDA＝45°，则AF⊥PD.又AF⊥CD，PD∩CD＝D，所以AF⊥平面PCD，由(1)知，EG∥AF，所以EG⊥平面PCD，而EG 平面PEC，所以平面PEC⊥平面PCD.
(本小题满分14分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．
解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l，圆锥的半径为r，则πl2＝3π，
∴l＝3.又∵×3＝2πr，∴r＝1.
∴h＝＝2.
∴S表面积＝S侧面＋S底面＝πrl＋πr2＝4π，
V＝Sh＝×π×12×2＝π.
(本小题满分16分)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC＝BC＝a，∠A1AC＝∠C1CB＝60°，二面角A－CC1－B的大小为90°，求此斜三棱柱的侧面积．
解：易知∠A1C1C＋∠CC1B1＝180°，可将侧面AC1与侧面BC1展开在一个平面内(如图)，连结A1B，在△ABA1内，∠A1AB＝60°，AA1＝a，AB＝AC＋BC＝2a，∴∠AA1B＝90°，即A1B⊥AA1.
∵AC＝CB，A1C1＝C1B1，∴CC1∥AA1，∴A1B⊥CC1，设A1B与CC1交于D，则D为CC1的中点，且A1D⊥CC1，BD⊥CC1.
回到立体图中，取CC1中点D，连结A1D，BD，则A1D⊥CC1，BD⊥CC1，∴CC1⊥平面A1BD，即平面A1BD为斜三棱柱ABC－A1B1C1的直截面，且∠A1DB为二面角A－CC1－B的平面角，即有∠A1DB＝90°.
易求得A1D＝BD＝a，A1B＝a.
∴三棱柱的侧面积
S侧＝(a＋a＋a)a＝(＋2)a2.
(本小题满分16分)如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形SAB，Q为底面圆周上一点．
(1)如果QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH∥平面SBQ；
(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝
2，求圆锥的体积．
解：(1)证明：连结OC，∵OH⊥SC，SO⊥OH，SO∩SC＝S，
∴OH⊥平面SOC，∴OH⊥OC.∵QB的中点为C，
∴OC⊥QB.∵QB、OC、OH在同一平面内，
∴OH∥QB，QB 平面SBQ，OH 平面SBQ，
∴OH∥平面SBQ.
(2)∵∠AOQ＝60°，AO＝QO，∴∠BAQ＝60°.
在Rt△ABQ中，AB＝＝＝4.
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
∴圆锥的高SO＝AB＝2.
∴V圆锥＝π()2·SO＝π·4·2＝π.
(本小题满分16分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且PD＝AD＝1.
(1)求证：MN∥平面PCD；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(3)求三棱锥P－ABC的体积．
解：
(1)证明：如图，取AD中点E，连结ME，NE，由已知M，N分别是PA，BC的中点，所以ME∥PD，NE∥CD，又ME，NE 平面MNE，ME∩NE＝E，
PD∩CD＝D，PD，CD 平面PCD.
所以平面MNE∥平面PCD，
所以MN∥平面PCD.
(2)证明：因为ABCD为正方形，
所以AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，
所以AC⊥平面PBD，又AC 平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBD.
(3)PD⊥平面ABCD，所以PD为三棱锥P－ABC的高，三角形ABC为等腰直角三角形，
所以三棱锥P－ABC的体积V＝S△ABC·PD＝.
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答案：③
下列关于平行投影与中心投影的叙述正确的有________．(写出正确叙述的编号)
①平行投影和中心投影是几何体的不同表现形式，在实际问题中可根据需要进行选择；
②平行投影的投射线互相平行，中心投影的投射线交于一点；
③人的视觉和照片都具有中心投影的特点；
④太阳光线形成的投影是中心投影．
解析：根据平行投影和中心投影的概念，逐个进行判断．根据中心投影和平行投影的特点可知①②③都是正确的，而太阳光线形成的投影是平行投影．
答案：①②③
.下列说法中正确的有________(只写出正确的编号)．
①如果一个几何体的三视图是完全相同的，那么这个几何体是正方体；
②如果一个几何体的正视图和俯视图都是长方形，那么这个几何体是长方体；
③如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体是长方体；
④如果一个几何体的正视图和左视图都是等腰梯形，那么这个几何体是圆台．
解析：①不正确，因为球也是三视图完全相同的几何体；②不正确，因为一个横放在水平位置的圆柱，其正视图和俯视图都是矩形；易知③正确；④不正确，因为一个正四棱台的正视图和左视图也可以都是等腰梯形．
答案：③
两条相交直线的平行投影是________．
解析：
借助于长方体模型来判断．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，一束平行光线从正上方向下照射，则相交直线CD1和DC1在面ABCD上的平行投影是一条直线CD，相交直线CD1和BD1在面ABCD上的平行投影是两条相交直线CD和BD.
答案：两条相交直线或一条直线
如图所示的三视图表示的几何体为________．
解析：根据得到图形的形状进行判断．
答案：圆锥
[A级 基础达标]
下列说法中正确的个数是________．
①正方形的平行投影一定是菱形；
②平行四边形的平行投影一定是平行四边形；
③三角形的平行投影一定是三角形．
解析：若平面图形与投影面垂直，则上述三种说法中的平面图形的平行投影都是线段．
答案：0
一个图形的投影是一条线段，则这个图形不可能是下列图形中的________(填序号)．
①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．
解析：线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能为线段；直线的投影只能是直线或点．
答案：②⑤
(2010·高考课标全国卷)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
解析：①三棱锥的正视线与其中一侧面平行可以得正视图为三角形；②四棱锥，若底面是矩形，有一侧棱垂直于底面可以得正视图为三角形；③三棱柱，把侧面水平放置，正对着底，沿着一个侧面看，得正视图为三角形；④四棱柱，不论从哪个方向看都得不出三角形；⑤圆锥的底面水平放置，正视图是三角形；⑥圆柱从不同方向看是矩形或圆，不可能是三角形．
答案：①②③⑤
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，体对角线AC1在六个面上的投影长度总和是________．
解析：正方体的体对角线在各个面上的投影是正方体各个面上的对角线，因而其长度都是，所以其和为6.
答案：6
下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是________(填序号)．
解析：①正方体，三视图均相同；②圆锥，主视图和左视图相同；③三棱台，三视图各不相同；④正四棱锥，主视图和左视图相同．
答案：②④
.画出下图所示的正三棱柱和正五棱台的三视图．
解：正三棱柱的三视图如图①所示．
正五棱台的三视图如图②所示．
一个几何体的主视图、左视图和俯视图如图所示．请想一想这是一个什么样的几何体？请画一个草图表示．
解：这个几何体是五棱柱，草图如图所示：
[B级 能力提升]
下图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体的个数是________．
解析：先看俯视图，可以确定最底层结构，相当于“楼房地基布局”，然后再由主视图和左视图确定每块“地基”上起几层，用小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数，如图．
答案：5
(2010·高考辽宁卷)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．
解析：由主视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C1 ABCD)，还原在正方体中，如图所示．
多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，由正方体棱长AB＝2知最长棱的长为2.
答案：2
根据图中几何体的三视图想象物体原形，并画出物体的直观图．
解：(1)在(a)中，由三视图知，这个物体是一个四棱台，它的实物直观图如图①所示；
(2)在(b)中，由三视图知，该物体下部分是一个长方体，上部分的表面是两个等腰梯形和两个等腰三角形，它的实物直观图如图②所示．
.(创新题)甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，如图所示．甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“6”，丙说他看到的是“9”，丁说他看到的是“9”，试确定四人的位置．
解：甲看到的是“6”，甲在图示中的上处；
乙看到的是“6”，乙在图示中的左处；
丙看到的是“9”，丙在图示中的右处；
丁看到的是“9”，丁在图示中的下处．如图所示，用符号语言表示以下各概念：
①点A，B在直线a上________；
②直线a在平面α内________；
③点D在直线b上，点C在平面α内________．
答案：①A∈a，B∈a ②a α ③D∈b，C∈α
若点A，B，C∈平面α，点A，B，C∈平面β，且A，B，C三点不共线，则α与β________．
解析：由公理3可知，经过不在同一条直线上的三点A，B，C有且只有一个平面，所以α与β重合．
答案：重合
若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在________．
解析：设α∩β＝l，∵A，B∈α且A，B∈β，
∴A，B∈l.
答案：α与β的交线上
给出以下三个命题：①若空间四点不共面，则其中无三点共线；②若直线l上有一点在平面α外，则l在α外；③两两相交的三条直线共面．其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)
解析：③中三条直线两两相交于同一点时，可以不共面．①②都正确．
答案：①②
已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．
解析：当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．
答案：1或2或3
[A级 基础达标]
下列说法中正确的个数为________．
①过三点至少有一个平面；
②过四点不一定有一个平面；
③不在同一平面内的四点最多可确定4个平面．
解析：①正确，其中三点不共线时，有且仅有一个平面．三点共线时，有无数个平面；②正确，四点不一定共面；③正确．
答案：3
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形．
空间中，上述四个结论一定成立的是________(填上所有你认为正确的命题的序号)．
解析：空间中，两组对边分别相等的四边形不一定是平行四边形，如图所示．
答案：①②④
空间有四个点，如果其中任意三点都不共线，那么经过其中三个点的平面有________个．
解析：当四点共面时，经过三点的平面有1个；四点不共面时，经过其中的三点可画四个平面．
答案：一或四
设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l.
解析：因为a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β，
又因为α∩β＝l，所以M∈l.
答案：∈
已知平面α、β，直线l，点A、B、C，它们满足：α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β，且C α，又直线AB∩l＝D，A、B、C三点确定的平面为γ，则平面β与平面γ的交线是________．
解析：∵D∈l，l β，∴D∈β，又C∈β，γ由A、B、C三点确定，∴AB γ，C∈γ，又D∈AB，∴D∈γ，∴CD是β与γ的交线．
答案：直线CD
已知A、B、C是平面α外不共线的三点，且AB、BC、CA分别与α交于点E、F、G，求证：E、F、G三点共线．
证明：如图，过A、B、C作一平面β，
则AB β，AC β，BC β.
∴E∈β，F∈β，G∈β.
设α∩β＝l，∵AB、BC、CA分别与α相交于点E、F、G，
∴E∈α，F∈α，G∈α.
∴E、F、G必在α与β的交线上．
∴E、F、G三点共线．
已知：a∥b∥c，a∩d＝A，b∩d＝B，c∩d＝C，求证a，b，c，d共面．
证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.
∵A∈a，∴A∈α.同理B∈α.
∴AB确定的直线d α.
∵b∥c，∴b，c确定一个平面β.
∵B∈b，∴B∈β.同理C∈β.
∴BC确定的直线d β.
∵α与β同时过两相交直线b，d，
∴α与β重合．∴a，b，c，d共面．
[B级 能力提升]
A、B、C、D为不共面的四点，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，
(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在________上；
(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在________上．
解析：(1)如图，由AB、AD确定平面α.
∵E、H在AB、DA上，
∴E∈α，H∈α，
∴直线EH α，
又∵EH∩FG＝P，
∴P∈EH，P∈α.
设BC、CD确定平面β，同理可证，P∈β，
∴P是平面α，β的公共点，
∵α∩β＝BD，∴点P在直线BD上．
同理可证(2)点Q在直线AC上．
答案：(1)BD所在的直线
(2)AC所在的直线
在如图所示的正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图是________(填序号)．
解析：图①中PS∥QR，∴P、Q、R、S四点共面；
图②中，连结PS并延长交右上方棱的延长线于M.连结MR并延长，交右下方的棱于N.连结NQ，可知P、S、N、Q
共面，所以P、Q、R、S四点共面．
图③中SR∥PQ，∴P、Q、R、S四点共面．
答案：①②③
如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1、BB1、CC1交于一点．
证明：如图所示，∵A1B1∥AB，
∴A1B1与AB确定一平面α，
同理，B1C1与BC确定一平面β，C1A1与CA确定一平面γ.
易知β∩γ＝C1C.又△ABC与△A1B1C1不全等，
∴AA1与BB1相交，设交点为P，P∈AA1，P∈BB1.
而AA1 γ，BB1 β，∴P∈γ，P∈β，
∴P在平面β与平面γ的交线上．
又β∩γ＝C1C，根据公理2知，P∈C1C，
∴AA1、BB1、CC1交于一点．
(创新题)求证：每两条都相交且不共点的四条直线，必在同一平面内．
证明：记此四条直线为a，b，c，d.
(1)存在三线共点，不妨设a，b，c共点P，则P d，故P，d确定一个平面α，又a，d相交，交点为Q，则Q≠P且P，Q∈α，又P，Q∈α，故a α.同理b，c α，即a，b，c，d共面α.
(2)任意三线不共点，则a，b，c两两相交且不共点，由(1)的证明，得a，b，c共面α，设a∩d＝P，b∩d＝Q，则P≠Q，由P，Q∈d且P，Q∈α，得d α，故a，b，c，d共面α.
总之，两两相交且不共点的四线共面．点P(3，4，5)在yOz平面上的投影点P′的坐标是________．
答案：(0，4，5)
若点P(a，b，c)即在平面xOy内，又在平面yOz内，则a＋c＝________．
解析：点P在平面xOy与平面yOz的交线Oy上，由其上点的特征知a＝0，c＝0，b∈R.
答案：0
两点A(0，4，－2)，B(3，0，3)的距离为________．
解析：AB＝＝5.
答案：5
设球心C(0，－1，0)，球面经过一点M(－1，3，1)，则球的半径为________．
解析：r＝CM＝＝3.
答案：3
已知A(4，0，2)，B(1，0，－1)，M为y轴上一点，且满足MA＝2MB，则M点的坐标为________．
解析：设M(0，y，0)，则由题意有
＝
2，
∴20＋y2＝4(2＋y2)，∴3y2＝12，即y＝±2.
答案：(0，2，0)或(0，－2，0)
[A级 基础达标]
已知点A(－3，1，－4)，则点A关于原点的对称点的坐标为________．
解析：空间中的一点关于原点对称点的坐标应为原来点的每个坐标的相反数，即所求的点是(3，－1，4)．
答案：(3，－1，4)
点M(4，－3，5)到原点的距离d1＝________，到z轴的距离d2＝________．
解析：利用两点间距离公式可得d1＝＝5.
过M作MN⊥平面xOy于N，则N(4，－3，0)，故d2＝ON＝＝5.
答案：5 5
已知A(4，－7，1)，B(6，2，z)，若AB＝10，则z＝________．
解析：由AB＝＝10，
解得z＝1±.
答案：1±
已知点A(1，2，－1)，点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则BC的长为________．
解析：点C的坐标为(1，2，1)，点B的坐标为(1，－2，1)．
∴BC＝＝4，
答案：4
已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则AB的最小值为________．
解析：∵AB＝
＝ ＝ ≥，
∴AB的最小值为3.
答案：3
已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为a，侧棱长为l，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．
解：设正四棱锥底面中心点为O，
∵OA⊥OB，点P在平面ABCD上的射影为O，
∴以O为坐标原点，以直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则OA＝a，PA＝PB＝PC＝PD＝l，
∴PO＝＝.
故各顶点坐标依次为A(a，0，0)．
B(0，a，0)，C(－a，0，0)，D(0，－a，0)，
P(0，0，)．
三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，△ABC是以角B为直角顶点的直角三角形，AB＝BC＝2，又PA＝PB＝PC＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，在这个坐标系中：
(1)求点A，B，C，P的坐标；
(2)求AB，PC的中点之间的距离．
解：(1)取AC的中点O，连结OB，OP.
∵△ABC是直角三角形，且AB＝BC＝2.
∴AC＝4，OB＝2.
∵PA＝PB＝PC，∴点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即点O.
故PO⊥平面ABC.
∵PA＝3，
∴PO＝＝＝.
以O为坐标原点OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∴点P的坐标为P(0，0，)．又A(0，－2，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)．
(2)AB的中点坐标为(1，－1，0)，PC的中点坐标为(0，1，)．这两个中点之间的距离为
d＝＝.
[B级 能力提升]
已知P1(－2，－3，1)，P2(1，2，3)，P(x，y，z)，且PP1＝PP2，则实数x、y、z满足的条件是________．
解析：∵PP1＝PP2，由两点间的距离公式得
＝，
化简得3x＋5y＋2z＝0.
答案：3x＋5y＋2z＝0
在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1，2)，其中心M的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长等于________．
解析：∵AM＝＝，
∴正方体的体对角线长为2，
∵3a2＝52(a为正方体的棱长)，
∴a＝.
答案：
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝6，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)试建立恰当的空间直角坐标系，并写出图中各点的坐标；
(2)求A，E之间的距离．
解：(1)以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得：
BC⊥PC，PC＝6，
PB＝＝6.
由△PEF∽△PBC，得＝，
∴PF＝2，∴BF＝4.
在△PBD中，作FF′∥PD，交BD于F′，
则FF′⊥平面ABCD，且＝，∴FF′＝4.
∴原图中各点的坐标为A(6，0，0)，B(6，6，0)，C(0，6，0)，D(0，0，0)，E(0，3，3)，F(2，2，4)，P(0，0，6)．
(2)AE＝＝3.
(创新题)如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O－xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．
(1)当点P为对角线AB中点，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值；
(2)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究PQ的最小值；
(3)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值．
解：设正方体的棱长为a，连结OA，在平面AOB内，作PH⊥OA于H.
∵OB⊥平面xOy，∴PH⊥平面xOy.
设P(x，x，z)，则＝，
∴z＝a－x.故P(x，x，a－x)．
(1)x＝时，P(，，)，
设Q(0，a，t)，则PQ＝.
故当t＝，即Q为CD中点时，PQmin＝a.
(2)由题意知Q(0，a，)，P(x，x，a－x)，
PQ＝
＝
＝
故当x＝，即P为AB中点时，PQmin＝.
(3)由题意知P(x，x，a－x)，设Q(0，a，t)．
则PQ＝
＝
故当即时，PQmin＝.
此时，P、Q分别为AB，CD的中点．已知直线a∥平面α，点P∈α，那么过点P且平行于a的直线有________条．
解析：利用线面平行的性质定理．
答案：1
.能保证直线a与平面α平行的条件是________(填序号)．
①b α，a∥b；
②b α，c∥α，a∥b，a∥c；
③b α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BD；
④a α，b α，a∥b.
解析：①错误，若b α，a∥b，则a∥α或a α；
②错误，若b α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a α；
③错误，若满足此条件，则a∥α或a α，a与α相交；
④正确．
答案：④
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是________．
解析：设BD的中点为F，则EF∥BD1，
又EF 平面AEC，BD1 平面AEC.
∴BD1∥平面AEC.
答案：平行
如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与面PAD交于EF，则四边形EFBC是________．
解析：∵ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC.
又BC 平面PAD，AD 平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
又BC 平面BCEF，面BCEF∩面PAD＝EF，
∴BC∥EF.
∵EF∥AD，BC AD，
∴EF∥BC且EF≠BC.
∴四边形EFBC为梯形．
答案：梯形
[A级 基础达标]
下面命题中正确的是________(填序号)．
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条一定与该平面相交；
⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；
⑥若三个平面两两相交，则有三条交线．
解析：①正确；若直线与平面相交，直线上也有无数个点不在平面内，故②不正确；直线l与平面α相交，则l与平面α内过交点的直线不是异面直线，故③不正确；两条异面直线中的一条与一个平面平行，另一条可能与该平面平行或在平面内或相交，故④不正确；直线l与平面α平行，则l与平面α无公共点，所以l与平面α内的直线也无公共点，两直线无公共点，即两直线平行或异面，故⑤正确；三个平面两两相交，可能有三条交线，也可能有一条交线，故⑥不正确．
答案：①⑤
过正方体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．
解析：如图，设E、F、G、H、M、N、P、Q分别为所在棱的中点，在面EFGH与面MNPQ中分别有6条直线满足题意，故共有12条符合要求．
答案：12
(2012·南通调研)梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________．
解析：因为AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.
答案：CD∥α
正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M是A1B1的中点，N是AB上的点且AN∶NB＝1∶2，过D1、M、N的平面交AD于点G，则NG＝________．
解析：过D1、M、N的平面与AD的交点G位置如图，其中AG∶GD＝2∶1，AG＝a，AN＝a，
在Rt△AGN中，
NG＝ ＝a.
答案：a
如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是________．
解析：无论怎样转动，都有CD∥AB，当木板不平铺在平面α上时，∵AB α，CD α，∴CD∥α.当木板转到平铺在平面α上时，CD α.
答案：CD∥α或CD α
如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN.
求证：MN∥平面BCE.
证明：作MP∥AB交BC于P，
NQ∥AB交BE于Q，连结PQ，
∴MP∥NQ.
∵AM＝FN，∴MP＝MC＝BN＝NQ，
∴四边形MPQN为平行四边形，∴MN∥PQ.
∵MN 平面BCE，PQ 平面BCE，
∴MN∥平面BCE.
如图，a，b是异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的两点，直线a∥平面α，直线b∥平面α，AB∩α＝M，CD∩α＝N.若AM＝BM，求证：CN＝DN.
证明：连结AD，设AD∩α＝E，连结EN，ME.
∵b∥α，平面α∩平面ABD＝ME，
∴ME∥BD.同理EN∥AC.
∵AM＝MB，∴AE＝ED，∴CN＝DN.
[B级 能力提升]
如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD分别交α于E、F、G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________．
解析：∵a∥α，平面α∩平面ABD＝EG，∴a∥EG，即BD∥EG，
∴＝＝＝＝＝，
∴EG＝＝＝.
答案：
设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示)．
解析：设过m的平面β与α交于l，
∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l.
∵n α，l α，∴n∥α.
答案：①② ③(或①③ ②)
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点，求证：EF∥平面BB1D1D.
证明：如图，取D1B1的中点O，连结OF，OB.
∵OF B1C1，BE B1C1，
∴OF BE，四边形OFEB为平行四边形，∴EF∥BO.
∵EF 平面BB1D1D，
BO 平面BB1D1D，
∴EF∥平面BB1D1D.
(创新题)如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF BC.
求证：FO∥平面CDE.
证明：如图，取CD中点M，连结OM.
在矩形ABCD中，OM BC，
又EF BC，则EF OM.
连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形．
∴FO∥EM.
又∵FO 平面CDE，且EM 平面CDE，
∴FO∥平面CDE.过点A(1，2)，且平行于直线2x－3y＋5＝0的直线的方程为________．
解析：设所求直线方程为2x－3y＋C＝0.
由于直线过点A(1，2)，∴2×1－3×2＋C＝0，∴C＝4.
答案：2x－3y＋4＝0
若直线x＝1－2y与2x＋4y＋m＝0重合，则m＝________．
解析：由x＝1－2y得y＝－x＋，由2x＋4y＋m＝0得y＝－x－，由题意－＝，∴m＝－2.
答案：－2
已知两直线l1：mx＋y＝5，l2：2x＋(3m－1)y＝1，当m＝________ 时，l1与l2垂直．
解析：3m－1＝0显然不合题意．故(－m)·(－)＝－1，∴2m＝1－3m，∴m＝.
答案：
已知△ABC三顶点的坐标分别为A(－1，0)，B(0，2)，C(a，0)，若AB⊥BC，那么a＝________．
解析：kAB＝＝2，kBC＝＝－，由2·(－)＝－1，得a＝4.
答案：4
过点(4，－5)且与原点距离最远的直线的方程是________．
解析：此直线必过(4，－5)，且与(0，0)，(4，－5)的连线垂直，而(0，0)，(4，－5)连线的斜率为，
∴所求直线的斜率为，
∴所求直线的方程为y＋5＝(x－4)，
即4x－5y－41＝0.
答案：4x－5y－41＝0
[A级 基础达标]
对于两条不重合的直线l1，l2：①若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；②若直线l1，l2都有斜率且斜率相等，则l1∥l2；③若直线l1⊥l2，则它们的斜率互为负倒数；④若直线l1，l2的斜率互为负倒数，则l1⊥l2.其中正确命题的个数是________．
解析：③不正确，它们的斜率还可以一个为0，而另一个不存在．
答案：3
经过点A(1，2)和点B(－3，2)的直线l1与过点C(4，5)和点D(a，－7)的直线l2垂直，则a＝________．
解析：∵k1＝＝0，又l1⊥l2，
∴k2不存在，故a＝4.
答案：4
与直线3x＋4y－7＝0垂直，并且在x轴上的截距为－2的直线方程是________．
解析：∵与直线3x＋4y－7＝0垂直，∴所求直线斜率为，并且在x轴上的截距为－2，∴直线过点(－2，0)．由点斜式得方程为y－0＝(x＋2)，即4x－3y＋8＝0.
答案：4x－3y＋8＝0
直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为________．
解析：法一：当m＝0时，显然l1不平行于l2；
当m≠0时，若l1∥l2需＝≠.①
由①式有m2＋m－6＝0，解得m＝2，或m＝－3.
经检验m＝2，或m＝－3满足题意．
法二：若l1∥l2，则A1B2－A2B1＝2×3－m(m＋1)＝0，
A1C2－A2C1＝2×(－2)－m·4＝－4－4m≠0.
∴m＝－3或2.
答案：－3或2
如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，1)，B(1，5)，
C(－3，2)，则△ABC的形状为________．
解析：因为kAB＝＝＝2，kAC＝＝－，所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，即∠BAC＝90°.所以△ABC是直角三角形．
答案：直角三角形
(1)求与直线y＝－2x＋10平行，且在x轴、y轴上的截距之和为12的直线的方程；
(2)求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线的方程．
解：(1)设所求直线的方程为y＝－2x＋λ，则它在y轴上的截距为λ，在x轴上的截距为λ，则有λ＋λ＝12，
∴λ＝8.
故所求直线的方程为y＝－2x＋8，即2x＋y－8＝0.
(2)法一：由直线方程2x＋3y＋5＝0得直线的斜率是－，
∵所求直线与已知直线平行，
∴所求直线的斜率也是－.
根据点斜式，得所求直线的方程是y＋4＝－(x－1)，
即2x＋3y＋10＝0.
法二：设所求直线的方程为2x＋3y＋b＝0，
∵直线过点A(1，－4)，
∴2×1＋3×(－4)＋b＝0，解得b＝10.
故所求直线的方程是2x＋3y＋10＝0.
已知四边形ABCD四个顶点A(m，n)，B(6，1)，C(3，3)，D(2，5)，试求m，n的值，使四边形ABCD为直角梯形．
解：kAB＝，kBC＝－，kCD＝－2，kDA＝.
∵BC与CD即不平行也不垂直，
∴即解得
[B级 能力提升]
已知定点A(0，1)，点B在直线x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是________．
解析：当线段最短时则为AB与x＋y＝0垂直时，
∵B在x＋y＝0上，∴B(x，－x)，
则kAB＝＝1得x＝－.
∴B(－，)．
答案：(－，)
已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3，2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝________．
解析：l的斜率为－1，则l1的斜率为1，kAB＝＝1，a＝0.由l1∥l2，－＝1，b＝－2，所以a＋b＝－2.
答案：－2
(2012·镇江调研)已知在 ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判断 ABCD是否为菱形？
解：(1)设D(a，b)，由 ABCD，得kAB＝kCD，kAD＝kBC，
即解得
∴D(－1，6)．
(2)∵kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
∴kAC·kBD＝－1，
∴AC⊥BD.
∴ ABCD为菱形．
(创新题)已知直线l1过点A(0，－3)，B(－2，a－3)，l2过点M(0，－a－1)，N(1－a2，0)．求实数a为何值时，
(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2
解：(1)因为k1＝＝－，l1∥l2，
所以k2存在且k2＝＝＝，
所以＝－.
所以a＝2或a＝－1.
①当a＝2时，M(0，－3)与A(0，－3)重合，所以l1与l2重合，不合题意．
②当a＝－1时，k2不存在，不合题意．
综上所述，没有满足条件的a值使l1∥l2.
(2)因为k1＝－，所以，
①当a＝0时，k1＝0，k2＝1，不合题意．
②当a≠0时，－·＝－1，所以a＝.
综上所述，当a＝时，l1⊥l2.已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为________．
答案：60°
已知直线l过点A(1，2)，B(－1，0)，则直线l的斜率为________，倾斜角为________．
解析：k＝＝1.tanα＝1，α∈[0°，180°)．∴α＝45°.
答案：1 45°
若直线l的斜率不存在，则与此直线垂直的直线的斜率为________．
解析：l的倾斜角为90°，∴所求直线倾斜角为0°，其斜率为0.
答案：0
若A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a＝________．
解析：利用kAB＝kAC，即＝，解得a＝4.
答案：4
设直线l的斜率为k，且k∈(－，)，则直线l的倾斜角的取值范围是________．
解析：倾斜角θ∈[0°，180°)，tanθ∈(－，)，∴θ∈[0°，30°)∪(120°，180°)．
答案：[0°，30°)∪(120°，180°)
[A级 基础达标]
在下列四个命题中，错误的命题是________．(写出所有错误命题的序号)
①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率；
②直线的倾斜角的取值范围为[0°，180°]；
③若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α；
④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα.
解析：当倾斜角为90°时，其斜率不存在，故命题①④不正确．由直线的倾斜角的定义知倾斜角的取值范围为[0°，180°)，而不是[0°，180°]，故命题②不正确．直线的斜率可以是tan210°，但其倾斜角是30°，而不是210°，所以命题③也不正确．根据以上判断，四个命题均不正确．
答案：①②③④
直线l过点A(1，|t|)和点B(－2，1)，当________时，直线的倾斜角为钝角．
解析：表示出直线的斜率k＝，由直线的倾斜角为钝角得＜0，求得－1＜t＜1.
答案：－1＜t＜1
已知点A(1，2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________．
解析：由题意知kPA＝－1，设x轴上点(m，0)，y轴上点(0，n)，由＝＝－1，得m＝n＝3.
答案：(3，0)或(0，3)
(2012·盐城调研)过点M(－，)，N(－，)的直线的倾斜角的大小是________．
解析：kMN＝＝1，故倾斜角为45°.
答案：45°
直线l1过点P(3－，6－)，Q(3＋2，3－)，直线l2的倾斜角与l1的倾斜角互补，则直线l2的倾斜角为________．
解析：可求得kPQ＝－，即tanα1＝－，
∴α1＝150°，
∴α2＝180°－α1＝30°.
答案：30°
已知过点(－，1)及点(0，b)的直线的倾斜角α满足30°≤α<60°，求b的取值范围．
解：∵30°≤α<60°，∴≤k＝tanα<.
又直线过点(－，1)及点(0，b)，
∴k＝＝，∴≤<.
∴2≤b<4.
已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，求的最大值和最小值．
解：如图所示，设P(x，y)在线段AB上运动，其中A(2，4)，B(3，2)，
则＝可看作是直线OP的斜率，
由图知，kOB≤kOP≤kOA，
而kOB＝，kOA＝2，
∴()max＝2，()min＝.
[B级 能力提升]
若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于________．
解析：∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kAC，
又∵kAB＝，kAC＝，
∴＝，∴ab＝2a＋2b，
∴2(＋)＝1，∴＋＝.
答案：
(2012·徐州质检)若ab＜0，则过点P(0，－)与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是________．
解析：kPQ＝＝＜0，又倾斜角的取值范围是[0°，180°)，∴直线PQ的倾斜角的取值范围是(90°，180°)．
答案：(90°，180°)
已知A(－3，－3)，B(2，－2)，P(－2，1)，如图所示，若直线l过P点且与线段AB有公共点，试求直线l的斜率k的取值范围．
解：∵kPA＝＝4，
kPB＝＝－，
∴要使直线l与线段AB有公共点，则k的取值范围应该是k≤－或k≥4.
(创新题)(1)m为何值时，经过A(－m，6)，B(1，3m)两点的直线的斜率是12
(2)m为何值时，经过A(m，2)，B(－m，2m－1)两点的直线的倾斜角为60°？
(3)直线l过点A(1，2)与B(m，3)，求l的斜率．
解：(1)设AB所在直线的斜率为kAB，则kAB＝.
由题意得＝12，解之得m＝－2.
(2)同上，kAB＝＝.
由题意得kAB＝tan60°，∴＝，解之得m＝.
(3)①若m＝1，则A(1，2)，B(1，3)，l的方程为x＝1，斜率不存在；
②若m≠1，则kAB＝＝.
∴若m＝1，则l的斜率不存在；若m≠1，则斜率为.平面α∥平面β，a α，b β，则直线a，b的位置关系是________．
解析：α∥β，a α，b β，a与b的关系不确定，可借助正方体来判断．
答案：平行或异面
若直线a 平面α，直线b 平面β，a，b是异面直线，则α，β的位置关系是________．
解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB 平面ABCD，B1C1 平面A1B1C1D1，B1C1 平面BCC1B，但平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD与平面BCC1B1相交．故填平行或相交．
答案：平行或相交
与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是________．
解析：以长方体为模型观察，这条直线可能和这两个平面都平行，也可能在一个平面内，且与另一个平面平行．
答案：至少与一个平面平行
如图，AE⊥平面α，垂足为E，BF⊥α，垂足为F，l α，C，D∈α，AC⊥l，则当BD与l________时，平面ACE∥平面BFD.
解析：可证l⊥平面ACE，故需l⊥平面BFD.∵BF⊥α，l α，∴BF⊥l，故只需BD⊥l即可．
答案：垂直
[A级 基础达标]
给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β的四个结论：
①若m α，l∩α＝A，点A m，则l与m不共面；
②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
③若l⊥α，m∥β，α∥β，则l∥m；
④若l α，m α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.
其中错误结论的序号是________．
解析：①依据异面直线判定定理知其正确．②l、m在α内的射影为两条相交直线，记为l′、m′，则l′∥l，m′∥m.又∵n⊥l，n⊥m，∴n⊥l′，n⊥m′，∴n⊥α，故②正确．③满足条件的l和m可能相交或异面，故错误．④依据面面平行的判定定理知其正确．
答案：③
若平面α∥平面β，且α，β间的距离为d，则在平面β内，下面说法正确的是________(填序号)．
①有且只有一条直线与平面α的距离为d；
②所有直线与平面α的距离都等于d；
③所有直线与平面α的距离都不等于d.
解析：两个平面平行，其中一个平面内的所有直线到另一个平面的距离等于这两个平面间的距离．
答案：②
若一条直线与两平行平面中的一个成30°角，且被两平面截得的线段长为2，那么这两个平行平面间的距离是________．
答案：1
平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形________．
解析：由于对应顶点的连线共点，则AB与A′B′共面，
由面与面平行的性质知AB∥A′B′，
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′，故两个三角形相似．
答案：相似
已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是________(填序号)．
①平面ABC必平行于α；
②平面ABC必与α相交；
③平面ABC必不垂直于α；
④存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内．
解析：平面α外不共线且到α距离都相等的三点可以在平面α的同侧，也可以在平面α的异侧，若A、B、C在α的同侧，则平面ABC必平行于α；若A、B、C在α的异侧，平面ABC必与α相交且交线是△ABC的一条中位线所在直线，排除①②③.
答案：④
已知，PA垂直矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.
证明：法一：取CD的中点H，连结NH，MH，∵NH∥PD，
∴NH∥面PAD，
同理MH∥平面PAD，又MH∩NH＝H，
∴面MNH∥面PAD，MN 面MNH，
∴MN∥面PAD.
法二：连结CM并延长交DA延长线于E(图略)，容易证明MN∥PE，从而证明MN∥平面PAD.
如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C.
证明：法一：连结AF并延长交BC于M，连结B1M.
∵AD∥BC，∴△AFD∽△MFB，
∴＝.
又∵BD＝B1A，B1E＝BF，
∴DF＝AE.∴＝.
∴EF∥B1M.
又B1M 平面BB1C1C，EF 平面BB1C1C
∴EF∥平面BB1C1C.
法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE.
∵AD∥BC，∴FH∥BC，BC 平面BB1C1C，
∴FH∥平面BB1C1C.
由FH∥AD，可得＝.
又BF＝B1E，BD＝AB1，∴＝.
∴EH∥B1B，B1B 平面BB1C1C.
∴EH∥平面BB1C1C，EH∩FH＝H，
∴平面FHE∥平面BB1C1C，
EF 平面FHE，
∴EF∥平面BB1C1C.
[B级 能力提升]
不同直线m、n和不同平面α、β，给出下列命题：
① m∥β；② n∥β；③ m、n不共面；④ m∥β，其中错误的是________(填序号)．
解析：
由面面平行与线面平行的定义知：①是正确的．对于②，n可能在平面β内．对于③，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1 平面AD1，CC1 平面CD1，而AA1∥C1C，从而A1A与CC1可确定一个平面AA1C1C，即AA1、C1C可以共面．对于④，m可能在平面β内．故②③④错．
答案：②③④
设平面α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，当点S在平面α，β之间时，CS等于________．
解析：
如图，由题意知，
△ASC∽△BSD，
∵CD＝34，∴SD＝34－CS.
由AS∶BS＝CS∶(34－CS)知，
8∶9＝CS∶(34－CS)，∴CS＝16.
答案：16
已知直线a⊥平面α，直线a⊥平面β，求证：α∥β.
证明：设a∩α＝A，l1，l2是平面α内过点A的两条直线，如图所示．
∵l1与a是两条相交直线，故它们确定一个平面，设该平面为γ，又设β∩γ＝l1′，l2′.
∵a⊥α，a⊥β，∴a⊥l1，a⊥l1′，l2′.又∵l1，l1′，l2′ γ，∴l1∥l1′，l2′，
同理，在β内也存在直线l2′，使l2∥l2′，
∵l1∥l1′，l2′，l1 β，l1′，l2′ β，∴l1∥β，
同理l2∥β，又l1∩l2＝A，∴α∥β.
.(创新题)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．
解：能．如图，取AB，C1D1的中点M，N，连结A1M，MC，CN，NA1，
∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，
PC1∥MC，PC1＝MC，∴A1N MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形．
又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，
A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1，
因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．
连结MN，作A1H⊥MN于点H，
∵A1M＝A1N＝，MN＝2，
∴A1H＝.
∴S△A1MN＝×2×＝.
故S A1MCN＝2S△A1MN＝2..正方体的表面积为96，则正方体的体积为________．
解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a2＝16，∴a＝4，
∴正方体的体积为a3＝64.
答案：64
.把一个直径为40 cm的大铁球熔化后做成直径为8 cm的小球，共可做________个(不计损耗)．
解析：＝＝125.
答案：125
已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1＋2R2＝3R3，则它们相应的表面积S1，S2，S3满足的等量关系是________．
解析：∵S1＝4πR，∴＝2R1，
同理：＝2R2，＝2R3，
由R1＋2R2＝3R3，得＋2＝3.
答案：＋2＝3
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2＝________．
解析：设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.
∵E、F分别为AB、AC的中点，
∴S△AEF＝S，
V1＝h(S＋S＋)＝Sh，
V2＝Sh－V1＝Sh，∴V1∶V2＝7∶5.
答案：7∶5
[A级 基础达标]
正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm、6 cm，高为3 cm，则其体积为________．
答案： cm3
(2012·苏州调研)侧面是正三角形的正三棱锥，体积是，则其表面积为________．
解析：设正三棱锥的棱长为a，则其高h＝＝a，所以V＝×a2×a＝a3.由a3＝，解得a＝2.所以S表＝4×a2＝a2＝4.
答案：4
已知正方体的外接球的体积是π，则正方体的棱长等于________．
解析：设正方体的棱长为a，它的外接球的半径设为R，而正方体的体对角线长等于正方体外接球的直径．
∴a＝2R，而V球＝πR3＝π，
∴R3＝8，∴R＝2，
∴a＝×2＝.
答案：
如果一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比为________．
解析：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的高均为2R，
∴V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝πR2·2R＝R3，V球＝πR3，∴V圆柱∶V球∶V圆锥＝3∶2∶1.
答案：3∶2∶1
若一圆台的上、下底面圆半径之比为1∶2，体积为7π，高为1，则此圆台的侧面积为________．
解析：由圆台体积公式可求得上、下底面圆半径分别为和2，由此易得母线长为2.由圆台侧面积公式得S圆台侧＝π(＋2)×2＝6π.
答案：6π
正四棱柱的体对角线长为3 cm，它的表面积为16 cm2，求它的体积．
解：设正四棱柱的底面边长为a cm，高为h cm，
则解得或
所以V正四棱柱＝a2h＝4×1＝4(cm3)或V正四棱柱＝a2h＝()2×＝(cm3)．
一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，求h.
解：设圆锥形容器的液体面的半径为R，则液体的体积为πR2h.
圆柱形容器内的液体体积为π()2h.
根据题意，有πR2h＝π()2h，得R＝a.
再根据圆锥轴截面与内盛液体截面是相似三角形，
得＝，所以h＝a.
[B级 能力提升]
如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点．将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外接球的体积为________．
解析：∵AB＝2CD＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，
∴AE＝AD＝DE＝CE＝EB＝BC＝CD＝1.
由题意可知，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则得到一个正四面体P－CDE，棱长为1.
设正四面体的外接球的半径为R，则有
3×()2＝4R2，解得R＝，
∴外接球的体积是V＝πR3＝.
答案：
设三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱，底面边长及侧棱长均为a，E，F分别是AA1，CC1的中点，则几何体B－EFB1的体积为________．
解析：取BB1的中点D，连结DE，DF，则△DEF≌△BAC，∴三棱锥B－EFB1可分为两个体积相等的三棱锥B1－DEF和B－DEF.
∴VB－EFB1＝VB－DEF＋VB1－DEF
＝S△DEF·(B1D＋BD)＝S△ABC·BB1＝×a2·a＝a3.
答案：a3
如图，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R，斜高为0.6R.
(1)求这个容器盖子的表面积、体积(用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计)；
(2)若R＝2 cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4 kg可以涂1 m2，计算为100个这样的盖子涂色约需涂料多少kg？(精确到0.1 kg)
解：(1)S正四棱台＝4××(2.5R＋3R)×0.6R＋(2.5R)2＋(3R)2＝21.85R2.S球＝4πR2，
故盖子的全面积为S全＝(21.85＋4π)R2，
球的体积V1＝πR3，
棱台的体积
V2＝××(6.25R2＋7.5R2＋9R2)＝×R×R2＝R3.
∴V＝V1＋V2＝πR3＋R3.
(2)取R＝2，π＝3.14，求得S全＝137.64(cm2)，
得×0.4≈0.6(kg)．
因此，100个这样的盖子共需涂料约0.6 kg.
(创新题)如图，在边长为a的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为一个圆锥的侧面和底，求此圆锥的体积．
解：设圆的半径为r，扇形的半径为x，则EF＝·2πx＝πx.
又∵EF＝2πr，∴πx＝2πr.
∴x＝4r，AC＝x＋r＋r.
∴(5＋)r＝a，∴r＝()a.
又∵圆锥的高h＝＝r，
∴圆锥体积V＝πr2·h
＝πa3.若正六棱锥的底面边长为3 cm，侧面积是底面积的倍，则棱锥的高为________cm.
答案：
若正方体的表面正方形的一条对角线长为a，则其全面积为________．
答案：3a2
一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是________．
答案：
各棱长都等于4，且侧棱垂直于底面的三棱柱的表面积为________．
解析：所给三棱柱的底面是正三角形，侧面是正方形．三棱柱底面正三角形的边长为4，所以一个底面的面积为4.三棱柱的侧面是正方形，所以S侧＝3×4×4＝48.故该三棱柱的表面积等于48＋8.
答案：48＋8
将半径为R的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形并分别作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1＋r2＋r3＝________．
解析：πr1R＝πR2，πr2R＝πR2，πr3R＝πR2，故r1＋r2＋r3＝R.
答案：R
[A级 基础达标]
下列有四个结论：
①各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
②三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；
③底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；
④顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥．
其中，正确结论的个数是________．
解析：①不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；②缺少第一个条件；③缺少第二个条件；而④可推出以上两个条件都具备．
答案：1
已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为________．
解析：三棱锥的每个面(正三角形)的面积都为，所以此三棱锥的表面积为4×＝.
答案：
一个圆台的母线长是上、下底面半径的和的一半，且侧面积为8π，那么母线长为________．
解析：由圆台的侧面积公式S侧＝π(r＋r′)l＝π·2l2＝8π，∴l＝2.
答案：2
正三棱台的两底面边长分别为6和8，侧面积与两底面面积之和的比为21∶25，则正三棱台的斜高为________．
解析：设正三棱台的斜高为h′，
则S侧＝(c＋c′)h′＝(3×6＋3×8)h′，
S＝S1＋S2＝×62＋×82＝25.∵＝，
∴＝，∴h′＝.
答案：
若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积之比是________．
解析：设圆锥的底面半径为r，则有l＝2πr，所以l＝3r，
所以＝＝＝.
答案：4∶3
如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体， 若在它的各个面的中心位置上打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后的几何体的表面积是多少？(π取3.14)
解：正方体的表面积为42×6＝96 (cm2)，
一个圆柱的侧面积为
2π×1×1＝6.28 (cm2)，
则打孔后几何体的表面积为
96＋6.28×6＝133.68 (cm2)
如图，已知棱锥P－ABC的侧面是全等的等腰直角三角形，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝90°，PA＝PB＝PC＝a，M是AB的中点．一只小虫从M点沿侧面爬到C点，求小虫爬行的最短路程．
解：将棱锥P－ABC沿PA剪开，展成如图所示的平面图形．
∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝90°，PA＝PB＝PC＝a，
∴AB＝BC＝AC＝a.
立体图形中的上述数量关系除AC外在平面图形中保持不变．
在展开图中，MB＝a，BC＝a，∠MBC＝90°，∴MC2＝MB2＋BC2＝a2＋2a2＝a2，∴MC＝a.
即小虫爬行的最短路程为a.
[B级 能力提升]
已知正四棱锥底面正方形边长为4 cm，高与斜高夹角为30°，则四棱锥的表面积为________cm2.
解析：如图，正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成直角△POE.
∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°，
∴斜高PE＝＝4 (cm)．
∴S正棱锥侧＝ch′＝×4×4×4＝32 (cm2)，∴S正棱锥表＝42＋32＝48 (cm2)．
答案：48
一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为________．
解析：由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．
∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.
答案：360
已知正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，表面积为512 cm2，求底面的边长．
解：如图所示，O1、O分别为上下底面中心，E1、E分别为对应棱的中点，连结O1O，E1E，OE，过E1作E1F⊥OE于点F.设上底面边长为x cm，则下底面边长为(x＋10) cm.
在Rt△E1FE中，EF＝＝5.
∵E1F＝12 cm，∴斜高E1E＝13 cm，
∴S侧＝4×(x＋x＋10)×13＝52(x＋5)，
S表＝52(x＋5)＋x2＋(x＋10)2＝2x2＋72x＋360.
∵S表＝512，∴2x2＋72x＋360＝512，
∴x2＋36x－76＝0.
解得x1＝－38(舍去)，x2＝2，x2＋10＝12，
∴正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm，12 cm.
(创新题)设计一种裁剪方案，将两邻边长分别为4和5的矩形剪拼成一个正四棱锥，使其全面积等于矩形的面积(画出折叠剪裁方法并说明理由)．
解：如图，作EF∥AB，且BE＝1，则EC＝4.取CD的中点L，过L作LH∥AD交EF于G，分别取DL，CL的中点M，N，连结MF，MG和NG，NE.
按虚线剪开，将矩形AHGF和矩形BEGH拼成一个边长为2的正方形作为底面，△MFG，△NGE，△GMN以及将△FMD和△ENC拼起来组成四个全等的等腰三角形，它们的底边长为2，斜高为4，这样拼成的正四棱锥，其全面积等于矩形的面积．
(说明：本题裁剪方案不惟一．)下列命题中，是真命题的为________(填序号)．
①二面角的大小范围是大于0°且小于90°；
②一个二面角的平面角可以不相等；
③二面角的平面角的顶点可以不在棱上；
④二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直．
解析：二面角的大小范围是[0°，180°]，故①不正确；一个二面角的平面角可以有许多个，由等角定理，这些平面角必相等，故②为假命题；由二面角的平面角的定义可知③不正确；由线面垂直的判定定理可知④正确．
答案：④
过直二面角α－l－β的面α内的一点P作l的垂线a，给出以下四个命题：①a⊥β；②垂线a是惟一的；③垂线a有无数条，且它们共面；④垂线a有无数条，且它们都不与β垂直．其中正确的命题为________．(写出所有正确的命题序号)
解析：条件只说明a上有一点P在α内，所以垂线a可以在α内，也可以不在α内．
答案：③
下列说法中正确的是________(填序号)．
①若平面α和平面β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β；
②若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β；
③若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β；
④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.
解析：本题考查的是对垂直关系的定义的理解，同学们要走出“无数”的误区，如④中，可举反例如两平面相交、平行等．
答案：③
锐二面角α－l－β，直线AB α，AB与l所成的角为45°，AB与平面β成30°角，则二面角α－l－β的大小为________．
解析：
如图，作AO⊥l于O，作AC⊥β于C，连结BC，OC.
∴在Rt△AOB中，设AB＝1，则AO＝，
∵在Rt△ACB中，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝，
∴在Rt△ACO中，sin∠AOC＝＝＝，
∴∠AOC＝45°.
答案：45°
如图，把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角，这时顶点A到BC的距离是________．
解析：在翻折后的图形中，∠BDC为二面角B－AD－C的平面角，即∠BDC＝60°，AD⊥平面BDC.
过D作DE⊥BC于E，连结AE，则E为BC的中点，且AE⊥BC，所以AE即为点A到BC的距离．易知，AD＝a，△BCD是边长为的等边三角形，所以DE＝a，AE＝＝a.
答案：a
[A级 基础达标]
自正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面PAB和平面PAD所成二面角大小是________．
解析：画出图形，∠BAD即为所求二面角的平面角．
∵∠BAD＝90°，∴所求二面角为90°.
答案：90°
用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列说法：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中正确说法的序号为________．
解析：由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a∥c；③不正确，a与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．
答案：①④
已知PA⊥矩形ABCD所在平面(如图)，则图中互相垂直的平面有________对．
解析：面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，面PAB⊥面PBC，面PDC⊥面PAD，面PAD⊥面PAB.
答案：5
已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是________(填序号)．
①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥β；④AC⊥β.
解析：如图所示：
AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l AC⊥m；AB∥l AB∥β.
答案：④
将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
④AB与CD所成的角为60°.
其中正确结论的序号是________．(写出所有你认为正确的结论的序号)
解析：如图，连结对角线AC、BD，交于点O，则AO⊥BD，CO⊥BD.
∴BD⊥平面OAC，
∴BD⊥AC，OA＝OC＝OD，且两两垂直，
∴AC＝CD＝AD，△ACD是等边三角形．
∠ABO＝45°为AB与平面BCD所成的角，
取AD、AC的中点E、F，易证OE＝EF＝OF＝CD.
△OEF为等边三角形，∴AB与CD成60°角．∴①②④正确．
答案：①②④
如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB＝AB＝2MA.
求证：(1)平面AMD∥面BPC；
(2)平面PMD⊥面PBD.
证明：(1)∵PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，
∴PB∥MA.∵MA 平面BPC，PB 平面BPC，
∴MA∥平面PBC，同理AD∥平面PBC.
又∵MA∩AD＝A，∴平面AMD∥平面BPC.
(2)连AC交BD于O，取PD中点N，连结ON、MN，
∵MA PB，ON PB，∴MA NO，
∴四边形MAON为平行四边形，∴MN∥AO.
∵AO⊥BD，PB⊥平面ABCD，AO 平面ABCD.
∴AO⊥PB，∴AO⊥平面PBD，∴MN⊥平面PBD.
又∵MN 平面PMD，∴平面PMD⊥平面PBD.
如图，已知平面α∩平面β＝AB，平面γ⊥β，γ∩β＝CD，CD⊥AB.求证：γ⊥α.
证明：在平面γ内作直线MN⊥CD，N为垂足(图略)．
∵平面γ⊥平面β，则MN⊥β，而AB β，∴AB⊥MN.
由已知AB⊥CD，且CD∩MN＝N，
∴AB⊥平面γ，又AB 平面α，∴α⊥γ.
[B级 能力提升]
已知E是正方形ABCD的边BC的中点，沿BD将△ABD折起，使之成为直二面角，则∠AEB＝________．
解析：在折起后的空间图形中，过A作AO⊥BD于O，则O为BD的中点，由折起后的图形是直二面角，可得AO⊥平面BCD，∴BC⊥AO.连结OE，则OE∥CD，∴BC⊥OE，故BC⊥平面AOE，从而∠AEB＝90°.
答案：90°
(2010·高考四川卷)如图，二面角α?l?β的大小是60°，线段AB α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．
解析：如图，过点A作AC⊥l，垂足为C，AD⊥β，垂足为D，连结CD、BD.
由题意知∠ACD＝60°，∠ABC＝30°，
∠ABD即为AB与平面β所成的角．
设AC＝a，则AB＝2a，AD＝a，
∴sin∠ABD＝＝.
答案：
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点．
求证：平面EFG⊥平面PDC.
证明：因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
所以PD⊥平面ABCD.
又BC 平面ABCD，所以BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，所以PD⊥BC.
因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PCD.
在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，
所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.
又GF 平面EFG，
所以平面EFG⊥平面PDC.
(创新题)已知四面体ABCD的棱长都相等，E，F，G，H分别是AB，AC，AD以及BC的中点．求证：面EHG⊥面FHG.
证明：法一：如图，取CD中点M，连结HM，MG，则四边形MHEG为一菱形．
连结EM交HG于O，连结FO.
在△FHG中，O为HG中点，且FH＝FG，∴FO⊥HG.
同理可证FO⊥EM，∴FO⊥面EHMG.
又FO 面FGH，∴面EHG⊥面FHG.
法二：取HG中点O，连结FO，EO，
则易证FO⊥HG，EO⊥HG.
∴∠EOF为二面角E－HG－F的平面角．
设四面体ABCD的棱长为1，
则EF＝，EO＝FO＝HG＝，
在△EFO中，EO2＋FO2＝＋＝＝EF2，
∴∠EOF＝90°，∴面EHG⊥面FHG.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是________，另一个为________．
答案：棱锥 棱台
在三棱台中，侧棱和侧面数分别为________，________．
答案：3 3
下列说法：①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确的说法的个数为________．
解析：①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②正确，如图所示；③不正确，当两个平行的正方形完全相等时，一定不是棱台．
答案：2
下面图形不能围成一个长方体的是________(填序号)．
答案：④
[A级 基础达标]
面数最少的多面体的面的个数是________．
解析：三个面不能围成多面体．
答案：4
若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．
解析：由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．
答案：七
棱台不具有的性质是________(填序号)．
①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都平行；④侧棱延长后都交于一点．
解析：由棱台的定义可知，棱台的侧棱不互相平行．
答案：③
下列说法正确的是________(填序号)．
①有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥；
②用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台；
③三棱锥的任何一个面都可看作底面．
解析：由棱柱、棱锥、棱台的定义知：①②均错．
答案：③
一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥一定不是______棱锥．(从“三”“四”“五”“六”中选)
解析：若满足条件的棱锥是六棱锥，则它的六个侧面都是正三角形，侧面的顶角都是60°，其和为360°，则顶点在底面内，与棱锥的定义相矛盾．
答案：六
(2012·无锡质检)判断下列语句的对错．
(1)一个棱锥至少有六条棱；
(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；
(3)五棱锥只有五条棱；
(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形与底面三角形相似．
解：(1)正确．
(2)不正确，四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不等．
(3)不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共10条棱．
(4)正确．
如图，已知四边形ABCD是一个正方形，E，F分别是边AB和BC的中点，沿折痕DE，EF，FD折起得到一个空间几何体，问：这个空间几何体是什么几何体？
解：折起后是一个三棱锥(如图所示)．
[B级 能力提升]
以四棱柱的侧棱为对边的平行四边形有________个．
解析：如图所示，按下面找法：AA1→BB1，AA1→CC1，AA1→DD1，BB1→CC1，BB1→DD1，CC1→DD1，共6个．
答案：6
纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到平面图形(如图所示)，则标“△”的面的方位是________．
解析：将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为上，最右面为东，最里面为△，将正方体旋转后让“东”面指向东，让“上”面向上可知“△”为北．
答案：北
.如图所示，已知△ABC.
(1)如果你认为△ABC是竖直放置的三角形，试以它为底，画一个三棱柱；
(2)如果你认为△ABC是水平放置的三角形，试以它为底，画一个三棱柱．
解：(1)如图①所示．(2)如图②所示．
(创新题)如图所示，共有8个立体图形．
(1)找出底面或侧面和图②具有相同特征的图形，并说出相同特征是什么？
(2)找出其他底面或侧面具有相同特征的图形，并说出相同特征是什么？
解：(1)图⑤与图②的底面都是五边形；图⑦与图②的侧面都是三角形．
(2)图①与图④，⑦，⑧的底面都是四边形；图③与图⑥的底面都是圆；图①与图⑤，⑧的侧面都是长方形．倾斜角为30°，且在x轴上截距为－2的直线的方程为________．
解析：∵直线斜率k＝tan30°＝，且过点(－2，0)，∴该直线的点斜式方程为y－0＝(x＋2)，即y＝x＋.
答案：y＝x＋
若直线l过点A(－1，1)，B(2，4)，则直线l的方程为________．
解析：∵k＝＝1，
∴l的方程为y－1＝1×(x＋1)，即x－y＋2＝0.
答案：x－y＋2＝0
经过点M(2，2)，N(2，4)的直线方程为________．
解析：所求直线的斜率不存在．
故所求直线方程为x＝2.
答案：x＝2
直线x－y＋5＝0的倾斜角为________，它在y轴上的截距为________．
解析：y＝x＋5.∴倾斜角为60°，在y轴上的截距为5.
答案：60° 5
若直线的截距式＋＝1化为斜截式为y＝－2x＋b，化为一般式为bx＋ay－8＝0，且a>0，则a＋b＝________．
解析：由＋＝1，得y＝－x＋b，一般式为bx＋ay－ab＝0，∴－＝－2，－ab＝－8.
即解得或
∵a>0，∴a＝2，b＝4.∴a＋b＝6.
答案：6
[A级 基础达标]
下列说法不正确的是________(填序号)．
①点斜式y－y1＝k(x－x1)适用于不垂直于x轴的任何直线；
②斜截式y＝kx＋b适用于不垂直于x轴的任何直线；
③两点式＝适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线；
④截距式＋＝1适用于不过原点的任何直线．
解析：与坐标轴平行的直线也不能用截距式表示．
答案：④
(2012·无锡质检)直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为________、________．
解析：该直线的斜率为－，所以倾斜角为120°；
令x＝0，则y＝2－，所以在y轴上的截距为2－.
答案：120° 2－
直线l经过点A(－2，2)且与直线y＝x＋6在y轴上有相同的截距，则直线l的方程为________．
解析：由直线l与直线y＝x＋6在y轴上有相同的截距，可设直线l的方程为y＝kx＋6，然后把A(－2，2)代入y＝kx＋6，即可求出k＝2.
答案：2x－y＋6＝0
过点A(1，4)且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等的直线共有________条．
解析：当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意；当直线不经过原点时，设直线方程为＋＝1，由题意得解得或综合可知符合题意的直线共有3条．
答案：3
经过点A(－2，2)且与x轴、y轴围成的三角形面积为1的直线方程是________．
解析：设直线的方程为＋＝1，
由条件可得解得或
代入方程中，整理得2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
答案：2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0
已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，求：(1)直 线l的点斜式方程以及截距式方程、斜截式方程和一般式方程；
(2)l与坐标轴所围成的三角形的周长和面积．
解：(1)由已知得k＝tan60°＝，所以直线l的斜截式方程为y＝x－4；点斜式方程为y＋4＝(x－0)；
截距式方程为＋＝1；一般式方程为x－y－4＝0.
(2)在方程x－y－4＝0中令x＝0得y＝－4，令y＝0得x＝ .
故所围成的三角形的周长为|－4|＋||＋＝4＋4；
面积为×|－4|×||＝.
已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)若直线不经过第二象限，求a的取值范围．
解：(1)证明：法一：将直线方程变形为y＝ax＋，当a>0时，不论a取何值，直线经过第一象限；当a＝0时，y＝，直线显然过第一象限；当a<0时，>0，则直线过第一象限．
综上，直线5ax－5y－a＋3＝0过第一象限．
法二：直线方程变形为y－＝a(x－)，
它表示经过点A(，)，斜率为a的直线．
∵点A(，)在第一象限，
∴直线5ax－5y－a＋3＝0必过第一象限．
(2)由法二知，直线过定点A(，)，如图，直线OA的斜率k＝3.
∵直线不过第二象限，
∴k≥3，即a≥3.
[B级 能力提升]
已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l的方程为________．
解析：直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过定点P(3，3)，所以直线l的方程为x＝3.
答案：x＝3
已知两点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值是________．
解析：AB线段：＋＝1(0≤x≤3)，则x＝3(1－)，xy＝＝，y＝2时，(xy)max＝3.
答案：3
已知直线l：＋＝1.
(1)若直线l的斜率等于2，求m的值；
(2)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求此时直线l的方程．
解：(1)∵k1＝，∴＝2，m＝－4.
(2)由m>0，4－m>0，得0S＝m(4－m)＝－[(m－2)2－4]≤2.
当且仅当m＝2时，S取最大值2.
此时，l方程为＋＝1.即x＋y－2＝0.
(创新题)光线从A(－3，4)点射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的C点又被y轴反射，这时反射线恰好过D(－1，6)，求BC所在的直线方程．
解：如图，依题意，B点在原点O的左侧，设坐标为(a，0)(a≠－3)，由反射角等于入射角，知反射角的余角与入射角的余角相等，有∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∴kAB＝－kBC.
又kAB＝＝－，
∴kBC＝.
∴直线BC的方程为y－0＝·(x－a)，
即4x－(3＋a)y－4a＝0.
令x＝0，解得C点坐标为(0，)．
则kDC＝＝－.
∵∠3＝∠4，∴kDC＝－kBC，
即－＝－，解得a＝－.
代入BC的方程得5x－2y＋7＝0.
即BC所在的直线方程为5x－2y＋7＝0.圆C的圆心在点C(－2，1)，并且圆C过点M(2，－2)，则圆C的方程为________________．
解析：点C与M之间的距离CM＝5为圆C的半径．
答案：(x＋2)2＋(y－1)2＝25
设两点M1(4，9)，M2(6，3)，则以M1M2为直径的圆的方程为________________．
解析：M1M2＝2，故半径r＝，M1，M2的中点M(5，6)是所求圆的圆心．
答案：(x－5)2＋(y－6)2＝10
点P(1，2)与圆x2＋y2＋2x－3＝0的位置关系为________．
解析：圆x2＋y2＋2x－3＝0的圆心为(－1，0)，半径为2，点P(1，2)到圆心的距离为＝2>2，∴点P在圆外．
答案：点P在圆外
如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．
解析：r＝＝.当k＝0时，r最大．
答案：(0，－1)
圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程为________________．
解析：圆(x－2)2＋y2＝9，圆心C(2，0)，半径为3.AB⊥CP，kCP＝＝1.∴kAB＝－1，
∴直线AB的方程为y－1＝－1×(x－3)，
即x＋y－4＝0.
答案：x＋y－4＝0
[A级 基础达标]
圆x2＋y2＋ax＝0的圆心的横坐标为1，则a等于________．
解析：将圆x2＋y2＋ax＝0化为标准方程为(x＋)2＋y2＝，由已知得－＝1，∴a＝－2.
答案：－2
若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的范围为________．
解析：表示圆的条件是：(－1)2＋12－4m＞0，即m＜.
答案：m＜
经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是________．
解析：圆x2＋2x＋y2＝0的圆心为(－1，0)所求直线与直线x＋y＝0垂直，故所求直线的斜率k＝1，所求直线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为________．
解析：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1，0)，它关于直线y＝－x的对称点为(0，－1)，所以圆C的圆心为(0，－1)，半径为1，其方程为x2＋(y＋1)2＝1.
答案：x2＋(y＋1)2＝1
已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
解析：点(3，5)在圆内，最长弦|AC|即为该圆直径，∴|AC|＝10，最短弦BD⊥AC，∴|BD|＝4，
S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝20.
答案：20
若圆C经过两点A(2，2)和B(3，1)，圆心在直线l：2x＋y＋3＝0上，求圆C的方程．
解：线段AB的垂直平分线方程为x－y－1＝0，
它与直线l的交点坐标为(－，－)，
即圆心C(－，－)．
又r2＝(2＋)2＋(2＋)2＝，
故所求的圆方程为(x＋)2＋(y＋)2＝.
已知曲线C：(1＋a)x2＋(1＋a)y2－4x＋8ay＝0，
(1)当a取何值时，方程表示圆；
(2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；
(3)当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值．
解：(1)当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，表示一条直线；当a≠－1时，＋＝表示圆．
(2)证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a(x2＋y2＋8y)＝0.
对于a取任何值，上式成立，则有
解得或
∴C过定点A(0，0)，B.
(3)由(2)曲线C过定点A、B，在这些圆中，当以AB为直径时，圆的面积最小(其余不以AB为直径的圆，AB为弦，直径大于AB的长，圆的面积也大)，
从而得以AB为直径圆的方程：
＋＝，
∴＝，＝，＝，
解得a＝.
[B级 能力提升]
(2012·无锡调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则C上各点到l的距离的最小值为________．
解析：由图可知：过圆心作直线l：x－y＋4＝0的垂线，则AD长即为所求．
∵C：(x－1)2＋(y－1)2＝2的圆心为C(1，1)，半径为，点C到直线l：x－y＋4＝0的距离为d＝＝2，∴AD＝CD－AC＝2－＝，
故C上各点到l的距离的最小值为.
答案：
设P(x，y)是曲线x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为________．
解析：表示点P(x，y)到定点(1，1)的距离，由于点P是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，圆心C(0，－4)与定点的距离为＝，
故的最大值为＋2.
答案：＋2
矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程是x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD所在直线上．求：(1)AD边所在直线的方程；
(2)矩形ABCD外接圆的方程．
解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.
又因为T(－1，1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.
(2)由解得点A的坐标是(0，－2)．
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2，0)，所以M为矩形ABCD外接圆的圆心，又AM＝＝2，从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
(创新题)当实数t在区间[0，2]内变化时，圆x2＋y2－2tx－2ty＋2t2－1＝0在平面内运动形成的平面区域的面积等于多少？
解：所给圆方程即(x－t)2＋(y－t)2＝1，
其圆心坐标为(t，t)，半径为1.
故动圆圆心在以O(0，0)，A(2，2)为两个端点的一条线段上运动．它运动所形成的平面区域是如图所示的一个长方形加两个半圆(包括它们的内部)．易求得S长方形＝4，S两半圆＝π.
∴所求的面积等于4＋π.关于用斜二测画法画直观图有下列四种说法：①用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的平面图形；②几何体的直观图的长、宽、高的比例与原几何体的长、宽、高的比例相同；③水平放置的矩形的直观图是平行四边形；④水平放置的圆的直观图是椭圆．其中正确的说法是________．(写出所有正确说法的序号)
解析：注意斜二测画法的规则，可知②不正确，①③④都正确．
答案：①③④
用斜二测画法画一个水平放置的正五边形的直观图，则正五边形的各个角________(填“相等”、“不相等”、“不全相等”)．
解析：作出直观图可知各个角不全相等．
答案：不全相等
如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y轴，则原图中△ABC是________三角形．
解析：∵A′B′∥y轴，∴∠B′A′C′＝45°，∴∠BAC＝90°.
即△ABC是直角三角形．
答案：直角
如图，线段OA在平面xOy中，它与x轴的夹角为45°，它的长为2，则直观图中O′A′的长为________．
解析：如图，原图中的AB(B为AB垂直x轴的垂足)对应直观图中的A′B′(A′B′平行y′轴，B′为A′B′与x′轴的交点)，则A′B′＝1，过A′作O′x′的垂线，垂足为D′，∠A′B′D′＝45°.
∵B′D′＝，A′D′＝，
∴O′A′＝＝.
答案：
[A级 基础达标]
有下列说法：
①从投影的角度看，三视图是在平行投影下画出来的空间图形；
②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；
③空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；
④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．
其中正确说法的个数是________．
解析：利用平行投影与中心投影的概念逐一判断，以上四句话都正确．
答案：4
关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是________(填序号)．
①原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变；
②原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的；
③画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°；
④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．
解析：画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，
∠x′O′y′也可以是135°.
答案：③
水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
解析：原图为Rt△ABC且AC＝3，BC＝4，则斜边AB＝5，故斜边上的中线长为.
答案：
如图所示，用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图，得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是________．(填序号)
①AB＝BC＝AC；②AD⊥BC；
③AC＞AD＞AB＞BC；
④AC＞AD＞AB＝BC.
解析：由直观图画出原实际图形，如图所示，知AB＝2BC，∠ABC＝90°.
答案：③
如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
解析：画出直观图(图略)，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为.
答案：
用斜二测画法画出水平放置的正六边形的直观图．
解：画法：(1)如图①所示，在已知正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在直线为x轴，取对称轴GH为y轴，x轴和y轴相交于点O；任取点O′，画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)如图②所示，以点O′为A′D′及G′H′的中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取G′H′＝GH，以点H′为E′F′的中点画F′E′∥O′x′，并使F′E′＝FE；再以G′为B′C′的中点画B′C′∥O′x′，并使B′C′＝BC.
(3)顺次连结A′、B′、C′、D′、E′、F′、A′，并擦去辅助线，所得到的六边形A′B′C′D′E′F′就是水平放置的正六边形ABCDEF的直观图，如图③所示．
如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC.
解：(1)画法：过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于D′，E′；
(2)在直角坐标系xOy中．在x轴上取二点E，D使OE＝O′E′，OD＝O′O′，再分别过E，D作y轴平行线，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′.连结OB，OC，BC即求出原△ABC.
[B级 能力提升]
一个建筑物的上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样．已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为________．
解析：由比例尺可知图形中长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，1 cm，2 cm和0.8 cm，再结合直观图的特征，图形的尺寸应为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.
答案：4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm
右图为水平放置的矩形ABCD的斜二测图，已知A′B′＝4，A′D′＝1.5，则矩形ABCD的面积为________．
解析：由斜二测画法可知，AD＝3.
∴S矩形ABCD＝AD×AB＝3×4＝12.
答案：12
画棱长为2 cm的正方体的直观图．
解：如图，按如下步骤完成：
第一步 作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2 cm，AD＝1 cm.
第二步 过A作z′轴，使∠BAz′＝90°.分别过点B，C，D作z′轴的平行线，在z′轴及这组平行线上分别截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝2 cm.
第三步 连结A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，得到的图形就是所求的正方体直观图．
(创新题)我们知道用斜二测画法画平面图形的直观图时，只要确定特殊点的位置即可连线成图，请用斜二测画法画出圆的水平放置的直观图．
解：(1)如图①，在圆O上取互相垂直的直径AB和CD，分别以它们所在直线为x轴和y轴，将线段AB分成n等份，过各分点分别作y轴的平行线，交圆O于E，F，G，H，…，画对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°；
(2)如图②，以O′为中点，在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取C′D′＝CD，将A′B′分成n等份，分别以这些分点为中点，画与y′轴平行的线段E′F′，G′H′，…，使E′F′＝EF，G′H′＝GH，…；
(3)用平滑曲线顺次连结A′，…，D′，F′，H′，…，B′，G′，E′，C′，…，A′，并擦去辅助线，得到圆的水平放置的近似直观图，如图③.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)
如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第________象限．
解析：y＝－x－，
∵AC<0，BC>0，
∴AB<0，∴－>0，又－<0.
∴此直线通过第一、三、四象限，不通过第二象限．
答案：二
设点P(x，y，z)关于原点的对称点为Q，则PQ＝________．
解析：点P(x，y，z)关于原点的对称点为Q(－x，－y，－z)，
则PQ＝2.
答案：2
两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：ax＋6y＝5间的距离为________．
解析：由l1∥l2得＝，a＝，所以l2的方程为3x＋4y－＝0.l1、l2间的距离d＝＝.
答案：
若直线l过点A(3，4)，且点B(－3，2)到直线l的距离最大，则直线l的方程为________．
解析：只有当l⊥AB时符合要求，∵kAB＝＝，
∴l的斜率为－3.
∴直线l的方程为y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.
答案：3x＋y－13＝0
函数f(x)＝(x－2011)(x＋2012)的图象与x轴、y轴有三个交点，有一个圆恰好通过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是________．
解析：依题意得，函数f(x)的图象与两条坐标轴的交点分别是A(－2012，0)、B(2011，0)、C(0，－2011×2012)，设经过点A、B、C的圆与y轴的另一个交点坐标是D(0，y0)，其中y0>0，结合图形易知原点O位于经过点A，B，C的圆的内部，因此由相交弦定理得OA·OB＝OC·OD，2012×2011＝2011×2012y0，所以y0＝1，即经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点坐标是D(0，1)．
答案：(0，1)
已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，P点关于直线2x＋y－1＝0的对称点在圆上，则实数a等于________．
解析：依题意可知，直线2x＋y－1＝0过圆心(－2，－)，则2×(－2)－－1＝0，∴a＝－10.
答案：－10
对于任意实数λ，直线(λ＋2)x－(1＋λ)y－2＝0与点(－2，－2)的距离为d，则d的取值范围为________．
解析：无论λ取何值，直线都过定点(2，2)，而点(2，2)与点(－2，－2)的距离为4，又点(－2，－2)不在已知直线上，故d＞0，所以0＜d≤4.
答案：0＜d≤4
圆x2＋y2－2x－3＝0与直线y＝ax＋1交点的个数为________．
解析：直线y＝ax＋1恒过定点(0，1)，而02＋12－2×0－3＜0，即点在圆内，所以直线与圆相交，有两个交点．
答案：2
过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________．
解析：由题意知A、B两点在圆上，
∴直线AB的垂直平分线x＝3过圆心．
又圆C与直线y＝x－1相切于点B(2，1)，∴kBC＝－1.
∴直线BC的方程为y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3.
y＝－x＋3与x＝3联立得圆心C的坐标为(3，0)，
∴r＝BC＝＝.
∴圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.
答案：(x－3)2＋y2＝2
等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A、C的坐标分别为(0，4)，(3，3)，则点B的坐标是________．
解析：设B(x，y)，根据题意可得，
即.
解得或，
∴B(2，0)或B(4，6)．
答案：(2，0)或(4，6)
已知直线y＝x＋b(b≠0)与x轴、y轴的交点分别为A、B，如果△AOB的面积(O为原点)小于等于1，那么b的取值范围是________．
解析：令x＝0，则y＝b，∴点B坐标是(0，b)；令y＝0，则x＝－2b，∴点A坐标是(－2b，0)．
∴△AOB的面积S＝·|b|·|－2b|＝b2≤1，
∴－1≤b≤1且b≠0.
答案：－1≤b≤1且b≠0
在平面直角坐标系xOy中，若曲线x＝与直线x＝m有且只有一个公共点，则实数m等于________．
解析：∵曲线x＝，即为x2＋y2＝4(x≥0)．其图形是如图所示的半圆．
∴直线x＝m与半圆有且只有一个公共点时m＝2.
答案：2
两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－1＝0的公共弦长的最大值为________．
解析：两圆方程相减得相交弦所在直线为x＋y＋a＋b＝0，∴弦长＝2 ，∴a＝b时，弦长最大为2.
答案：2
直线x－y＋1＝0与2x－2y－1＝0是圆的两条切线，则该圆的面积是________．
解析：∵两平行直线间的距离即为圆的直径．
∴2R＝＝，
∴R＝，
∴S圆＝πR2＝π.
答案：π
二、解答题(本大题共6小题，共计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
(本小题满分14分)已知直线l的方程是3x＋4y－12＝0，求分别满足下列条件的l′的方程：
(1)l′与l平行，且过点(－1，3)；
(2)l′与l垂直，且l′与坐标轴围成的三角形面积为4.
解：(1)设所求直线的方程为3x＋4y＋t＝0，将(－1，3)代入上式得－3＋12＋t＝0，有t＝－9.
∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.
(2)设所求直线方程为4x－3y＋C＝0，
则它与坐标轴的交点分别为，，
∴S＝＝4，C＝±4，
∴所求直线方程为4x－3y±4＝0.
(本小题满分14分)已知直线l过点P(3，4)，
(1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程；
(2)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求△AOB的面积的最小值．
解：(1)①当直线l过原点时，符合题意，斜率k＝，直线方程为y＝x，即4x－3y＝0；
②当直线l不过原点时，因为它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，
所以可设直线l的方程为：＋＝1.
∵直线l过点P(3，4)，∴＋＝1，解得a＝5.
∴直线l的方程为＋＝1，即2x＋y－10＝0.
综上所述，所求直线l方程为4x－3y＝0或2x＋y－10＝0.
(2)设直线l的方程为y－4＝k(x－3)(k<0)
令x＝0，则y＝4－3k>0，
y＝0，则x＝3－>0
∴S△AOB＝(3－)(4－3k)＝12＋[＋9(－k)]．
经判断知函数y＝＋9(－k)的图象在第一象限内，且当k＝－时，函数值有最小值，即当k＝－时，S△AOB最小．最小面积为24.
(本小题满分14分)已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边方程．
解：由得
∴中心坐标为(－1，0)．
∴中心到已知边的距离为＝，
设正方形相邻两边方程为
x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0.
∵正方形中心到各边距离相等，
∴＝和＝，
∴m＝4或m＝－2(舍)，n＝6或n＝0.
∴其他三边方程为x＋3y＋4＝0，3x－y＝0，3x－y＋6＝0.
(本小题满分16分)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，
(1)求实数m的取值范围；
(2)若直线l：x＋2y－4＝0与圆C相交于M，N两点，且OM⊥ON，求m的值．
解：(1)由x2＋y2－2x－4y＋m＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，故5－m＞0，即m＜5.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．直线OM，ON的斜率显然都存在，由OM⊥ON，得·＝－1，
即x1x2＋y1y2＝0.①
由得5y2－16y＋m＋8＝0.又因直线l与圆C交于M，N两点，所以Δ＝162－20(m＋8)＞0，得m＜，且y1＋y2＝，y1y2＝，所以x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2＝.代入①，得m＝，满足m＜.
所以m＝.
(本小题满分16分)已知圆C经过两点P(－1，－3)，Q(2，6)，且圆心在直线x＋2y－4＝0上，直线l的方程为(k－1)x＋2y＋5－3k＝0.
(1)求圆C的方程；
(2)证明：直线l与圆C恒相交；
(3)求直线l被圆C截得的最短弦长．
解：(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
由条件，得，
解得，
∴圆C的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
(2)证明：由(k－1)x＋2y＋5－3k＝0，得k(x－3)－(x－2y－5)＝0，
令，得，即直线l过定点(3，－1)，
由32＋(－1)2－4×3－2×(－1)－20<0，知点(3，－1)在圆内，
.∴直线l与圆C恒相交．
(3)圆心C(2，1)，半径为5，由题意知，
直线l被圆C截得的最短弦长为
2＝4.
(本小题满分16分)如图，圆x2＋y2＝8内有一点P(－1，2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB；
(2)当弦AB被点P平分时，求出直线AB的方程；
(3)设过P点的弦的中点为M，求点M的坐标所满足的关系式．
解：(1)如图所示，过点O做OG⊥AB于G，连结OA，当α＝135°时，直线AB的斜率为－1，
故直线AB的方程为x＋y－1＝0，
∴OG＝＝.
又∵r＝2，
∴GA＝ ＝＝，
∴AB＝2GA＝.
(2)当弦AB被点P平分时，OP⊥AB，此时kOP＝－2，
∴AB的点斜式方程为y－2＝(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.
(3)设AB的中点为M(x，y)，当AB的斜率的存在时，设为k，OM⊥AB，则
消去k，得x2＋y2－2y＋x＝0，当AB的斜率k不存在时也成立，故过点P的弦的中点的轨迹方程为x2＋y2－2y＋x＝0.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网直线3x－2y－5＝0和6x＋y－5＝0的交点坐标是________．
答案：(1，－1)
已知直线3x＋5y＋m＝0与直线x－y＋1＝0的交点在x轴上，则m＝________．
解析：直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1，0)．则(－1，0)在直线3x＋5y＋m＝0上，∴3×(－1)＋5×0＋m＝0，∴m＝3.
答案：3
过直线x＝－1和y＝2的交点，且斜率为－1的直线的方程为________．
解析：交点为(－1，2)，所求直线的方程为y－2＝－1×(x＋1)，即x＋y－1＝0.
答案：x＋y－1＝0
l过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且与直线x－2y＝2平行，则直线l的方程为________．
解析：由解得∴交点为(1，6)．
又∵l与x－2y－2＝0平行，∴l的方程为y－6＝(x－1)，即x－2y＋11＝0.
答案：x－2y＋11＝0
若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则实数k的值等于________．
解析：由得将点(－1，－2)代入x＋ky＝0中得k＝－.
答案：－
[A级 基础达标]
若直线2x＋3y－m＝0和x－my＋12＝0的交点在y轴上，则m的值是________．
解析：由，得，
令x＝0，解得m＝6或m＝－6.
答案：6或－6
直线y＋(m2－2)x＋1＝0与直线y－x＋m＝0有公共点，则m的取值范围是________．
解析：两直线有公共点即两直线不平行，若两直线平行，则＝1≠，m＝－1，故m≠－1时，两直线有公共点．
答案：{m|m≠－1}
两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点位于第二象限，则m的取值范围为________．
解析：联立两直线方程得方程组
解之得由交点位于第二象限知
解得－＜m＜2.
答案：－＜m＜2
(2012·苏州质检)若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a、b的值分别为________、________．
解析：由方程组，得交点B(1，2)，
代入方程ax＋by－11＝0中有a＋2b－11＝0. ①
又直线ax＋by－11＝0平行于直线3x＋4y－2＝0，
所以－＝－，②
≠.③
由①②③知a＝3，b＝4.
答案：3 4
设两直线(m＋2)x－y－2＋m＝0，x＋y＝0与x轴构成三角形，则m的取值范围为________．
解析：∵(m＋2)x－y－2＋m＝0与x轴相交，
∴m≠－2，又(m＋2)x－y－2＋m＝0与x＋y＝0相交，
∴m＋2≠－1，∴m≠－3，
又∵x＋y＝0与x轴交点为(0，0)，
∴(m＋2)·0－0－2＋m≠0，
∴m≠2，故m≠±2，且m≠－3.
答案：{m|m≠±2，且m≠－3}
求经过直线2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交点，且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线方程．
解：法一：解方程组得交点P(－5，2)，因为直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－，所以所求直线的斜率是.因此所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
法二：设所求直线方程为3x－2y＋m＝0，解方程组得交点P(－5，2)，把点P的坐标(－5，2)代入3x－2y＋m＝0中，求得m＝19，故所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
法三：设所求直线的方程为2x＋y＋8＋λ(x＋y＋3)＝0，即(2＋λ)x＋(1＋λ)y＋8＋3λ＝0，(*)．因为所求直线与直线2x＋3y－10＝0垂直，所以－＝，解得λ＝－，把λ＝－代入(*)式，得所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
当实数m为何值时，直线mx＋y＋2＝0与直线x＋my＋m＋1＝0：(1)平行；(2)重合；(3)相交？
解：m＝0时，两直线互相垂直，属相交．
当m≠0时，
(1)两直线平行 ∴m＝－1.
(2)两直线重合 ∴m＝1.
(3)两直线相交 m≠1且m≠－1.
[B级 能力提升]
不论m怎样变化，直线(m＋2)x－(2m－1)y－(3m－4)＝0恒过定点________．
解析：原方程可化为：m(x－2y－3)＋(2x＋y＋4)＝0，
由，得，
∴直线恒过定点(－1，－2)．
答案：(－1，－2)
已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，且垂足为(1，p)，则m－n＋p的值为________．
解析：由两条直线互相垂直得－×＝－1，即m＝10.由于点(1，p)在两条直线上，从而有
可解得p＝－2，n＝－12，∴m＋p－n＝10－2＋12＝20.
答案：20
(2012·苏北五市联考)已知 △ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0，求顶点C的坐标．
解：(1)由题意BH与AC垂直，
∴kBH·kAC＝kAC＝－1.
∴kAC＝－2，
∴直线AC的方程为2x＋y－11＝0.
解方程组，
得点C的坐标为(4，3)．
(创新题)已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0，求分别满足下列条件的m的值：
(1)使这三条直线交于同一点；
(2)使这三条直线不能构成三角形．
解：(1)要使三条直线交于同一点，则l1与l2不平行，所以m≠4.由得即l1与l2的交点为.代入l3的方程得2×－3m·－4＝0，解得m＝－1或.
(2)若l1，l2，l3交于同一点，则m＝－1或；若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－；若l2∥l3，则m无解．
综上所述，m＝－1，或，或4，或－.
