《优化方案》高中苏教版数学选修2-1模块综合检测

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(时间：120分钟；满分：160分)
模块综合检测一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
已知命题p： x∈R，x2＋x－1<0，则命题﹁p是________．
解析：全称命题的否定是存在性命题．
答案： x∈R，x2＋x－1≥0
已知点A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，若＝2a，则点B的坐标为________．
解析：设B(x，y，z)，则＝(x－1，y＋2，z)，又＝2a，解得x＝－5，y＝6，z＝24，所以B点坐标为(－5，6，24)．
答案：(－5，6，24)
若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________．
解析：c－a＝(0，0，1－x)，(c－a)·(2b)＝2(0，0，1－x)·(1，2，1)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
答案：2
已知a∈R，则“a>2”是“<”的________条件．
解析：由<可得>0，即得a>2或a<0，∴“a>2”是“<”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为________．
解析：根据椭圆方程可得c＝＝4，又椭圆与双曲线焦点相同，故其焦点坐标为(±4，0)，又据已知得：故a＝2，b＝＝2，
故其渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：x±y＝0
双曲线－＝1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为________．
解析：由a＝4，b＝3，得c＝5.设左焦点为F1，右焦点为F2，
则|PF2|＝(a＋c＋c－a)＝c＝5，由双曲线的定义得：|PF1|＝2a＋|PF2|＝8＋5＝13.
答案：13
已知抛物线C：y2＝x与直线l：y＝kx＋1，“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的____________条件．
解析：当k＝0时，直线y＝1与抛物线C：y2＝x只有一个交点；所以直线l与抛物线C有两个不同交点必须k≠0；当k≠0时，由得k2x2＋(2k－1)x＋1＝0，Δ＝(2k－1)2－4k2＝－4k＋1，则Δ不一定大于零，此时直线l与抛物线C，可能没有交点，可能有一个交点，也可能有两个交点，所以“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”必要不充分条件．
答案：必要不充分
抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．
解析：设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，故当m＝时，取得最小值为.
答案：
已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一点，若λ＝
＋＋，则λ＝________．
解析：如图，正方体中，＋＋
＝3，所以λ＝3.
答案：3
若点P(2，0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为________．
解析：设过第一象限的渐近线倾斜角为α sinα＝ α＝45° k＝1；所以y＝±x＝±x a＝b，因此c＝a，e＝＝.
答案：
设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．
解析：抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F坐标为(，0)，则直线l的方程为y＝2(x－)，它与y轴的交点为A(0，－)，所以△OAF的面积为||·||＝4，解得a＝±8，所以抛物线方程为y2＝±8x.
答案：y2＝±8x
若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
解析：由题意，F(－1，0)，设点P(x0，y0)，
则有eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1，解得y＝3(1－eq \f(x,4))，
因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，
所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x0(x0＋1)＋3(1－eq \f(x,4))＝eq \f(x,4)＋x0＋3，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2，
因为－2≤x0≤2，
所以当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6.
答案：6
如图在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝，M是CC1的中点，则二面角B－AM－C的大小为________．
解析：以点C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，A(0，，0)，A1(0，，)，M(0，0，)，
所以＝(1，－，－)，
＝(0，－，)，
因为直三棱柱ABC－A1B1C1，
所以CC1⊥面ABC，所以CC1⊥BC，
因为∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
所以BC⊥平面ACC1，
即BC⊥面AMC，
所以＝(1，0，0)是平面AMC的一个法向量，
设n＝(x，y，z)是平面BAM的一个法向量，
＝(－1，，0)，＝(－1，0，)．
由，得，
取z＝2，得n＝(，，2)，
因为||＝1，|n|＝2，
所以cos〈，n〉＝＝，
又二面角B－AM－C的平面角是锐角，
因此二面角B－AM－C的大小为45°.
答案：45°
设x1，x2∈R，常数a>0，定义运算“*”，x1*x2＝(x1＋x2)2－(x1－x2)2，若x≥0，则动点P(x，)的轨迹是________．
解析：因为x1*x2＝(x1＋x2)2－(x1－x2)2，
所以＝＝2，
则P(x，2)，
设P(x1，y1)，即，
消去x得y＝4ax1(x1≥0，y1≥0)，
故点P的轨迹为抛物线的一部分．
答案：抛物线的一部分
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
(本小题满分14分)已知p：(x＋2)(x－10)≤0，q：[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)，若﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：因为﹁p是﹁q的必要不充分条件，
则p是q的充分不必要条件，
由p：(x＋2)(x－10)≤0可得－2≤x≤10，
由q：[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)，
可得1－m≤x≤1＋m(m>0)，
因为p是q的充分不必要条件，
所以，得m≥9，
即实数m的取值范围为m≥9.
(本小题满分14分)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.
(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；
(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．
解：如图所示，以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系，依题意，得A(2，0，0)，B(0，0，0)，C(，－，)，A1(2，2，0)，B1(0，2，0)，C1(，，)．
(1)易得＝(－，－，)，＝(－2，0，0)，
因为cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.
(2)易知＝(0，2，0)，＝(－，－，)．
设平面AA1C1的法向量m＝(x1，y1，z1)，
则即
不妨令x1＝，可得z1＝，即m＝(，0，)．
同样地，设平面A1B1C1的法向量n＝(x2，y2，z2)，
则即
不妨令y2＝，可得z2＝，即n＝(0，，)．
于是cos〈m，n〉＝＝＝，
从而sin〈m，n〉＝.
所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为.
(3)由N为棱B1C1的中点，得N(，，)．
设M(a，b，0)，则＝(－a，－b，)．
由MN⊥平面A1B1C1，得
即
解得故M(，，0)．
因此＝(，，0)，
所以线段BM的长为||＝.
(本小题满分14分)已知椭圆与双曲线2x2－2y2＝1共焦点，且过(，0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．
解：(1)依题意得，将双曲线方程标准化为－＝1，
则c＝1.
∵椭圆与双曲线共焦点，
∴设椭圆方程为＋＝1，
∵椭圆过(，0)，∴＋＝1，
即a2＝2，
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y＝2x＋b，弦的中点坐标为(x，y)，
则得9x2＋8bx＋2b2－2＝0，
∴即
∴y＝－x.
令Δ＝0，64b2－36(2b2－2)＝0，即b＝±3，
所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y＝2x±3，
即当x＝±时斜率为2的直线与椭圆相切．
所以平行弦的中点轨迹方程为：y＝－x(－≤x≤)．
(本小题满分16分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．
(1)求证：MN⊥平面A1BC；
(2)求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．
解：(1)据题意CA、CB、CC1两两垂直，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图．
设AC＝BC＝CC1＝a，
则B(0，a，0)，B1(0，a，a)，A(a，0，0)，C(0，0，0)，C1(0，0，a)，A1(a，0，a)，M(，，)，N(0，，a)．
所以＝(a，－a，a)，＝(a，0，a)，＝(－，0，)．
所以·＝0，·＝0，
即MN⊥BA1，MN⊥CA1.
又BA1∩CA1＝A1，
故MN⊥平面A1BC.
(2)因为MN⊥平面A1BC，
则为平面A1BC的法向量，
又＝(0，－a，a)，
则cos〈，〉＝
＝＝，
所以〈BC1，〉＝60°，
故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°.
(本小题满分16分)已知动点P到定点F(，0)的距离与点P到定直线l：x＝2的距离之比为.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若·＝0，求MN的最小值．
解：(1)设点P(x，y)，依题意，有＝，整理，得＋＝1.
所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)∵点E与点F关于原点O对称，
∴点E的坐标为(－，0)．
∵M、N是直线l上的两个点，
∴可设M(2，y1)，N(2，y2)(不妨设y1>y2)．
∵·＝0，
∴(3，y1)·(，y2)＝0，
则6＋y1y2＝0，即y2＝.
由于y1>y2，则y1>0，y2<0.
∴MN＝y1－y2＝y1＋≥2＝2.
当且仅当y1＝，y2＝－时，等号成立，
故MN的最小值为2.
(本小题满分16分)如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点M(0，－2)作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足＋＝(－4，－12)．
(1)求直线l和抛物线的方程；
(2)当抛物线上一动点P从点A到B运动时，求△ABP面积的最大值．
解：(1)据题意可设直线l的方程为y＝kx－2，抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
由得x2＋2pkx－4p＝0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2pk，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.
所以＋＝(x1＋x2，y1＋y2)
＝(－2pk，－2pk2－4)．
因为＋＝(－4，－12)，
所以，解得.
故直线l的方程为y＝2x－2，抛物线为x2＝－2y.
(2)由得，x2＋4x－4＝0.
所以AB＝·
＝×＝4.
设点P(t，－t2)(－2－2点P到直线l的距离为d，
则d＝＝(－2－2当t＝－2时，dmax＝，
此时点P(－2，－2)．
故△ABP面积的最大值·AB·d＝×4×＝8.
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