已知点A(－1，0)，B(1，0)，动点P满足PA＋PB＝3，则动点P的轨迹是________．
解析：由PA＋PB＝3>AB结合椭圆的定义有：动点P的轨迹是以A(－1，0)，B(1，0)为焦点的椭圆．
答案：以A(－1，0)，B(1，0)为焦点的椭圆
已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M满足|MA－MB|＝4，则动点M的轨迹为________．
解析：动点M满足|MA－MB|＝4＝AB，结合图形思考判断动点M的轨迹为直线AB(不包括线段AB内部的点)上的两条射线．
答案：直线AB(不包括线段AB内部的点)上的两条射线
到两定点F1(0，－10)，F2(0，10)的距离之和为20的动点M的轨迹是________．
解析：MF1＋MF2＝20＝F1F2，故动点M为线段F1F2上任意一点，即动点M的轨迹是线段F1F2.
答案：线段F1F2
到定点(2，1)和定直线x＋2y－4＝0的距离相等的点的轨迹是________．
解析：点(2，1)在直线x＋2y－4＝0上，不符合抛物线定义．
答案：过点(2，1)且和直线x＋2y－4＝0垂直的直线
(2012·马鞍山学业水平测试)已知动点P(x，y)满足－＝2，则动点P的轨迹是________．
解析： －＝2即动点P(x，y)到两定点(－2，0)，(2，0)的距离之差等于2，由双曲线定义知动点P的轨迹是双曲线的一支．
答案：双曲线的一支
[A级 基础达标]
动点M到定点A，B的距离之和是2，则动点M的轨迹是________．
解析：根据椭圆的定义判断，要注意定义中的“常数”是否大于AB.
答案：椭圆
已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足PF1－PF2＝10，则点P的轨迹是________．
解析：由于两点间的距离为10，所以满足条件PF1－PF2＝10的点P的轨迹应是一条射线．
答案：一条射线
动点P到直线x＋2＝0的距离减去它到M(1，0)的距离之差等于1，则动点P的轨迹是________．
解析：将直线x＋2＝0向右平移1个长度单位得到直线x＋1＝0，则动点到直线x＋1＝0的距离等于它到M(1，0)的距离，由抛物线定义知：点P的轨迹是以点M为焦点的抛物线．
答案：以点M为焦点的抛物线
动点P到定点A(0，－2)的距离比到定直线l：y＝10的距离小8，则动点P的轨迹为________．
解析：将直线l：y＝10沿y轴向下平移8个单位，得到直线l′：y＝2，则动点P到A(0，－2)的距离等于到定直线l′：y＝2的距离，故点P的轨迹为抛物线．
答案：抛物线
已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q使得PQ＝PF2，则动点Q的轨迹是________．
解析：由P是椭圆上的一点，根据椭圆的定义，则PF1＋PF2＝定值，而PQ＝PF2，则QF1＝PF1＋PQ＝PF1＋PF2＝定值，所以点Q的轨迹是以F1为圆心的圆．
答案：圆
设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件PF1＋PF2＝a(a>0)，试求动点P的轨迹．
解：当a＝6时，PF1＋PF2＝a＝F1F2，所以点P的轨迹为线段F1F2.
当a>6时，PF1＋PF2＝a>F1F2，所以点P的轨迹为椭圆．
当0
若动点P到两个定点F1(－1，0)、F2(1，0)的距离之差的绝对值为定值a(0≤a≤2)，试求动点P的轨迹．
解：当a＝0时，|PF1－PF2|＝0，从而PF1＝PF2，所以点P的轨迹为直线：线段F1F2的垂直平分线．
当a＝2时，|PF1－PF2|＝2＝F1F2，所以点P的轨迹为两条射线．
当0[B级 能力提升]
过已知圆B内一个定点A作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹是________．
解析：分A点与B点是否重合两种情况讨论．
答案：圆或椭圆
若点M到定点F和到定直线l的距离相等，则下列说法正确的是________．
①点M的轨迹是抛物线；
②点M的轨迹是一条与x轴垂直的直线；
③点M的轨迹是抛物线或一条直线．
解析：当点F不在直线l上时，点M的轨迹是以F为焦点、l为准线的抛物线；而当点F在直线l上时，点M的轨迹是一条过点F，且与l垂直的直线．
答案：③
求满足下列条件的动圆圆心M的轨迹．
(1)与⊙C：(x＋2)2＋y2＝2内切，且过点A(2，0)；
(2)与⊙C1：x2＋(y－1)2＝1和⊙C2：x2＋(y＋1)2＝4都外切；
(3)与⊙C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与⊙C2：(x－3)2＋y2＝1内切．
解：设动圆M的半径为r.
(1)∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，
∴MC＝r－.
∴MA＝r，∴MA－MC＝，
且<4.∴点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的一支．
(2)∵⊙M与⊙C1，⊙C2都外切，
∴MC1＝r＋1，MC2＝r＋2.∴MC2－MC1＝1，且1<2.
∴点M的轨迹是以C2，C1为焦点的双曲线的一支．
(3)∵⊙M与⊙C1外切，且与⊙C2内切，
∴MC1＝r＋3，MC2＝r－1.∵MC1－MC2＝4，且4<6，
∴点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的一支．
(创新题)已知定直线l及定点A(A不在l上)，n为过点A且垂直于l的直线，设N为l上任意一点，线段AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证：点P的轨迹为抛物线．
证明：如图所示，建立平面直角坐标系，并且连结PA，PN，NB.
由题意知PB垂直平分AN，
且点B关于AN的对称点为P，
∴AN也垂直平分PB.
∴四边形PABN为菱形，
∴PA＝PN.
∵AB⊥l，∴PN⊥l.
故点P符合抛物线上点的条件：到定点A的距离和到定直线l的距离相等，
∴点P的轨迹为抛物线．(2010·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：由圆锥曲线的共同性质得＝e＝＝2，d为点M到右准线x＝1的距离，则d＝2，所以MF＝4.
答案：4
已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条准线为x＝，则c＝________，双曲线的离心率为________．
解析：由＝，b＝1得c＝2，a＝，∴e＝＝.
答案：2
椭圆＋＝1的准线垂直于y轴，则实数m的取值范围为________．
解析：由题意(m－1)2>m2，m≠1且m≠0解得m<且m≠0.
答案：m<且m≠0
已知椭圆的两个焦点将长轴三等分，焦点到相应准线距离为8，则此椭圆的长轴长为________．
解析：由题意得2c＝，－c＝8，解得a＝3，∴2a＝6.
答案：6
设双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且它的一条准线与抛物线y2＝4x的准线重合，则此双曲线方程为________．
解析：由题意得＝，＝1，得a＝，c＝3，则b2＝6，所以此双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
[A级 基础达标]
点A(x0，y0)在双曲线－＝1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0，则x0＝________．
解析：设A点到右焦点的距离为r，A点到该双曲线右准线的距离为d，由已知得a＝2，c＝6，＝e r＝3d，所以2x0＝3(x0－) x0＝2.
答案：2
已知椭圆＋＝1上一点P到右准线的距离为10，则点P到它的左焦点的距离为________．
解析：设F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，P到左准线的距离为d1，P到右准线的距离为d2＝10，由圆锥曲线的统一定义知，＝＝，解得PF2＝6，又PF1＋PF2＝2a＝10，解得PF1＝4，故P到它的左焦点距离为4.
答案：4
如果双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是________．
解析：由双曲线方程可知a＝2，b＝，c＝，e＝，设F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，设P点坐标为(x，y)，由已知条件知P点在右支上，且PF2＝ex－a＝2，解得x＝.
答案：
椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，若MN≤2F1F2，则该椭圆的离心率的取值范围是________．
解析：由MN≤2F1F2，得≤2c，即a2≤2c2，则e2≥，解得≤e<1.
答案：[，1)
设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，P是其右准线上纵坐标为c(c为半焦距)的点，且F1F2＝F2P，则椭圆的离心率是________．
解析：如图有P(，c)，设右准线交x轴于H点，
∵F2P＝F1F2＝2c，且PH＝c，故∠PF2H＝60°；
∴F2H＝c，OH＝＝2c e2＝ e＝.
答案：
求下列曲线的焦点坐标与准线方程：
(1)x2＋2y2＝4；(2)2y2－x2＝4；(3)x2＋y＝0.
解：(1)方程即为＋＝1，焦点在x轴上，a＝2，b＝，则c＝＝，＝2.
所以焦点坐标为(，0)，(－，0)，
准线方程为x＝±＝±2；
(2)方程可化为－＝1知焦点在y轴上，a＝，b＝2，c＝＝，＝＝.所以焦点坐标为(0，)，(0，－)，准线方程为y＝±＝±；
(3)方程可化为x2＝－y可知抛物线焦点在y负半轴上，
∴－2p＝－1 p＝，
所以焦点坐标为(0，－)，准线方程为y＝.
在椭圆＋＝1上求一点P，使它到左焦点F1的距离是它到右焦点F2距离的2倍，试求点P的坐标．
解：由题意可设P点坐标为(x0，y0)，
由椭圆的方程＋＝1，
可得a＝5，b＝3，c＝4，离心率e＝.
所以PF1＝a＋ex0＝5＋x0，PF2＝a－ex0＝5－x0.又PF1＝2PF2，解得x0＝，代入椭圆方程得y0＝±，故点P的坐标为(，±)．
[B级 能力提升]
已知椭圆＋＝1外一点A(5，6)，l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，则PA＋d的最小值为________．
解析：如图，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为F(－3，0)，根据圆锥曲线的统一定义有：＝e＝，即PF＝d，所以PA＋d＝PA＋PF，可知当P，F，A三点共线且P在线段AF上时，PA＋PF最小，最小值AF＝10.故PA＋d的最小值为10.
答案：10
已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且＝2，则C的离心率为________．
解析：如图，BF＝＝a，作DD1⊥y轴于点D1，则由＝2，得＝＝，所以DD1＝OF＝c，即xD＝，由圆锥曲线的统一定义得FD＝e(－)＝a－；
又由BF＝2FD，得a＝2a－，整理得3c2＝a2.
解得e＝－(舍去)或e＝.
答案：
已知A，B为椭圆＋＝1上的两点，F2是椭圆右焦点，若AF2＋BF2＝a，AB的中点M到椭圆的左准线的距离为，试确定椭圆的方程．
解：由椭圆的方程可得b＝a，则c＝a，e＝，两准线间的距离为a，设A，B两点到右准线的距离分别是dA，dB，则＝＝，∴AF2＋BF2＝(dA＋dB)＝a，∴dA＋dB＝2a，则AB的中点M到椭圆右准线的距离为a，于是M到左准线的距离为a－a＝，解得a＝1，故椭圆方程为x2＋＝1.
(创新题)设椭圆的左焦点为F，AB为椭圆中过点F的弦，试分析以AB为直径的圆与椭圆的左准线的位置关系．
解：设M为弦AB的中点(即以AB为直径的圆的圆心)，A1，B1，M1分别是A、B、M在准线l上的射影(如图)．由圆锥曲线的统一定义得AB＝AF＋BF＝e(AA1＋BB1)＝2eMM1.
∵0∴以AB为直径的圆与左准线相离．(2011·高考安徽卷改编)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是________．
解析：∵2x2－y2＝8，∴－＝1，
∴a＝2，∴2a＝4.
答案：4
(2010·高考北京卷)已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．
解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为(±4，0)，又双曲线离心率为2，即＝2，c＝4，故a＝2，b＝2，渐近线为y＝±x＝±x.
答案：(±4，0) x±y＝0
双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程是________．
解析：由题意得2a＋2b＝2c，即a＋b＝c，又因为a＝2，c2＝a2＋b2＝4＋b2，所以b＝c－2，所以c2＝4＋(c－2)2，即c2－4c＋8＝0，所以c＝2，b＝2，所求的双曲线的标准方程是－＝1.
答案：－＝1
(2011·高考湖南卷改编)设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．
解析：渐近线方程可化为y＝±x.∵双曲线的焦点在x轴上，∴＝(±)2，解得a＝±2，由题意知a>0，∴a＝2.
答案：2
(2010·高考辽宁卷改编)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．
解析：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，F(c，0)，B(0，b)，直线FB：bx＋cy－bc＝0与渐近线y＝x垂直，所以·＝－1，即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．
答案：
[A级 基础达标]
已知双曲线C经过点(1，1)，它的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线C的标准方程是________．
解析：设双曲线的方程为y2－3x2＝λ(λ≠0)，将点(1，1)代入可得λ＝－2，故双曲线C的标准方程是－＝1.
答案：－＝1
(2011·高考北京卷)已知双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________．
解析：∵双曲线的焦点在x轴上，∴＝2，∴＝4.
∵a2＝1，∴b2＝4.又∵b>0，∴b＝2.
答案：2
在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x－2y＝0，则它的离心率为________．
解析：由双曲线焦点在y轴上，一条渐近线方程为x－2y＝0，可知＝，则e＝＝＝＝ ＝.
答案：
已知双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
解析：由题意求出双曲线中a＝3，b＝4，c＝5，则双曲线渐近线方程为y＝±x，不妨设直线BF斜率为，可求出直线BF的方程为4x－3y－20＝0①，将①式代入双曲线方程解得yB＝－，则S△AFB＝AF·|yB|＝(c－a)·＝.
答案：
(2011·高考山东卷改编)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________．
解析：双曲线的渐近线方程为bx＋ay＝0和bx－ay＝0，圆心为(3，0)，半径r＝2.由圆心到直线的距离为r＝，所以4a2＝5b2，又双曲线的右焦点为圆C的圆心，所以c＝3，即9＝a2＋b2，a2＝5，b2＝4.故所求双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若△ABF2是正三角形，试求该双曲线的离心率．
解：由△ABF2是正三角形，则在Rt△AF1F2中，有∠AF2F1＝30°，∴AF1＝AF2，又AF2－AF1＝2a，
∴AF2＝4a，AF1＝2a，又F1F2＝2c，
又在Rt△AF1F2中有AF＋F1F＝AF，即4a2＋4c2＝16a2，∴e＝.
设双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过(a，0)、(0，b)两点，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．
解：直线l过(a，0)、(0，b)两点，得到直线方程为bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>1，得点(1，0)到直线l的距离为d1＝，
同理得到点(－1，0)到直线l的距离为d2＝，由s≥c得到≥c①.将b2＝c2－a2代入①式的平方，整理得4c4－25a2c2＋25a4≤0，
两边同除以a4后令＝x，得到4x2－25x＋25≤0，
解得≤x≤5，
又e＝＝，故≤e≤ .
[B级 能力提升]
(2011·高考课标全国卷改编)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为________．
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入－＝1得y2＝b2＝，∴y＝±，故AB＝，
依题意＝4a，∴＝2，
∴＝e2－1＝2，∴e＝.
答案：
(2011·高考浙江卷改编)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b2＝________．
解析：C2的一条渐近线为y＝2x，设渐近线与椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的交点分别为C(x1，2x1)，D(x2，2x2)，则OC2＝x＋4x＝，即x＝，又由C(x1，2x1)在C1：＋＝1上，所以有＋＝1，①
又由椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点可得a2－b2＝5，②
由①②可得b2＝.
答案：
已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点M(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点N(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1NF2的面积．
解：(1)∵e＝，故可设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
∵过点M(4，－)，∴16－10＝λ，∴λ＝6.
∴双曲线方程为－＝1.
(2)证明：由(1)可知：在双曲线中，a＝b＝，∴c＝2.
∴F1(－2，0)，F2(2，0)．
∴＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．
∴·＝[(－2－3)·(2－3)]＋m2
＝－3＋m2.
∵N点在双曲线上，∴9－m2＝6，∴m2＝3.
∴·＝0.
(3)∵△F1NF2的底F1F2＝4，高h＝|m|＝，∴△F1NF2的面积S＝6.
(创新题)热电厂的冷却塔的外形是双曲线型，是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所成的曲面，它的最小直径是24 m，上口直径是26 m，下口直径是50 m，高是55 m，建立如图所示的直角坐标系，求此双曲线的方程(精确到1 m)．
解：设所求双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，那么AA′＝2a＝24，a＝12，点B，C的横坐标分别是－25，－13，
设点B，C的坐标分别是(－25，y1)，(－13，y2)，(y1<0，y2>0)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(625,144)－\f(y,b2)＝1,\f(169,144)－\f(y,b2)＝1))，解得：y1＝－b，y2＝b，
又因为塔高为55 m，所以y2－y1＝55，即b＋b＝55，b≈25，故所求的双曲线的方程是－＝1.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上)
椭圆＋＝1的焦距为6，则k的值为________．
解析：由已知2c＝6，∴c＝3，而c2＝9，∴20－k＝9或k－20＝9，∴k＝11或k＝29.
答案：11或29
双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.
解析：由题意知，m<0，双曲线mx2＋y2＝1化为标准形式y2－＝1，故a2＝1，b2＝－，所以a＝1，b＝，则由2＝2×2，解得m＝－.
答案：－
在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为________．
解析：不妨设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则有，即
①÷②得e＝.
答案：
与x2－4y2＝1有相同的渐近线，且过M(4，)的双曲线方程为________．
解析：设方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，将M(4，)代入方程得λ＝4，所以方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
已知双曲线3x2－y2＝9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于________．
解析：即求离心率，双曲线化为标准方程－＝1，
可知a＝，c＝＝＝2，e＝＝＝2.
答案：2
若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．
解析：椭圆＋＝1的右焦点为(2，0)，而抛物线y2＝2px的焦点为(，0)，则＝2，故p＝4.
答案：4
设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________．
解析：由题意得F(1，0)，设A(eq \f(y,4)，y0)，则＝(eq \f(y,4)，y0)，＝(1－eq \f(y,4)，－y0)，由·＝－4，解得y0＝±2，此时点A的横坐标为eq \f(y,4)＝1，故点A的坐标为(1，±2)．
答案：(1，±2)
设P是椭圆＋＝1上的任意一点，又点Q的坐标为(0，－4)，则PQ的最大值为________．
解析：设P的坐标(x，y)，则PQ2＝x2＋(y＋4)2＝25(1－)＋(y＋4)2＝－(y－)2＋(－4≤y≤4)，
当y＝4时，PQ2最大，
此时PQ最大，且PQ的最大值为
＝8.
答案：8
以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．
解析：由题意知圆心坐标应为(5，0)．又因为点(5，0)到渐近线y＝±x的距离为4，所以圆的方程为x2＋y2－10x＋9＝0.
答案：x2＋y2－10x＋9＝0
椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆方程为________．
解析：由题意知，解得，
椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1
已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为________．
解析：设P(x，y)，M(－2，0)，N(2，0)，则＝(4，0)，||＝4，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)；
由||·||＋·＝0，得4＋4(x－2)＝0，
化简整理得y2＝－8x.
答案：y2＝－8x
设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若＝2且·＝1，则点P的轨迹方程是________．
解析：设P(x，y)，则Q(－x，y)，又设A(a，0)，B(0，b)，则a>0，b>0.
于是＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)，由＝2可得a＝x，b＝3y，所以x>0，y>0.
又＝(－a，b)＝(－x，3y)，
由·＝1可得x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．
答案：x2＋3y2＝1(x>0，y>0)
椭圆＋＝1与曲线＋＝1(0①有相等的焦距，相同的焦点；
②有相等的焦距，不同的焦点；
③有不等的焦距，相同的焦点；
④有不等的焦距，不同的焦点．
解析：椭圆＋＝1的焦点在y轴上，曲线＋＝1(0答案：②
已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0且a≠b)的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题：
①△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝a上；
②△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝b上；
③△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；
④△PF1F2的内切圆必通过点(a，0)．
其中真命题有________(写出所有真命题的代号)．
解析：设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则PA＝PB，F1A＝F1M，F2B＝F2M，又点P在双曲线右支上，所以PF1－PF2＝2a，故F1M－F2M＝2a，而F1M＋F2M＝2c，设M点坐标为(x，0)，则由F1M－F2M＝2a可得(x＋c)－(c－x)＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故①④正确．
答案：①④
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(本小题满分14分)如图，一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶4 m时，水面宽8 m.
(1)试建立坐标系，求抛物线的标准方程；
(2)若水面上升1 m，求水面宽度．
解：(1)如图建立坐标系，
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．
由已知条件可知，点B的坐标是(4，－4)，代入方程，得42＝－2p×(－4)，即p＝2.
所以，所求抛物线标准方程是x2＝－4y.
(2)若水面上升1 m，则y＝－3，代入x2＝－4y，
得x2＝－4×(－3)＝12，x＝±2，所以这时水面宽为4 m.
(本小题满分14分)已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．
解：(1)把椭圆方程化为标准形式为＋＝1，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)．
故设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则，解得，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由(1)知双曲线的右准线方程为x＝，即为抛物线的准线方程．故设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则有＝，故p＝.
所以抛物线的标准方程为y2＝－x.
(本小题满分14分)已知双曲线－＝1与点M(5，3)，F为右焦点，试在双曲线上求一点P，使PM＋PF最小，并求出这个最小值．
解：双曲线的右焦点F(6，0)，离心率e＝2，右准线为l：x＝.作MN⊥l于N，交双曲线右支于P，连结FP，则PF＝ePN＝2PN PN＝PF.此时PM＋PF＝PM＋PN＝MN＝5－＝为最小值．
在－＝1中，令y＝3，x2＝12 x＝±2；
又∵x>0，∴取x＝2.
即当所求P点的坐标为(2，3)时，PM＋PF取最小值.
(本小题满分16分)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点N(－，1)在椭圆上，线段NF2与y轴的交点M满足＋＝0；
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
解：(1)由已知，点N(－，1)在椭圆上，
∴有＋＝1，①
又∵＋＝0，M在y轴上，∴M为NF2的中点，
∴－＋c＝0，c＝.∴有a2－b2＝2，②
由①②，解得b2＝2(b2＝－1舍去)，∴a2＝4，故所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设PF1＝m，PF2＝P，则S△F1PF2＝mnsin＝ mn.
由椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a，即m＋n＝4.①
又由余弦定理得PF＋PF－2PF1·PF2cos＝F1F，即m2＋n2－mn＝(2)2.②
由①2－②，得mn＝，∴S△F1PF2＝.
(本小题满分16分)已知点A(0，－2)，B(0，4)，动点P(x，y)满足·＝y2－8.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若(1)中所求轨迹方程与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证OC⊥OD(其中O为原点)．
解：(1)由题意得·＝(－x，－2－y)·(－x，4－y)＝y2－8，化简得x2＝2y.故动点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)证明：设C，D两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．将y＝x＋2代入x2＝2y得x2＝2(x＋2)，即x2－2x－4＝0，则Δ＝4＋16＝20>0，x1＋x2＝2，x1x2＝－4.因为y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，所以y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4.所以kOC·kOD＝·＝＝－1.所以OC⊥OD.
(本小题满分16分)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线方程；
(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
(3)以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m，0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是4＋＝5，∴p＝2.
∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)∵点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)，
又∵F(1，0)，∴kFA＝；MN⊥FA，∴kMN＝－，
则FA的方程为y＝(x－1)，MN的方程为y－2＝－x.
解方程组，得，
∴点N的坐标为(，)．
(3)由题意得，圆M的圆心是点(0，2)，半径为2.
当m＝4时，直线AK的方程为x＝4，此时，直线AK与圆M相离，
当m≠4时，直线AK的方程为y＝(x－m)，即为4x－(4－m)y－4m＝0，
圆心M(0，2)到直线AK的距离d＝，令d>2，解得m>1.
∴当m>1时，直线AK与圆M相离；
当m＝1时，直线AK与圆M相切；
当m<1时，直线AK与圆M相交．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为________．
解析：把椭圆的方程化为标准形式＋＝1，故a2＝，b2＝1，所以a＝，b＝1，2＝4，解得，m＝，符合题意．
答案：
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是________．
解析：由题意，知2a＝12，＝，故a＝6，c＝2，
∴b2＝a2－c2＝32，故所求椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于________．
解析：由题意，知b＝c，即a2－c2＝c2，a2＝2c2，e2＝，
故e＝.
答案：
已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0解析：由e2＝＝＝，得0<≤，解得1答案：4
[A级 基础达标]
若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
解析：由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.
∴3a2－2ac－5c2＝0，∴5c2＋2ac－3a2＝0.
∴5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去)．
答案：
若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．
解析：由已知得1－＝或1－＝，∴m＝或18.
答案：或18
已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于________．
解析：由题意得a＝2b.于是e＝ ＝ ＝ ＝.
答案：
已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
解析：结合图形，转化为c答案：
设P为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，如果∠PF1F2＝75°，∠PF2F1＝15°，则椭圆的离心率是________．
解析：在Rt△PF1F2中，由正弦定理，
得＝＝＝2c，
∴＝2c.
由椭圆的定义，知PF1＋PF2＝2a.
代入上式，有e＝＝＝.
答案：
已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，短轴的一个顶点B与两个焦点F1，F2组成的三角形的周长为4＋2，且∠F1BF2＝，求椭圆的标准方程．
解：设长轴长为2a，焦距为2c，则在△F2OB中，由∠F2BO＝得：c＝a，所以△F2BF1的周长为2a＋2c＝2a＋a＝4＋2，∴a＝2，c＝，∴b2＝1；故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
已知椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，点P到这个椭圆上的点的最远距离为，求此椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．
解：设所求的椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由e＝，得＝，即＝，则b2＝a2.故x2＝a2－4y2.设Q(x，y)为椭圆上的任意一点，则PQ2＝(x－0)2－＝－3y2－3y＋a2＋＝－3＋a2＋3.分类讨论：①若0PQ＝－3b2＋3b＋a2＋＝7，
又b2＝a2，则消去a得4b2＋12b－19＝0，此时无解；
②若b≥，则当y＝－时，PQ＝a2＋3＝7，得a2＝4.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.当y＝－时，由此得，x＝±.故椭圆上到点P的距离等于的点的坐标为.
[B级 能力提升]
过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
解析：椭圆＋＝1的右焦点F2(1，0)，故直线AB的方程y＝2(x－1)，由，消去y，整理得3x2－5x＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1则x1，x2是方程3x2－5x＝0的两个实根，解得x1＝0，x2＝，故A(0，－2)，B，
故S△OAB＝S△OFA＋S△OFB＝××1＝.
答案：
2011年7月27日5时44分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号甲”运载火箭，成功将第九颗北斗导航卫星送入太空预定轨道，若该卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点m km，远地点n km，地球的半径为R km，则该卫星运行轨道的短轴长等于________．
解析：画出草图，结合草图，知a－c－R＝m，a＋c－R＝n，
则a－c＝m＋R，a＋c＝n＋R，
故2b＝2＝2
＝2.
答案：2
已知F1，F2为椭圆的焦点，P为椭圆上的任意一点，∠F1PF2＝45°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积与椭圆的短轴长有关．
解：(1)不妨设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则cos45°＝eq \f(PF＋PF－F1F,2PF1·PF2)＝，得PF1·PF2＝4a2－2PF1·PF2－4c2，故(2＋)PF1·PF2＝4a2－4c2＝4b2，即PF1·PF2＝.
又PF1·PF2≤＝a2，∴≤a2，
解得：e2≥，即e≥，又e<1，
故椭圆的离心率的取值范围是.
(2)证明：由(1)知PF1·PF2＝，
故S△F1PF2＝PF1·PF2sin45°＝··＝(－1)b2.
即△F1PF2的面积与椭圆的短轴长有关．
(创新题)如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限．过P作x轴的垂线，垂足为C.连结AC并延长，交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.
(1)若直线PA平分线段MN，求k的值；
(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；
(3)对任意的k>0，求证：PA⊥PB.
解：(1)由题设知，a＝2，b＝，故M(－2，0)，N(0，－)，所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以k＝＝.
(2)直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆方程得＋＝1，解得x＝±，因此P，A.于是C，直线AC的斜率为＝1，故直线AB的方程为x－y－＝0.因此，d＝＝.
(3)证明：法一：将直线PA的方程y＝kx代入＋＝1，解得x＝± .记μ＝，则P(μ，μk)，A(－μ，－μk)．于是C(μ，0)．故直线AB的斜率为＝，其方程为y＝(x－μ)，代入椭圆方程得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0，解得x＝或x＝－μ.因此B.
于是直线PB的斜率k1＝
＝＝－.
因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.
法二：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1，0)．
设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.
因为C在直线AB上，所以k2＝＝＝.
从而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2··＋1
＝eq \f(2y－2y,x－x)＋1＝eq \f(（x＋2y）－（x＋2y）,x－x)＝eq \f(4－4,x－x)＝0.
因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.过点且2c＝8的椭圆的标准方程为________．
解析：由于焦点的位置不确定，故分类求解．
答案：＋＝1和＋＝1
椭圆的两个焦点是F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则该椭圆方程是________．
解析：椭圆的两个焦点是F1(－1，0)，F2(1，0)，
∵P为椭圆上一点，F1F2是PF1与PF2的等差中项，
∴2a＝PF1＋PF2＝2F1F2＝4，a＝2，c＝1.
∴b2＝a2－c2＝3，故所求椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
设M(－5，0)，N(5，0)，△MNP的周长是36，则△MNP的顶点P的轨迹方程为________．
解析：由于点P满足PM＋PN＝36－10＝26>10，知点P的轨迹是以M、N为焦点，且2a＝26的椭圆(由于P与M、N不共线，故y≠0)，再利用待定系数法求解．
答案：＋＝1(y≠0)
如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是________．
解析：方程x2＋ky2＝2化为方程＋＝1，所以0<<2，即k>1.
答案：k>1
[A级 基础达标]
椭圆的焦点为F1(0，－5)，F2(0，5)，点P(3，4)是椭圆上的一个点，则椭圆的方程为________．
解析：∵焦点为F1(0，－5)，F2(0，5)，可设椭圆方程为＋＝1；
点P(3，4)在椭圆上，∴＋＝1，a2＝40，
∴椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
若椭圆＋＝1上任意一点P到一个焦点的距离为5，则点P到另一个焦点的距离为________．
解析：由椭圆定义PF1＋PF2＝2a＝10，∴PF2＝10－PF1＝5.
答案：5
与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且2b＝4的椭圆方程是________．
解析：椭圆9x2＋4y2＝36化为标准方程＋＝1，则焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，
又因为2b＝4，则b2＝20，a2＝b2＋c2＝25，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k等于____．
解析：椭圆5x2－ky2＝5化为标准方程＋＝1，则c2＝－1＝4，解得k＝－1，满足>1，故k＝－1.
答案：－1
方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意得，即.
故所求实数m的取值范围是(－∞，0)∪.
答案：(－∞，0)∪
根据椭圆的方程写出椭圆的焦点坐标：
(1)＋＝1；(2)2x2＋y2＝1；
(3)＋＝1(a∈R)．
解：(1)由方程知，焦点在x轴上，且a2＝25，b2＝9，∴c2＝a2－b2＝16，∴c＝4，故所求椭圆的焦点坐标为(－4，0)，(4，0)．
(2)把方程化为标准方程为y2＋＝1，故焦点在y轴上，且a2＝1，b2＝，∴c2＝a2－b2＝，
∴c＝，故所求椭圆的焦点坐标为，.
(3)a2＋5>a2＋1，故焦点在x轴上，且c2＝(a2＋5)－(a2＋1)＝4，∴c＝2，故所求椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．
已知△ABC的三边a、b、c(a>b>c)成等差数列，A、C两点的坐标分别为(－1，0)、(1，0)．求顶点B的轨迹方程．
解：设点B的坐标为(x，y)，∵a、b、c成等差数列，
∴a＋c＝2b，即BC＋BA＝2AC＝4.由椭圆的定义知，点B的轨迹方程为＋＝1；
又∵a>b>c，∴a>c，∴BC>BA，∴(x－1)2＋y2>(x＋1)2＋y2，x<0；
又当x＝－2时，点B、A、C在同一条直线上，不能构成△ABC，∴x≠－2.
∴顶点B的轨迹方程为＋＝1(－2[B级 能力提升]
已知椭圆mx2＋3y2－6m＝0的一个焦点为(0，2)，则m的值是________．
解析：方程变形为＋＝1，∵焦点在y轴上，
∴a2＝2m，b2＝6，又c＝2且a2－b2＝c2，
∴2m－6＝22，∴m＝5.
答案：5
已知椭圆的方程为＋y2＝1(m>0，m≠1)，则该椭圆的焦点坐标为________．
解析：当0∴c2＝a2－b2＝1－m，
∴c＝，故所求方程的焦点坐标为(0，)，(0，－)；
当m>1时，此时焦点在x轴上，a2＝m，b2＝1，∴c2＝a2－b2＝m－1，∴c＝，故所求方程的焦点坐标为(，0)，(－，0)．
答案：(0，)，(0，－)或(，0)，
(－，0)
(2012·淮安高二检测)若B(－8，0)，C(8，0)为△ABC的两个顶点，AC、AB两边上的中线和是30，求△ABC重心G的轨迹方程．
解：
如图，设CD、BE分别是AB、AC边上的中线，则CD＋BE＝30，又G是△ABC的重心，
∴BG＝BE，CG＝CD，
∴BG＋CG＝(BE＋CD)＝×30＝20.
又B(－8，0)，C(8，0)，∴BC＝16<20＝BG＋CG，
∴G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，
∴2a＝20，2c＝16，即a＝10，c＝8，
∴b2＝a2－c2＝102－82＝36，
∴G点的轨迹方程是＋＝1.
(创新题)如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1、F2.过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M(，1)．求椭圆C的方程．
解：∵l⊥x轴，M(，1)，∴F2的坐标为(，0)，由题意知椭圆的焦点在x轴上，标准方程为：＋＝1(a>b>0)可知，
∴解得，
∴所求椭圆C的方程为＋＝1已知抛物线的准线方程是x＝－7，则抛物线的标准方程是________．
解析：由题意，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，准线方程是x＝－，则－＝－7，解得p＝14，故所求抛物线的标准方程为y2＝28x.
答案：y2＝28x
抛物线y＝x2(a≠0)的焦点坐标是________．
解析：y＝x2(a≠0)化为标准方程x2＝ay，故焦点坐标为.
答案：
已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．
解析：抛物线的准线为x＝－，
将圆的方程化简得到(x－3)2＋y2＝16，准线与圆相切，则－＝－1 p＝2.
答案：2
(2010·高考上海卷)动点P到点F(2，0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为________．
解析：由题意知，点P的轨迹是以点F(2，0)为焦点，以直线x＋2＝0为准线的抛物线，所以p＝4，得出抛物线方程为y2＝8x，即为所求．
答案：y2＝8x
[A级 基础达标]
以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．
解析：∵双曲线的方程为－＝1，∴右顶点为(4，0)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则＝4，即p＝8，∴抛物线的标准方程为y2＝16x.故填y2＝16x.
答案：y2＝16x
抛物线x2＝4ay(a≠0)的准线方程为________．
解析：抛物线x2＝4ay(a≠0)的焦点坐标及准线方程与a的符号无关，只与焦点所在的坐标轴有关．∵抛物线的焦点在y轴上，∴准线方程为y＝－，即y＝－a.
答案：y＝－a
抛物线y＝12x2的焦点到准线的距离为________．
解析：将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝，故焦点到准线的距离为.
答案：
已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
解析：如图，由抛物线的定义知，AM＋BN＝AF＋BF＝3.CD＝，所以中点C的横坐标为－＝，即线段AB的中点到y轴的距离为.
答案：
动圆M经过点A(3，0)且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
解析：设动圆圆心M到直线l的距离为d，则MA＝d.由抛物线的定义，M的轨迹为抛物线，以A(3，0)为焦点、直线l为准线，方程为y2＝12x.
答案：y2＝12x
(1)抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，又知抛物线经过点P(4，2)，求抛物线的方程；
(2)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点A(m，4)到其焦点的距离为，求p与m的值．
解：(1)∵抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，
∴抛物线的方程为标准方程．
又∵点P(4，2)在第一象限，
∴抛物线的方程设为y2＝2px，x2＝2py(p>0)．
当抛物线为y2＝2px时，则有22＝2p×4，故2p＝1，y2＝x；
当抛物线为x2＝2py时，则有42＝2p×2，故2p＝8，x2＝8y.
综上，所求的抛物线的方程为y2＝x或x2＝8y.
(2)由抛物线方程得其准线方程y＝－，根据抛物线定义，点A(m，4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4＋＝，解得p＝；∴抛物线方程为：x2＝y，将A(m，4)代入抛物线方程，解得m＝±2.
抛物线的顶点是椭圆16x2＋25y2＝400的中心，而焦点是椭圆的右焦点，求此抛物线的方程．
解：椭圆方程可化为＋＝1，c2＝25－16＝9，c＝3，故中心(0，0)，右焦点为(3，0)．设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则＝3，故p＝6，所以抛物线方程为y2＝12x.
[B级 能力提升]
(2010·高考浙江卷)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为，B点坐标为，所以点B到抛物线准线的距离为.
答案：
若双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为________．
解析：把双曲线－＝1化为标准形式－＝1，故c2＝3＋，c＝＝，左焦点，由题意知，抛物线的准线方程为x＝－，又抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，所以－＝－，解得，p＝4或p＝－4(舍去)．故p＝4.
答案：4
抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程．
解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c.设抛物线方程为y2＝4c·x，∵抛物线过点，∴6＝4c·.∴c＝1，故抛物线方程为y2＝4x.
又双曲线－＝1过点，
∴－＝1.又a2＋b2＝c2＝1，∴ －＝1.
∴a2＝或a2＝9(舍去)．
∴b2＝，故双曲线方程为：4x2－＝1.
(创新题)已知抛物线x2＝4y，点P是抛物线上的动点，点A的坐标为(12，6)，求点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值．
解：将x＝12代入x2＝4y，得y＝36>6，所以点A在抛物线外部．抛物线焦点为F(0，1)，准线l：y＝－1.如图所示，过P点作PB⊥l于点B，交x轴于点C，则PA＋PC＝PA＋PB－1＝PA＋PF－1.
由图可知，当A、P、F三点共线时，PA＋PF的值最小，所以PA＋PF的最小值为FA＝13，故PA＋PC的最小值为12.方程4x2－y2＝0表示的曲线是________．
解析：原方程可化为(2x＋y)(2x－y)＝0，
即2x＋y＝0或2x－y＝0.
所以表示的曲线是两条直线．
答案：两条直线
下列各组方程表示相同曲线的是________(填序号)．
①y＝x与y＝；
②y＝()2与y＝|x|；
③(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0；
④y＝与xy＝1.
解析：①y取值不同；②中x的取值不同；③中前者x＝1且y＝－2，后者x＝1或y＝－2.
答案：④
已知曲线C：xy＋3x＋ky＋2＝0，则当k＝________时，曲线C经过点(2，－1)．
解析：由题意，得2×(－1)＋3×2＋k×(－1)＋2＝0，
∴k＝6.
答案：6
若两条直线2x－y＋k＝0与x－y－1＝0的交点在曲线x2＋y2＝1上，则k＝________．
解析：由得
∵交点在x2＋y2＝1上，∴(－1－k)2＋(－2－k)2＝1.
解得k＝－1或－2.
答案：－1或－2
直线l：y＝k(x－1)与椭圆＋＝1的交点个数为________．
解析：∵直线l恒过点(1，0)，而点(1，0)在椭圆的内部．
∴直线与椭圆恒有两个交点．
答案：2
[A级 基础达标]
“点M在曲线y2＝8x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的 ________条件．
解析：由y2＝8x得y＝±2.
答案：必要不充分
方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________．
解析：由得或
或或故方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是四个点(±2，±2)．
答案：四个点(±2，±2)
曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是________．
解析：在方程x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中令y＝0，得x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1.
答案：(4，0)和(－1，0)
已知0≤α<2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值是________．
解析：将P点坐标代入方程求解，
(cosα－2)2＋sin2α＝3，∴cosα＝.
∵0≤α<2π，∴α＝或.
答案：或
设a为非零实数，则曲线y＝ax2＋(3a－1)x－(10a＋3)恒过定点________．
解析：原方程可转化为y＝a(x2＋3x－10)＋(－x－3)，
即a(x2＋3x－10)－(x＋y＋3)＝0，
∴由得或，故可得该曲线恒过(2，－5)，(－5，2)．
答案：(2，－5)，(－5，2)
(1)判断点A(－4，3)、B(－3，－4)、C(，2)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；
(2)方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，)与点N在曲线C上，求m、n的值．
解：(1)把点A(－4，3)的坐标代入方程x2＋y2＝25，满足方程，且A点的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
把点B(－3，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，
∵(－3)2＋(－4)2＝34≠25，
∴点B不在方程所表示的曲线上．
∵C点的横坐标不满足小于或等于0的条件，
∴点C不在曲线x2＋y2＝25(x≤0)上．
(2)∵M(m，)、N(，n)在曲线C上，
∴它们的坐标都是方程的解．
∴m2(m2－1)＝2×1，×＝n2(n2－1)．
∴m＝±，n＝±或n＝±.
求曲线y＝|x－2|－2与x轴所围成的三角形的面积．
解：(1)当x－2≥0时，原方程可化为y＝x－4.
(2)当x－2<0时，原方程可化为y＝－x，故原方程表示两条共顶点的射线，易得顶点为B(2，－2)，与x轴交于点O(0，0)，A(4，0)，它与x轴围成的三角形的面积为S△AOB＝|OA|·|yB|＝4.
[B级 能力提升]
下列四条曲线：
①x2＋y2＝；②＋＝1；③x2＋＝1；④＋y2＝1.
其中与直线x＋y－＝0有且仅有一个交点的曲线是________(填序号)．
解析：对于①，∵d＝＝＝r，∴直线与圆相切，即有且仅有一个交点，故①符合．对于②，由消去y得13x2－18x＋9＝0，
∵Δ＝(－18)2－4×9×13>0，∴方程有两个不相等的实根，即直线与椭圆＋＝1有两个不同的交点，故②不符合．对于③，由消去y得5x2－2x＋1＝0，∵Δ＝20－4×5＝0，∴方程有两个相等的实根，即直线与椭圆x2＋＝1有且仅有一个交点，故③符合．由对称性知，④也符合．
答案：①③④
已知(4，2)是直线l被椭圆＋＝1所截得线段的中点，则l的方程是________．
解析：设直线与椭圆的交点坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,36)＋\f(y,9)＝1，①,\f(x,36)＋\f(y,9)＝1.②))由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又∵x1＋x2＝4×2＝8，y1＋y2＝2×2＝4，∴＝－，即kP1P2＝－.由点斜式得l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
答案：x＋2y－8＝0
已知点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，P也在曲线g(x，y)＝0上，求证：P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0上(λ∈R)．
证明：∵P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，
∴f(x0，y0)＝0.
又∵P(x0，y0)也在曲线g(x，y)＝0上，
∴g(x0，y0)＝0.
∴对λ∈R，有f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0＋λ·0＝0，
即P(x0，y0)适合方程f(x，y)＋λ·g(x，y)＝0.
∴点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．
(创新题)对于椭圆x2＋＝1，是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰好被直线x＋＝0平分？若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．
解：设l的方程为y＝kx＋m，由
得(k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0，
∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)>0，
即m2－k2－9<0.
又＝－＝－，
∴m＝.∴－(k2＋9)<0.
解得k2>3，即k>或k<－，
∴倾斜角满足<α<或<α<，
即满足条件的直线l存在，其倾斜角的范围是(，)∪(，)．已知双曲线的焦点在x轴上，且a＋c＝9，b＝3，则它的标准方程是________．
解析：因为b＝3，所以c2－a2＝(c＋a)(c－a)＝9，所以c－a＝1，a＝4，此双曲线的标准方程是－＝1.
答案：－＝1
双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0，3)，那么k的值是________．
解析：焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程是－＝1，k<0，则 ＝3，解得k＝－1.
答案：－1
在双曲线中，＝，且双曲线与椭圆4x2＋9y2＝36有公共焦点，则双曲线方程是________．
解析：与椭圆的知识点综合．焦点在x轴上，由椭圆4x2＋9y2＝36知，c＝，所以a＝2，b2＝c2－a2＝1，所以方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
过双曲线－＝1左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2(F2为右焦点)的周长是________．
解析：据题意AF2－AF1＝2a，BF2－BF1＝2a，
故(AF2＋BF2)－(AF1＋BF1)＝(AF2＋BF2)－AB＝4a，
因此(AF2＋BF2)＝AB＋4a＝6＋16＝22，故三角形周长为22＋6＝28.
答案：28
已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为________．
解析：设双曲线的右焦点为F1，
则由双曲线的定义可知PF＝2a＋PF1＝4＋PF1，
∴PF＋PA＝4＋PF1＋PA.
∴当PF1＋PA最小时需满足PF1＋PA最小．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足PF1＋PA最小，易求得最小值为AF1＝5，故所求最小值为9.
答案：9
[A级 基础达标]
椭圆＋＝1与双曲线－＝1的焦点相同，则a＝________．
解析：因为焦点在x轴上，所以c＝ ＝，4－a2＝a2＋2，a2＝1，a＝±1.
答案：1或－1
如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左，右焦点，且过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
由题意，得B(2，0)，C(2，3)．
∴，解得，
∴双曲线的标准方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
与x2－＝1有相同的焦点，且过点(2，)的双曲线方程为________．
解析：设方程为－＝1(4－k>0，1＋k>0)，将点(2，)代入方程得k＝2.所以方程为－＝1.
答案：－＝1
已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是此双曲线上的一点，且·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是________．
解析：由于三角形PF1F2为直角三角形，故PF＋PF＝4c2＝40 (PF1－PF2)2＋2PF1·PF2＝40，由双曲线定义得(2a)2＋4＝40 a2＝9，故b2＝1，双曲线方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若PF1∶PF2＝3∶2，则△PF1F2的面积为________．
解析：双曲线的a＝1，b＝2，c＝.
设PF1＝3r，PF2＝2r.∵PF1－PF2＝2a＝2，∴r＝2.
于是PF1＝6，PF2＝4.∵PF＋PF＝52＝F1F，故知△PF1F2是直角三角形，∠F1PF2＝90°.
∴S△PF1F2＝PF1·PF2＝×6×4＝12.
答案：12
已知双曲线经过点A，且a＝4，求双曲线的标准方程．
解：若设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则将a＝4代入，得－＝1.
又∵点A(1，)在双曲线上，
∴－＝1.由此得b2<0，
∴不合题意，舍去．
若设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则将a＝4代入得－＝1，代入点A(1，)，得b2＝9，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A位于y轴右侧且纵坐标为4，求此双曲线的方程．
解：法一：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.
又点A的纵坐标为4，则横坐标为，于是有
解得
所以双曲线方程为－＝1.
法二：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(，4)，
又两焦点分别为F1(0，3)，F2(0，－3)，
所以2a＝ －
＝8－4＝4，
a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，
所以双曲线方程为－＝1.
[B级 能力提升]
若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1·PF2的值是________．
解析：运用椭圆和双曲线的定义写出两个定义式，然后平方，观察之后，两式相减，求出整体未知数PF1·PF2的值．PF1＋PF2＝2，|PF1－PF2|＝2a，
所以PF＋PF＋2PF1·PF2＝4m，PF－2PF1·PF2＋PF＝4a2，两式相减得：
4PF1·PF2＝4m－4a2，∴PF1·PF2＝m－a2.
答案：m－a2
已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，另一个焦点为F2，点N是PF1的中点，则ON的大小(O为坐标原点)为________．
解析：连接ON，ON是三角形PF1F2的中位线，所以ON＝PF2，因为|PF1－PF2|＝8，PF1＝10，所以PF2＝2或18，ON＝PF2＝1或9.
答案：1或9
已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1(－，0)，过右焦点F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求该双曲线的标准方程．
解：由题意在Rt△PF1F2中∠PF2F1＝90°，又∠PF1F2＝30°，则设PF2＝m，得F1F2＝m，PF1＝2m，又F1F2＝2，则解得m＝2，所以2a＝PF1－PF2＝2，所以b2＝c2－a2＝2，则所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
(创新题)
在抗震救灾行动中，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，急需把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．
解：灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA，PB送药一样远近，由题意可知，界线应该是第三类点的轨迹．设M为界线上的任意一点，则有PA＋MA＝PB＋MB，即MA－MB＝PB－PA＝50(定值)．界线为以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．如图所示．
以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
设所求双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)，
∵a＝25，
2c＝AB＝＝50，
∴c＝25，b2＝c2－a2＝3750，
∴双曲线方程为－＝1，因为C的坐标为(25，60)，所以y的最大值为60，此时x＝35.因此界线的曲线方程为－＝1(25≤x≤35，y>0)．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是________．
解析：由图知PF1＋PF2＝2a.连结MO，则F1M＋MO＝a(a>F1O)．故M的轨迹是以F1、O为焦点的椭圆．
答案：椭圆
已知动点M到A(2，0)的距离等于它到直线x＝－1的距离的2倍，则点M的轨迹方程为________．
解析：设M(x，y)，由题意，得＝2|x＋1|.
化简，得－3x2－12x＋y2＝0.
答案：y2＝3x2＋12x
已知动抛物线以y轴为准线，且过点(1，0)，则抛物线焦点的轨迹方程为________．
解析：设焦点坐标为(x，y)，则＝|x|，
即y2＝2x－1.
答案：y2＝2x－1
(2011·高考广东卷改编)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为________．
解析：设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0，3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0，3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线．
答案：抛物线
设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是________．
解析：设Q(x，y)，P(1，y0)，由·＝0知y0y＝－x.① 又由OQ＝OP，得＝eq \r(1＋y)，即x2＋y2＝1＋y.② 由①②消去y0，得点Q的轨迹方程为y＝1或y＝－1.
答案：两条平行线
[A级 基础达标]
已知两个定点F1(－1，0)，F2(1，0)，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则动点P的轨迹是________．
解析：PF1＋PF2＝2F1F2＝4>F1F2，根据定义可知动点P的轨迹是椭圆．
答案：椭圆
动点P到点F(2，0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则动点P的轨迹方程为________．
解析：由抛物线定义知P的轨迹是以F(2，0)为焦点的抛物线，∴＝2，即p＝4，所以其方程为y2＝8x.
答案：y2＝8x
在平面直角坐标系中，A为平面内一个动点，B(2，0)，若·＝||(O为坐标原点)，则动点A的轨迹是________．
解析：设A(x，y)，则＝(x，y)，＝(x－2，y)，因为·＝||，所以x(x－2)＋y2＝2，即(x－1)2＋y2＝3，所以动点A的轨迹是圆．
答案：圆
设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若＝2且·＝1，则点P的轨迹方程是________．
解析：设P(x，y)，则Q(－x，y)，又设A(a，0)，B(0，b)，则a>0，b>0，于是＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)，由＝2可得a＝x，b＝3y，所以x>0，y>0.又＝(－a，b)＝(－x，3y)，由·＝1可得x2＋3y2＝1(x>0，y>0)
答案：x2＋3y2＝1(x>0，y>0)
已知A(－2，0)、B(2，0)，点C、D满足||＝2，＝(＋)．则点D的轨迹方程为________．
解析：设C、D点的坐标分别为C(x0，y0)，D(x，y)，
则＝(x0＋2，y0)，＝(4，0)，
故＋＝(x0＋6，y0)，
所以＝(AB＋)＝(＋3，)；
又＝(x＋2，y)，故，解得
代入||＝eq \r(（x0＋2）2＋y)＝2得x2＋y2＝1，即为所求点D的轨迹方程．
答案：x2＋y2＝1
如图，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．
解：设P点坐标为(x，y)，双曲线上点Q的坐标为(x0，y0)，因为点P是线段QN的中点，所以N点的坐标为(2x－x0，2y－y0)．
又点N在直线x＋y＝2上，所以2x－x0＋2y－y0＝2，
即x0＋y0＝2x＋2y－2.①
又QN⊥l，kQN＝＝1，即x0－y0＝x－y.②
由①②，得x0＝(3x＋y－2)，y0＝(x＋3y－2)．
又因为点Q在双曲线上，
所以(3x＋y－2)2－(x＋3y－2)2＝1.
化简，得(x－)2－(y－)2＝.
所以线段QN的中点P的轨迹方程为(x－)2－(y－)2＝.
如图所示，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持PA＋PB的值不变．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程；
(2)设点K是曲线E上的一个动点，求线段KA的中点的轨迹方程．
解：(1)如图所示，以AB所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点，建立平面直角坐标系．设动点P(x，y)，因为PA＋PB＝CA＋CB＝＋＝4>AB＝2为定值，所以动点P的轨迹为椭圆，且a＝2，c＝1，b＝.所以曲线E的方程为＋＝1.
(2)设曲线E上的动点K(x1，y1)，线段KA的中点为Q(x，y)，A(－1，0)，则x＝，y＝，即x1＝2x＋1，y1＝2y，所以＋＝1，即＋＝1.所以线段KA的中点的轨迹方程为＋＝1.
[B级 能力提升]
设向量i，j为平面直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量a＝(x＋3)i＋yj，b＝(x－3)i＋yj，且|a|－|b|＝2，则满足上述条件的点P(x，y)的轨迹方程是________．
解析：因为|a|－|b|＝2，
所以－＝2，
其几何意义是动点P(x，y)到定点(－3，0)，(3，0)的距离之差为2，由双曲线定义可知点P(x，y)的轨迹是以点(－3，0)和(3，0)为焦点，且2a＝2的双曲线的一支，由c＝3，a＝1，解得b2＝c2－a2＝8，
故点P(x，y)的轨迹方程是x2－＝1(x>0)或者(x≥1)．
答案：x2－＝1(x>0)(或x2－＝1(x≥1))
如图， 半径为1的圆C过原点，Q为圆C与x轴的另一个交点，OQRP为平行四边形，其中RP为圆C在x轴上方的一条切线，当圆心C运动时，则点R的轨迹方程为________．
解析：设圆心C的坐标为(x0，y0)(x0≠0)，则点Q、P的坐标分别为(2x0，0) 、(x0，y0＋1)，得PQ的中点M的坐标为(，)，因为OQRP为平行四边形，PQ的中点M也是OR的中点，所以可得R点坐标为(3x0，y0＋1)，令R点坐标为(x，y)，则即，又x＋y＝1，代入得＋(y－1)2＝1，故点R的轨迹方程为＋(y－1)2＝1(x≠0，x≠2)．
答案：＋(y－1)2＝1(x≠0，x≠2)
已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|＝2，点P在线段AB上，且＝t(t是不为零的常数)．设点P的轨迹方程为C.
(1)求点P的轨迹方程C；
(2)若t＝2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点(M、N不在坐标轴上)，点Q坐标为(，3)，求△QMN的面积S的最大值．
解：(1)设A(a，0)，B(0，b)，P(x，y)，因为＝t，即(x－a，y)＝t(－x，b－y)，
所以，则，由题意知t>0，
因为|AB|＝2，a2＋b2＝4，即(1＋t)2x2＋()2y2＝4，
所以点P的轨迹方程为：＋＝1.
(2)t＝2时，轨迹方程C为＋y2＝1，设M(x1，y1)，
则N(－x1，－y1)，|MN|＝2eq \r(x＋y)，
设直线MN的方程为：y＝x(x1≠0)，点Q到直线MN的距离为：d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)y1－3x1)),\r(x＋y))，
所以S△MNQ＝×2eq \r(x＋y)×eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)y1－3x1)),\r(x＋y))＝，又eq \f(9x,4)＋eq \f(9y,16)＝1，所以9x＋eq \f(9y,4)＝4.
所以S＝4－9x1y1，而1＝eq \f(9x,4)＋eq \f(9y,16)≥－2··＝－，
所以－9x1y1≤4，当且仅当＝－，即x1＝－y1时，取等号．
所以S△MNQ的面积最大值为2.
(创新题)已知点M(4，0)，N(1，0)，若动点P满足·＝6||.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点，若－≤·≤－，求直线l的斜率的取值范围．
解：(1)设动点P(x，y)，
则＝(x－4，y)，＝(－3，0)，＝(1－x，－y)．
由已知得－3(x－4)＝6，
化简得3x2＋4y2＝12，即＋＝1.
所以点P的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)由题意知，直线l的斜率必存在，
不妨设过N的直线l的方程为y＝k(x－1)，
设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去y得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
因为N在椭圆内，所以Δ>0.所以
因为·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝(1＋k2)(x1－1)(x2－1)
＝(1＋k2)[x1x2－(x1＋x2)＋1]
＝(1＋k2)＝.
所以－≤≤－，解得1≤k2≤3，所以－≤k≤－1或1≤k≤.经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线的方程是________．
解析：据题意设所求平行直线方程为3x－2y＋c＝0，又直线过抛物线y2＝2x的焦点，代入求得c＝－，故直线方程为6x－4y－3＝0.
答案：6x－4y－3＝0
设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则抛物线的方程为________．
解析：当m>0时，准线方程为x＝－＝－2，∴m＝8，此时抛物线方程为y2＝8x；
当m<0时，准线方程为x＝－＝4，∴m＝－16，此时抛物线方程为y2＝－16x.
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x.
答案：y2＝8x或y2＝－16x
已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
解析：设抛物线方程为y2＝2px，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2px1,y＝2px2)) y－y＝2p(x1－x2)，
即·(y1＋y2)＝2p 2p＝1×4 p＝2.
故y2＝4x.
答案：y2＝4x
抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则AF的长为________．
解析：由已知可得直线AF的方程为y＝(x－1)，
联立直线与抛物线方程消元得：3x2－10x＋3＝0，解之得：x1＝3，x2＝(据题意应舍去)，
由抛物线定义可得：AF＝x1＋＝3＋1＝4.
答案：4
[A级 基础达标]
已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值为________．
解析：∵抛物线y＝ax2，∴x2＝y的准线方程是y＝－，依题意得－＝1，∴a＝－.
答案：－
抛物线y2＝24ax(a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．
解析：由题意知，3＋6a＝5，∴a＝，∴抛物线方程为y2＝8x.
答案：y2＝8x
若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则M到该抛物线焦点的距离为________．
解析：依题意，设点M(x，y)，其中x>0，则有，由此解得x＝1，又该抛物线的准线方程为x＝－，结合抛物线的定义，点M到该抛物线的焦点的距离等于1＋＝.
答案：
直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．
解析：直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，联立方程组得，消元得x2－10x＋9＝0，解得，和，∴AP＝10，BQ＝2，PQ＝8，∴梯形APQB的面积为48.
答案：48
如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管OP＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线对称轴1 m，则为使水不落到池外，水池直径最小为________m.
解析：
如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则P(－1，－1)，代入抛物线方程得p＝，抛物线x2＝－y，代点(x，－2)，得x＝，即水池半径最小为r＝(1＋)m，水池直径最小为2r＝(2＋2)m.
答案：2＋2
已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
解：由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，
焦点F，直线l：x＝，
∴A、B两点坐标为，，
∴AB＝2|p|.
∵△OAB的面积为4，
∴··2|p|＝4，∴p＝±2.
∴抛物线的标准方程为y2＝±4x.
过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，求的值．
解：直线方程为y－＝x，
则x＝，代入抛物线x2＝2py，
得3y2－5py＋＝0，
解得y1＝，y2＝，
根据抛物线的定义得＝＝.
[B级 能力提升]
等腰直角三角形OAB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O是抛物线的顶点，OA⊥OB，则△OAB的面积为________．
解析：设等腰直角三角形OAB的顶点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2，由OA＝OB，则x＋y＝x＋y，
∴x－x＋2px1－2px2＝0，即(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0，
∵x1>0，x2>0，2p>0，
∴x1＝x2，即A、B关于x轴对称．
故直线OA的方程为：y＝xtan45°，即y＝x.由，解得，或，故AB＝4p，等腰三角形OAB的面积为×2p×4p＝4p2.
答案：4p2
对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．
其中能得出抛物线方程为y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件的序号)．
解析：在①②两个条件中，应选择②，则由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)；对于③，由焦半径公式r＝1＋＝6，∴p＝10，此时y2＝20x，不符合条件；
对于④，2p＝5，此时y2＝5x，不符合题意；
对于⑤，设焦点为，则由题意，满足·＝－1.解得p＝5，此时y2＝10x，所以②⑤能使抛物线方程为y2＝10x.
答案：②⑤
某河上有座抛物线形拱桥，当水面距顶5 m时，水面宽为8 m，一木船宽4 m高2 m，载货后木船露在水面上的部分高为 m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？
解：
如图所示建立直角坐标系xOy，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，过点(4，－5)，
∴16＝－2p(－5)，∴2p＝，
∴抛物线方程为x2＝－y，x＝2时，y＝－，
∴相距为＋＝2时不能通行．
(创新题)已知抛物线y2＝2px的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B两点．若A、B在抛物线准线l上的投影分别为A′、B′，求∠A′FB′的大小．
解：由定义知AF＝AA′，BF＝BB′，
∴∠AA′F＝∠A′FA，
∠FB′B＝∠B′FB.
又∵∠BB′F＝∠B′FM，(如图)
∠AA′F＝∠A′FM，
∴∠B′FM＝∠B′FB，∠A′FM＝∠A′FA，
∴∠A′FM＋∠B′FM＝∠B′FB＋∠A′FA，
∴∠A′FM＋∠B′FM＝90°，
∴∠A′FB′＝90°.