有4个命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；
②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；
③若P，M，A，B共面，则＝x＋y.
其中正确的是________(填序号)．
解析：命题①正确，命题②③不正确，因命题②中若a∥b，则P不能用a，b表示，命题③中，若M，A，B三点共线，则也不能用、表示．
答案：①
已知空间四点A、B、C、D共面，若对空间中任一点O有x＋y＋z＋＝0，则x＋y＋z＝__________．
解析：由x＋y＋z＋＝0，得＝(－x)＋(－y)＋(－z)，
∴(－x)＋(－y)＋(－z)＝1.
∴x＋y＋z＝－1.
答案：－1
已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有＝2＋＋λ，则λ＝________．
解析：因为P，A，B，C四点共面，所以＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，所以2＋＋λ＝1，得λ＝－.
答案：－
[A级 基础达标]
下列命题中正确的个数是__________．
①如果a，b，c共面，b，c，d也共面，则a，b，c，d共面；
②已知直线a的方向向量a与平面α平行，即a∥α，则a∥α；
③若P、M、A、B共面，则一定存在惟一实数x，y，使＝x＋y；反之，也成立；
④对空间任一点O与不共线的A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P、A、B、C共面．
解析：①错，如果b，c共线，则a，b，c共面，b，c，d也共面，易知a，b，c，d不一定共面；②错，若a∥α，可能a在平面α内；③错，＝x＋y使P、M、A、B四点共面，其前提是M、A、B不共线；④错，前提是O点与A、B、C不共面．
答案：0
以下命题：
①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；
②共线的两个向量互相平行；
③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；
④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．
其中正确命题的序号是__________(把所有正确命题的序号都填上)．
解析：根据共线向量、共面向量的定义易知②④正确．
答案：②④
已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，＝x ＋＋，则x的值为__________．
解析：由题意知，x＋＋＝1，∴x＝.
答案：
已知O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且＝2x·＋3y·＋4z·，则2x＋3y＋4z＝__________．
解析：由A、B、C、D四点共面知＝－2x·＋(－3y)·＋(－4z)·，所以－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1.
答案：－1
对于空间任一点O和不共线的三点A、B、C，且有6＝＋2＋3，则__________四点必共面．
解析：由6 ＝＋2＋3，得＝＋＋，所以P、A、B、C四点共面．
答案：P、A、B、C
如图，已知空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在MN上，且＝2，设＝a，＝b，＝c，＝xa＋yb＋zc，则x、y、z的值分别为多少？
解：由线段中点的向量表达式，得
＝＋＝＋
＝＋(＋＋)
＝a＋[－a＋c＋(b－c)]
＝a－a＋c＋b－c
＝a＋b＋c，
∵＝xa＋yb＋zc，
∴x＝，y＝，z＝.
如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.
证明：设＝a，＝b，＝c，所以＝c－a.
又因为O是B1D1的中点，所以＝(a＋b)．
＝－＝b－(a＋b)＝(b－a)．
因为D1D C1C，所以＝c.
所以＝＋＝(b－a)＋c.
若存在实数x，y，
使得＝x＋y成立，
则c－a＝x[(b－a)＋c]＋y[－(a＋b)]
＝－(x＋y)a＋(x－y)b＋xc.
因为a，b，c不共线，
所以解得
所以＝＋，则，，是共面向量，
又因为B1C不在OD，OC1所确定的平面ODC1内，
所以B1C∥平面ODC1.
[B级 能力提升]
已知a，b，c是不共面的三个向量，且实数x，y，z使xa＋yb＋z c＝0，则x2＋y2＋z2＝__________．
解析：由共面向量基本定理可知a，b，c不共面时，xa＋yb＋z c＝0必有x＝y＝z＝0，∴x2＋y2＋z2＝0.
答案：0
已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则＋(＋＋)＝__________．
解析：原式＝＋(＋＋)＝＋＋＝＋＝.
答案：
已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，若＝2－－，证明：点M不在平面ABC内．
证明：假设M在平面ABC内，则存在实数对(x，y)，使＝x＋y(*)，于是对空间任意一点O，O在平面ABC外，＝(1－x－y)＋x＋y，比较原式，得此方程组无解，这与假设相矛盾．
所以假设不成立，所以不存在实数对(x，y)，使(*)式成立，所以M与A、B、C不共面，即M不在平面ABC内．
(创新题)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，P，M为空间任意两点，若＝＋7＋6＋4，试问M点是否一定在平面BA1D1内？并证明你的结论．
解：＝＋7＋6＋4
＝－＋7(＋)＋4
＝－＋7＋4
＝＋＋7＋4
＝＋7＋4
＝＋7(＋)＋4(＋)
＝－6＋3＋4，
由－6＋3＋4＝1，得M，B，A1，D1四点共面，
故M点在平面BA1D1内．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为u＝(－2，0，－4)，则l与α的位置关系为________．
解析：∵u＝(－2，0，－4)＝－2×(1，0，2)＝－2a，
∴u∥a，∴l⊥α.
答案：l⊥α
平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α和平面β的位置关系是__________．
解析：平面α与平面β的法向量的数量积为(1，2，0)·(2，－1，0)＝2－2＋0＝0，所以两个法向量垂直，故两个平面互相垂直．
答案：垂直
设平面α的法向量为(1，－2，2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于__________．
解析：由题意知，向量(1，－2，2)与向量(2，λ，4)共线，
∴＝＝，∴λ＝－4.
答案：－4
[A级 基础达标]
已知直线l的方向向量为u＝(2，0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2，1，－4)，则l与α的位置关系为__________．
解析：∵u·v＝(2，0，－1)·(－2，1，－4)＝－4＋4＝0，
∴u⊥v，∴l∥α或l α.
答案：l∥α或l α
已知直线l的方向向量为v＝(1，－1，2)，平面α的法向量为n＝(2，4，1)，且l α，则l与α的位置关系是__________．
解析：因为v·n＝2－4＋2＝0，所以v⊥n，又l α，所以l∥α.
答案：l∥α
已知直线l的方向向量v＝(2，－1，3)，且过点A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z＝__________．
解析：由已知得＝(1，y－2，3－z)，依题意∥v，所以＝＝.所以y＝，z＝，得y－z＝0.
答案：0
已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，2)，＝(x，－3，6)，若DE∥平面ABC，则x＝__________．
解析：若DE∥平面ABC，
则存在实数对λ、μ，使得＝λ＋μ.
即，解得.
答案：5
若直线l的方向向量为v＝(2，2，2)，向量m＝(1，－1，0)及n＝(0，1，－1)都与平面α平行，则l与α的位置关系为__________．
解析：因为v·m＝2－2＋0＝0，v·n＝0＋2－2＝0，所以v⊥m，且v⊥n，又m、n不平行，所以v⊥α，即l⊥α.
答案：l⊥α
已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在DB，D1C上，且DE＝D1F＝a，其中a为正方体棱长，求证：EF∥平面BB1C1C.
证明：建立如图所示空间直角坐标系D－xyz，
则E(，，0)，F(0，，)，
故＝(－，0，)，
又＝(0，a，0)显然为平面BB1C1C的一个法向量，
而·＝(0，a，0)·(－，0，)＝0，∴⊥.
又EF 平面BB1C1C，因此EF∥平面BB1C1C.
如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点，F为CD的中点，G为AB的中点．求证：平面ADE⊥平面A1FG.
证明：连结D1F，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，设正方体棱长为1.
∴D(0，0，0)，E(1，1，)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，G(1，，0)，F(0，，0)．
∴＝(0，1，)，＝(0，，－1)，
＝(－1，0，0)．
∴·＝0＋－＝0，
·＝0＋0＋0＝0.
∴⊥，⊥，
∵A1G∩GF＝G，
∴AE⊥平面A1GF.
又AE 平面ADE，
∴平面ADE⊥平面A1GF.
[B级 能力提升]
若直线a与b是两条异面直线，它们的方向向量分别为v1＝(1，1，－1)和v2＝(2，－3，2)，又a与b的公垂线的方向向量为v＝(x，y，5)，则x＋y＝__________．
解析：由已知得，
所以x＝1，y＝4，故x＋y＝5.
答案：5
已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1B1与平面AD1C的位置关系是__________；A1B与平面DD1C1C的位置关系是__________．
解析：A1B1与平面AD1C相交．由A1B∥CD1，又A1B 平面DD1C1C，CD1 平面DD1C1C，∴A1B∥平面DD1C1C.
答案：相交 平行
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于F.
证明：(1)直线PA∥平面EDB；
(2)直线PB⊥平面EFD.
证明：以D为原点，以DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PD＝DC＝2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)．
(1)∵E是PC的中点，
∴E(0，1，1)，
∵＝(－2，0，2)，＝(0，1，1)，
＝(－2，－1，1)，∴＝＋.
又PA 平面EDB，∴PA∥平面EDB.
(2)∵＝(－2，－2，2)，
又·＝(－2，－2，2)·(0，1，1)＝0，
∴⊥，∴BP⊥DE.
又BP⊥EF，且EF∩DE＝E，∴直线PB⊥平面EFD.
(创新题)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点，
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定点E的位置．
解：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为a，
(1)证明：A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．
设E(0，a，m)，
则＝(－a，a，m－a)，＝(－a，－a，0)，
所以·＝a2－a2＋0＝0，
所以⊥，即A1E⊥BD.
(2)法一：设BD的中点为O，连结OE，OA1，
则O(，，0)，
所以＝(－，，m)，＝(－a，－a，0)，
因为△BCE≌△DCE，所以ED＝EB，所以OE⊥BD，
又＝(，－，a)，所以·＝0，
所以OA1⊥BD，
所以∠A1OE是二面角A1－BD－E的平面角，
因为平面A1BD⊥平面EBD，所以∠A1OE＝，
所以·＝0，即－－＋am＝0，∴m＝.
故当E为CC1的中点时，能使平面A1BD⊥平面EBD.
法二：E为CC1的中点．
证明如下：由E为CC1的中点得E(0，a，)，
设BD的中点为O，连结OE，OA1，则O(，，0)，
所以＝(－，，)，＝(－a，－a，0)，
则·＝0，⊥，即OE⊥BD.
又＝(，－，a)，所以 ·＝0，
所以OA1⊥BD，所以∠A1OE是二面角A1－BD－E的平面角．
所以·＝－－＋＝0，所以⊥，
故OA1⊥OE，即∠A1OE＝，
所以平面A1BD⊥平面EBD.
所以当E为CC1的中点时，能使平面A1BD⊥平面EBD.若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的____________条件．
解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b| cos〈a，b〉＝1 〈a，b〉＝0，当a与b反向时，不成立．
答案：充分不必要
对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是________(填序号)．
①若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
②若λa＝0，则λ＝0或a＝0；
③若a2＝b2，则a＝b或a＝－b；
④若a·b＝a·c，则b＝c.
解析：①中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0或b＝0.
③中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b.
④中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c.
答案：②
已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________．
解析：因为a与2b－a互相垂直，所以a·(2b－a)＝0.
即2a·b－a2＝0.所以2|a||b|cos〈a，b〉－|a|2＝0，
所以cos〈a，b〉＝，所以a与b的夹角为45°.
答案：45°
已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________．
解析：|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝13.
答案：
[A级 基础达标]
(2011·高考重庆卷)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2e1－e2|＝__________．
解析：|2e1－e2|2＝4e－4e1·e2＋e＝4－4×1×1×cos60°＋1＝3，∴|2e1－e2|＝.
答案：
若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－()b，则向量a与c的夹角为__________．
解析：a·c＝a·[a－()b]＝a·a－()b·a＝a·a－a·a＝0，∴a⊥c.
答案：90°
已知三点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则三角形ABC的形状是__________．
解析：＝(3，4，－8)，＝(2，－3，1)，＝(5，1，－7)．
∴||＝，||＝，||＝，
∴||2＝||2＋||2，
∴△ABC是以角C为直角的直角三角形．
答案：直角三角形
已知a＝(x，2，0)，b＝(3，2－x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是__________．
解析：cos〈a，b〉＝，∵夹角为钝角，∴cos〈a，b〉<0，且a，b不共线，∴3x＋2(2－x)<0，∴x<－4.
答案：x<－4
设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为__________．
解析：a·b＝0，且a，b，c均为单位向量，∴|a＋b|＝，|c|＝1，∴(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2.设a＋b与c的夹角为θ，则(a－c)·(b－c)＝1－|a＋b||c|cos θ＝1－cos θ.故(a－c)·(b－c)的最小值为1－.
答案：1－
如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，计算：
(1)·；(2)·.
解：(1)·＝·
＝||·||cos〈，〉
＝×1×1×cos 60°＝.
(2)·＝·
＝||·||cos〈，〉
＝×1×1×cos 120°＝－.
已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)．求：
(1)a·b；(2)|a|；(3)|b|；(4)(2a＋3b)·(a－2b)．
解：(1)a·b＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×2＝22.
(2)|a|＝＝＝6.
(3)|b|＝＝＝7.
(4)(2a＋3b)·(a－2b)＝2a2＋3a·b－4a·b－6b2
＝2×62－22－6×72＝－244.
已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是__________．
解析：∵|a|＝|b|＝，且a＋b与a－b是以a，b为邻边的正方形的两条对角线，∴a＋b与a－b的夹角为90°.
答案：90°
在△ABC中，已知＝(2，4，0)，＝(－1，3，0)，则∠ABC＝__________．
解析：∵＝(－2，－4，0)，＝(－1，3，0)，
∴·＝2－12＋0＝－10，
||＝ ＝2，
||＝.
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∴∠ABC＝135°.
答案：135°
如图，已知E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量与的夹角的余弦值．
解：设正方体的棱长为m，
＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝m，
a·b＝b·c＝a·c＝0，
又∵＝＋＝＋＝a＋b，
＝＋＝＋＝c＋a，
∴·＝(a＋b)·(c＋a)＝m2，
又∵|A1C1|＝m，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
(创新题)已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．
(1)求以，为邻边的平行四边形的面积；
(2)若|a|＝，且a与，均垂直，求向量a的坐标．
解：(1)由题意，可得：＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴sin〈，〉＝.
所以，以，为邻边的平行四边形的面积为
S＝||||sin〈，〉＝14×＝7.
(2)设a＝(x，y，z)．
由题意，得
解得或
∴a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1)．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的中心为O，则下列命题中正确的共有________个．
①＋与＋是一对相反向量；
②－与－是一对相反向量；
③－与－是一对相反向量；
④＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量．
答案：3
如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与为相反向量的是________．(填序号)
①－a＋b＋c; ②a＋b＋c；
③a－b－c; ④－a－b＋c.
解析：因为＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c，所以与为相反向量的是a－b－c.
答案：③
四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
解析：如图所示：
由三角形法则，得
＝－＝b－a，＝－＝c－b，
所以＝＝(c－b)，
＝＋＝b＋c－a，
故＝＝b＋c－a，
所以＝＋＝a＋b＋c.
答案：a＋b＋c
[A级 基础达标]
化简：(－)－(－)＝__________．
解析：法一：将向量减法转化为向量加法进行化简．
(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
法二：利用－＝，－＝进行化简．
(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.
法三：利用＝－的关系进行化简．
设O为平面内任意一点，则有
(－)－(－)＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0.
答案：0
给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；
②零向量没有方向；
③空间中任意两个单位向量必相等．
其中假命题的个数是__________．
解析：均不正确．
答案：3
如图，四棱柱的上底面ABCD中，＝，下列向量相等的一组是__________(填序号)．
①与；②与；③与；④与.
解析：∵＝，∴||＝||，且AB∥DC.即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知＝.
答案：④
四边形ABCD中，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是__________．
解析：由＋＝＋，有＝，故有ABDC，则四边形ABCD是平行四边形．
答案：平行四边形
在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为__________．
解析：如图，＝－＝－(＋＋)＝－－＝－－＝a－b－c.
答案：a－b－c
如图，在空间四边形A－BCD中，点M、G分别是BC、CD的中点．
化简：(1)＋(＋)；
(2)－(＋)．
解：(1)原式＝＋＋＝；
(2)原式＝＋＋－(＋)
＝＋＋(－)＝＋＋＝.
已知四面体ABCD中，G为△BCD的重心，E、F、H分别为边CD、AD和BC的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；(2)(＋－)．
解：
(1)如图所示，由G是△BCD的重心知，＝.又E、F为中点，
∴EFAC，＝.
∴＋＋＝＋＋＝.
(2)由向量加法的平行四边形法则及几何意义知(＋)＝，＝，∴(＋－)＝－＝.
[B级 能力提升]
如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若＝x ＋y ＋z ，则x＋y＋z＝__________．
解析：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，
有＝＝，
于是＝－＝(＋)－(＋)
＝－＋＋－
＝－＋＋，
又＝x＋y＋z，
∴x＝－1，y＝1，z＝，
∴x＋y＋z＝.
答案：
已知两个非零向量a，b，则|a＋b|与|a－b|相等的充要条件是________．
解析：|a＋b|＝|a－b| |a＋b|2＝|a－b|2 4a·b＝0 a·b＝0.
答案：a·b＝0
如图所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式：
(1)＋；
(2)＋；
(3)＋＋；
(4)＋＋＋＋.
解：(1)＋＝.
(2)＋＝(＋)
＝＝.
(3)＋＋＝＋＝.
(4)＋＋＋＋＝＋＋
＝＋＝0.
(创新题)已知六面体ABCD－A′B′C′D′是平行六面体．
(1)化简＋＋，并在图中标出其结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，＝.设＝α＋β＋γ，试求α、β、γ的值．
解：
(1)如图，取AA′的中点为E，则＝，又＝，＝，取F为D′C′的一个三等分点使＝，则＝，所以＋＋＝＋＋＝(说明：表示法不惟一)．
(2)＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝(－＋)＋(＋)＝＋＋，所以α＝，β＝，γ＝.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点O为空间任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量用a，b，c可表示为________．
解析：＝＋＝＋
＝＋(－)
＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝3MA，N为BC中点，则＝________.(用a，b，c表示)
解析：显然＝－＝(＋)－.
答案：－a＋b＋c
在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是________(填序号)．
①＝3－－；②＝＋＋；
③＋＋＝0；④＋＋＋＝0.
解析：①对，空间的四点M，A，B，C共面只需满足＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1即可．根据空间向量共面定理可知③也能使M与A，B，C共面．
答案：①③
已知向量a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)，若a，b成120°的角，则k＝________．
解析：cos〈a，b〉＝＝＝－<0
∴k<0，∴k＝－.
答案：－
已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′等于________．
解析：只需将＝＋＋，运用向量运算||＝即可．
答案：
已知A(－1，－2，6)，B(1，2，－6)，O为坐标原点，则向量与的夹角是________．
解析：利用cos〈，〉＝，计算结果为－1.
答案：π
设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是________三角形．
解析：过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．
答案：锐角
空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝60°，则cos〈，〉＝________．
解析：选择一组基向量，，，再来处理·的值．
答案：0
已知A(1，1，1)，B(2，2，2)，C(3，2，4)，则△ABC的面积为________．
解析：应用向量的运算，计算出cos〈，〉，再计算sin〈，〉，从而得S＝||||sin〈，〉＝.
答案：
下列命题：
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2 α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量，a与α共面，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直；
其中正确的个数为________．
解析：①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确
答案：3
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为________．
解析：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，如图，可知＝(2，－2，1)，＝(2，2，－1)，
所以cos〈，〉＝－，
故 sin〈，〉＝.
答案：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值________．
解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则＝(0，1，0)，
＝(－1，0，1)，＝(0，，1)；
设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则由
可解得一个n＝(1，0，1)；
设直线AE与平面ABC1D1所成角为θ，
则sinθ＝＝.
答案：
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1，A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，则A1B与平面ABD所成角的余弦值为________．
解析：以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设CA＝CB＝a，
则A(a，0，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1)
∴E(，，1)，G(，，)，
∴＝(，，)，＝(0，－a，1)，
∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，
∴GE⊥平面ABD，
∴·＝0.解得a＝2.
∴＝(，，)，＝(2，－2，2)．
∵⊥平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量，
那么cos〈，〉＝＝＝，
∴A1B与平面ABD所成角的余弦值为＝.
答案：
在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为零)，点P(x0，y0，z0)到平面α的距离为：d＝，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于________．
解析：如图，以底面中心O为原点建立空间直角坐标系O－xyz，
则A(1，1，0)，B(－1，1，0)，P(0，0，2)，设平面PAB的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，将以上3个坐标代入计算得A＝0，B＝－D，C＝－D，
所以－Dy－Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，
则d＝＝.
答案：
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
(本小题满分14分)已知：E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.
证明：(1)如图所示，连结EG，∵E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
∴＝(＋)，
＝；
∴＝＋＝＋(＋)
＝＋＋＝＋；
∴由共面向量定理知：，，共面；
∴E、F、G、H四点共面．
(2)∵＝－＝－
＝(－)＝，∴EH∥BD；
又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH.
(本小题满分14分)已知空间向量，，等满足||＝5，||＝8，＝，且·＝0.
(1)求|－|；
(2)设∠BAC＝θ，且已知cos(θ＋x)＝，－π解：(1)由已知得＝－＝＋＝，所以＝，＝＝，
则||＝||＝，||＝，
因为·＝0，所以CD⊥AB，
在Rt△BCD中，BC2＝BD2＋CD2，
又CD2＝AC2－AD2，所以BC2＝BD2＋AC2－AD2＝49，所以|－|＝||＝7.
(2)在Rt△ADC中，cos∠BAC＝，所以θ＝；
所以cos(θ＋x)＝cos(＋x)＝，
故sin(＋x)＝±.
而－π如果0<＋x<，则sin(＋x)所以sin(＋x)＝－.
(本小题满分14分)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离．
解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则A，B，C，D，P，E的坐标为A(0，0，0)、B(，0，0)、C(，1，0)、D(0，1，0)、P(0，0，2)、E(0，，1)，从而＝(，1，0)，＝(，0，－2)，设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴AC与PB所成角的余弦值为.
(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则＝(－x，，1－z)，由NE⊥面PAC，
可得即
∴∴
即N点的坐标为(，0，1)，从而N点到AB和AP的距离分别为1，.
(本小题满分16分)已知一个多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0，0，0)，B(2，4，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，A(2，0，0)，C1(0，4，3)；
设F(0，0，z)，
∵四边形AEC1F为平行四边形，
∴＝，得(－2，0，z)＝(－2，0，2)，
∴z＝2，∴F(0，0，2)，∴＝(－2，－4，2)．
于是||＝2，即BF的长为2.
(2)设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1＝(x，y，1)，
由得
即∴∴n1＝(1，－，1)．
又＝(0，0，3)，设与n1的夹角为α，
则cosα＝＝＝.
∴C到平面AEC1F的距离为
d＝||cosα＝3×＝.
(本小题满分16分)如图，四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB，M是PB的中点．
(1)证明：面PAD⊥面PCD；
(2)求AC与PB所成角的余弦值；
(3)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值．
解：以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图所示，建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，M(0，1，)．
(1)证明：因＝(0，0，1)，＝(0，1，0)，
故·＝0，
所以AP⊥DC.
由题设知AD⊥DC，且AP∩AD＝A，
由此得DC⊥面PAD.
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.
(2)因为＝(1，1，0)，＝(0，2，－1)，
故||＝，||＝，·＝2，
所以cos〈，〉＝＝.
故所求AC与PB所成角的余弦值为.
(3)在MC上取一点N(x，y，z)，
则存在λ∈R，使＝λ，
∵＝(1－x，1－y，－z)，＝(1，0，－)，
∴x＝1－λ，y＝1，z＝λ.
要使AN⊥MC，只需·＝0，
即x－z＝0，解得λ＝.
可知当λ＝时，N点坐标为(，1，)，
∴·＝0，
此时＝(，1，)，＝(，－1，)，有·＝0.由·＝0，·＝0得AN⊥MC，BN⊥MC，所以∠ANB为面AMC与面BMC所成二面角的平面角．
∵||＝，||＝，·＝－，
∴cos〈，〉＝＝－，
故所求的二面角的余弦值为－.
(本小题满分16分)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1.
(1)求证：AC1⊥平面A1BC；
(2)求点C1到平面A1AB的距离；
(3)求二面角A－A1B－C的余弦值．
解：如图所示，取AB的中点E，则DE∥BC，
因为BC⊥AC，
所以DE⊥AC，
又A1D⊥平面ABC，以DE，DC，DA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，C(0，1，0)，B(2，1，0)，A1(0，0，t)，C1(0，2，t)．
(1)证明：∵＝(0，3，t)，＝(－2，－1，t)，＝(2，0，0)，
由·＝0，知AC1⊥CB，
又BA1⊥AC1，CB∩BA1＝B，所以AC1⊥平面A1BC.
(2)由·＝－3＋t2＝0，得t＝.
设平面A1AB的法向量为n＝(x，y，z)，
又＝(0，1，)，＝(2，2，0)，
所以设z＝1，则n＝(，－，1)，所以点C1到平面A1AB的距离d＝＝.
(3)设平面A1BC的法向量为m＝(x，y，z)，
＝(0，－1，)，＝(2，0，0)，
所以，设z＝1，则m＝(0，，1)．
cos〈m，n〉＝＝－，根据法向量的方向，可知二面角A－A1B－C的平面角的余弦值为.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网已知a，b分别是直线l1，l2的方向向量，则下列所给的向量中，l1∥l2的一组是__________(填序号)．
①a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)；
②a＝(5，0，2)，b＝(0，4，0)；
③a＝(－2，1，4)，b＝(6，3，3)．
解析：①中a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)，∴a＝－b.
②中a＝(5，0，2)，b＝(0，4，0)，a·b＝0.
③中a，b既不共线，数量积也不为0.
答案：①
若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，下列所给向量中，能作为平面α的法向量的是__________(填序号)．
①(0，－3，1)；②(2，0，1)；
③(－2，－3，1)；④(－2，3，－1)．
解析：所有与n＝(2，－3，1)共线的向量都是平面α的法向量，只有④的向量与n＝(2，－3，1)共线．
答案：④
已知平面α内两向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量是__________．
解析：设平面α的法向量n＝(x，y，z)，则
由n·a＝0，得2x＋3y＋z＝0.①
由n·b＝0，得5x＋6y＋4z＝0.②
由①②解得令z＝1，得
∴平面α的一个法向量是(－2，1，1)．
答案：(－2，1，1)
已知A(1，1，－1)，B(2，3，1)，则直线AB的模为1的方向向量是________．
解析：＝(1，2，2)，||＝3，直线AB的模为1的方向向量是±＝±(1，2，2)．
答案：，
已知平面α经过点O(0，0，0)，且u＝(1，1，1)是α的法向量，N(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________．
解析：由题意u·＝(1，1，1)·(x，y，z)＝0，
即x＋y＋z＝0.
答案：x＋y＋z＝0
[A级 基础达标]
若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的一个法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．
解析：因为＝(1，－3，－)，＝(－2，－1，－)，
a·＝0, a·＝0，
所以故
所以x∶y∶z＝y∶y∶(－y)＝2∶3∶(－4)．
答案：2∶3∶(－4)
已知直线l过点A(1，2，3)，B(2，5，8)，且a＝(－2，m，n)是直线l的方向向量，则m＋n＝__________．
解析：＝(1，3，5)，由题意知，a∥.∴＝＝.∴m＝－6，n＝－10.∴m＋n＝－16.
答案：－16
已知平面α经过点P(1，1，1)，平面α的法向量n＝(1，2，3)，M是平面α内的任一点．则M点的坐标(x，y，z)满足的关系式为__________．
解析：＝(x－1，y－1，z－1)，
∵n＝(1，2，3)是平面α的一个法向量，
∴n⊥.从而n·＝0，
即(1，2，3)·(x－1，y－1，z－1)＝0.
整理，得x＋2y＋3z－6＝0.
答案：x＋2y＋3z－6＝0
如图，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°，E为AC的中点，那么以下向量为平面ACD的法向量的为__________(填序号)．
①；②；③；④.
解析：判断平面ACD的法向量，可以从平面ACD中找出、、中的两个向量，分别与选项中的向量求数量积，判断垂直而得；也可以直接利用已知边角关系判断线面垂直．设AD＝1，则BD＝CD＝1，因为△BDA、△ACD为直角三角形，所以AB＝AC＝.又因为∠BAC＝60°，所以BC＝.所以△BCD也是直角三角形(BD⊥CD)，从而可得BD⊥平面ACD.
答案：②
若直线a和b是异面直线，它们的方向向量分别是(1，1，1)和(2，－3，－2)，则直线a和b的公垂线的一个方向向量是__________．
解析：设公垂线的一个方向向量是(x，y，z)，
则有(x，y，z)·(1，1，1)＝0且(x，y，z)·(2，－3，－2)＝0，即
令x＝1，得y＝4，z＝－5.
答案：(1，4，－5)(答案不惟一)
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：是平面PAC的法向量．
证明：如图，建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为2，
则A(2，0，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，O(1，1，0)，于是＝(1，1，2)，＝(－2，2，0)，
＝(－2，0，1)．
由于·＝－2＋2＝0，·＝－2＋2＝0，
∴⊥，⊥.
∵AC∩AP＝A，∴⊥平面PAC，
即是平面PAC的法向量．
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，试建立适当坐标系，并求平面CD1E的一个法向量．
解：
如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)．
∴E(1，1，0)．
∴＝(1，－1，0)，
＝(0，－2，1)．
设平面CD1E的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0.
∴∴
令y＝1，则x＝1，z＝2.
∴平面CD1E的一个法向量为(1，1，2)．
[B级 能力提升]
已知直线l1的方向向量为a＝(2，4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是________．
解析：因为|a|＝6，所以4＋16＋x2＝36，即x＝±4，当x＝4时，a＝(2，4，4)，由a·b＝0得4＋4y＋8＝0，解得y＝－3，此时x＋y＝4－3＝1；当x＝－4时，a＝(2，4，－4)，由a·b＝0得4＋4y－8＝0，解得y＝1，此时x＋y＝－4＋1＝－3.综上，得x＋y＝－3或1.
答案：－3或1
已知三点A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的单位法向量为________．
解析：设平面ABC的单位法向量为n＝(x，y，z)，由已知得＝(0，－1，1)，＝(－1，1，0)，＝(1，0，－1)，因为n与，，都垂直，所以z－y＝0，y－x＝0，x－z＝0，所以x＝y＝z，又因为|n|＝1，所以＝1，解得n＝(，，)或n＝(－，－，－)．
答案：(，，)或(－，－，－)
如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．
解：因为AD、AB、AS是两两垂直的线段，所以建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
则A(0，0，0)，D(，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，1)，
∴＝(，1，0)，＝(－，0，1)．
由题意，易知向量＝(，0，0)是平面SAB的一个法向量．
设n＝(x，y，z)为平面SDC的法向量，
则，即.
令x＝2，则y＝－1，z＝1，
∴平面SCD的一个法向量为(2，－1，1)．
(创新题)如图所示，四棱锥V－ABCD，底面ABCD为正方形，VA⊥平面ABCD，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：
(1)直线AB的方向向量；
(2)求证：BD⊥平面VAC，并确定平面VAC的法向量．
解：(1)由已知易得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB的方向向量有：、、、四个．
(2)证明：∵底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC.
∵VA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
∴BD⊥VA，又AC∩VA＝A，∴BD⊥平面VAC，
所以平面VAC的法向量有、两个．(2011·高考辽宁卷改编)如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是__________．
①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角；④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角．
解析：易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，①正确；AB∥DC，DC 平面SCD，故AB∥平面SCD，②正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．
答案：④
已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－2，1)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，－2，0)，则两直线所成角的余弦值为__________．
解析：cos〈a，b〉＝＝＝，
所以两直线所成角的余弦值为.
答案：
若直线l的方向向量为a＝(－2，3，1)，平面α的一个法向量为n＝(4，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值等于__________．
解析：sinθ＝＝＝.
答案：
若一个锐二面角的两个半平面的法向量分别为m＝(0，0，3)，n＝(8，9，2)，则这个锐二面角的余弦值为__________．
解析：cosθ＝＝＝.
答案：
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为__________．
解析：分别以D1A1、D1C1、D1D所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)．
设D1A1＝a，D1C1＝b，D1D＝c，
则M(a，b，)，N(，b，0)，C(0，b，c)，A(a，0，c)，
∴＝(，0，)，＝(－a，0，)．
又∵∠CMN＝90°，∴·＝0.∴a2＝.
又∵D(0，0，c)，∴＝(a，b，－)，＝(－a，0，－c)，
∴·＝－a2＋＝0.
∴⊥.
答案：90°
[A级 基础达标]
如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________．
解析：不妨设棱长为2，选择基向量{，，}，则＝－，＝＋，
所以cos〈，〉＝
＝＝0，
故异面直线AB1和BM所成角的大小是90°.
答案：90°
在一个二面角的两个面内各有一个与二面角的棱垂直的向量n1＝(0，－1，3)和n2＝(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为__________．
解析：由cos〈n1，n2〉＝＝，知这个二面角的余弦值为或－.
答案：或－
在平面直角坐标系中，已知A(2，3)，B(－2，－3)，沿x轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A－Ox－B，使∠AOB＝90°，则cosθ等于__________．
解析：过A、B分别作x轴垂线，垂足分别为A′、B′(图略)，则AA′＝3，BB′＝3，A′B′＝4，OA＝OB＝，
折后，∠AOB＝90°，∴AB＝＝，
由＝＋＋，
得||2＝||2＋||2＋||2＋2||·||cos(π－θ)．
∴26＝9＋16＋9＋2×3×3×cos(π－θ)，
∴cosθ＝.
答案：
在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，BC＝a，这时二面角B－AD－C的大小为__________．
解析：依题意∠BDC为二面角B－AD－C的平面角，在△BCD中，BD＝CD＝，BC＝a，所以二面角B—AD—C的大小为60°.
答案：60°
在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成角的正切值为__________．
解析：
连结BD，则G∈BD，由PD⊥面ABCD知∠PGD为所求角．因为PD＝AB＝1，G为△ABC重心，所以DG＝BD＝.因此tan∠PGD＝＝.
答案：
如图所示，有一长方形的纸片ABCD，长AB＝4 cm，宽AD＝3 cm，现沿它的一条对角线AC把它折叠成120°的二面角，求折叠后BD的长．
解：作DE⊥AC，BF⊥AC，点E，F为垂足，
则AC＝＝5 cm，DE＝BF＝4×＝ cm，
AE＝CF＝＝ cm，EF＝ cm.
折叠后，DE、EF、FB的长度保持不变，
且||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝||2＋||2＋||2＋2||||cos60°
＝()2＋()2＋()2＋2×()2×＝，
∴BD＝ cm，即折叠后BD的长为 cm.
如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a.
(1)建立适当的空间直角坐标系，并写出点A，B，A1，C1的坐标；
(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角．
解：
(1)如图所示，以点A为坐标原点，以AB所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系．由已知得A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1(－a，，a)．
(2)取A1B1的中点M，则M(0，，a)，连结AM，MC1，有＝(－a，0，0)，且＝(0，a，0)，＝(0，0，a)，
∴·＝0，·＝0，∴MC1⊥AB，MC1⊥AA1，∵AB∩AA1＝A，∴MC1⊥面ABB1A1.
∴与所成角即为所求的角．
∵·＝0＋＋2a2＝a2，
||＝ ＝a，
||＝＝a，
∴cos〈，〉＝＝，
∴〈，〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
[B级 能力提升]
如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为__________．
解析：以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(1，0，0)，M(1，，1)，C(0，1，0)，N(1，1，)，
∴＝(0，，1)，＝(1，0，)．
∴cos〈，〉＝
＝＝.
答案：
如图，将等腰直角三角形ABC沿中位线DE将其折成60°的二面角A－DE－B，则直线AB与平面BCDE所成角的正切值是__________．
解析：
如图，∵DE⊥平面ADC，
∴∠ADC为二面角A－DE－B的平面角，即∠ADC＝60°，
又AD＝DC，∴△ADC为正三角形．
由面ADC⊥面BCDE，过A作AF⊥DC于F，则AF⊥面BCDE，
∴∠ABF为AB与面BCDE所成角．
设AD＝1，则在Rt△AFB中，
AF＝，BF＝＝，
∴tan∠ABF＝＝＝.
答案：
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC.已知PD＝，CD＝2，AE＝.
(1)求证：DE⊥EC；
(2)求二面角E－PC－D的大小．
解：以D为原点，、、的方向分别为x，y，z轴的正方向．建立空间直角坐标系．
由已知可得D(0，0，0)，P(0，0，)，C(0，2，0)．
设A(x，0，0)(x>0)，
则有E(x，，0)，＝(x，，－)，
＝(x，－，0)．
由PE⊥CE得·＝0，即x2－＝0，故x＝.
(1)证明：∵·＝(，，0)·(，－，0)＝0，
∴DE⊥CE.
(2)作DG⊥PC于G，可设G(0，y，z)．
由·＝0得(0，y，z)·(0，2，－)＝0，
即z＝y，故可取＝(0，1，)，
作EF⊥PC于F，设F(0，m，n)，
则＝(－，m－，n)．
由·＝0得(－，m－，n)·(0，2，－)＝0，
即2m－1－n＝0.
又由F在PC上，得n＝－m＋，故m＝1，n＝，
＝(－，，)．
因为⊥，⊥，故E－PC－D的平面角为向量与的夹角．
故cosθ＝＝，所以θ＝，
即二面角E－PC－D的大小为.
(创新题)如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤2)．设二面角C－AE－D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθ·tanφ＝1，求λ的值．
解：以D为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(0，0，λa)，
∴＝(a，0，－λa)，＝(0，a，－λa)，＝(－a，－a，λa)．
设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，
则由n⊥，n⊥得，即.
取z＝，得n＝(λ，λ，)．
易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为＝(0，0，2a)与＝(0，a，0)．
∴sinφ＝＝，
cosθ＝＝.
∵0<θ，φ<，λ>0，
∴tanθ·tanφ＝1 θ＋φ＝ sinφ＝cosθ ＝ λ2＝2，由λ∈(0，2]，解得λ＝，即为所求．在空间直角坐标系O－xyz中，下列说法正确的是__________(填序号)．
①向量与点B的坐标相同；
②向量与点A的坐标相同；
③向量与向量的坐标相同；
④向量的坐标与向量－的坐标相同．
解析：在同一空间直角坐标系中，某一向量的坐标是惟一确定的，都等于终点坐标减去起点坐标．
答案：④
在空间直角坐标系O－xyz中，已知点A的坐标为(－1，2，1)，点B的坐标为(1，3，4)，则＝__________．
解析：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
答案：(2，1，3)
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为__________，的坐标为__________，的坐标为__________．
解析：∵A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C1(1，1，1)，B1(1，0，1)，∴＝(1，0，0)，＝(1，0，1)，＝(－1，1，－1)．
答案：(1，0，0) (1，0，1) (－1，1，－1)
已知向量a，b满足2a＋b＝(－1，－4，3)，a－2b＝(2，4，－5)，则a＝__________，b＝__________．
解析：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则2a＋b＝(2x1＋x2，2y1＋y2，2z1＋z2)＝(－1，－4，3)，a－2b＝(x1－2x2，y1－2y2，z1－2z2)＝(2，4，－5)，由坐标对应相等得a＝(0，－，)，b＝(－1，－，)．
答案：(0，－，) (－1，－，)
[A级 基础达标]
已知a＝(1，－2，4)，b＝(1，0，3)，c＝(0，0，2)．
则(1)a－(b＋c)＝________；(2)4a－b＋2c＝________．
解析：(1)∵b＋c＝(1，0，5)，
∴a－(b＋c)＝(1，－2，4)－(1，0，5)＝(0，－2，－1)．
(2)4a－b＋2c＝(4，－8，16)－(1，0，3)＋(0，0，4)
＝(3，－8，17)．
答案：(1)(0，－2，－1) (2)(3，－8，17)
已知A(－1，2，7)，B(－3，－10，－9)，则向量的坐标为__________．
解析：＝×(－2，－12，－16)＝(－1，－6，－8)．
答案：(－1，－6，－8)
已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若＝，则C的坐标是__________．
解析：＝＝×(－3，－2，－4)
＝(－，－，－)．
答案：(－，－，－)
若a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则x＝__________，y＝__________．
解析：a＋2b＝(1，2，－y)＋2×(x，1，2)＝(2x＋1，4，4－y)，2a－b＝2×(1，2，－y)－(x，1，2)＝(2－x，3，－2y－2)，
∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴＝＝，
∴x＝，y＝－4.
答案： －4
如果三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(a，3，b＋2)在同一条直线上，则a＝__________，b＝__________．
解析：设＝λ，由向量相等求得a＝3，b＝2.
答案：3 2
已知a＝(2，3m＋n，m－n)，b＝(1，m＋2n，m＋n＋1)．若(a＋b)∥(a－b)，求m＋n的值．
解：a＋b＝(3，4m＋3n，2m＋1)，
a－b＝(1，2m－n，－2n－1)．
∵(a＋b)∥(a－b)，
∴必存在实数λ，满足a＋b＝λ(a－b)，
即(3，4m＋3n，2m＋1)＝λ(1，2m－n，－2n－1)．
∴解得
∴m＋n＝－.
已知点O，A，B，C的坐标分别为(0，0，0)，(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)．
(1)求点D的坐标，使与＋相等；
(2)求点E的坐标，使OE＝(－)．
解：(1)设点D的坐标为(x1，y1，z1)，
则＝(x1，y1，z1)．
易知＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)．
于是＋＝(－2，9，－2)．
已知与＋相等，
所以＝＋＝(－2，9，－2)．
则x1＝－2，y1＝9，z1＝－2，
即点D的坐标为(－2，9，－2)．
(2)设点E的坐标为(x2，y2，z2)，则＝(x2，y2，z2)．
由，的坐标，得(－)＝(3，，－2)，
所以x2＝3，y2＝，z2＝－2，
即点E的坐标为(3，，－2)．
[B级 能力提升]
在空间直角坐标系O xyz中，已知A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则与线段AB平行的坐标平面是__________．
解析：＝(0，5，－3)，∴∥平面yOz.
答案：yOz
已知向量a＝(1，2，3)，b＝(x，x2＋y－2，y)并且a，b同向，则x，y的值分别为________．
解析：由已知得a∥b，
∴＝＝，
∴，
把①代入②得：x2＋x－2＝0，
解之得：x＝－2或x＝1，
当x＝－2时，y＝－6，当x＝1时y＝3.
当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，此时a，b反向，不合题意舍去．
当时，b＝(1，2，3)＝a，此时a，b同向．
∴x＝1，y＝3.
答案：1，3
已知A(－2，0，6)、B(3，1，12)、C(0，－3，7)、D(5，－2，13)，求证：A、B、C、D四点共面．
证明：＝(5，1，6)，＝(2，－3，1)，＝(7，－2，7)．
易得与不共线，假设存在一组有序实数(x，y)使＝x＋y，
则(7，－2，7)＝x(5，1，6)＋y(2，－3，1)．
∴
∴x＝1，y＝1.
∴、、共面．
∴A、B、C、D四点共面．
(创新题)如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，E为D1C1的中点，AC1与BE交于点M，求点M的坐标．解：设M(x，y，z)，由题图可知：
A(a，0，0)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)，
D1(0，0，a)，∴E(0，，a)，
则＝(－a，a，a)，＝(－a，－，a)，
＝(x－a，y，z)，＝(x－a，y－a，z)．
∵A、M、C1三点共线，B、M、E三点共线，
∴∥，∥，
∴＝＝，且＝＝，
解得x＝，y＝，z＝，
∴点M的坐标为(，，)．有以下命题：①O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；②已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，则向量{a＋b，a－b，a＋c}也是空间的一个基底，其中正确的命题是________．(填序号)
解析：用反证法容易证明①②正确．
答案：①②
若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则下列名组中不能构成空间一个基底的是________．(填序号)
①a，2b，3c；②a＋2b，2b＋3c，3a－9c；③a＋b＋c，b，c.
解析：在②中3a－9c＝3(a＋2b)－3(2b＋3c)，由共面定理知，此三个向量共面．
答案：②
下列命题中的真命题是__________．(填序号)
①空间中的任何一个向量都可用a、b、c表示；
②空间中的任何一个向量都可用基向量a、b、c表示；
③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示；
④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示．
解析：共面向量定理指出，平面内任一向量都可以用平面内不共线的两个向量线性表示，而命题④中缺少“不共线”这一重要条件，故为假命题．
空间向量基本定理告诉我们空间中任一向量都可用不共面的三个向量线性表示．①中没有强调“不共面”，故为假命题．②③两命题为真命题．
答案：②③
已知平行六面体OABC－O′A′B′C′中，＝a，＝b，＝c，D是四边形OABC的中心，则可用a，b，c表示＝__________.
解析：
结合图形，充分利用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则，利用基向量a、b、c表示.仔细观察会发现与、是共面向量，故它们三者之间具有线性关系，即可得到答案．
答案：a＋c
[A级 基础达标]
在以下3个命题中，真命题的个数是________．
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
解析：命题①，②是真命题，命题③是假命题．
答案：2
在空间中，把△ABC平移到△A′B′C′，连结对应顶点及BC′，设＝a，＝b，＝c，M是BC′的中点，则＝________．
解析：取B′C′中点记为N，连结MN，A′N，则＝＋＋＝a＋(＋)＋＝a＋(b＋c)－a＝(a＋b＋c)．
答案：(a＋b＋c)
已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________．
解析：＝＝(＋＋)．
答案：
从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则用基底{a，b，c}表示向量，得＝________．
解析：＝＋＝＋＋
＝＋＋(＋)
＝a－a＋(b＋c)＝－a＋(b＋c)．
答案：－a＋(b＋c)
已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，E是底面A′B′C′D′的中心，a＝，b＝，c＝，＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为__________．
解析：由题意知，，为不共面向量，
而＝＋＝＋(＋)
＝＋＋＝2a＋b＋c，
∴x＝2，y＝1，z＝.
答案：2，1，
如图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点G在对角线A′C上且CG：GA′＝2∶1，设＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量、、、.
解：＝＋＝a＋b；
＝＋＝a＋b＋c；
＝＋＝＋＝a＋b＋c；
＝＝(a＋b＋c)．
已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，＝i，＝j，＝k，试用基底{i，j，k}表示、、.
解：
如图所示，设E为CD中点，则
①＝＝×(＋)
＝(i＋j－k＋j－k)
＝i＋j－k.
②＝＋＝k－i＋i＋j－k
＝－i＋j＋k.
③＝＋＝i＋(－i＋j＋k)
＝i＋j＋k.
[B级 能力提升]
如图所示，M、N分别是四面体O－ABC的棱OA、BC的中点，2MQ＝QN，用向量、、表示，则＝________．
解析：＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋(－)
＝＋×(＋)＝＋＋.
答案：＋＋
已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝α a＋β b＋γ c，则α、β、γ分别为__________．
解析：由题意，a、b、c为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对{α，β，γ}，使d＝α a＋β b＋γ c.
∴d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)
＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.
又∵d＝e1＋2e2＋3e3，
∴
答案：、－1、－
如图所示，平行六面体OABC－O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示如下向量：
(1)、、；
(2)(G、H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心)．
解：(1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c；
＝＋＝＋＋
＝－c＋a＋b＝a＋b－c；
＝＋＝＋＋
＝＋－＝b＋c－a.
(2)＝＋＝－＋
＝－(＋)＋(＋)
＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)
＝(c－b)．
(创新题)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc求实数x，y，z.
解：(1)＝＋
＝－＋－
＝a－b－c.
＝＋
＝＋
＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．
(2)＝(＋)＝(－＋－)
＝(－＋－＋)＝a－b－c，
