四川眉山市仁寿县2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版含答案）

仁寿县2021-2022学年高二下学期期中考试
数学试题（理）
选择题（下列每题有四个选项，每个小题只有一个选项是正确的，请选出正确答案。12个小题，每题5分，共60分）
1．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则m＝1是z1＝z2的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．设a是实数，且＋是实数，则a等于(　　)
A. B．1 C. D．2
3．从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为( )
(A)24 (B)18 (C)12 (D)6
4． 设在x＝x0处可导，且，则
A．1 B．0 C．3 D．
5．若椭圆＋y2＝1上一点A到焦点F1的距离为2，B为AF1的中点，O是坐标原点，则|OB|的值为( )．
A．1 　 B．2 　 　C．3 　　　 D．4
6．函数y=f(x)在其定义域内可导，y＝f(x)的图象如右图所示，则导函数y＝f′(x)的图象为(　　)
7．设A，B是两个非空集合，定义，若，则P*Q中元素的个数是（　　）
Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16
8．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝处有极值，则ac＋2b的值为(　　)
A．－3 B．0 C．1 D．3
9．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　　)
A. B. C.或 D.或7
10.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)
A．2　　　　 B．3　　　　 C.　　　 D.
11. 若函数上不是单调函数，则实数k的取值范围（ ）
A． B．
C． D．不存在这样的实数k
12.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
二、填空题（4个小题，每题5分，共20分）
13．已知＝2＋i，则复数z等于________________.
14.若直线与双曲线始终只有一个公共点，则取值范围是 。
15．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2＋2x＋5，则f′(2)＝________
16．设f(x)＝x3＋x2＋2bx＋c，当x∈(0,1)时取得极大值，当x∈(1,2)时取得极小值，
则b－2－1的取值范围为____________。
三、解答题（6个大题，共70分。解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤.）
17．(10 分) 现由某校高二年级四个班学生34人，其中一、二、三、四班分别为7人、8
人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？
（3）推选二人做中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
18．(12分) 设函数．
（1）求函数的单调区间.
（2）若方程有且仅有三个实根，求实数的取值范围.
19．(12分) 已知双曲线的两个焦点为、点在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程.
20．(12分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax(a∈R)．
(1)当a＝1时，求证：f(x)为R上的单调递增函数；
(2)当x∈[1,3]时，若f(x)的最小值为4，求实数a的值．
21.（12分）已知椭圆C:的焦点是、，且由椭圆上顶点、右焦点和原点组成的三角形面积为。
（1）求椭圆C的方程；（4分）
（2）设,、是椭圆C上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆C于另一点E,证明：直线与轴相交于定点。（8分）
22. （本题满分14分）已知函数.
(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
(Ⅱ)求的单调区间；
(Ⅲ)设g（x）=x2-2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．
答案
1A；2B；3B；4D；5B；6D；7C；8A；9C；10A；11B；12D
13．1-3i；14.{ }；15. 2；16.( 1,6)
17．
18． （1）增区间（-∞,1）和（2，+∞），减区间为（1，2）
（2）得,
19． 解：(Ⅰ)由已知及点在双曲线上得
解得
所以，双曲线的方程为.
(Ⅱ)由题意直线的斜率存在，故设直线的方程为
由 得
设直线与双曲线交于、，则、是上方程的两不等实根，
且即且 ①
这时 ，
又
即
所以 即
又 适合①式
所以，直线的方程为与.
20. 解　(1)证明：当a＝1时，f(x)＝2x3－6x2＋6x，则f′(x)＝6x2－12x＋6＝6(x－1)2≥0，
∴f(x)为R上的单调增函数．
(2)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．
①当a≤1时，f(x)在区间[1,3]上是单调增函数，此时在[1,3]上的最小值为f(1)＝3a－1，
∴3a－1＝4，∴a＝>1(舍去)；
②当1③当a≥3时，f(x)在区间(1，a)上是减函数，故f(3)为最小值，
∴54－27(a＋1)＋18a＝4，
解得a＝<3(舍去)．
综上可知，a＝2.
21.解：（1）设椭圆：的上顶点、右顶点和原点分别为，半焦距为， ，
所以所求椭圆的方程为 4分
（2）设、、,直线的方程为，则
由 得： 6分
7分 8分
11分
所以直线与轴相交于定点 12分
22. 【解析】
（Ⅰ），解得. 4分
（Ⅱ）.
①当时，
在区间上，；在区间上，
故的单调递增区间是，
单调递减区间是.
②当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，
单调递减区间是.
③当时，， 故的单调递增区间是.
④当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.9分
（Ⅲ）由已知，在上有
由已知，，由（Ⅱ）可知，
①当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，
故.
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故.
由可知，，，
所以，，，
综上所述，. 14分