浙江省杭州市萧山区2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试卷
1．（2022九下·萧山开学考）抛物线 的顶点坐标是（ ）
A．(2，-3) B．(-2，3) C．(2，3) D．(-2，-3)
2．（2022九下·萧山开学考）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
3．（2022九下·萧山开学考）九年级(1)班在参加学校4×100m接力赛时，安排了甲、乙、丙、丁四位同学，他们的顺序由抽签随机决定，则甲同学跑第一棒的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2022九下·萧山开学考）若线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP，则AP的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九下·萧山开学考）如图， 是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC= ，则∠CDB=（ ）
A．54° B．64° C．27° D．37°
6．（2022九下·萧山开学考）若A(-6， )，B(-3， )，C(1， )为二次函数 图象上的三点，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九下·萧山开学考）在 中，∠C= ，AB=4， ，则 的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
8．（2022九下·萧山开学考）如图，ΔABC的中线AD，BE交于点F，EG∥BC，交AD于点G，则 等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：5
9．（2022九下·萧山开学考）已知二次函数 (其中 )，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，都有 随着 的增大而增大
B．当 时，都有 随着 的增大而减小
C．若 时，都有 随着 的增大而减小，则
D．若 时，都有 随着 的增大而减小，则
10．（2022九下·萧山开学考）如图，半圆O的直径AB=10，弦AC=6，D是 的中点，则弦AD的长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
11．（2022九下·萧山开学考）计算tan45°＝ .
12．（2022九下·萧山开学考）在一个不透明的袋中装有只有颜色不同的10个球，其中6个红色，4个白色，从袋中任意摸出一个球是红球的概率是 ．
13．（2022九下·萧山开学考）已知二次函数 ，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
则当y＜5时，x的取值范围是 .
x … -1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
14．（2022九下·萧山开学考）如图，在 中，E是AD边上一点，AE：ED=1：2，连结AC，BE交于点F.若 ，则 = .
15．（2022九下·萧山开学考）已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB＝3，AB＝8，则OP长为 .
16．（2022九下·萧山开学考）如图，△ABC内接于半径为 的半圆O中，AB为直径，点M是 的中点，连结BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，∠ADB=135°且D为BM的中点，则DM的长为 ；BC的长为 .
17．（2022九下·萧山开学考）一只不透明的袋子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外都相同。小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球。
（1）用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况；
（2）求出两次摸出的球都是红色的概率.
18．（2022九下·萧山开学考）二次函数 的图象经过点(4，3)和(3，0)
（1）求b，c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.
19．（2022九下·萧山开学考）如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，且C为 的中点。若EC=2，tan∠CEB=2.
（1）求证：ΔABE∽ΔDCE，并求出BE的长；
（2）求⊙O的面积.
20．（2022九下·萧山开学考）某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°
（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；
（2）求DB的长度(结果保留根号）.
21．（2022九下·萧山开学考）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF= DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
22．（2022九下·萧山开学考）已知，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为A，点B的坐标为（3 ， 5）.
（1）求抛物线过点B时顶点A的坐标；
（2）点A的坐标记为（ ， ），求 关于 的函数表达式；
（3）已知C点的坐标为（0， 2），当m取何值时，抛物线 与线段BC只有一个交点.
23．（2022九下·萧山开学考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是 上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD ，GD ， GC.
（1）求证：∠ADG=∠F；
（2）已知AE=CD， BE=2.
①求⊙O的半径长；
②若点G是AF的中点，求△CDG与△ADG的面积之比.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为（2，-3）.
故答案为：A.
【分析】二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），即可得到已知函数的顶点坐标.
2．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴4＜5即d＜r
∴点A在圆内.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可知d＜r，即可得到点A与圆O的位置关系.
3．【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵安排了甲、乙、丙、丁四位同学，他们的顺序由抽签随机决定，
∴一共有4种结果数，甲同学跑第一棒的情况只有1种情况，
∴P（甲同学跑第一棒）=.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件可知一共有4种结果数，甲同学跑第一棒的情况只有1种情况；再利用概率公式可求解.
4．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP ，
∴
∴.
故答案为：B.
【分析】 利用黄金分割点，结合已知条件可知，将AB代入可求出BP的长，然后根据AP=AB-BP，可求出AP的长.
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BOC=180°-∠AOC
∴∠BOC=180°-126°=54°，
∵弧BC=弧BC，
∴∠CDB=∠BOC=54°.
故答案为：C.
【分析】利用邻补角的定义求出∠BOC的度数；再利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠CDB的度数.
6．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=2x2-1，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=0，
∵点C（1，y3）关于y轴对称的点的坐标为（-1，y3）
∵当x＜0时，y随x的增大而减小，-1＞-3＞-6
∴y3＜y2＜y1.
故答案为：A.
【分析】利用二次函数的解析式可知物线的开口向上，对称轴为直线x=0；利用二次函数的对称性可知点C（1，y3）关于y轴对称的点的坐标为（-1，y3），当x＜0时，y随x的增大而减小，由此可得到y3、y2、y1的大小关系.
7．【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
，
∴∠A=60°，
∴即
解之：.
故答案为：D.
【分析】利用锐角三角函数的定义可求出∠A的度数，再利用解直角三角形求出BC的长.
8．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD，BE是中线，
∴AE=EC，BD=CD
∵EG∥BC，
∴，
∴，AG=DG
∴DF=2GF，
∴DG=AG=GF+DF=3GF
∴.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的中线的定义可证得AE=EC，BD=CD，再利用平行线分线段成比例定理可推出AG=DG，DF=2GF，由此可得到AGF=3GF，即可求出GF与AG的比值.
9．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：当y=0时 ，
解之：，
抛物线的对称轴为直线；
∵m＞0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴若x＜n，都有y随x的增大而减小，.
故答案为：D.
【分析】由y=0可求出对应的x的值，再利用二次函数的对称性，可得到抛物线的对称轴；再利用二次函数的性质可知m＞0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，若x＜n，都有y随x的增大而减小，即可得到正确结论的选项.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠AFO＝∠DEO＝90°，
∵D是弧BC的中点，
∴弧DC=弧BD
∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，
在△AOF和△ODE中
∴△AOF≌△ODE（AAS），
∴OE＝AF＝AC＝3，
∴AE=AO+OE=5+3=8；
在Rt△DOE中，
，
在Rt△ADE中，
.
故答案为：D.
【分析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，利用垂直的定义可证得∠AFO＝∠DEO＝90°，利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD；再利用AAS证明△AOF≌△ODE，利用全等三角形的性质和垂径定理可求出OE的长；在Rt△DOE中，利用勾股定理求出DE的长；在Rt△ADE中，利用勾股定理求出AD的长.
11．【答案】1
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：tan45°＝1.
【分析】特殊三角函数值即可得出结果.
12．【答案】0.6
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵一共有10个球，红球6个
∴ 从袋中任意摸出一个球是红球的概率为：=0.6
故答案为：0.6
【分析】由题意可知一共有10个球，红球6个，利用概率公式可求解。
13．【答案】0【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=（1+3）=2，
∵当x=0和x=4时y的对应值为y=5，
∴当y＜5时x的取值范围为0故答案为：0【分析】利用二次函数的对称性，利用表中x，y的对应值可求出抛物线的对称轴，同时可观察得到当x=0和x=4时y的对应值为y=5，即可求出当y＜5时的x的取值范围.
14．【答案】11
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AE：ED=1：2，
∴AE：AD=1：3
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△AEF∽△BFC，
∴，
∴
∴S△BFC=9；
∴S△ABE=4S△AEF=4，S△AFB=3
∴S△ABC=S△ACD=S△AFB+S△BFC=3+9=12；
∴S四边形CDEF=S△ACD-S△AEF=12-1=11.
故答案为：11.
【分析】 利用已知条件可求出AE：AD=1：3，利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，AD=BC，由此可推出△AEF∽△BFC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△BFC的面积；同时可得到EF与BF的比值，即可求出△ABF的面积；从而可求出△ACD的面积，然后根据S四边形CDEF=S△ACD-S△AEF，代入计算求出四边形CDEF的面积.
15．【答案】 或
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，作OM⊥AB于M，
∵AB＝8，
∴BM＝ AB＝ ×8＝4，
∵PB＝3，
∴PM＝1，P′M＝7，
在直角△OBM中，OM＝ ＝3，
在Rt△OPM中，OP＝ ＝ ，
在Rt△OMP′中，OP′＝ ＝ ，
∴OP＝ 或OP＝ .
故答案为： 或 .
【分析】作OM⊥AB于M，由垂径定理可得BM＝AB＝4，结合PB的值可得PM＝1，P′M＝7，然后分别在Rt△OBM、Rt△OPM、Rt△OMP′中，应用勾股定理求解即可.
16．【答案】2；
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接AM，
∵AB是圆O的直径，
∴∠M＝∠C＝90°，
∵∠ADB＝135°，
∴∠ADM＝180° ∠ADB＝45°，
∴∠MAD＝90° ∠ADM＝45°=∠ADM，
∴AM＝MD，
∵点D是BM的中点，
∴MD＝BD，
设AM＝x，则BM＝2x，
∵AM2＋BM2＝AB2，
∴x2＋（2x）2＝（2）2，
∴x＝2，
∴AM＝DM＝2，
∵点M是弧AC 的中点，
∴弧AM=弧MC，
∴∠CBM＝∠ABM，
∴，
∵弧CM=弧CM
∴∠MAC＝∠CBM，
∴
∴EM＝AM＝1，
∴BE＝BM EM＝4 1＝3，
∵CE2＋BC2＝BE2，
∴CE2＋（2CE）2＝32，
∴解之：
∴.
故答案为：2，.
【分析】连接AM，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠M＝∠C＝90°，再证明∠MAD=∠ADM，利用等角对等边，可证得AM＝MD，利用线段中点的定义可证得MD=BD，设AM＝x，则BM＝2x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AM，DM的长；利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠CBM＝∠ABM，利用解直角三角形求出EM，根据BE＝BM EM，代入计算求出BE的长，利用勾股定理求出CE的长，即可求出BC的长.
17．【答案】（1）解：画树状图如答图，
（2）解：共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有1种，
∴P（两次摸出的球都是红色）=
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知此事件是抽取放回，列出树状图，可得到所有的可能的结果数.
（2）由树状图可知共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有1种，由此可求出其概率.
18．【答案】（1）解：∵ 二次函数 的图象经过点(4，3)和(3，0)
∴
解之：
∴b=-4，c=3.
（2）解：二次函数的解析式为y=x2-4x+3=(x-2)2-1.
∴二次函数的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线x=2.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【分析】（1）将已知点的坐标代入函数解析式，建立关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值.
（2）由（1）可得函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，利用顶点式可得到此函数的顶点坐标及对称轴.
19．【答案】（1）证明：∵∠A和∠D 都对
∴∠A=∠D
又∵∠CED=∠BEA
∴ΔABE∽ΔDCE
连接BC，
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵EC=2，tan∠CEB=2
∴BC=EC×tan∠CEB=4
在 中，由勾股定理得
∴BE= =
（2）解：∵C为 的中点
∴ =
∴DC=BC=4
∵ΔABE∽ΔDCE
∴ ，即
∴AB=
∴S⊙O=( )2π = 20π
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠A=∠D，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABE∽△DCE；连接BC，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，再利用直角三角形求出BC的长；然后利用勾股定理求出BE的长.
（2）利用等弧所对的弦相等，可求出DC的长；再利用相似三角形的对应边相等，可得比例式，代入计算求出AB的长；然后求出圆O的面积.
20．【答案】（1）解：∵AB=2m，∠ABC=45°，
∴AC=BC==AB·sin45°= =
（2）解：∵∠ADC=30°
∴ CD= = =
∴BD=CD-BC=
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AC的长.
（2）在Rt△ADC中，利用解直角三角形求出CD的长；然后根据BD=CD-BC，可求出BD的长.
21．【答案】（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴ ，
∵DF= DC，
∴ ，
∴ ，
∴△ABE∽△DEF
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴ ，
又∵DF= DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得 ，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
22．【答案】（1）解：∵抛物线 过点
∴
整理得
解得
当 时，
顶点 的坐标为
当 时，
顶点 的坐标为
综上所述， 顶点 的坐标为 或
（2）解：∵
∴
顶点 的坐标为
∵点 的坐标为记为
∴
∴
所以 与 的表达式为
（3）解：如图
由(2)可知，抛物线的顶点在直线g = 2a-1上运动，且形状不变
由(1)可知当m = 1或m = 3时，抛物线过点B(3，5)把C(0，2)代入y = x2- 2mx +m2+2m-1得m2+ 2m-1 = 2
解得m1= 1或m2= -3
所以当m = 1或m = -3时抛物线过点C(0，2)
如图所示，当m = 3或m =-3时抛物线与线段BC只有一个交点(即线段BC的端点)
当m = 1时，抛物线同时过点B，C，所以m= 1不合题意
所以当抛物线与线段BC只有一个交点时m的取值范围是：-3≤m≤3且m≠1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入函数解析式，建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到函数解析式；分别将m=1和m=3代入函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，分别可得到顶点A的坐标.、
（2）将已知函数解析式转化为顶点式，可得到顶点A的坐标，再根据顶点A的坐标记为（x，y），由此可得到y与x之间的函数解析式.
（3）由(2)可知，抛物线的顶点在直线g = 2a-1上运动，且形状不变；由(1)可知当m = 1或m = 3时抛物线过点C(0，2)，画出图象，可得到当m = 3或m =-3时抛物线与线段BC只有一个交点(即线段BC的端点)，当m=1时不符合题意；由此可得到当抛物线与线段BC只有一个交点时m的取值范围.
23．【答案】（1）证明： 连接
∵ 是 的直径，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
（2）解：①∵ ，
∴ ，
连接OD，设⊙O的半径为r，则OE=r-2，AE=2r-2，
∴DE=r-1，
∴(r-2)2+(r-1)2=r2，
解得r=5(r=1舍去)，即⊙O的半径长为5.
②由①得
∴
∴
∴
∴
∵点 是A F的中点，∴ ，
∴
∴
∴
∵点 是AF的中点，
∴
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接BG，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠AGB=90°，利用垂直的定义和余角的性质可知∠B=∠F，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠B=∠ADG，由此可证得结论.
（2）①利用垂径定理可证得DE=CD=AE，连接OD，设⊙O的半径为r，可表示出OE，AE的长，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值；②利用含r的代数式表示出CD，DE的长，利用勾股定理求出AD的长；再证明△ADG∽△AFD，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式；再求出AF，AG的长，利用勾股定理求出EF的长，即可得到DF的长；然后求出△CDG和△ADG的面积之比.
1 / 1浙江省杭州市萧山区2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试卷
1．（2022九下·萧山开学考）抛物线 的顶点坐标是（ ）
A．(2，-3) B．(-2，3) C．(2，3) D．(-2，-3)
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为（2，-3）.
故答案为：A.
【分析】二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），即可得到已知函数的顶点坐标.
2．（2022九下·萧山开学考）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴4＜5即d＜r
∴点A在圆内.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可知d＜r，即可得到点A与圆O的位置关系.
3．（2022九下·萧山开学考）九年级(1)班在参加学校4×100m接力赛时，安排了甲、乙、丙、丁四位同学，他们的顺序由抽签随机决定，则甲同学跑第一棒的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵安排了甲、乙、丙、丁四位同学，他们的顺序由抽签随机决定，
∴一共有4种结果数，甲同学跑第一棒的情况只有1种情况，
∴P（甲同学跑第一棒）=.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件可知一共有4种结果数，甲同学跑第一棒的情况只有1种情况；再利用概率公式可求解.
4．（2022九下·萧山开学考）若线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP，则AP的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP ，
∴
∴.
故答案为：B.
【分析】 利用黄金分割点，结合已知条件可知，将AB代入可求出BP的长，然后根据AP=AB-BP，可求出AP的长.
5．（2022九下·萧山开学考）如图， 是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC= ，则∠CDB=（ ）
A．54° B．64° C．27° D．37°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BOC=180°-∠AOC
∴∠BOC=180°-126°=54°，
∵弧BC=弧BC，
∴∠CDB=∠BOC=54°.
故答案为：C.
【分析】利用邻补角的定义求出∠BOC的度数；再利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠CDB的度数.
6．（2022九下·萧山开学考）若A(-6， )，B(-3， )，C(1， )为二次函数 图象上的三点，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=2x2-1，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=0，
∵点C（1，y3）关于y轴对称的点的坐标为（-1，y3）
∵当x＜0时，y随x的增大而减小，-1＞-3＞-6
∴y3＜y2＜y1.
故答案为：A.
【分析】利用二次函数的解析式可知物线的开口向上，对称轴为直线x=0；利用二次函数的对称性可知点C（1，y3）关于y轴对称的点的坐标为（-1，y3），当x＜0时，y随x的增大而减小，由此可得到y3、y2、y1的大小关系.
7．（2022九下·萧山开学考）在 中，∠C= ，AB=4， ，则 的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
，
∴∠A=60°，
∴即
解之：.
故答案为：D.
【分析】利用锐角三角函数的定义可求出∠A的度数，再利用解直角三角形求出BC的长.
8．（2022九下·萧山开学考）如图，ΔABC的中线AD，BE交于点F，EG∥BC，交AD于点G，则 等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：5
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD，BE是中线，
∴AE=EC，BD=CD
∵EG∥BC，
∴，
∴，AG=DG
∴DF=2GF，
∴DG=AG=GF+DF=3GF
∴.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的中线的定义可证得AE=EC，BD=CD，再利用平行线分线段成比例定理可推出AG=DG，DF=2GF，由此可得到AGF=3GF，即可求出GF与AG的比值.
9．（2022九下·萧山开学考）已知二次函数 (其中 )，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，都有 随着 的增大而增大
B．当 时，都有 随着 的增大而减小
C．若 时，都有 随着 的增大而减小，则
D．若 时，都有 随着 的增大而减小，则
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：当y=0时 ，
解之：，
抛物线的对称轴为直线；
∵m＞0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴若x＜n，都有y随x的增大而减小，.
故答案为：D.
【分析】由y=0可求出对应的x的值，再利用二次函数的对称性，可得到抛物线的对称轴；再利用二次函数的性质可知m＞0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，若x＜n，都有y随x的增大而减小，即可得到正确结论的选项.
10．（2022九下·萧山开学考）如图，半圆O的直径AB=10，弦AC=6，D是 的中点，则弦AD的长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠AFO＝∠DEO＝90°，
∵D是弧BC的中点，
∴弧DC=弧BD
∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，
在△AOF和△ODE中
∴△AOF≌△ODE（AAS），
∴OE＝AF＝AC＝3，
∴AE=AO+OE=5+3=8；
在Rt△DOE中，
，
在Rt△ADE中，
.
故答案为：D.
【分析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，利用垂直的定义可证得∠AFO＝∠DEO＝90°，利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD；再利用AAS证明△AOF≌△ODE，利用全等三角形的性质和垂径定理可求出OE的长；在Rt△DOE中，利用勾股定理求出DE的长；在Rt△ADE中，利用勾股定理求出AD的长.
11．（2022九下·萧山开学考）计算tan45°＝ .
【答案】1
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：tan45°＝1.
【分析】特殊三角函数值即可得出结果.
12．（2022九下·萧山开学考）在一个不透明的袋中装有只有颜色不同的10个球，其中6个红色，4个白色，从袋中任意摸出一个球是红球的概率是 ．
【答案】0.6
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵一共有10个球，红球6个
∴ 从袋中任意摸出一个球是红球的概率为：=0.6
故答案为：0.6
【分析】由题意可知一共有10个球，红球6个，利用概率公式可求解。
13．（2022九下·萧山开学考）已知二次函数 ，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
则当y＜5时，x的取值范围是 .
x … -1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
【答案】0【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=（1+3）=2，
∵当x=0和x=4时y的对应值为y=5，
∴当y＜5时x的取值范围为0故答案为：0【分析】利用二次函数的对称性，利用表中x，y的对应值可求出抛物线的对称轴，同时可观察得到当x=0和x=4时y的对应值为y=5，即可求出当y＜5时的x的取值范围.
14．（2022九下·萧山开学考）如图，在 中，E是AD边上一点，AE：ED=1：2，连结AC，BE交于点F.若 ，则 = .
【答案】11
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AE：ED=1：2，
∴AE：AD=1：3
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△AEF∽△BFC，
∴，
∴
∴S△BFC=9；
∴S△ABE=4S△AEF=4，S△AFB=3
∴S△ABC=S△ACD=S△AFB+S△BFC=3+9=12；
∴S四边形CDEF=S△ACD-S△AEF=12-1=11.
故答案为：11.
【分析】 利用已知条件可求出AE：AD=1：3，利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，AD=BC，由此可推出△AEF∽△BFC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△BFC的面积；同时可得到EF与BF的比值，即可求出△ABF的面积；从而可求出△ACD的面积，然后根据S四边形CDEF=S△ACD-S△AEF，代入计算求出四边形CDEF的面积.
15．（2022九下·萧山开学考）已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB＝3，AB＝8，则OP长为 .
【答案】 或
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，作OM⊥AB于M，
∵AB＝8，
∴BM＝ AB＝ ×8＝4，
∵PB＝3，
∴PM＝1，P′M＝7，
在直角△OBM中，OM＝ ＝3，
在Rt△OPM中，OP＝ ＝ ，
在Rt△OMP′中，OP′＝ ＝ ，
∴OP＝ 或OP＝ .
故答案为： 或 .
【分析】作OM⊥AB于M，由垂径定理可得BM＝AB＝4，结合PB的值可得PM＝1，P′M＝7，然后分别在Rt△OBM、Rt△OPM、Rt△OMP′中，应用勾股定理求解即可.
16．（2022九下·萧山开学考）如图，△ABC内接于半径为 的半圆O中，AB为直径，点M是 的中点，连结BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，∠ADB=135°且D为BM的中点，则DM的长为 ；BC的长为 .
【答案】2；
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接AM，
∵AB是圆O的直径，
∴∠M＝∠C＝90°，
∵∠ADB＝135°，
∴∠ADM＝180° ∠ADB＝45°，
∴∠MAD＝90° ∠ADM＝45°=∠ADM，
∴AM＝MD，
∵点D是BM的中点，
∴MD＝BD，
设AM＝x，则BM＝2x，
∵AM2＋BM2＝AB2，
∴x2＋（2x）2＝（2）2，
∴x＝2，
∴AM＝DM＝2，
∵点M是弧AC 的中点，
∴弧AM=弧MC，
∴∠CBM＝∠ABM，
∴，
∵弧CM=弧CM
∴∠MAC＝∠CBM，
∴
∴EM＝AM＝1，
∴BE＝BM EM＝4 1＝3，
∵CE2＋BC2＝BE2，
∴CE2＋（2CE）2＝32，
∴解之：
∴.
故答案为：2，.
【分析】连接AM，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠M＝∠C＝90°，再证明∠MAD=∠ADM，利用等角对等边，可证得AM＝MD，利用线段中点的定义可证得MD=BD，设AM＝x，则BM＝2x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AM，DM的长；利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠CBM＝∠ABM，利用解直角三角形求出EM，根据BE＝BM EM，代入计算求出BE的长，利用勾股定理求出CE的长，即可求出BC的长.
17．（2022九下·萧山开学考）一只不透明的袋子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外都相同。小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球。
（1）用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况；
（2）求出两次摸出的球都是红色的概率.
【答案】（1）解：画树状图如答图，
（2）解：共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有1种，
∴P（两次摸出的球都是红色）=
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知此事件是抽取放回，列出树状图，可得到所有的可能的结果数.
（2）由树状图可知共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有1种，由此可求出其概率.
18．（2022九下·萧山开学考）二次函数 的图象经过点(4，3)和(3，0)
（1）求b，c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.
【答案】（1）解：∵ 二次函数 的图象经过点(4，3)和(3，0)
∴
解之：
∴b=-4，c=3.
（2）解：二次函数的解析式为y=x2-4x+3=(x-2)2-1.
∴二次函数的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线x=2.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【分析】（1）将已知点的坐标代入函数解析式，建立关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值.
（2）由（1）可得函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，利用顶点式可得到此函数的顶点坐标及对称轴.
19．（2022九下·萧山开学考）如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，且C为 的中点。若EC=2，tan∠CEB=2.
（1）求证：ΔABE∽ΔDCE，并求出BE的长；
（2）求⊙O的面积.
【答案】（1）证明：∵∠A和∠D 都对
∴∠A=∠D
又∵∠CED=∠BEA
∴ΔABE∽ΔDCE
连接BC，
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵EC=2，tan∠CEB=2
∴BC=EC×tan∠CEB=4
在 中，由勾股定理得
∴BE= =
（2）解：∵C为 的中点
∴ =
∴DC=BC=4
∵ΔABE∽ΔDCE
∴ ，即
∴AB=
∴S⊙O=( )2π = 20π
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠A=∠D，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABE∽△DCE；连接BC，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，再利用直角三角形求出BC的长；然后利用勾股定理求出BE的长.
（2）利用等弧所对的弦相等，可求出DC的长；再利用相似三角形的对应边相等，可得比例式，代入计算求出AB的长；然后求出圆O的面积.
20．（2022九下·萧山开学考）某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°
（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；
（2）求DB的长度(结果保留根号）.
【答案】（1）解：∵AB=2m，∠ABC=45°，
∴AC=BC==AB·sin45°= =
（2）解：∵∠ADC=30°
∴ CD= = =
∴BD=CD-BC=
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AC的长.
（2）在Rt△ADC中，利用解直角三角形求出CD的长；然后根据BD=CD-BC，可求出BD的长.
21．（2022九下·萧山开学考）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF= DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
【答案】（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴ ，
∵DF= DC，
∴ ，
∴ ，
∴△ABE∽△DEF
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴ ，
又∵DF= DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得 ，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
22．（2022九下·萧山开学考）已知，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为A，点B的坐标为（3 ， 5）.
（1）求抛物线过点B时顶点A的坐标；
（2）点A的坐标记为（ ， ），求 关于 的函数表达式；
（3）已知C点的坐标为（0， 2），当m取何值时，抛物线 与线段BC只有一个交点.
【答案】（1）解：∵抛物线 过点
∴
整理得
解得
当 时，
顶点 的坐标为
当 时，
顶点 的坐标为
综上所述， 顶点 的坐标为 或
（2）解：∵
∴
顶点 的坐标为
∵点 的坐标为记为
∴
∴
所以 与 的表达式为
（3）解：如图
由(2)可知，抛物线的顶点在直线g = 2a-1上运动，且形状不变
由(1)可知当m = 1或m = 3时，抛物线过点B(3，5)把C(0，2)代入y = x2- 2mx +m2+2m-1得m2+ 2m-1 = 2
解得m1= 1或m2= -3
所以当m = 1或m = -3时抛物线过点C(0，2)
如图所示，当m = 3或m =-3时抛物线与线段BC只有一个交点(即线段BC的端点)
当m = 1时，抛物线同时过点B，C，所以m= 1不合题意
所以当抛物线与线段BC只有一个交点时m的取值范围是：-3≤m≤3且m≠1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入函数解析式，建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到函数解析式；分别将m=1和m=3代入函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，分别可得到顶点A的坐标.、
（2）将已知函数解析式转化为顶点式，可得到顶点A的坐标，再根据顶点A的坐标记为（x，y），由此可得到y与x之间的函数解析式.
（3）由(2)可知，抛物线的顶点在直线g = 2a-1上运动，且形状不变；由(1)可知当m = 1或m = 3时抛物线过点C(0，2)，画出图象，可得到当m = 3或m =-3时抛物线与线段BC只有一个交点(即线段BC的端点)，当m=1时不符合题意；由此可得到当抛物线与线段BC只有一个交点时m的取值范围.
23．（2022九下·萧山开学考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是 上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD ，GD ， GC.
（1）求证：∠ADG=∠F；
（2）已知AE=CD， BE=2.
①求⊙O的半径长；
②若点G是AF的中点，求△CDG与△ADG的面积之比.
【答案】（1）证明： 连接
∵ 是 的直径，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
（2）解：①∵ ，
∴ ，
连接OD，设⊙O的半径为r，则OE=r-2，AE=2r-2，
∴DE=r-1，
∴(r-2)2+(r-1)2=r2，
解得r=5(r=1舍去)，即⊙O的半径长为5.
②由①得
∴
∴
∴
∴
∵点 是A F的中点，∴ ，
∴
∴
∴
∵点 是AF的中点，
∴
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接BG，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠AGB=90°，利用垂直的定义和余角的性质可知∠B=∠F，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠B=∠ADG，由此可证得结论.
（2）①利用垂径定理可证得DE=CD=AE，连接OD，设⊙O的半径为r，可表示出OE，AE的长，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值；②利用含r的代数式表示出CD，DE的长，利用勾股定理求出AD的长；再证明△ADG∽△AFD，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式；再求出AF，AG的长，利用勾股定理求出EF的长，即可得到DF的长；然后求出△CDG和△ADG的面积之比.
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