2.4.1圆的标准方程 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形 . 建立直线的方程后 , 我们可以运用它研究多边形这些“直线形” , 解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题 . 类似地 , 为了研究圆的有关性质 , 解决与圆有关的问题 , 我们首先需要建立圆的方程.
2.4 圆的方程
2.4.1 圆 的 标 准 方 程
类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素.
思考 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
我们知道，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. 在平面直角坐标系中, 如果一个圆的圆心坐标和半径确定了, 圆就唯一确定了. 由此 , 我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式 , 进而得到圆的方程.
如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为(a, b) , 半径为r , M(x, y)为圆上任意一点， ⊙A就是以下点的集合
如图，⊙A的圆心A的坐标为(a, b) , 半径为r , M(x, y)为圆上任意一点， ⊙A就是以下点的集合
根据两点间的距离公式，点M的坐标(x, y)满足的条件可以表示为:
两边平方, 得
由上述过程知, 若点M(x, y)在⊙A上, 点M的坐标就满足方程(1)；反过来, 若点M的坐标(x, y) 满足方程(1), 就说明点M与圆心A的距离为r, 点M就在⊙A上.
这时, 我们把方程(1)称为圆心为A(a, b) 半径为r的圆的标准方程.
思考？圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程是什么？
例1 求圆心为A(2, -3), 半径为5的圆的标准方程, 并判断点 M1(5，-7)，M2 (-2，-1) 是否在这个圆上.
分析: 根据点的坐标与圆的方程的关系, 只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程, 就可以得到这个点是否在圆上.
例1 求圆心为A(2, -3), 半径为5的圆的标准方程, 并判断点 M1(5，-7)，M2 (-2，-1) 是否在这个圆上.
解: 圆心A(2，-3), 半径为5的圆的标准方程是
把点M1(5，-7)的坐标代入方程的左边, 得到
左右两边相等 , 点M1的坐标满足圆的方程 , 所以点M1在这个圆上.
左右两边不相等, 点M2 的坐标不满足圆的方程, 所以点M2 不在这个圆上.
把点M2 (-2，-1)的坐标代入方程的左边 , 得
探究：点M0(x0 , y0)在圆x2+y2=r2内的条件是什么 在圆x2+y2=r2外的条件是什么
由圆的方程知圆心A的坐标为(0, 0),半径为r,
点M0的坐标(x0 , y0)满足的条件可以表示为:
圆内任意一点M满足
两边平方, 得
点M0(x0 , y0)在圆x2+y2=r2内的条件是
探究：点M0(x0 , y0)在圆x2+y2=r2内的条件是什么 在圆x2+y2=r2外的条件是什么
由圆的方程知圆心A的坐标为(0, 0),半径为r,
点M0的坐标(x0 , y0)满足的条件可以表示为:
圆外任意一点M满足
两边平方, 得
点M0(x0 , y0)在圆x2+y2=r2外的条件是
①若(x0－a)2+(y0－b)2>r2，点(x0，y0)在圆外;
②若(x0－a)2+(y0－b)2=r2，点(x0，y0)在圆上;
③若(x0－a)2+(y0－b)2判断点M0(x0 , y0)与圆(x-a)2+(y-b) 2 =r 2位置关系的方法:
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 , 三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解: 设所求的方程是
因为A(5, 1) , B(7, -3) , C(2, -8) 三点都在圆上 , 所以它们的坐标都满足上述方程 , 于是
即
观察上面的式子 , 我们发现 , 三式两两相减 , 可以消去a2, b2, r2得到关于a , b的二元一次方程组
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解: 设所求的方程是
观察上面的式子 , 我们发现 , 三式两两相减 , 可以消去a2, b2, r2得到关于a , b的二元一次方程组
代入上式，得r2=25.
解此方程组，得
所以, △ABC的外接圆的标准方程是
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
分析:考虑到几何关系, 圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心. 因此我们可以分别写出弦AB , AC的垂直平分线所在的直线方程 , 通过求两条直线的交点来确定圆心位置 , 进一步求出半径 , 写出标准方程.
解:设线段AB的中点为D . 由A , B 两点的坐标为(5 , 1) , (7, -3)可得点D的坐标为(6, -1) , 直线AB的斜率为
因此, 线段AB的垂直平分线l1的方程是
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是
圆心的坐标就是方程组 的解 .
解得
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
所以 , 圆的标准方程是
例3 已知圆心为C的圆经过A(1, 1), B(2, -2)两点, 且圆心C在直线l: x-y+1=0上 , 求此圆的标准方程 .
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
x-y+1=0上 , 所以 a-b+1=0 (1)
因为A, B是圆上两点 , 所以|CA|=|CB| . 根据两点间距离公式 , 有
例3 已知圆心为C的圆经过A(1, 1), B(2, -2)两点, 且圆心C在直线l: x-y+1=0上 , 求此圆的标准方程 .
解法1:因为圆心C(a, b)在直线 l : x-y+1=0上 , 所以
a-b+1=0 (1)
因为|CA|=|CB|，根据两点间距离公式 , 有
所以 , 圆的标准方程是
由(1)(2)两式可得 a=-3, b=-2 .
所以圆心C的坐标是(-3, -2) .
圆的半径
例3 已知圆心为C的圆经过A(1, 1), B(2, -2)两点, 且圆心C在直线l: x-y+1=0上 , 求此圆的标准方程 .
解法2：如图 , 设线段AB的中点为D. 由A, B两点的坐标为(1, 1), (2, -2) ,可得点D的坐标为
直线AB的斜率为
因此, 线段AB的垂直平分线l′的方程是
由垂径定理知 , 圆心C也在线段AB的垂直平分线上 ,所以它的坐标就是下面方程组的解.
例3 已知圆心为C的圆经过A(1, 1), B(2, -2)两点, 且圆心C在直线l: x-y+1=0上 , 求此圆的标准方程 .
解法2：线段AB的垂直平分线l′的方程是
圆心C的坐标就是下面方程组的解 .
解这个方程组，得
所以 , 圆心C的坐标是(-3, -2) .
所以 , 圆的标准方程是
圆的半径
归纳小结
①设所求圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
2、圆的标准方程的求法
(1)用待定系数法，一般步骤如下：
(2)利用圆的几何性质，
由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写方程．
1、圆的标准方程
②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
③解方程组，求出a，b，r的值；
④将a，b，r的值代入方程，即为所求圆的方程．
1.写出下列圆的标准方程:
(1)圆心为C(-3， 4),半径为 ;
(2)圆心为C(-8， 3) ,且经过点M(-5，-1).
课 堂 练 习
解: (1)
(2) 由已知得，圆的标准方程为: (x+8)2+(y-3) 2=r2,
将点M坐标代入，可得r2=25所以，圆的标准方程为: (x+8)2+(y-3) 2=r2.
2.已知P1(4, 9) , P2(6, 3)两点,求以线段P1P2为直径的圆的标准方程,并判断点M(6, 9), N(3, 3), Q(5, 3)在圆上、圆内,还是圆外.
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中点, 直径长为线段P1P2的长度 .
利用中点坐标公式得A(5, 6) ,
利用两点间距离公式得
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
解:圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
将M(6, 9)的坐标代入方程的左边, 得到(6-5)2+(9-6) 2
=10, 左右两边相等 , 点M的坐标满足圆的标准方程 . 所以点M在这个圆上.
同理将N(3, 3)的坐标代入方程的左边 , 得到
(3-5)2+(3-6) 2=13>0, 所以点N在圆外.
最后将Q(5, 3)的坐标代入方程的左边 , 得到
(5-5)2+(3-6) 2=9<10, 所以点Q在圆内.
2.已知P1(4, 9) , P2(6, 3)两点,求以线段P1P2为直径的圆的标准方程,并判断点M(6, 9), N(3, 3), Q(5, 3)在圆上、圆内,还是圆外.
3.已知△AOB的三个顶点分别是A(4, 0), O(0, 0), B(0, 3)
,求△AOB的外接圆的标准方程.
解: 设所求的方程是 (x-a)2+(y-b) 2 =r 2 （1）
因为A(4, 0), O(0, 0), B(0, 3)三点都在圆上 , 所以它们的坐标都满足方程（1）,于是
即
解此方程组，得
所以, △AOB的外接圆的标准方程是
代入(0-a)2+(0-b) 2 =r 2 , 得到
观察上面的式子 , 我们发现 ,
三式两两相减 , 可以消去a2, b2, r2
得到关于a, b的二元一次方程组
即圆心C的坐标是 ,
所以, △AOB的外接圆的标准方程是
解法2：由A, O 两点的坐标为(4, 0), (0, 0)可得线段AO的垂直平分线l1的方程是x=2,
圆的半径是
同理可得，BO线段的垂直平分线l2的方程是y=3/2,
所以圆心C的坐标是l1与l2的交点坐标 .
3.已知△AOB的三个顶点分别是A(4, 0), O(0, 0), B(0, 3)
,求△AOB的外接圆的标准方程.