2.4.2圆的一般方程 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
2.4.2 圆 的 一 般 方 程
我们知道 , 方程(x-1)2+(y+2) 2=4表示以(1, -2)为圆心 , 2为半径的圆 . 可以将此方程变形为
一般地 , 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2可以变形为
x2+y2+Dx+Ey+F=0 的形式.
思考 形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗
x2+y2-2x+4y+1=0.
例如 , 对于方程x2+y2-2x-4y+6=0 , 对其进行配方 , 得到(x-1)2+(y-2) 2=-1 , 因为任意一个点的坐标(x, y)都不满足这个方程 , 所以这个方程不表示任何图形 .
所以 , 形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定能通过恒
等变形变为圆的标准方程. 这表明, 形如x2+y2+Dx+Ey+F=0
的方程不一定是圆的方程.
思考 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0中的 D, E, F满足什么条件时 , 这个方程表示圆？
把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方整理后，得：
(1) 当D2+E 2-4F>0时，
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示以(-, -) 为圆心， 为半径的圆.
(1) 当D2+E 2-4F>0时，
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示以(-, -) 为圆心， 为半径的圆.
(2) 当D2+E 2-4F=0时，
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实数解x= -, y=，它表示一个点(-, -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时，
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径和圆心坐标.
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
(1)原点(0,0)
练习：判断下列方程分别表示什么图形
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是.
(3) (x+a)2+y 2 =a2 +b2 , 当a2 +b2 =0时 , 表示一个点(0, 0);当a2 +b2 ≠0时 , 表示圆心坐标是(-a, 0) ,半径是的圆.
思考？圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点
圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径，而圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程，方程的代数特征非常明显.
一般方程突出了代数结构:
(1) x2和y2系数相同，都不等于0.
(2) 没有xy这样的二次项.
(3)当 D2+E2-4F>0 时，方程才表示一个圆.
例4 求过三点O(0, 0) , M1(1, 1) , M2 (4, 2)的圆的方程, 并求这个圆的半径长和圆心坐标.
解：设所求的圆的方程为
x2+y2+Dx+Ey+F=0. (1)
∵ O , M1 , M2 都在圆上 , 它们的坐标都是方程(1)的解.
∴把它们的坐标依次代入方程(1)可以得到关于D, E , F的三元一次方程组:
解方程组 , 得
分析:将点O，M1，M2的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.
例4 求过三点O(0, 0) , M1(1, 1) , M2 (4, 2)的圆的方程, 并求这个圆的半径长和圆心坐标.
解：设所求的圆的方程为
x2+y2+Dx+Ey+F=0. (1)
∵ O , M1 , M2 都在圆上 , 它们的坐标都是方程(1)的解.
解得
∴所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0.
圆心坐标为(4, -3).
∴把它们的坐标依次代入方程(1)可以得到关于D, E , F的三元一次方程组:
思考：与圆的标准方程这一节中例2的方法比较, 有什么体会
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解: 设所求的方程是
因为A(5, 1) , B(7, -3) , C(2, -8) 三点都在圆上 , 所以它们的坐标都满足上述方程 , 于是
即
观察上面的式子 , 我们发现 , 三式两两相减 , 可以消去a2, b2, r2得到关于a , b的二元一次方程组
代入上式，得r2=25.
解此方程组，得
所以, △ABC的外接圆的标准方程是
例4也使用了待定系数法，这里选用圆的一般方程，与例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些.因为运算后得到的方程没有二次项，是一个三元一次方程组 . 若像例2那样选用圆的标准方程，得到的是三元二次方程组，需要消去二次项. 一般来说，解一次方程比解二次方程容易 .
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是:
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F 的方程组.
3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程.
例5 已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3)，端点A在圆 (x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
x
y
o
B
A
M
分析：如图，点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，
点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4
建立点M与点A坐标之间的关系 , 就可以利
用点A的坐标所满足的关系式得到点M的坐标满足的关系式 ,求出点M的轨迹方程 .
例5 已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3)，端点A在圆 (x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解:设M的坐标为(x, y) , 点A坐标是(x0，y0).
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB的中点, 所以
于是有:
因为点A在圆上运动 , 所以A的坐标满足圆的方程 , 即:
这就是点M的轨迹方程，它表示以(, )为圆心，半径为1的圆.
轨迹及轨迹方程指的是什么
点M的轨迹方程是指点M的坐标(x , y)满足的关系式 . 轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形 . 在解析几何中 , 我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.
求解轨迹方程的一般方法是什么
1.直接法:
利用几何关系，直接列式求出.
2.相关点法:
利用所求曲线上的动点与已知曲线上的动点的关系，找到关系式，列式求出.
练习 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是
的点的轨迹求此曲线的轨迹方程，并画出曲线 .
解：在给定的坐标系里，设点M(x, y)是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合
由两点间的距离公式，得
化简得 x2+y2+2x 3＝0　①
x
y
M
A
O
这就是所求的曲线方程．
把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4．
所以曲线是以C( 1，0)为圆心，2为半径的圆。
C
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
(2)
(3)
课 堂 练 习
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(3)圆心坐标(a, a) ,半径为|a| .
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
2.如图 , 在四边形中ABCD，AB=6，CD=4，且AB//CD , AD=BC , AB与CD间距离为3, 求这个等腰梯形ABCD的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径 .
解: 设圆的方程为:
因为A, B, C都在圆上, 所以其坐标都满足圆的方程,即
圆的方程:
即:
半径:
圆心:
3. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线
l 所在直线的方程.

B(-3，-3)
入射及反射光线与x轴夹角相等.
(2)点P关于x轴的对称点Q在反射光线所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
A(-3，3)

C(2, 2)