高中数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时 90
分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考
试用条形码。答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！
参考公式：
柱体的体积公式 V柱体 Sh，其中 S表示柱体的底面积， h表示柱体的高．
1
锥体的体积公式 V锥体 Sh ，其中 S表示锥体的底面积， h表示锥体的高．3
V 4球的体积公式 3球 R ，其中 R表示球的半径．3
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共 15 题，每小题 3 分，共 45 分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合A 0,1,2,3 ，B 2,4 ，则A B
（A） 2 （B） 2,4
（C） 0,2 （D） 0,1,2,3,4
（2）函数 f (x) sin 4x， x R的最小正周期是
（A） 2 （B）
（C） （D）
2 4
（3）若向量 a ( 1,0)，b (0,1)，则 a b的坐标为
（A） (1,1) （B） ( 1, 1)
（C） (0, 1) （D） ( 1,0)
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（4）下列函数中为偶函数的是
（A） y tan x （B） y x 1
3
（C） y x （D） y log2 x
（5）已知函数 f (x) ln x (x 0)，则 f (1)
（A）1 （B） e
（C） e （D）0
（6）直线 y x 1的倾斜角为
（A） （B）
4 3
3
（C） （D）
2 4
（7）若直线 l1 : x y 1 0与直线 l2 : x my 0互相平行，则m的值为
（A） 1 （B） 1
（C） 2 （D） 2
2
（8）在△ABC中，若AB 1，AC 2， A ，则BC
3
（A） 3 （B） 5
（C） 7 （D） 2 2
（9）已知 a 3， b 2，若 a与b 夹角的大小为60 ，则 a b
（A）3 3 （B）3
（C） 3 3 （D） 3
1 1 1
（10）设 a ln ，b log 3， c ( )32 ，则2 2
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（A）c a b （B）b a c
（C） c b a （D） a c b
（11）为得到函数 y cos(2x )的图象，只需将函数 y cos(2x)图象上的所有点
3
（A）向右平移 个单位长度 （B）向右平移 个单位长度
3 6
（C）向左平移 个单位长度 （D）向左平移 个单位长度
3 6
（12）一袋中装有大小相同的 2个白球和 4个黑球，从袋中随机抽取两个球，则摸得 2
个黑球的概率为
1 1
（A） （B）
5 3
2 2
（C） （D）
5 3
（13）设m，n是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题为真命
题的是
（A）若 ， ，则
（B）若 ， ，则 //
（C）若 n，m // n，则m // ，m //
（D）若 // ， // ，m ，则m
（14）已知函数 f (x) sin(x )．给出下列结论：
3
① f (x)的最小正周期为 2 ；
② f 是 f (x)的最大值；
2
③把函数 y sin x
的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 y f (x)的
3
图象．
其中所有正确结论的序号为
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（A）① （B）①③
（C）②③ （D）①②③
（15）若 a,b 1 1 8都是正数，且 ab 1则 的最小值为
2a 2b a b
（A） 4 （B） 8
（C） 4 3 （D） 4 2
二、填空题：本大题共 5个小题，每小题 3分，共 15分．
（16 ） sin150 = .
1 i
（17）若 i是虚数单位，则复数 ________ .
1 i
（18）已知某校高一年级、高二年级、高三年级的学生人数分别为 240，160，160.现采
用分层抽样的方法从中抽取 70人，进行睡眠时间的调查，则应从高二年级的学生
中抽取 _______人.
（19）若棱长为2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ______ .
e x 1, x 0
（20）函数 f (x) ，当 f (x) 1时，则 x的值为2 ______ .
x , x 0
三、解答题：本大题共 4个小题，共 40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（21）（本小题满分 10分）
已知 sin 3 ( ， , ) .
5 2
（Ⅰ）求: sin 2 ；
（Ⅱ）求: cos( ) .
4
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（22）（本小题满分10分）
2 2
已知圆C : x y 2y 3 0，直线 l： x y 3 0 .
（Ⅰ）求圆C的圆心及半径；
（Ⅱ）求直线 l被圆C截得的弦AB的长度.
（23）（本小题满分10分）
如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N分别
是D1C1、B1C1的中点.
（Ⅰ）求证：MN//平面ABCD；
（Ⅱ）求证：AC 平面BB1DD1 .
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（24）（本小题满分10分）
2
已知函数 f (x) ax 2x，其中a R， a 0 .
（Ⅰ）若 f ( 1) 0，求：实数 a的值;
（Ⅱ）若 a 1时，求不等式 f (x) 3的解集；
（Ⅲ）求不等式 f (x) 0的解集；
高中数学 第 6页参考答案
一、选择题 每题 3 分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
答案 A C B B D A A C B D B C D B A
二 填空题 每题 3 分
1
16. 17. i 18. 20 19. 36 20. 1
2
三、解答题
21.（本小题满分10分）
4
（Ⅰ）因为 ( , )，所以 cos ，....................2分
2 5
sin 2 24 2sin cos . ..........................6分
25
cos( （Ⅱ） ) cos cos 2 sin sin ..................10分
4 4 4 10
22.（本小题满分10分）
C : x2 y2 2 2（Ⅰ）圆 2y 3 0整理得 x (y 1) 4，
圆心 (0, 1)，半径为 r 2 . ..................................................................4分
Ax By C 0 1 3
（Ⅱ）圆心 (0, 1)到直线 l： x y 3 0 0 0的距离 d =
A2 B2 2
= 2 ...............................6分
弦 AB 2 2的长度 AB 2 r d .............................................................................8分
= 2 2。......................................................................................10分
23.（本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ）因为M、N分别是BC、PC的中点，
所以MN// PB，.....................2 分
又MN 平面PAB ，.............3 分
PB 平面PAB ，
则MN//平面PAB ；...............4 分
（Ⅱ）因为PA 底面ABC，
且BC 平面ABC ，
所以PA BC，............................ 6 分
又BC AC，
且PA AC A，....................... 7 分
则BC 平面PAC ，.....................9 分
且 PC 平面PAC ，
所以 BC PC。 ....................... 10 分
24.（本小题满分10分）
（Ⅰ）因为 f (2) 1 1 ，所以 a ；........................2分
2
（Ⅱ）若 a 1时， f (x) 1，
即 x2 x 2 0，..................3分
解得 2 x 1，..................5分
不等式 f (x) 1的解集为 x | 2 x 1 ；..................6分
（Ⅲ）因为 f (x) 1，
所以 ax2 x 0，
当a 0 时，解集为 ,
1
0, ；..................8分
a
当a 0 时，解集为 0,
1
。..................10分
a
