1．下列对象中，不能构成集合的是( )
A．参加2012年伦敦奥运会的所有国家
B．数学必修1课本中的所有习题
C．2012年高考中合肥市取得优秀成绩的同学
D．所有无理数
解析：选C. C项中“优秀”标准不定，不符合元素的确定性．
2．下列集合为?的是( )
A．{0} B．{x|x2＋1＝0}
C．{x|x2－1＝0} D．{x|x<0}
解析：选B.集合{0}中有一个元素0；集合{x|x2－1＝0}表示方程x2－1＝0的解集；集合{x|x<0}表示小于0的实数组成的集合．
集合{x|x2＋1＝0}表示方程x2＋1＝0的解集，而方程x2＋1＝0无解，解集是空集．故选B.
3．已知集合P＝{－2，－1,0,1}，若Q＝{x|x∈P，且|x|∈P}，则Q＝________.
解析：依题意，x＝－1,0,1，
Q＝{－1,0,1}．
答案：{－1,0,1}
4．若2∈{－2x，x2－x}，则x＝________.
解析：依题意，若－2x＝2，则x＝－1，此时x2－x＝2，与集合元素的互异性矛盾；若x2－x＝2，则x＝2或x＝－1(舍去)．经验证x＝2符合题意，∴x＝2.
答案：2
[A级 基础达标]
1．已知集合A＝{x∈N＋|0≤x≤}，则必有( )
A．－1∈A B．0∈A
C.∈A D．1∈A
解析：选D.∵A＝{x∈N＋|0≤x≤}＝{1,2}，
∴1∈A，故选D.
2．用列举法可以将集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为( )
A．{{1,1}，{1,2}，{2,1}，{2,2}}
B．{1,2}
C．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}
D．{(1,2)}
3．由实数x，－x，|x|，，组成的集合中，元素最多有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选A.因为＝|x|，＝x，所以当x＝0时，这几个实数均为0；当x>0时，它们分别是x，－x，x，x，x；当<0时，它们分别是x，－x，－x，－x，x，均最多表示两个不同的数．故集合中元素最多有2个．
4．已知集合M＝，P＝，Q＝.用列举法表示P＝__________，Q＝________.
答案：{0,4,6,9,14,21,49} {－7，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,7}
5．数集中的元素x应满足的条件是________．
解析：根据元素的互异性可得，即.
答案：x≠1且x≠且x≠0
6．设集合A＝，B＝.若a∈A，b∈B，试判断a＋b与A，B的关系．
解：∵a∈A，∴a＝2k1(k1∈Z)．∵b∈B，∴b＝2k2＋1(k2∈Z)．
∴a＋b＝2(k1＋k2)＋1.又∵k1＋k2∈Z，∴a＋b∈B，从而a＋b?A.
[B级 能力提升]
7．(2012·宜春调研)设集合A＝{2,3,4}，B＝{2,4,6}，若x∈A且x?B，则x等于( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选B.∵x∈{2,3,4}且x?{2,4,6}，∴x＝3.
8．(2011·高考福建卷改编)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝，k＝0,1,2,3,4，结出如下四个结论：
①2012∈[2]；②－3∈[3]；③Z＝{[0]，[1]，[2]，[3]，[4]}；④如果整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]．
其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.由于[k]＝，对于①，2012÷5等于402余2，∴2012∈[2]．对于②，－3＝5＋2，被5除应余2，∴②错．对于③，任意一整数x，被5除余数为0,1,2,3,4，∴x∈③正确．对于④，∵a、b是同一类，可设a＝5n1＋k，b＝5n ＋k，则a－b＝5(n1－n2)能被5整除．∴a－b∈[0]，④正确．故正确的有①③④.
9．若2?，则实数a的取值范围是________．
解析：因为2?{x|x－a>0}，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2.
所以实数a的取值范围是.
答案：
10．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，求实数a的值．
解：若a＋2＝1，则a＝－1，所以A＝{1,0,1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；
若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2，
当a＝0时，A＝{2,1,3}，满足题意，
当a＝－2时，A＝{0,1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1(舍去)或a＝－2(舍去)．
综上所述，a＝0.
11．(创新题)数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．若∈A，求集合中的其他元素．
解：∵∈A，∴＝2∈A，∴＝－3∈A.
∵＝－∈A，∴＝∈A.
故当∈A时，集合中的其他元素为2，－3，－.
1．(2012·榆林调研)已知集合A＝{2,3}，则集合A的真子集个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.集合A的真子集为?，{2}，{3}．
2．用A表示具有北京市东城区户口的人组成的集合，用B表示具有北京市户口的人组成的集合，用C表示具有山东省户口的人组成的集合，用D表示具有中国国籍的人组成的集合．下列表达A、B、C、D关系正确的是( )
A．A＝B＝C?D B．ABCD
C．BC，CB D．AB，DC
解析：选C.用Venn图表示为
3．(教材习题改编)用适当的符号填空(＝，?，?)：设集合A＝{x|(x－3)(x＋2)＝0}，B＝，则A____B.
解析：A＝{3，－2}，B＝{3}，B?A.
答案：?
4．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B?A，则实数m＝________.
解析：∵B?A，∴m2＝2m－1，∴m＝1.
答案：1
[A级 基础达标]
1．下列命题正确的是( )
A．任何一个集合必有两个或两个以上的子集
B．任何一个集合必有一个真子集
C．空集是任何非空集合的真子集
D．空集不是空集的子集
解析：选C.应注意以下几个结论：①任何非空集合既有子集又有真子集，而空集只有子集(空集本身)，没有真子集．②空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．故A、B、D是错误的．
2．下列结论正确的是( )
A．集合{x|x3＋1＝0，x∈R}＝?
B．已知M＝{(1,2)}，N＝{(2,1)}，则M＝N
C．已知M＝{(2,3)}，N＝{2,3}，则有M?N
D．已知A＝{x|x＝5k，k∈N}，B＝{x|x＝10n，n∈N}，
则有BA
解析：选D.x＝－1时，x3＋1＝0，∴A错；(1,2)与(2,1)是不同的点，∴B错；∵(2,3)为点，2,3为数，∴C错．
3．(2012·宝鸡调研)下列各式中，正确的个数是( )
①?＝{0} ②??{0} ③?∈{0} ④0＝{0} ⑤0∈{0} ⑥{1}∈{1,2,3} ⑦{1,2}?{1,2,3} ⑧{a，b}?{b，a}
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选D.②⑤⑦⑧正确．
4．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝.则A，B的关系是________．
解析：＝1可化为y＝x(x≠0)，可知，集合A表示直线y＝x，集合B表示剔除(0,0)点的直线y＝x，故BA.
答案：BA
5．集合{1，a，b}与{－1，－b,1}是同一集合，则a＝________.
解析：若，∴适合题意．
若，∴不适合题意．
答案：－1
6．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A?B，求a的值．
解：因为A?B，所以a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
由a2－a＋1＝3，得a＝2或a＝－1；由a2－a＋1＝a，得a＝1.
经检验，当a＝1时，集合A、B中元素均有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a的值为－1,2.
[B级 能力提升]
7．(2012·宝鸡质检)设A、B是非空数集，定义A⊕B＝{a＋b|a∈A，b∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，则A⊕B的非空真子集个数为( )
A．30 B．31
C．32 D．64
解析：选A.由题意知A⊕B＝{5,6,7,8,9}，
∴A⊕B的非空真子集个数为25－2＝30(个)．
8．设集合A＝{x|1
A．{a|a≥2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
解析：选A.A＝{x|19．已知集合P＝{x|2011≤x≤2012}，Q＝{x|a－1≤x≤a}，若P?Q，则实数a的集合为________．
解析：依题意得，
∴2012≤a≤2012.
∴a＝2012，所以实数a的集合为{2012}．
答案：{2012}
10．(创新题)集合A＝{a|a＝2k，k∈N}，集合B＝，判断A、B间的关系．
解：由题意可知，集合A是非负偶数集，
即A＝{0,2,4,6,8，…}．
集合B中的元素b＝[1－(－1)n]·(n2－1)
＝
而(n＋1)(n－1)(n为正奇数时)表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，取n＝1,3,5,7…，由(n＋1)(n－1)依次得到0,2,6,12，…，即B＝{0,2,6,12,20，…}．
综上所述，BA.
11．(2012·西安调研)设A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系．
(2)若BA，求实数a的取值集合C.
解：(1)若a＝，则x－1＝0.∴x＝3.
即B＝{3}．
而x2－5x＋6＝0，∴x＝3或x＝2，
∴A＝{2,3}，∴BA.
(2)由(1)可得A的子集为?，{2}，{3}，{2,3}．若BA，
∴B＝?或B＝{2}或B＝{3}．
当B＝?时，ax－1＝0无解．∴a＝0；
当B＝{2}时，2a－1＝0，∴a＝；
当B＝{3}时，3a－1＝0，∴a＝.
∴C＝.
1．已知集合M＝{x|－3A．? B．{x|x≥－3}
C．{x|x≥1} D．{x|x<1}
解析：
选D.在同一条数轴上表示出集合M、N，如图所示，由图得M∪N＝{x|x<1}．
2．若集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{x|x(x－1)＝0}，则M∩N＝( )
A．{－1,0,1,2} B．{0,1,2}
C．{－1,0,1} D．{0,1}
解析：选D.∵M＝{－1,0,1,2}，N＝{x|x(x－1)＝0}＝{0,1}．∴M∩N＝{0,1}．
3．设A＝{(x，y)|3x＋2y＝12，x，y∈N＋}，B＝{(x，y)|2x－2y＝－2，x，y∈N＋}，则A∩B＝________.
解析：由得
∴A∩B＝{(2,3)}
答案：{(2,3)}
4．已知A＝{x|1≤x<3}，B＝{x|x<0或x≥2}，
C＝{x|2x－5>0}，则(A∩B)∪C＝________.
解析：A∩B＝{x|1≤x<3}∩{x<0或x≥2}＝{x|2≤x<3}．
而C＝{x|2x－5>0}＝.
∴(A∩B)∪C＝{x|2≤x<3}∪
＝{x|x≥2}．
答案：{x|x≥2}
[A级 基础达标]
1．设集合M＝{x|f(x)＝0}，N＝{x|g(x)＝0}，则方程f(x)·g(x)＝0的解集是( )
A．M∩N B．M∪N
C．M、N中的某一个 D．不确定
解析：选B.f(x)·g(x)＝0则f(x)＝0或g(x)＝0.其解集为M或N.
2．若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有( )
A．A?C B．C?A
C．A≠C D．A＝?
解析：选A.因为A?(A∪B)且(C∩B)?C，已知A∪B＝C∩B，则A?C，所以选A.
3．(2012·合肥质检)已知A＝{x|a－1A．{a|3C．{a|3解析：选B.∵A∪B＝A.∴B?A，
∴.
∴3≤a≤4.
4．设集合A＝{1,3,5}，B＝{3,9}，C＝{1,2}，则(A∩B)∪C＝________.
解析：(A∩B)∪C＝({1,3,5}∩{3,9})∪{1,2}
＝{3}∪{1,2}＝{1,2,3}．
答案：{1,2,3}
5．(2010·高考上海卷)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4}，则m＝________.
解析：∵A＝{1,3，m}，B＝{3,4}且A∪B＝{1,2,3,4}，
∴2∈A，∴m＝2.
答案：2
6．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
解：(1)∵B＝{x|x≥2}，
∴A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)∵C＝{x|x>－}，
B∪C＝C?B?C，∴a>－4.
[B级 能力提升]
7．已知集合U＝R，集合M＝{y|y≥1}，集合N＝{x|x<3}，则M∩N＝( )
A．{t|t<3} B．{t|t≥1}
C．{t|1≤t<3} D．?
解析：
选C.如图所示，M∩N＝{t|1≤t<3}，故选C.
8．满足M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.由题意知a1，a2必属于M，a3?M，a4不确定，故M＝{a1，a2}或{a1，a2，a4}．
9．若集合A＝{x||x|－x＝0}，B＝{x|x2－1＝0}，C＝{x|x>1}，则(A∩B)∪C＝________.
解析：A＝{x|x≥0}．B＝{x|x＝±1}，∴A∩B＝{1}．∴(A∩B)∪C＝{x|x≥1}．
答案：{x|x≥1}
10．已知A＝{x|2(1)若A∩B＝?，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝{x|3解：(1)如图，有两类情况，一类是B≠??a>0；①B在A的左边，②B在A的右边．
B或B′位置均使A∩B＝?成立．
当3a＝2或a＝4时也符合题目意思，事实上，2?A,4?A，则A∩B＝?成立．
所以，要求3a≤2或a≥4，解得a∈∪.
另一类是B＝?，a≤0时，显然A∩B＝?成立．
综上所述，a的取范围是∪[4，＋∞)．
(2)因为A＝{x|2集合B若要符合题意，位置显然为a＝3，此时，B＝{x|311．(创新题)若集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，求a的值使得?(A∩B)与A∩C＝?同时成立．
解：∵B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4,2}，
∴B∩C＝{2}．∵?(A∩B)，A∩C＝?，∴3∈A.
将x＝3代入方程x2－ax＋a2－19＝0得a2－3a－10＝0，解得a＝5或a＝－2.若a＝5，则A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，此时A∩C＝{2}≠?，不符合要求，舍去；
若a＝－2，则A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{－5,3}，满足要求．
综上知a的值为－2.
1．(2012·铜州质检)设集合U＝{0,1,2,3,4,5}，集合M＝{0,3,5}，N＝{1,4,5}则M∩?UN＝( )
A．{5} B．{0,3}
C．{0,2,3,5} D．{0,1,3,4,5}
解析：选B.?UN＝{0,2,3}，∴M∩(?UN)＝{0,3,5}∩{0,2,3}＝{0,3}．
2.
(2012·六安调研)设全集U是实数集R，M＝{x|x>2}，N＝{x|1A．{x|2B．{x|x<3}
C．{x|1D．{x|x≤2}
解析：选C.阴影部分表示(?UM)∩N＝{x|x≤2}∩{x|13．已知U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则[A∩(?UB)]∪[B∩(?UA)]＝________.
解析：∵A∩(?UB)＝{x|x>0}，
B∩(?UA)＝{x|x≤－1}
∴[A∩(?UB)]∪[B∩(?UA)]
＝{x|x>0或x≤－1}
答案：{x|x>0或x≤－1}
4．设集合A＝{|2a－1|,2}，B＝{2,3，a2＋2a－3}且?BA＝{5}，则实数a的值是________．
解析：由补集的性质可知：
∴，解得a＝2.
答案：2
[A级 基础达标]
1．设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4，7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)中的元素共有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
解析：选A.U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，
A∩B＝{4,7,9}，
∴?U(A∩B)＝{3,5,8}．
2．(2012·新余质检)设全集I＝{x|－3A．{1} B．{1,2}
C．{2} D．{0,1,2}
解析：选D.I＝{－2，－1,0,1,2}，?IB＝{0,1}，
故A∪(?IB)＝{0,1,2}．
3．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A，BU，若A∩B＝{4}，(?UA)∩B＝{2,5}，则集合B等于( )
A．{2,4,5} B．{2,5}
C．{3,4,5} D．{2,3,5}
解析：选A.由题意可知B中含有元素2,4,5.故选A.
4．已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{b,2}，且?UA＝{5}，a<0，则实数a＝________，b＝________.
解析：由题意，可得a2＋2a－3＝5，b＝3，化简可得a2＋2a－8＝0，解得a＝－4或a＝2(舍去)，故a＝－4，b＝3，经检验此即为所求．
答案：－4 3
5．若全集I＝R，f(x)，g(x)均为x的一次函数，P＝{x|f(x)<0}，Q＝{x|g(x)≥0}，则不等式组的解集可用P、Q表示为______．
解析：∵Q＝{x|g(x)≥0}，
∴g(x)<0的解集为?IQ，
∴不等式组的解集为P∩(?IQ)．
答案：P∩(?IQ)
6．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，求?UA.
解：由条件知AU，∴x∈U＝{1,2，x2－2}，又x≠1，
∴x＝2或x＝x2－2.
若x＝2，则x2－2＝2，此时U＝{1,2,2}，这与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
若x＝x2－2，则x＝－1或x＝2(舍去)，此时U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，∴?UA＝{2}．
[B级 能力提升]
7．(2010·高考辽宁卷)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，则A＝( )
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
解析：选D.做出表示集合U，A，B的Venn图，可知：A＝(A∩B)∪((?UB)∩A)＝{3}∪{9}＝{3,9}．故选D.
8．若U为全集，下面三个命题中真命题的个数是( )
①若A∩B＝?，则(?UA)∪(?UB)＝U
②若A∪B＝U，则(?UA)∩(?UB)＝?
③若A∪B＝?，则A＝B＝?
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D.①(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)＝?U?＝U；
②(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝?UU＝?；
③∵A?(A∪B)，即A??，而??A，
∴A＝?；同理B＝?，∴A＝B＝?.
所以①②③都是真命题．
9．(2012·咸阳调研)已知全集U＝R，集合A＝{x|x解析：∵A∪(?UB)＝R，即{x|x答案：a≥2
10．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2解：如图所示，
∵A＝{x|－211．(创新题)已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，若A∩R－≠?，求实数a的取值范围．
解：设全集U＝{a|Δ＝16a2－8a－24≥0}＝.
方程x2－4ax＋2a＋6＝0的两根均非负等价于
?a≥.即A∩R－＝?(R－表示(－∞，0))时，实数a的取值范围是.
故A∩R－≠?(R－表示(－∞，0))时，实数a的取值范围为集合关于集合U的补集，即{a|a≤－1}．
1．函数y＝5x，x∈N＋的值域是( )
A．R B．N＋
C．N D．{5,52,53,54，…}
解析：选D.因为函数y＝5x，x∈N＋的定义域为正整数集N＋，所以当自变量x取1,2,3,4，…时，其相应的函数值y依次是5,52,53,54，….因此，函数y＝5x，x∈N＋的值域是{5,52,53,54，…}．
2．春天到了，曲曲折折的荷塘上面，弥望的是田田的叶子，已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的一半时，荷叶已生长了( )
A．10天 B．15天
C．19天 D．20天
解析：选C.设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·2x(x∈N＋)．根据题意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19，故选C.
3．某细胞在培养过程中，每15分钟分裂一次(由1个细胞分裂成2个)，则经过两个小时后，1个这样的细胞可以分裂成________个．
解析：每15分钟分裂一次，则两个小时共分裂8次．一个这样的细胞经过一次分裂后，由1个分裂成2个；经过2次分裂后，由1个分裂成22个……经过8次分裂后，由1个分裂成28个．∴1个这样的细胞经过两个小时后，共分裂成28个，即256个．
答案：256
4．当x∈N＋时，用“＞”“＜”或“＝”填空：
x________1,2x________1，x________2x，x________x,2x________3x.
解析：∵x∈N＋，∴x＜1,2x＞1.
∴2x＞x.又根据对其图像的研究，知2x＜3x，x＞x.也可以代入特殊值比较大小．
答案：＜ ＞ ＜ ＞ ＜
[A级 基础达标]
1．若x∈N＋，下面几个函数中，是正整数指数函数的是( )
A．y＝x3 B．y＝－2x
C．y＝(－2)x D．y＝πx
答案：D
2．函数y＝x，x∈N＋是( )
A．增函数 B．减函数
C．奇函数 D．偶函数
解析：选A.由正整数指数函数不具有奇偶性，可排除C、D；因为函数y＝x，x∈N＋的底数大于1，所以此函数是增函数．
3．已知正整数指数函数f(x)＝(a－2)ax，则f(2)＝( )
A．2 B．3
C．9 D．16
解析：选C.由于a－2＝1，则a＝3，所以f(x)＝3x，x∈N＋，所以f(2)＝32＝9.
4．某厂2011年的产值为a万元，预计产值每年以7%的速度增加，则该厂到2022年的产值为________万元．
解析：根据增长率，写出每一年的产值.2011年产值为a，增长率为7%,2012年产值为a＋a×7%＝a(1＋7%)，2013年产值为a(1＋7%)＋a(1＋7%)×7%
＝a(1＋7%)2，…，2022年的产值为a(1＋7%)11.
答案：a(1＋7%)11
5．已知不等式(a2＋a＋2)2x＞(a2＋a＋2)x＋8，其中x∈N＋，使此不等式成立的x的最小整数值是________．
解析：∵a2＋a＋2＝(a＋)2＋＞1，且x∈N＋，∴可以利用正整数指数函数在底数大于1时单调递增的性质，得2x＞x＋8，即x＞8，∴使此不等式成立的x的最小整数值为9.
答案：9
6．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(5)；
(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．
解：(1)设正整数指数函数为f(x)＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)，因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．
(2)f(5)＝35＝243.
(3)∵f(x)的定义域为N＋，且在定义域上单调递增，
∴f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3；f(x)无最大值．
[B级 能力提升]
7．若a＝(2＋)－1，b＝(2－)－1，则(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值是( )
A．1 B.
C. D.
答案：D
8．若正整数指数函数f(x)＝(a－1)x在定义域N＋上是减函数，则a的取值范围是( )
A．a＞1 B．a＜2
C．a＞2 D．1＜a＜2
解析：选D.因为正整数指数函数f(x)＝(a－1)x在定义域N＋上是减函数，所以其底数满足0＜a－1＜1，即1＜a＜2.
9．(2010·高考陕西卷改编)已知函数f(x)＝(x∈N＋)，若f(f(2))＝4a，则实数a等于________．
解析：∵2＜4，∴f(2)＝22＋1＝5.
∵5＞4，∴f(f(2))＝f(5)＝52＋5a＝4a，
∴a＝－25.
答案：－25
10．已知集合A＝{m|正整数指数函数y＝(m2＋m＋1)·()x，x∈N＋}，求集合A.
解：由题意得m2＋m＋1＝1，
解得m＝0或m＝－1，
∴A＝{0，－1}．
11．(创新题)对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，即可以售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)
解：设新树苗的木材量为Q，则十年后有两种结果：
①连续生长十年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；
②生长五年后重栽，木材量M＝2Q(1＋18%)5，
则＝，
因为(1＋10%)5≈1.61＜2，所以＞1，即M＞N.
因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．
1．计算：[(－)2]－＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C.[(－)2]－＝[()2]－＝()2×(－)＝()－1＝.
2．(2012·宝鸡调研)用分数指数幂表示 正确的是( )
A．a B．a
C．a D．a－
解析：选B. ＝[a·(a·a)]＝[a·(a)]＝(a·a)＝(a)＝a.
3．①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．
其中正确的序号是________．
解析：16的4次方根是±2，＝2.
答案：③④
4．8－3－6＋＝________.
解析：原式＝8－3－6×＋
＝8－6－2＋3＝.
答案：
[A级 基础达标]
1．下列计算中，正确的是( )
A．a·a＝a B．当a≥0时，(－2)0＝1
C.＝xy D.＝
解析：选D.对于A，a·a＝a＋＝a；
对于B，当a＝4时，－2＝0；
对于C，＝xy，故只有D正确．
2．若3＝9，则3－x＝( )
A．81 B.
C. D.
解析：选B.∵3＝9，
∴3x＝(3)2＝92＝81，
∴3－x＝＝.
3．已知a2＋a－2＝2，且a＞1，则a2－a－2的值为( )
A．2或－2 B．－2
C. D．2
解析：选D.(a2－a－2)2＝(a2＋a－2)2－4＝8－4＝4，又a＞1，a2＞a－2，∴a2－a－2＝2.
4．若x＞0，则(2x＋3)(2x－3)－4x－(x－x)＝______.
解析：原式＝(2x)2－(3)2－4x－x＋4x－·x
＝4x－27－4x＋4＝－23.
答案：－23
5．下列命题中，正确的序号有________(把正确的序号填在横线上)．
(1)当a＜0时，(a2)＝a3；
(2)函数y＝(x－2)－(3x－7)0的定义域为(2，＋∞)；
(3)＝|a|；
(4)若100m＝5,10n＝2，则2m＋n＝1.
解析：当a＜0时，(a2)＝|a|3＞0，而a3＜0.故(1)错；使函数y＝(x－2)－(3x－7)0＝－(3x－7)0有意义，须即x≥2且x≠，故(2)错；
当n为奇数时，＝a，故(3)错；
对于(4)，若100m＝5,10n＝2，即102m＝5,10n＝2，
则102m＋n＝10，
∴2m＋n＝1，故(4)正确．
答案：(4)
6．计算．
(1)32－－(2)－＋0.5－2；
(2)1.5－×(－)0＋80.25×＋(×)6－；
(3)0.027－＋()－4×()－－×80.25＋(－2011)0.
解：(1)原式＝(25)－－()－＋()－2＝2－3－[()3]－＋22＝－＋4＝.
(2)原式＝()－×1＋(23)×2＋(2)6×(3)6－[()]＝()＋(23×2)＋22×33－()＝2＋4×27＝110.
(3)原式＝[()3]－＋(2×2)－4×－2×2＋1＝＋2－7－2＋1＝－.
[B级 能力提升]
7．(2011·高考湖北卷)已知定义在R上的奇函数f和偶函数g满足f＋g＝ax－a－x＋2.若g＝a，则f＝( )
A．2 B.
C. D．a2
解析：选B.∵f是奇函数，g是偶函数，
∴由f＋g＝ax－a－x＋2，①
得－f＋g＝a－x－ax＋2，②
①＋②，得g＝2，①－②，得f＝ax－a－x.
又g＝a，∴a＝2，∴f＝2x－2－x，
∴f＝22－2－2＝.
8．已知a－b＝，b－c＝，则a2＋b2＋c2－ab－bc－ca等于( )
A．11 B．13
C．15 D．17
解析：选C.由已知得c－a＝－(b－c)－(a－b)＝－(2＋)－(2－)＝－4，所以原式＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＝＝15.故选C.
9．设2m＝5n＝10，则＋＝________.
解析：∵2m＝5n＝10＝(2×5)1，∴2mn＝(2×5)n，①
5mn＝(2×5)m，②
由①×②得(2×5)mn＝(2×5)n＋m，故mn＝n＋m，
∴＋＝＝1.故填1.
答案：1
10．已知2x＋2－x＝a(常数)，求8x＋8－x的值．
解：令2x＝t，则2－x＝t－1，所以t＋t－1＝a.①
法一：利用立方和公式展开，寻找条件与所求的关系．
由①两边平方得t2＋t－2＝a2－2，
则8x＋8－x＝t3＋t－3＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)
＝a(a2－3)＝a3－3a.
法二：整体代换．
8x＋8－x＝t3＋t－3＝(t＋t－1)[(t＋t－1)2－3t·t－1]
＝a(a2－3)＝a3－3a.
11．(创新题)已知f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x，其中e＝2.718….
(1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值；
(2)设f(x)·f(y)＝4，g(x)·g(y)＝8，求的值．
解：(1)[f(x)]2－[g(x)]2＝[f(x)＋g(x)]·[f(x)－g(x)]＝2ex·(－2e－x)＝－4e0＝－4.
(2)f(x)·f(y)＝(ex－e－x)·(ey－e－y)
＝ex＋y＋e－(x＋y)－ex－y－e－(x－y)
＝g(x＋y)－g(x－y)＝4，①
g(x)·g(y)＝(ex＋e－x)(ey＋e－y)
＝ex＋y＋e－(x＋y)＋ex－y＋e－(x－y)
＝g(x＋y)＋g(x－y)＝8.②
联立①②得
解得g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2，
所以＝3.
1．当x∈[－2,2)时，y＝3－x－1的值域是( )
A．(－，8] B．[－，8]
C．(，9) D．[，9]
解析：选A.∵y＝()x－1在[－2,2)上是减函数，
∴y∈(－，8]．
2．(2012·九江质检)若0＜x＜1，则2x、()x、0.2x间的大小关系为( )
A．2x＜0.2x＜()x B．2x＜()x＜0.2x
C．()x＜0.2x＜2x D．0.2x＜()x＜2x
解析：选D.2x∈(1,2)，0.2x∈(0,1)，()x∈(0,1)．
根据图像x∈(0,1)时，y＝()x在y＝0.2x的图像上方．
3．函数y＝ax－2012＋1(a＞0且a≠1)的图像过定点________．
解析：令x－2012＝0，∴x＝2012，y＝a0＋1＝2.
答案：(2012,2)
4．已知x＞0，指数函数y＝(a2－8)x的值恒大于1，则实数a的取值范围是________．
解析：因为x＞0，指数函数y＝(a2－8)x的值大于1恒成立，则a2－8＞1，即a2＞9，解得a＞3或a＜－3.
答案：{a|a＞3或a＜－3}
[A级 基础达标]
1．(2010·高考重庆卷)函数y＝的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4]
C．[0,4) D．(0,4)
解析：选C.∵4x＞0，∴0≤16－4x＜16，
0≤＜＝4，
即函数y＝的值域是[0,4)．
2．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，则( )
A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
解析：选D.y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝23×0.48＝21.44，
y3＝()－1.5＝21.5且y＝2x在R上是增函数，
∴y1＞y3＞y2.故选D.
3．函数y＝ax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a为( )
A. B.
C.或 D.
解析：选C.当a＞1时，a2－a＝?a2－a＝0，得a＝，当0＜a＜1时，a－a2＝?a2－＝0，得a＝.
综上可知选C.
4．函数y＝的定义域是R，则a的取值范围为________．
解析：由题意知()x－a≥0恒成立，即a≤()x恒成立
∵()x＞0(x∈R)，
∴a≤0.
答案：a≤0
5．函数f(x)＝(a＞0且a≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是________．
解析：当x＜0时，函数f(x)＝－x＋3－3a是减函数，当x≥0时，若函数f(x)＝ax是减函数，则0＜a＜1.要使函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，需满足0＋3－3a≥a0，解得a≤，所以a的取值范围是即0＜a≤.
答案：(0，]
6．求函数y＝9x－3x＋1的最小值．
解：令3x＝t，则y＝t2－t＋1(t＞0)，
∴y＝2＋(t＞0)，
如图所示，可知y≥，
即当t＝时，ymin＝.
∴函数的最小值是.
[B级 能力提升]
7．(2012·合肥质检)已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图像不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A.函数y＝ax＋b(0＜a＜1，b＜－1)的图像是由y＝ax(0＜a＜1)的图像向下平移|b|个单位长度得到的，如图，因而一定不经过第一象限．
8．定义运算a*b＝例如1*2=1,则函数y= 1*2x 的值域为( )
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．[1，＋∞) D．(0,1]
解析：选D.由函数f(x)＝2x的图像可知，
y＝1*2x＝又∵当x≤0时，0＜2x≤1，
∴函数y＝1*2x 的值域为(0,1].
9.设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)，x∈R，是偶函数，则实数a＝________.
解析：∵函数f(x)＝x(ex＋ae－x)，x∈R是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即(－x)·(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)．
整理，得(a＋1)·x·(1＋e2x)＝0.
∵x∈R,1＋e2x＞0，
∴a＋1＝0，故a＝－1.
答案：－1
10．已知f(x)＝2x，g(x)＝3x.
(1)当x为何值时，f(x)＝g(x)?
(2)当x为何值时，f(x)＞1？f(x)＝1？f(x)＜1?
(3)当x为何值时，g(x)＞3？g(x)＝3？g(x)＜3?
解：作出函数f(x)，g(x)的图像，如图所示．
(1)∵f(x)，g(x)的图像都过点(0,1)，且这两个图像只有一个公共点，
∴当x＝0时，f(x)＝g(x)＝1.
(2)由图可知，
当x＞0时，f(x)＞1；
当x＝0时，f(x)＝1；
当x＜0时，f(x)＜1.
(3)由图可知：
当x＞1时，g(x)＞3；
当x＝1时，g(x)＝3；
当x＜1时，g(x)＜3.
11．(创新题)已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y＝x－1－4x＋2的最大值与最小值．
解：∵9x－10·3x＋9≤0，∴(3x)2－10·3x＋9≤0，即(3x－1)(3x－9)≤0，∴1≤3x≤9，∴0≤x≤2，又y＝x－1－4x＋2＝x·－1－4·x＋2＝4·2－4·x＋2，
令x＝t，则y＝4t2－4t＋2＝42＋1，
∵0≤x≤2，∴≤x≤1，∴≤t≤1，如图所示，当t＝x＝时，ymin＝1；当t＝x＝1时，ymax＝2.
1．lg4＋2lg5＝( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
解析：选A.lg4＋2lg5＝lg4＋lg52＝lg100＝2，故选A.
2．(2012·宜春调研)设f(log2x)＝2x(x＞0)，则f(2)的值是( )
A．128 B．16
C．8 D．256
解析：选B.令log2x＝2，∴x＝22＝4，
∴f(2)＝24＝16.
3．(2011·高考四川卷)计算÷100－＝________.
解析：÷100－＝÷10－1
＝－2×10＝－20.
答案：－20
4．若log2[lg(lnx)]＝0，则x＝________.
解析：∵log2[lg(lnx)]＝0.
∴lg(lnx)＝20＝1，
∴10＝lnx，∴e10＝x.
答案：e10
[A级 基础达标]
1．下列指数式与对数式的互化时，不正确的一组是( )
A．100＝1与lg1＝0 B．27－＝与log27＝－
C．log39＝2与9＝3 D．log55＝1与51＝5
解析：选C.log39＝2对应的指数式应是32＝9，而不是9＝3，故C不正确．
2．如果log3x＝log6x，那么x的值为( )
A．1 B．1或0
C．3 D．6
解析：选A.设log3x＝log6x＝m，
则x＝3m＝6m.
∴m＝1，∴m＝0，∴x＝1.
3．有以下四个结论：
①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若e＝lnx，则x＝e2；
④ln(lg1)＝0.其中正确的是( )
A．①② B．①②③
C．①②④ D．②③④
解析：选A.可根据对数、常用对数和自然对数的概念以及对数式与指数式的转化，对各结论进行判断．由于1的对数等于0，底数的对数等于1，所以可判断①②均正确；③中应得到x＝ee，故③错误；④中由于lg1＝0，而0没有对数，所以此式不成立．综上可知，正确的结论是①②.故选A.
4．已知a＝(a＞0)，则loga＝________.
解析：由a＝(a＞0)，∴a＝＝3.
∴loga＝3.
答案：3
5．已知f(10x)＝x，则f(5)＝________.
解析：令10x＝5，得x＝lg5，故f(5)＝lg5.
答案：lg5
6．计算下列各式的值．
(1)3log4；
(2)32＋log35；
(3)71－log75；
(4)4(log29－log25)．
解：(1)原式＝(3)log4＝log4＝4.
(2)原式＝32·3log35＝9×5＝45.
(3)原式＝7÷7log75＝7÷5＝.
(4)原式＝2log29－log25＝2log29÷2log25＝9÷5＝.
[B级 能力提升]
7．(创新题)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝ 则f(3)的值为( )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
解析：选B.∵f(3)＝f(2)－f(1)，又f(2)＝f(1)－f(0)，
∴f(3)＝－f(0)．又∵f(0)＝log24＝2，∴f(3)＝－2.
8．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是( )
A．5a－2 B．a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
解析：选B.要把式子log38－2log36用a表示，只需将其化为关于log32的形式．因为log38－2log36＝log323－2log3(2×3)＝3log32－2(log32＋log33)＝3log32－2log32－2log33＝log32－2，所以log38－2log36用a可表示为a－2.
9．关于x的方程(lgx)2＋(lg2＋lg3)lgx＋lg2·lg3＝0的两根为x1，x2，那么lg(x1x2)＝________.
解析：设lgx＝t，则t2＋(lg2＋lg3)t＋lg2·lg3＝0，设t1，t2是t2＋(lg2＋lg3)t＋lg2·lg3＝0的两根，则有t1＋t2＝－(lg2＋lg3)＝lg，即lgx1＋lgx2＝lg，∴lg(x1x2)＝lg.
答案：lg
10．计算下列各式的值．
(1)lg12.5－lg＋lg；(2)2log510＋log50.25；
(3)2log32－log3＋log38－5log53.
解：(1)lg12.5－lg＋lg＝lg(12.5÷×)＝lg10＝1；
(2)2log510＋log50.25＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝log552＝2log55＝2×1＝2；
(3)2log32－log3＋log38－5log53
＝2log32－(log332－log39)＋log323－3
＝2log32－log325＋log332＋3log32－3
＝2log32－5log32＋2＋3log32－3
＝－1.
11．(1)设loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；
(2)已知10a＝2,10b＝3，求1002a－b的值．
解：(1)∵loga2＝m，∴am＝2.
又loga3＝n，∴an＝3.
于是a2m＋n＝a2m·an＝22×3＝12.
(2)∵10a＝2，∴a＝lg2.
又10b＝3，∴b＝lg3.
于是1002a－b＝102(lg4－lg3)＝(10lg4÷10lg3)2＝2＝，或1002a－b＝(102)2a－b＝104a－2b＝＝＝＝.
1．log8127等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A.log8127＝＝＝.
2.的值为( )
A．2 B.
C．1 D.
解析：选D.＝＝＝.
3．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝________.(用a，b表示)
解析：log27＝log23·log37＝ab.
答案：ab
4．若log32＝log23x，则x＝________.
解析：由log32＝log23x，得log32＝xlog23，
所以x＝＝＝2＝(log32)2.
答案：(log32)2
[A级 基础达标]
1.等于( )
A．3 B．8
C．27 D．2
解析：选D.原式＝log39＝2.
2．式子log916·log881的值为( )
A．18 B.
C. D.
解析：选C.原式＝log3224·log2334＝2log32·log23＝.故选C.
3．(2012·西安质检)若logab·log3a＝5，则b＝( )
A．a3 B．a5
C．35 D．53
解析：选C.利用换底公式，得·＝5，化简得＝5，即lgb＝5lg3，故b＝35.
4．计算：log43·log92＝________.
解析：log43·log92＝×＝×＝.
答案：
5．(2012·榆林调研)已知lg2＝a，lg3＝b，则log125＝________.
解析：log125＝＝＝.
答案：
6．计算(log43＋log83)(log32＋log92)的值．
解：原式＝＝
＝＋＋＋＝.
[B级 能力提升]
7．设a＝log2，b＝log，c＝0.3，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
解析：选B.∵a＝log2＝＝－log32＜－log31＝0，b＝log＝＝log23＞log22＝1，c＝0.3，由指数函数的性质知0＜c＜1，∴a＜c＜b.
8.＋等于( )
A．lg3 B．－lg3
C. D．－
解析：选C.原式＝＋＝log＋log＝log＝log3－110－1＝log310＝.故选C.
9．(创新题)若函数y＝2x，y＝5x与直线l：y＝10的交点的横坐标分别为x1和x2，求＋？
解：2x1＝10，x1＝log210,5x2＝10，x2＝log510，
＋＝＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1.
10．化简：log23·log34·log45·log52.
解：原式＝···＝1.
11．设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log(c＋b)a＋log(c－b)a＝2log(c＋b)a·log(c－b)a
证明：由勾股定理得a2＋b2＝c2.
log(c＋b)a＋log(c－b)a＝＋
＝
＝
＝
＝2log(c＋b)a·log(c－b)a.
∴原等式成立．
1．下列函数表示式中，是对数函数的有( )
①y＝logax(a∈R)；② y＝log8x；③y＝lnx；④y＝logx(x＋2)；⑤y＝2log4x.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有②、③，其他的均不符合．
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A． B．2x－2
C．logx D．log2x
解析：选D.∵f(2)＝1，∴a＝2.
∴y＝2x的反函数为y＝log2x.
3．(2012·六安质检)函数f(x)＝的定义域为________．
解析：要使原式有意义，须有log2(x－1)≥0且x－1＞0，即log2(x－1)≥log21且x－1＞0
∵u＝log2(x－1)为增函数，
∴x－1≥1，∴x≥2.
答案：[2，＋∞)
4．函数y＝log2x向左平移1个单位后得到g(x)，则g(x)的单调增区间为________．
解析：g(x)＝log2(x＋1)，增区间为定义域(－1，＋∞)．
答案：(－1，＋∞)
[A级 基础达标]
1．下列各项中表示同一个函数的是( )
A．y＝2log2x与y＝log2x2
B．y＝10lgx与y＝lg10x
C．y＝x与y＝xlogxx
D．y＝x与y＝lnex
解析：选D.对于A中两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数．同样B、C中两个函数的定义域也都不同．
2．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.log2(α＋1)＝1，∴α＋1＝2，∴α＝1.
3．函数f(x)＝|log2x|的图像是( )
解析：选A.将y＝log2x在x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方，故A正确．
4．已知对数函数f(x)的图像过点(9,2)，则函数f(x)＝________.
解析：设对数函数的解析式y＝logax(a＞0且a≠1)．由于f(x)的图像过点(9,2)，则满足f(9)＝2，即loga9＝2，则a2＝9，a＝±3.又a＞0且a≠1，则a＝3.
答案：log3x
5．已知函数f(x)＝ 的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝________.
解析：要使f(x)有意义，须1－x＞0，即x＜1，
∴M＝(－∞，1)．
要使g(x)有意义，须1＋x＞0，即x＞－1，
∴N＝(－1，＋∞)．
∴M∩N＝(－1,1)．
答案：(－1,1)
6．已知log2m＜log2n＜0，求m，n的关系．
解：∵log2m＜log2n＜0，∴m，n∈(0,1)．
又y＝log2x是增函数，∴m＜n.
∴m，n的关系是0＜m＜n＜1.
[B级 能力提升]
7．在同一坐标系中，函数y＝2－x与函数y＝log2x的图像可能是( )
解析：选C.y＝2－x＝()x是减函数，y＝log2x是增函数．
8．设f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则当x＜0时，f(x)等于( )
A．－log2x B．log2(－x)
C．logx2 D．－log2(－x)
解析：选D.∵x＜0，∴－x＞0，∴f(－x)＝log2(－x)．
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝－log2(－x)．故应选D.
9．函数f(x)＝log2x在区间[a,2a](a＞0)上的最大值与最小值之差为________．
解析：∵f(x)＝log2x在区间[a,2a]上是增函数，
∴f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log22a－log2a＝1.
答案：1
10．求下列函数的反函数
(1)y＝log2x；(2)y＝()x；(3)y＝2x2(x∈[1,2])．
解：(1)∵y＝log2x，
∴x＝2y，y∈R，
∴原函数的反函数是指数函数y＝2x(x∈R)．
(2)∵y＝()x，
∴x＝logy且y＞0，
∴原函数的反函数是对数函数y＝logx(x＞0)．
(3)由y＝2x2，得x＝±，
∵x∈[1,2]，∴x＝.
∴y＝2x2(x∈[1,2])的反函数解析式为y＝，
又∵x∈[1,2]，∴y∈[2,8]，
∴y＝2x2(x∈[1,2])的反函数为y＝(x∈[2,8])．
11．(创新题)求不等式log(x＋1)≥log2(2x＋1)的解集．
解：原不等式化为：
≥log2(2x＋1)，
∴－log2(x＋1)≥log2(2x＋1)，
∴log2(2x＋1)＋log2(x＋1)≤0，
即， ∴.
原不等式的解集为：
{x|－＜x≤0}．
1．(2011·高考重庆卷)下列区间中，函数f＝|ln|在其上为增函数的是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.法一：当2－x≥1，即x≤1时，f＝|ln|＝ln，此时函数f在上单调递减．当0＜2－x≤1，即1≤x＜2时，f＝|ln|＝－ln，此时函数f在上单调递增，故选D.
法二：f＝|ln|的图像如图所示．
由图像可得，函数f在区间上为增函数，故选D.
2．(2011·高考天津卷)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞a＞b
解析：选C.∵－log30.3＝log3＞1，且＜3.4，
∴log3＜log33.4＜log23.4.
∵log43.6＜1，log3＞1，∴log43.6＜log3.
∵y＝5x为增函数，∴5log23.4＞5log3＞5log43.6，
即5log23.4＞log30.3＞5log43.6，故a＞c＞b.
3．函数y＝的定义域是________．
解析：要使函数有意义．
须即，
∴解得5＜x≤6，故定义域为(5,6]．
答案：(5,6]
4．(2012·咸阳调研)已知函数f(x)＝，那么f(ln2)的值是________．
解析：∵0＜ln2＜lne＝1，
∴f(ln2)＝eln2－1＝2－1＝1.
答案：1
[A级 基础达标]
1．已知函数y＝log3x，当x＞1时，则( )
A．y＜0 B．y＞0
C．y＝0 D．y的符号不确定
解析：选B.y＝log3x为增函数，∴y＞0.
2．已知函数f(x)＝log(a＋1)x是(0，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－1,0) D．(0，＋∞)
解析：选D.∵a＋1＞1，∴a＞0.
3．设a＝log2，b＝log，c＝()0.3，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
解析：选B.由对数的性质知：a＝log2＜0，b＝log＞1，由指数性质知：0＜c＝()0.3＜1.故选B.
4．(2012·汉中调研)函数f(x)＝lg(x－1)＋的定义域是________．
解析：，∴x＞1且x≠2.
答案：(1,2)∪(2，＋∞)
5．(2012·抚州质检)设f(x)＝则
f＝________.
解析：f＝log3＋1＝0，
f＝f(0)＝20－1＝0.
答案：0
6．设f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝logx.
(1)求当x＜0时，f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)≤2.
解：(1)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝log(－x)，
又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－log(－x)．
所以当x＜0时，f(x)＝－log(－x)．
(2)由题意及(1)知，原不等式等价于
①，或 ②，
解①得x≥，解②得－4≤x＜0.
综上，原不等式的解集为{x|x≥或－4≤x＜0}．
[B级 能力提升]
7．已知函数f(x)＝2logx的值域为[－1,1]，则其定义域为( )
A. B.
C. D.∪
解析：选A.－1≤2logx≤1?－≤logx≤?≤x≤.
8．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．b＜a＜c
解析：选D.由于b＝(log53)2＝log53·log53＜log53＜a＝log54＜1＜log45＝c.故b＜a＜c，选D.
9．若loga＜1，则a的取值范围是________．
解析：由loga＜1＝logaa知，当a＞1时，a＞；
当0＜a＜1时，0＜a＜.
∴0＜a＜或a＞1.
答案：(0，)∪(1，＋∞)
10．已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判定函数f(x)的奇偶性．
解：(1)由，得函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)∵f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)4－2(－x)2
＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
11．(创新题)已知函数f(x)＝ln.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求使f(x)≤0的x的取值范围；
(3)判定f(x)在定义域中的增区间．
解：(1)由＞0得或，
即－2＜x＜2，
故函数f(x)的定义域为(－2,2)．
(2)由f(x)≤0得0＜≤1，
又∵x∈(－2,2)，
∴2－x＞0，
∴2＋x≤2－x，即x≤0，
故f(x)≤0的x的取值范围为(－2,0]．
(3)设u(x)＝＝
＝－1＋＝－1－
当x∈(－2,2)时，u(x)为增函数，
f(u)＝lnu为增函数，
∴(－2,2)为f(x)的增区间．
1．函数y＝2x与y＝x2的图像的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：D
2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的大致图像为( )
解析：选D.y＝f(x)＝(1＋10.4%)x是指数型函数，定义域为[0，＋∞)，值域为[1，＋∞)．
3．若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，ax，xn，logax中最大的是________．
解析：由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知ax＞xn＞logax.
答案：ax
4．设a＝60.7，b＝0.76，c＝log0.76，则a、b、c的大小关系为________．(按从小到大的顺序写)
解析：∵c＝log0.76＜0＜b＝0.76＜1＜a＝60.7，
∴c＜b＜a.
答案：c＜b＜a
[A级 基础达标]
1．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么“红豆生南国，春来发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
解析：选A.根据散点图中数据可得t与y的对应点为(1,2)，(2,4)，(3,8)，(4,16)，(5,32)等．结合选项知选A.
2．某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂在这一年中的月平均增长率是( )
A. B.
C.－1 D.－1
解析：选D.设每月增长率为x,1月份产量为a，则有a(1＋x)11＝7a，∴1＋x＝，∴x＝－1.
3．当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2的大小关系是( )
A．h(x)＜g(x)＜f(x) B．h(x)＜f(x)＜g(x)
C．g(x)＜h(x)＜f(x) D．f(x)＜g(x)＜h(x)
解析：选D.特殊值法．取x＝代入可排除A，B，C选项，故选D.
4．某种动物的繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第七年它们发展到________只．
解析：当x＝1时，100＝alog22，所a＝100，
所以y＝100log2(x＋1)．当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.
答案：300
5．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示，则图中曲线C1，C2对应的函数分别为________，________.
解析：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
答案：g(x)＝x3 f(x)＝2x
6．下面给出f(x)随x的增大而得到的函数值表：
x
2x
x2
2x＋7
log2x
1
2
1
9
0
2
4
4
11
1
3
8
9
13
1.5850
4
16
16
15
2
5
32
25
17
2.3219
6
64
36
19
2.5850
7
128
49
21
2.8074
8
256
64
23
3
9
512
81
25
3.1699
10
1024
100
27
3.3219
试回答：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长的快慢有什么不同？
(3)根据以上结论，体会银行的客户存款的年利率，一般不会高于10%的实际意义．
解：(1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．
(2)各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；f(x)＝log2x的增长最慢，而且增长的幅度越来越小．
(3)按复利计算，存款以指数函数增长，如果年利率设置太高，存款的增长越来越快，银行将难以承担利息支出．
[B级 能力提升]
7．函数v随着t变化的函数值列表如下：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是( )
A．v＝log2t B．v＝logt
C．v＝ D．v＝2t－2
解析：选C.代入(3.0,4.04)，(4.0,7.5)检验，故选C.
8．若0＜x＜y＜1，则( )
A．3y＜3x B．logx3＜logy3
C．log4x＜log4y D.x＜y
解析：选C.∵y＝3x在R上是增函数，且0＜x＜y＜1，
∴3x＜3y，故A错误．
∵y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数且0＜x＜y＜1，
∴log3x＜log3y＜log31＝0，
∴0＞＞，
∴logx3＞logy3，故B错误．
∵y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数且0＜x＜y＜1，
∴log4x＜log4y，故C正确．
∵y＝x在R上是减函数，且0＜x＜y＜1，
∴x＞y，故D错误．
9．2011年底世界人口达到70亿，若人口的年平均增长率为1%，经过x年后，世界人口数为y(亿)，则y与x的函数解析式为________．
解析：由题意知y＝70×(1＋1%)x＝70×1.01x(x∈N＋)．
答案：y＝70×1.01x(x∈N＋)
10．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y和月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数y＝ax2＋bx＋c或函数y＝a·bx＋c(其中a、b、c为常数，a≠0)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，问用上述哪个函数作为模拟函数好？请说明理由．
解：①若模拟函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由已知得解得
则有y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.
因此当x＝4时，y＝1.3.
②若模拟函数为y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)．
由已知得解得
则有y＝－0.8×0.5x＋1.4.
因此当x＝4时，y＝1.35.
∵1.35比1.3更接近1.37，
∴应将y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数．
11．(创新题)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．三个函数，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．
我们先用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报的增长情况，并作出三个函数的图像如图所示．
由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一、二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
一
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
…
二
10
30
60
100
150
210
280
360
450
550
660
…
三
0.4
1.2
2.8
6
12.4
25.2
50.8
102
204.4
409.2
818.8
…
∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一、二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．
1．明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是( )
A．明明 B．电话费
C．时间 D．爷爷
解析：选B.拨通时间为自变量，电话费为因变量．
2.如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，大致是( )
解析：选B.开始向水槽底部烧杯注水的一段时间h＝0，烧杯注满后，水开始进入水槽中直至到烧杯顶部时，h的变化较快，继续注入时的变化较慢．
3.如图所示某购物中心食品柜在4月份的营业情况统计图像，根据图像回答下列问题：
(1)在这个月中，日最低营业额是在4月________日，到达________万元．
(2)这个月中最高营业额是在4月______________日，到达________万元．
(3)这个月从________日到________日营业额情况较好，呈逐步上升趋势．
答案：(1)9 2；(2)21 6；(3)9 21
4．给出下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②抛物线上的点与该点坐标之间的关系；
③橘子的产量与气候之间的关系；
④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．
其中不是函数关系的有________．
解析：判断两个变量之间是否是函数关系，只需利用函数的定义．在①中，一个人拥有的财富，不仅与他的年龄有关，还与他的工作态度、方法、付出程度等因素有关，因此人的年龄与他(她)拥有的财富之间不是函数关系；在②中，由于抛物线上的任一点的坐标是唯一确定的，是一一对应的，因此抛物线上的点与该点坐标之间的关系是函数关系；③中，橘子的产量除了与气候有关外，还受施肥、管理等因素的影响，所以橘子的产量与气候之间不具有函数关系；对于④，该同学的数学考试成绩只与他的数学基础水平、学习方法、勤奋程度等因素有关，而与他的随机考试号没有关系，故二者不存在依赖关系，更不是函数关系．综上可知，②是函数关系，①③④不是函数关系．
答案：①③④
[A级 基础达标]
1．变量y是变量x的函数，则( )
A．变量x，y之间具有依赖关系
B．变量x是变量y的函数
C．当x每取一个值时，变量y可以有两个值与之对应
D．当y每取一个值时，变量x有唯一的值与之对应
解析：选A.根据函数的定义可得A.
2．下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是( )
A．y＝x－1 B．y＝
C．y＝3x2＋ D．y2＝x2
解析：选D.选项D中，当x＝1时，y＝±1；当y＝2时，x＝±2，不符合函数的定义．故选D.
3．变量x与变量y，w，z的对应关系如下表所示：
x
1
2
3
1
5
6
y
－1
－2
－3
－4
－1
－6
w
2
0
1
2
4
8
z
0
0
0
0
0
0
下列说法正确的是( )
A．y是x的函数 B．w不是x的函数
C．z是x的函数 D．z不是x的函数
解析：选C.观察表格可以看出，当x＝1时，y＝－1，－4，则y不是x的函数；很明显w是x的函数，z是x的函数．
4．某公司生产某种产品的成本为 1000元，并以1100元的价格批发出去，公司收入随生产产品数量的增加而________(填“增加”或“减少”)，它们之间________(填“是”或“不是”)函数关系．
答案：增加 是
5．圆柱的高为10 cm，当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，在这个变化过程中，__________是自变量，________是因变量．
答案：圆柱底面半径 圆柱体积
6．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白处.
年龄/岁
30
35
40
45
50
55
60
65
收缩压/mmHg
110
115
120
125
130
135
145
舒张压/mmHg
70
73
75
78
80
83
88
解析：由表中数据的规律性可知空白处填140,85.
答案：140 85
[B级 能力提升]
7．如图所示，不可能是函数图像的是( )
解析：选D.在D项中，取x＝1，则对应有两个y值，所以D项不可能是函数y＝f(x)的图像．故选D.
8．某学生从家去学校，由于怕迟到，所以一开始跑步，等跑累了再走余下的路程，如图所示，纵轴表示该生离学校的距离(用d表示)，横轴表示出发后的时间(用t表示)，则四个图中符合题意的是( )
解析：选D.因为该生离学校越来越近，所以只有B，D符合，又先跑再走，故选D.
9.(创新题)春天经常刮风，给人们的出行带来很多不便，小明观测了4月6日连续12个小时风力变化情况，并画出了风力随时间变化的图像如图，则下列说法正确的序号是________．
①在8时至14时，风力不断增大
②在8时至12时，风力最大为7级
③8时风力最小
④20时风力最小
解析：对于①，11时到12时风力减小；对于②，由图知8时到12时，风力在2～4级之间；对于③，由图知20时风力最小；故④正确．
答案：④
10．在日常生活中，我们常常会用到弹簧秤，下表为用弹簧秤称物品时弹簧秤的伸长长度与物品质量之间的关系：
弹簧秤的伸长长度(cm)
0
2
4
6
8
10
12
物品质量(kg)
0
1
2
3
4
5
6
如果用y表示弹簧秤的伸长长度，x表示物品质量，则
(1)随x的增大，y的变化趋势是怎样的？
(2)当x＝3.5时，y等于多少？当x＝8时呢？
(3)写出x与y之间的关系式．
解：(1)y也随之增大；
(2)当x＝3.5时，y＝7；当x＝8时，y＝16；
(3)y＝2x.
11．如图(1)是一辆汽车速度随时间而变化的情况示意图．
(1)汽车从出发到最后停止共经过多少时间？它的最高时速是多少？
(2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
(3)出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？
(4)如果纵轴表示路程s(千米)．如图(2)，横轴表示时间t(时)．这是一个骑自行车者离家距离与时间的关系图像．在出发后8小时到10小时之间可能发生了什么情况？骑自行车者在哪些时间段保持匀速运动？速度分别是多少？
解：(1)汽车从出发到最后停止共经过了24分钟，它的最高时速是80千米．
(2)汽车在出发后2分钟到6分钟，出发后18分钟到22分钟均保持匀速行驶，时速分别为30千米和80千米．
(3)出发后8分到10分之间汽车速度为0千米/时，重新出发后，车速很快提高到80千米/时，因此在这段时间内很可能在修车．
(4)在出发后8小时到10小时之间骑自行车者可能回家吃饭、休息等．骑自行车者在开始出发到出发后2小时时间段内匀速运动，车速为＝15(千米/时)．在出发后6小时到8小时时间段内匀速运动，车速为＝15(千米/时)．在出发后10小时到18小时时间段匀速运动，车速为＝10(千米/时)，在出发后22小时到24小时时间段内匀速运动，车速＝40(千米/时)．
1．(2012·淮南质检)下列图形中，不可作为函数y＝f(x)图像的是( )
解析：选C.根据函数的定义“对于函数定义域内的任意x有唯一确定的y与之对应”可知，图形C不可作为函数图像．
2．函数f(x)＝(0≤x≤2且x∈N＋)的值域是( )
A．{，，} B．{，}
C．{x|0解析：选B.∵0≤x≤2且x∈N＋，
∴x＝1,2.
又当x＝1时，f(1)＝；
当x＝2时，f(2)＝.故选B.
3．给出下列函数：
①y＝x2－x＋2，x>0；②y＝x2－x，x∈R；③y＝t2－t＋2，t∈R；④y＝t2－t＋2，t>0.
其中与函数y＝x2－x＋2，x∈R相等的是________．
解析：①中函数与函数y＝x2－x＋2，x∈R的定义域不同，故两函数不相等；②中函数与函数y＝x2－x＋2，x∈R的定义域相同，但对应关系不同，故两函数也不相等；③中函数与函数y＝x2－x＋2，x∈R的定义域相同，对应关系也相同，故两函数相等；④中函数与函数y＝x2－x＋2，x∈R的对应关系相同，但定义域不同，故两函数不相等．
答案：③
4．已知函数f(x)的定义域是{x|4p－1解析：4p－1<2p＋1，∴p<1.
答案：p<1
[A级 基础达标]
1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的个数是( )
①y是x的函数；②对于不同的x，y的值也不同；③f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体式子表示出来．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.显然①③正确；在②中，对于不同的x，只需有唯一的y与之对应，y的值可以相同也可以不同；在④中，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，如心电图．
2．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )
A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
解析：选A.∵函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，∴自变量x取0,1,2,3四个实数，将x的值依次代入函数解析式，得因变量的值依次为0，－1,0,3，故其值域为{－1,0,3}．
3．(2012·延安质检)下列哪组中的函数f(x)与g(x)相等( )
A．f(x)＝x＋1，g(x)＝＋1
B．f(x)＝x2，g(x)＝()4
C．f(x)＝x，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝
解析：选C.A中f(x)的x∈R.g(x)的x≠0，定义域不同．B中f(x)的x∈R.g(x)的x≥0，定义域不同．C中g(x)＝x，x∈R，f(x)＝g(x)．D中f(x)的定义域(－∞，－2]∪[－1，＋∞)．g(x)定义域[－1，＋∞)．
4．已知函数f(x)＝－2x3＋5x2－3x＋2，则f(－3)＝________.
解析：f(－3)＝－2(－3)3＋5(－3)2－3×(－3)＋2＝110.
答案：110
5．若y＝f(x)＝的定义域为M，值域为N，则集合M，N的关系是________．
解析：M＝N＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．
答案：M＝N
6．已知f(x)＝3x＋6.求f(2)，f(a)，f(m＋n)，f(f(x))．
解：f(2)＝3×2＋6＝12，f(a)＝3·a＋6＝3a＋6，
f(m＋n)＝3·(m＋n)＋6＝3(m＋n)＋6，
f(f(x))＝3·f(x)＋6＝3(3x＋6)＋6＝9x＋24.
[B级 能力提升]
7．(2012·九江质检)函数y＝2－的值域是( )
A．[2，＋∞) B．[0,2]
C．[0,4] D．(－∞，2]
解析：选B.∵－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴0≤－x2＋4x≤4.
∴0≤≤2，－2≤－≤0.
∴0≤2－≤2.
8．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．[－1,1)∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：选B.，∴
9．(创新题)若f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2.则＋＋…＋＝________.
解析：令b＝1.∴f(a＋1)＝f(a)f(1)
∴＝f(1)＝2
∴＝2.＝2.……＝2
∴＋＋…＋＝2011×2＝4022.
答案：4022
10．(2012·阜阳调研)已知二次函数y＝x2－4x＋5，分别求下列条件下函数的值域：
(1)x∈[－1,0]；(2)x∈(1,3)；(3)x∈(4,5]．
解：
y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1.关于x＝2对称．如图
(1)当x＝0时，y＝5.当x＝－1时，y＝10.
即当x∈[－1,0]时，y∈[5,10]．
(2)x∈(1,3)时，x＝2时，y最小值为1.
当x＝1或x＝3时，y＝2.
又∵x∈(1,3)，∴点(1,2)，(3,2)为虚点．
∴当x∈(1,3)时，y∈[1,2)．
(3)当x∈(4,5]时，x＝4时，对应值y＝5，(4,5)为虚点．
当x＝5时，y＝10，(5,10)为实点．
∴当x∈(4,5]时，y∈(5,10]．
11．已知f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，若g(f(x))＝x2＋x＋1，求a的值．
解：∵f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，
∴g(f(x))＝g(2x＋a)＝[(2x＋a)2＋3]＝x2＋ax＋(a2＋3)．
又g(f(x))＝x2＋x＋1，
∴x2＋ax＋(a2＋3)＝x2＋x＋1，∴a＝1.
1．若f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)等于( )
A．2x＋1 B．2x－1
C．2x－3 D．2x＋7
解析：选B.g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
∴g(x)＝2x－1.
2．(2011·高考北京卷)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)，已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )
A．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
解析：选D.由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60，将c＝60代入＝15得A＝16.
3．(2010·高考陕西卷)已知函数f(x)＝若f[f(0)]＝4a，则实数a＝________.
解析：f(0)＝3×0＋2＝2，f[f(0)]＝f(2)＝4＋2a＝4a，得a＝2.
答案：2
4.如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝________
解析：由图像可得f(0)＝4，f(4)＝2.
答案：2
[A级 基础达标]
1．设f(x)＝，则f(f(－1))的值为( )
A．5 B．4
C. D．－1
解析：选A.f(－1)＝3－(－1)＝4.
∴f(f(－1))＝f(4)＝4＋1＝5.
2.图中的图像所表示的函数的解析式为( )
A．y＝|x－1|(0≤x≤2)
B．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
C．y＝－|x－1| (0≤x≤2)
D．y＝1－|x－1| (0≤x≤2)
解析：选B.当x＝1时，y＝排除A，D.当x＝0，时y＝0排除C.
3．已知函数y＝f(x)和函数y＝g(x)的图像如图所示：则函数y＝f(x)g(x)的图像可能是( )
解析：选B.当x<0时，由f(x)，g(x)的图像可知f(x)>0.g(x)<0.∴f(x)g(x)<0排除A，C，D.
4．(2012·安庆质检)已知函数f(x)＝，若f(x)＝10，则x＝________.
解析：令x2＋1＝0.∴x＝±3(x<0)，∴x＝－3.
令－2x＝10.∴x＝－5与x>0矛盾，
答案：－3
5．(2012·抚州调研)若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)＝________.
解析：∵f(3x＋2)＝9x＋8＝3(3x＋2)＋2，
∴f(x)＝3x＋2.
答案：3x＋2
6.根据函数f(x)的图像(如图)写出它的解析式．
解：当0≤x≤1时，f(x)＝2x；
当1当x≥2时，f(x)＝3.
所以f(x)＝
[B级 能力提升]
7．函数y＝＋x的图像是( )
解析：选D.x>0时，y＝1＋x.x<0时，y＝－1＋x.
8．(2012·商洛质检)已知函数g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，则f(0)等于( )
A．3 B.
C．－ D．－3
解析：选A.令g(x)＝0.即1－2x＝0.∴x＝
∴f(0)＝＝3.
9．(2011·高考江苏卷)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
解析：首先讨论1－a,1＋a与1的关系，当a<0时，1－a>1,1＋a<1，所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.
因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2，所以a＝－.
当a>0时，1－a<1,1＋a>1，
所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1.
因为f(1－a)＝f(1＋a)，
所以2－a＝－3a－1，所以a＝－(舍去)．
综上，满足条件的a＝－.
答案：－
10．(创新题)某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？并求出最大利润？
解：设商品的售价定为x元，利润为y元，则每件商品的利润为(x－40)元，每件商品涨价了(x－50)元，商品少卖了(x－50)个，商品卖了50－(x－50)＝100－x(个)．
∴y＝(100－x)(x－40)＝－x2＋140x－4000
由，得50≤x≤100
∴y＝－x2＋140x－4000(50≤x≤100)
二次函数y的对称轴为x＝70∈[50,100]，且开口向下
∴当x＝70时，ymax＝－702＋140×70－4000＝900.
即商品的售价定为70元时，销售利润最大，最大利润为900元．
11．如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y与x的函数．
解：过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.因为ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
(1)当点F在BG上时，即x∈(0,2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上时，即x∈(2,5]时，y＝2＋(x－2)·2＝2x－2.
(3)当点F在HC上时，即x∈(5,7]时，
y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRtΔCEF＝10－(7－x)2.
所以，函数解析式为
y＝
1．下列对应法则f中，能构成从A到B的函数的有( )
①A＝{0,2}，B＝{0,1}，f：x→y＝；②A＝{－2,0,2}，B＝{4}，f：x→y＝x2；③A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝；④A＝R，B＝R，f：x→y＝2x＋1.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.②中A的元素0在B中无像，不能构成映射，也就不能构成函数；③中A的元素0在B中无像，不能构成映射，也就不能构成函数．①④都能构成A到B的函数．
2．下列对应关系是从集合M到集合N的一一映射的是( )
A．M＝N＝R，f：x→y＝－，x∈M，y∈N
B．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N
C．M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N
D．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N
解析：选D.判断一个对应关系是否为一一映射，要从基本概念入手，看是否满足一一映射的条件，A选项M中元素0在N中没有像与之对应，所以A不是映射；B选项M中元素±1在N中对应相同的像1，虽然B是映射，但不是一一映射；C选项M中元素0及负实数在N中没有元素与之对应，所以C不是映射；D选项M中的每一个元素在N中都有唯一元素与之对应，M中的不同元素在N中的像也不同，且N中的元素在M中都有原像，所以D是一一映射．
3．设集合A和B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在映射f下，像(2,1)的原像是________．
解析：本题即为求方程组的解．
答案：
4．已知映射f：A→B，其中，集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的像，且对任意的a∈A，在集合B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数最少是________．
解析：本题题意叙述虽长，但转换成图表语言则非常简洁．如图，即可知个数最少应为4.
答案：4
[A级 基础达标]
1．(2012·九江检测)在从集合A到集合B的映射中，下列说法正确的是( )
A．集合B中的某一个元素b的原像可能不止一个
B．集合A中的某一个元素a的像可能不止一个
C．集合A中的两个不同元素所对应的像必不相同
D．集合B中的两个不同元素的原像可能相同
解析：选A.由映射的概念可知，A中的每个元素都有像，且像唯一，B中未必每个元素都有原像且不一定唯一，故选A.
2．下列对应关系f中，不是从集合A到集合B的映射的是( )
A．A＝{x|1B．A＝R，B＝R，f：取绝对值
C．A＝{正实数}，B＝R，f：求平方
D．A＝R，B＝R，f：取倒数
解析：选D.因为D中0取倒数无意义，故选D.
3．设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B，把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，像20的原像是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C.∵20＝2n＋n，分别将选择项代入检验，知当n＝4时成立．
4．(2012·淮北质检)已知A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则分别是：
(1)f：x→y＝x，(2)f：x→y＝x－2，(3)f：x→y＝，(4)f：x→y＝|x－2|
其中能构成一一映射的是________．
解析：(1)y＝x.x∈[0,4]．y∈[0,2]＝B
(2)y＝x－2∈[－2,2]≠B.(3)y＝∈[0,2]＝B.(4)y＝|x－2|∈[0,2]，但如y＝1.∴x＝3或x＝1.
答案：(1)(3)
5．已知从A到B的映射是x→2x＋1，从B到C的映射是y→－1，其中A，B，C?R，则从A到C的映射是________．
解析：x∈A.y∈B.z∈C.∴y＝2x＋1.z＝－1
∴z＝(2x＋1)－1＝x－.∴x→x－
答案：x→x－
6．设A＝B＝{a，b，c，d，e，…，x，y，z}(元素为26个英文字母)，作映射A→B为：
并称A中字母拼成的文字为明文，相应B中对应字母拼成的文字为密文，则：
(1)“mathematics”的密文是什么？
(2)试破译密文“ju jt gvooz”．
解：由明文与密文的关系可知：
(1)“mathematics”对应的密文是“nbuifnbujdt”．
(2)“ju jt gvooz”对应的明文是“it is funny”．
[B级 能力提升]
7．(2012·汉中调研)下列对应法则是从集合A到集合B的映射的是( )
A．A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|
B．A＝{x|x≥0}，B＝{y|y>0}，f：x→y＝
C．A＝N，B＝N＋，f：x→y＝|x－1|
D．A＝R，B＝{y|y≥0}，f：x→y＝x2－2x＋2
解析：选D.x＝0，y＝0?B，A错．同理B错．
C中：当x＝1时，y＝0?B.C错.
8．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，f：A→B为集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有( )
A．6种 B．7种
C．8种 D．27种
解析：选B.该函数的值域C的不同情况有{4}，{5}，{6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，{4,5,6}7种．
9．已知(x，y)在映射f作用下的像是(x＋y，xy)，则(3,4)的像为________，(1，－6)的原像为________．
解析：根据条件可知x＝3，y＝4，则x＋y＝3＋4＝7，xy＝3×4＝12，所以(3,4)的像为(7,12)；设(1，－6)的原像为(x，y)，则有解得或
所以(1，－6)的原像为(－2,3)或(3，－2)．
答案：(7,12) (－2,3)或(3，－2)
10．(创新题)已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，a∈N＋，k∈N＋，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k，A，B.
解：根据对应法则f，有：f：1→4；2→7；3→10；k→3k＋1.
若a4＝10，则a?N＋，不符合题意，舍去；
若a2＋3a＝10，则a＝2(a＝－5不符合题意，舍去)．
故3k＋1＝a4＝16，得k＝5.
综上可知，a＝2，k＝5, 集合A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．
11．已知集合A到集合B＝的映射f：x→，那么集合A中的元素最多有几个？并写出元素个数最多时的集合A.
解：∵f是映射，∴A中的每一个元素都应在B中有唯一的元素对应．
∵≠0，∴0在A中不存在原像；
由＝1，得x＝±2，∴±2可取作1的对应元素；
由＝，得x＝±3，∴±3可取作的对应元素；
由＝，得x＝±4，∴±4可取作的对应元素；
∴A中元素最多只能是6个，即A＝{－4，－3，－2,2,3,4}．
1．下列四个函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．f(x)＝－x＋3 B．f(x)＝(x＋1)2
C．f(x)＝－|x－1| D．f(x)＝
解析：选B.画出各个函数的图像，由单调函数图像特征可知，选项B正确．
2. 已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )
A．减函数且f(0)>0 B．增函数且f(0)>0
C．减函数且f(0)<0 D．增函数且f(0)<0
解析：选C.由题意，知a<0，b<0.
∴f(x)＝bx＋a在R上是减函数，且f(0)＝a<0.
3．如图为y＝f(x)的图像，则它的单调递减区间是________．
解析：由单调性定义可得．
答案：(－2,1)和(3，＋∞)
4．若f(x)是R上的增函数，且f(x)的图像经过点A(0，－1)和点B(3,3)，则不等式－1解析：由题意可知f(0)＝－1，f(3)＝3.
∴－1又∵f(x)是R上的增函数
∴0即不等式－1答案：(－1,2)
[A级 基础达标]
1．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1A．一定是增函数 B．一定是减函数
C．可能是常数函数 D．单调性不能确定
解析：选D.由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值．
2．若函数f(x)是R上的减函数，则下列各式成立的是( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋2)f(a)
解析：选C.a和2a，a2和a无法确定大小关系，所以不能确定相应函数值的大小关系，故A，B错误；因为a2＋2－2a＝(a－1)2＋1>0，所以a2＋2>2a，又函数f(x)是R上的减函数，所以f(a2＋2)0，所以a2＋1>a，又函数f(x)是R上的减函数，所以f(a2＋1)3．下列结论正确的是( )
A．函数y＝kx(k为常数，且k<0)在R上为增函数
B．函数y＝x2在R上为增函数
C．函数y＝在定义域内为减函数
D．函数y＝在(－∞，0)上为减函数
解析：选D.作出函数y＝kx(k<0)，y＝x2，y＝的图像(图略)即可判断．
4．若函数y＝在区间(0，＋∞)上是减少的，则实数k的取值范围是________．
解析：因为函数y＝在区间(0，＋∞)上是减少的，所以1＋k>0，解得k>－1.
答案：(－1，＋∞)
5．函数f(x)＝4－在(0，＋∞)上为________函数(填“增”或“减”)．
解析：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝4－－＝.
因为x1，x2∈(0，＋∞)且x10，
所以f(x1)－f(x2)＝<0，即f(x1)所以函数f(x)＝4－在(0，＋∞)上是增函数．
答案：增
6．证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上是增函数．
证明：设x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1∴x1－x2<0,1＋x1>0,1＋x2>0，
∴f(x1)－f(x2)<0
即f(x1)故f(x)＝在(－1，＋∞)上是增函数．
[B级 能力提升]
7．已知定义在R上的增函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )
A．一定大于0 B．一定小0
C．等于0 D．正负都有可能
解析：选A.x1＋x2>0.
∴x1>－x2.∴f(x1)>f(－x2)，
∴f(x1)>－f(x2)∴f(x1)＋f(x2)>0.
同理f(x1)＋f(x3)>0.f(x2)＋f(x3)>0.
∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0.
8．(2012·九江质检)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是( )
A．(－∞，0] B．[0,1)
C．[1，＋∞) D．[－1,0]
解析：选B.
g(x)＝如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.
9．已知函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
解析：当x≥0时，f(x)＝x＋a在[0，＋∞)上是递增的，∴f(x)≥f(0)＝a；当x<0时，由f(x)＝ax＋2a－1在(－∞，0)上也是递增的知a>0，且f(x)<2a－1.
又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴2a－1≤a，∴a≤1.综上，0答案：010．讨论函数y＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解：设－1∵x1x2＋1>0，x2－x1>0，x－1<0，x－1<0，∴在当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－1,1)上是减函数；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
综上所述：当a>0时，f(x)在(－1,1)上是减函数，当a<0时，f(x)在(－1,1)上是增函数．
11．(创新题)已知函数f(x)＝，x∈[3,7]．
(1)判断函数f(x)的单调性，并用定义加以证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解：(1)函数f(x)在区间[3,7]内单调递减，证明如下：
在[3,7]上任意取两个数x1和x2，
且设x1>x2，
∵f(x1)＝，f(x2)＝，
∴f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
∵x1，x2∈[3,7]，x1>x2，
∴x1－2>0，x2－2>0，x2－x1<0，
∴f(x1)－f(x2)＝<0.
即f(x1)(2)由单调函数的定义可得f(x)max＝f(3)＝4，f(x)min＝f(7)＝.
1．设点(3,1)及(1,3)为二次函数f(x)＝ax2－2ax＋b(x≥1)的图像上的两个点，则( )
A．a＝，b＝ B．a＝，b＝－
C．a＝－，b＝ D．a＝－，b＝－
解析：选C.将点(3,1)及(1,3)分别代入二次函数f(x)＝ax2－2ax＋b(x≥1)中，有，解得.故选C.
2．(2010·高考安徽卷)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是( )
解析：选D.由A，C，D知，f(0)＝c<0.
∵abc>0，∴ab<0，
∴对称轴x＝－>0，知A，C错误，D符合要求．由B知f(0)＝c>0，∴ab>0，∴x＝－<0，B错误．
3．把f(x)＝2x2＋x－1的图像向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到函数g(x)的图像，则g(x)的解析式为______．
解析：由题意有g(x)＝f(x－1)－1＝2(x－1)2＋(x－1)－1－1＝2x2－3x－1.
答案：g(x)＝2x2－3x－1
4．将函数y＝7x2＋28x－1配方成y＝a(x＋h)2＋k的形式，则k＋h＝________.
解析：y＝7x2＋28x－1＝7(x＋2)2－29，∴h＝2，k＝－29.∴k＋h＝－29＋2＝－27.
答案：－27
5．如果一条抛物线的形状与y＝x2＋2的形状相同，且顶点坐标是(4，－2)，则它的解析式是________________________________________________________________________．
解析：因为抛物线形状与y＝x2＋2的形状相同，且顶点坐标是(4，－2)，
所以它的解析式为y＝(x－4)2－2或y＝－(x－4)2－2，
即y＝x2－x＋或y＝－x2＋x－.
答案：y＝x2－x＋或y＝－x2＋x－
[A级 基础达标]
1．函数y＝x2的图像向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为( )
A．y＝(x＋1)2 B．y＝(x－1)2
C．y＝x2＋1 D．y＝x2－1
解析：选C.将函数y＝x2的图像向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，得到函数y＝x2＋k的图像．
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则abc等于( )
A．－6 B．11
C．－ D.
解析：选C.∵图像过(4,0)，
∴16a＋4b＋c＝0.①
又过点(0,2)，∴c＝2.②
由顶点坐标为(4,0)可知
x＝－＝4.③
由①②③可解得a＝，b＝－1，c＝2，∴abc＝－.
3．已知某二次函数的图像与函数y＝2x2的图像的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )
A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3
解析：选D.设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由题意可知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3.
4．已知抛物线的对称轴为x＝－1，它与x轴的交点间的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的解析式为________．
解析：对称轴是x＝－1，它与x轴的交点间的距离等于4，∴由对称性知，与x轴的交点分别是(－3,0)，(1,0)．
设函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，把x＝0，y＝－6代入上式得a＝2.
∴所求解析式为
y＝2(x＋3)(x－1)＝2x2＋4x－6.
答案：y＝2x2＋4x－6
5．抛物线y＝－3x2＋bx＋c是由抛物线y＝－3x2＋6x＋1向上平移3个单位，再向左平移2个单位长度得到的，则b＝________，c＝________.
解析：y＝－3x2＋6x＋1＝－3(x－1)2＋4向上平移3个单位，得y＝－3(x－1)2＋7，再向左平移2个单位，得y＝－3(x－1＋2)2＋7＝－3x2－6x＋4，
比较系数得b＝－6，c＝4.
答案：－6 4
6．画出函数y＝x2－2x－3的图像，并根据图像回答：
(1)方程x2－2x－3＝0的根是什么？
(2)x取何值时，函数值大于0？函数值小于0?
解：由y＝x2－2x－3，
得y＝(x－1)2－4.
显然开口向上，顶点(1，－4)，与x轴交点(3,0)，(－1,0)，与y轴交点为(0，－3)，图像如图．
(1)由图像知x2－2x－3＝0的根为x＝－1或x＝3.
(2)当y>0时，就是图中在x轴上方的部分，这时x>3或x<－1；当y<0时，即抛物线在x轴下方的部分，这时－1[B级 能力提升]
7．(2012·南昌质检)如图所示，当ab>0时，函数y＝ax2与f(x)＝ax＋b的图像是( )
解析：选D.对于A.a>0，∴b>0与f(x)＝ax＋b图像矛盾；
对于B.a>0，与f(x)＝ax＋b图像矛盾；
对于C.a<0，与f(x)＝ax＋b图像矛盾．
8．已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)，并且m，n是方程f(x)＝0的两根，则实数a，b，m，n的大小关系可能是( )
A．mC．a解析：选A.
由f(x)＝1－(x－a)(x－b)可知，二次函数f(x)的开口向下，且f(a)＝f(b)＝1>0.
∵m，n是方程f(x)＝0的两根，∴f(m)＝f(n)＝0.
由f(x)的图像可知，实数a，b，m，n的关系可能是m9．已知方程x2－4|x|＋5＝m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2－4|x|＋5，
则f(x)＝
即f(x)＝
作出f(x)的图像，如图要使方程x2－4|x|＋5＝m有四个全不相等的实根，需使函数f(x)与y＝m的图像有四个不同的交点，由图像可知，1答案：(1,5)
10．已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P(2,0)，求这个函数的解析式．
解：法一：设所求函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意得解得
∴函数的解析式为y＝3x2－6x.
法二：设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，则顶点坐标为(－h，k)，已知顶点坐标是(1，－3)，
∴h＝－1，k＝－3，
即所求的二次函数解析式为y＝a(x－1)2－3.
又∵图像经过点P(2,0)，∴0＝a×(2－1)2－3，
∴a＝3.
∴函数的解析式为y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x.
法三：设所求函数的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
其中x1、x2是抛物线与x轴的两交点的横坐标．
已知抛物线与x轴的一个交点为P(2,0)，对称轴是直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(0,0)，
∴x1＝0，x2＝2.
∴所求的解析式为y＝a(x－0)(x－2)．
又∵顶点为(1，－3)，∴－3＝a×1×(1－2)，∴a＝3.
∴函数的解析式为y＝3x2－6x.
11.
(创新题)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、B、C三点，当x≥0时，其图像如图所示．
(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；
(2)画出抛物线y＝ax2＋bx＋c，当x<0时的图像．
解：(1)由图像可知抛物线过A(0,2)、B(4,0)、C(5，－3)三点，代入解析式得方程组
解得
所以抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2，顶点坐标为.
(2)画图像(是原函数图像的一部分)
令y＝0.∴x2－3x－4＝0，∴x＝4或x＝－1，
故图像在x<0时过定点(－1,0)，如图且与[3，＋∞)的图像关于x＝对称.
1．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
解析：选B.∵(x－1)2≥0，
∴(x－1)2＋2≥2，
∴最小值为2.故选B.
2．函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数，则( )
A．b>0且a<0 B．b＝2a<0
C．b＝2a>0 D．a，b的符号不定
解析：选B.由f(x)在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数知a<0，且对称轴x＝－＝－1，∴b＝2a，故选B.
3．若函数f(x)＝x2＋(a＋2)x，x∈[a，b]的图像关于直线x＝－对称，则a＝________，b＝________.
解析：f(x)的图像的对称轴为
x＝－＝－.
∴a＝－1，
由＝－得b＝0.
答案：－1 0
4．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知f(x)在[1，a]内是单调递减的，
又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，
∴1答案：(1,3]
[A级 基础达标]
1．若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3的图像关于y轴对称，则f(x)在(－3,1)上( )
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
解析：选C.∵f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3的图像关于y轴对称，∴m＝0，
∴f(x)＝－x2＋3，
∴f(x)在(－3,1)上先增后减．
2．f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－1)＝f(3)，则( )
A．f(1)>c>f(－1) B．f(1)C．c>f(－1)>f(1) D．c解析：选B.c＝f(0)，f(－1)＝f(3)，
∴对称轴x＝1，
∴在(－∞，1)上f(x)为减函数，
∴f(1)即f(1)3．(2012·九江调研)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是( )
A．(0,4] B.
C. D.
解析：
选C.y＝x2－3x－4＝2－，
∴图像的对称轴为x＝，
顶点为，
结合图像可知，
≤m≤3.
4．函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是________，最大值是________．
解析：f(x)＝22－.
当x＝1时，f(x)min＝－3；
当x＝－1时，f(x)max＝9.
答案：－3 9
5．如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减少的，那么实数a的取值范围是________．
解析：二次函数f(x)的图像开口向上，且对称轴为x＝1－a，所以单调递减区间为(－∞，1－a]，故(－∞，4]?(－∞，－a]，因此1－a≥4，解得a≤－3.
答案：a≤－3
6．求函数y＝|x2－1|的单调区间．
解：∵当x2－1≥0时，x≤－1，或x≥1，
∴y＝
画出函数y＝|x2－1|的图像如图．
由图像可知，函数y＝|x2－1|在(－∞，－1]和[0,1]是减少的，在[－1,0]和[1，＋∞)上是增加的．
[B级 能力提升]
7．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c，对于任意实数t都有f(t＋2)＝f(2－t)，f(1)、f(2)、f(4)满足( )
A．f(2)C．f(2)解析：选C.对于任意实数t都有f(t＋2)＝f(2－t)得：
(2＋t)2＋b(2＋t)＋c＝(2－t)2＋b(2－t)＋c，
化简得(2b＋8)t＝0，解得b＝－4.
所以f(x)的对称轴为x＝2，故f(1)＝f(3)，
又f(x)在[2，＋∞)上为增函数，所以f(2)8．(2012·西安质检)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”的所有函数值的和等于( )
A．32 B．64
C．72 D．96
解析：选D.令2x2－1＝1，∴x＝±1.令2x2－1＝7，∴x＝±2.
当孪生函数的定义域为{－1,2}，{－1，－2}，{1,2}，{1，－2}时，其函数值都是1和7.
函数值之和为(1＋7)×4＝32.
当定义域为{－1,1,2}，{－1,1，－2}，其函数值都分别为1,1和7.函数值之和为(1＋1＋7)×2＝18.
当定义域为{－1,2，－2}，{1，－2,2}，其函数值都分别为1,7,7.函数值之和为(1＋7＋7)×2＝30，
当定义域为{－1,1，－2,2}其函数值之和1＋1＋7＋7＝16，
∴所有函数值之和为32＋18＋30＋16＝96.
9．已知二次函数满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，若f(x)在区间[m，n]上的值域是[m，n]，则m＝____，n＝______.
解析：因为二次函数满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以直线x＝1是它的对称轴．因为f(0)＝0，f(1)＝1.如图所示，因为当x∈[0,1]时，y＝f(x)的值域是[0,1]，所以m＝0，n＝1.
答案：0 1
10．(创新题)已知函数f(x)＝－＋x，x∈[m，n](m解：∵f(x)＝－＋x＝－(x－1)2＋≤，∴n≤.
故对称轴x＝1在区间[m，n]的右边，f(x)在[m，n](m∴即
∴
∴存在m＝－2，n＝0满足题意．
11．已知二次函数y＝x2＋2kx＋3－2k.
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)当k为何值时，抛物线的顶点位置最高？
(3)求顶点位置最高时抛物线的解析式．
解：(1)由题意可知：
∴该抛物线的顶点坐标为(－k，－k2－2k＋3)．
(2)由(1)知顶点的纵坐标为y＝－k2－2k＋3＝－(k＋1)2＋4，
∴当k＝－1时，顶点位置最高．
(3)由(2)知当k＝－1时，顶点位置最高．
此时抛物线的解析式y＝x2－2x＋5.
1．下面四个结论：①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定过原点；③偶函数的图像一定关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的一定是y＝0(x∈R)．其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.可结合我们已学过的函数及奇、偶函数的图像特征来判断．偶函数的图像一定关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如函数y＝x0，y＝x－2都是偶函数，但它们的图像不与y轴相交，故①错误，③正确；奇函数的图像关于原点对称，但不一定过原点，如y＝x－1，故②错误；若函数y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但未必x∈R，如x∈(－1,1)，只要其定义域关于原点对称即可，故④错误，所以，四个结论中只有③正确，故选A.
2．(2011·高考上海卷)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝
解析：选A.∵y＝x－1和y＝都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C错误，y＝x－2＝在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意．
3．下图是根据y＝f(x)绘出来的，则表示偶函数的图像是图中的________．(把正确图像的序号都填上)
解析：观察四个图像可以看出，只有图(3)关于y轴对称，其相应的函数是偶函数．
答案：(3)
4．若函数y＝(a2－3a－3)x2为幂函数，则a的值为________．
解析：根据幂函数的定义，若函数y＝(a2－3a－3)x2为幂函数，则x2的系数必为1，即a2－3a－3＝1，所以a2－3a－4＝0，解得a＝－1或a＝4.
答案：－1或4
[A级 基础达标]
1．函数f(x)＝－x的图像关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
解析：选C.∵f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝－(－x)＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，它的图像关于原点对称，故选C.
2．已知函数f(x)(x∈R)是偶函数，则下列各点中必在函数y＝f(x)图像上的是( )
A．(－a，f(a)) B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a)) D．(a，－f(a))
解析：选A.因为函数f(x)(x∈R)是偶函数，所以，若点(a，f(a))在函数y＝f(x)的图像上，由偶函数的图像关于y轴对称可知，点(a，f(a))关于y轴的对称点(－a，f(a))必在函数图像上．
3．(2012·宝鸡调研)函数y＝是( )
A．偶函数不是奇函数 B．奇函数不是偶函数
C．奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选B.y＝的定义域为{x|－1≤x≤1且x≠0}，关于原点对称，又当x∈[－1,0)∪(0,1]时，x＋3>0.
∴y＝是奇函数，故选B.
4．比较大小(填“>”“<”或“＝”)：
(1)0.5________0.5；
(2)(－π)3________(－3)3.
解析：(1)因为幂函数y＝x0.5在区间[0，＋∞)上是增函数，又>，所以0.5>0.5.
(2)因为幂函数y＝x3在区间(－∞，＋∞)上是增函数，又－π<－3，所以(－π)3<(－3)3.
答案：(1)> (2)<
5．幂函数y＝(k2－2k－2)x1－k在(0，＋∞)上是减函数，则k＝________.
解析：∵y＝(k2－2k－2)x1－k是幂函数，
∴k2－2k－2＝1，
∴k＝3或k＝－1，
当k＝－1时，y＝x2在(0，＋∞)上是增函数，不合题意，舍去．
当k＝3时，y＝x－2在(0，＋∞)上是减函数，
故k＝3.
答案：3
6．已知幂函数f(x)＝xα的图像经过点A.
(1)求实数α的值；
(2)求证：f(x)在区间(0，＋∞)内是减函数．
解：(1)∵f(x)＝xα的图像经过点A，
∴α＝，即2－α＝，解得α＝－.
(2)证明：由(1)可知，f(x)＝，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x10，
∴f(x1)－f(x2)＝－
＝－＝
＝>0，
即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)＝在区间(0，＋∞)内是减函数．
[B级 能力提升]
7．幂函数y＝xα中α的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.根据幂函数y＝x－1，y＝x0，y＝，y＝x，y＝x2，y＝x3的图像和解析式可知，当α＝－1，，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．
8．(2012·合肥质检)已知偶函数f(x)在区间(0，＋∞)单调增加，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
解析：选A.f(x)在(0，＋∞)为增，则在(－∞，0)为减．
f(2x－1)9．(2012·南昌质检)幂函数y＝ (p∈Z)为偶函数，且f(1)解析：由f(1)∴－p2＋p＋>0，∴p2－2p－3<0.
∴(p－3)(p＋1)<0，∴－1又∵p∈Z，当p＝0时，或p＝2时，y＝不是偶函数，p＝1，y＝x2适合题意．
答案：1
10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域是[a－1,2a]，求f(x)的值域．
解：∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是[a－1,2a]上的偶函数，
∴∴∴f(x)＝x2＋1.
∴f(x)＝x2＋1在上的值域是.
11．(创新题)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x＋y)(x，y∈R)，f(1)＝－1.
(1)求f(0)和f(－2)的值；
(2)若f(5)＝m，试用m表示f(－5)；
(3)试判断f(x)的奇偶性(要写出推理过程)．
解：(1)取x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.
取x＝y＝1得f(2)＝2f(1)＋2×2＝2.
取x＝2，y＝－2得f(0)＝f(2)＋f(－2)，
∴f(－2)＝－2.
(2)取x＝5，y＝－5得f(0)＝f(5)＋f(－5)．
∴f(－5)＝－m.
(3)取y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(－x)＝－f(x)．
从而f(x)是奇函数．
1．(2012·西安调研)已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：
x
0
1
2
3
f(x)
3.1
0.1
－0.9
－3
那么函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3，＋∞)
解析：选B.由表格可得f(1)·f(2)<0.
2．偶函数f(x)在[0，a](a>0)上是连续的单调函数，且f(0)·f(a)<0，则函数f(x)在[－a，a]内根的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选B.在[0，a]内f(0)·f(a)<0且单调，只有一个零点，根据偶函数的性质可知在[－a,0]也有一个零点，所以f(x)在[－a，a]有2个零点．
3．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是________．
解析：方程x2－3x－4＝0的解是4和－1，所以函数的零点是4，－1.
答案：4，－1
4．方程2x－x－2＝0在实数范围内的解有________个．
解析：在同一坐标系中画出y＝2x与y＝x＋2的图像如图所示．
由图像可知y＝2x与y＝x＋2有两个交点，故方程2x－x－2＝0在实数范围内有两解．
答案：2
[A级 基础达标]
1．已知函数f(x)在区间[5,6]上是连续的且有f(5)·f(6)<0，则f(x)在区间(5,6)内( )
A．恰好有一个零点 B．有两个零点
C．至少有一个零点 D．不一定存在零点
解析：选C.结合零点分析法，f(x)在[5,6]上连续，且f(5)·f(6)<0，可知函数f(x)在[5,6]内至少有一个零点，故选C.
2．函数y＝2x2－4x－3的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．不能确定
解析：选C.函数y＝2x2－4x－3为二次函数，其相应方程的根的判断式Δ＝(－4)2－4×2×(－3)>0，所以函数的图像与x轴有两个交点，即函数有两个零点，选C.
3．(2010·高考天津卷)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：选B.f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－3＝－<0，f(0)＝20＋3×0＝1>0.
∵y＝2x、y＝3x均为单调增函数，
∴f(x)在(－1,0)内有一零点．
4．函数f(x)＝的零点是________．
解析：令x2－4＝0，∴x＝2或x＝－2且x≠2.
答案：－2
5．函数f(x)＝x＋的零点个数为________．
解析：当x>0时，f(x)>0，
当x<0时，f(x)<0，∴f(x)＝0无解．
答案：0
6．求证：方程5x2－7x－1＝0的实数解一个在区间(－1,0)内，另一个在区间(1,2)内．
证明：设f(x)＝5x2－7x－1，则f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11<0，f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15<0.
又二次函数f(x)＝5x2－7x－1的图像在区间[－1,0]和[1,2]上是连续曲线，所以f(x)在区间(－1,0)和(1,2)内分别有一个零点，即方程5x2－7x－1＝0的实数解一个在区间(－1,0)内，另一个在区间(1,2)内．
[B级 能力提升]
7．函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：
选C.函数y＝|x－2|与函数y＝lnx的图像如图所示，有两个不同的交点，则函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内有2个零点，故应选C.
8．由表格中的数据可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.若k＝0，区间为(0,1)，f(x)＝ex－(x＋2)，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，
若k＝1，区间为(1,2)，f(2)＝7.39－4>0，即有f(1)·f(2)<0.
9．(创新题)某同学在研究函数f(x)＝(x∈R)时，分别给出下面几个结论：
①等式f(－x)＋f(x)＝0对x∈R恒成立；
②函数f(x)的值域为(－1,1)；
③若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；
④函数g(x)＝f(x)－x在R上有三个零点．
其中正确结论的序号有________．(请将你认为正确的结论的序号都填上)
解析：本题考查函数的性质的综合应用，易知f(x)在R上是奇函数且是增函数，所以①，③正确；
当x>0时，f(x)＝1－，所以f(x)∈(0,1)，
所以x∈R时，函数f(x)的值域为(－1,1)，所以②正确；对于④，g(x)在R上只有一个零点x＝0，故④错误．
答案：①②③
10．若方程ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，求实数a的取值范围．
解：当a＝0时，方程ax2－x－1＝0即为－x－1＝0，解得x＝－1，不满足题意；
当a≠0时，方程ax2－x－1在(0,1)内恰有一解，即函数f(x)＝ax2－x－1在(0,1)内恰有一零点，
则f(0)·f(1)<0，即－1×(a－2)<0，解得a>2.
故a的取值范围为(2，＋∞)．
11．如果函数f(x)＝ax＋b(b≠0)的零点为－2，求函数g(x)＝bx2＋2ax的零点．
解：由函数f(x)＝ax＋b(b≠0)的零点为－2，
得x＝－2是方程ax＋b＝0(b≠0)的根．
则－2a＋b＝0，b＝2a，
∴g(x)＝bx2＋2ax＝2ax2＋2ax(a≠0)，
令g(x)＝0，解得x＝0或x＝－1.
故函数g(x)＝bx2＋2ax的零点是0或－1.
1．已知函数f(x)的图像如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4
C．5,4 D．4,3
解析：选D.零点两侧的函数值发生正负变化的可用二分法求解，由图知有3个．
2．下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )
A．y＝x＋7 B．y＝5x－1
C．y＝log3x D．y＝()x－x
解析：选D.D选项中无法解方程()x－x＝0，则必须用二分法求零点．
3．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的零点，验证f(2)·f(4)<0.给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
解析：∵f(2)·f(3)<0，∴x0∈(2,3)．
答案：(2,3)
4．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图像是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0，由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取[1,4]的中点a，则f(a)＝________.
解析：[1,4]的中点为2.5，则f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.
答案：－2.25
[A级 基础达标]
1．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是( )
A．[1,2] B．[2，e]
C．[e,3] D．[e，＋∞)
解析：选B.∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln2－1<0，f(e)＝1－>0，∴f(2)·f(e)<0，故f(x)的零点所在大致区间是B.
2．已知f(x)＝－lnx在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度0.1)，则需要将区间等分的次数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B.由求方程近似解的步骤可知需将区间等分4次．
3．在用二分法求函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0的过程中，取区间(a，b)上的中点c＝，若f(c)＝0，则函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0( )
A．在区间(a，c)内 B．在区间(c，b)内
C．在区间(a，c)或(c，b)内 D．等于
答案：D
4．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数解时，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间是______．
解析：令f(x)＝x3－2x－5，∵f(2)<0，f(2.5)>0，
∴下一个有解区间是[2,2.5]．
答案：[2,2.5]
5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.6000)≈0.200
f(1.5875)≈0.133
f(1.5750)≈0.067
f(1.5625)≈0.003
f(1.55625)≈－0.029
f(1.5500)≈－0.060
据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度为0.01)为________．
解析：由参考数据知，f(1.5625)≈0.003>0，f(1.55625)≈－0.029<0，即f(1.5625)·f(1.55625)<0，且1.5625－1.55625＝0.00625<0.01，因此区间[1.55625,1.5625]内任意一个数都可以作为函数f(x)的零点近似值，此处可选取1.56.
答案：1.56
6．求方程lnx＋x－3＝0在(2,3)内的近似解．(精确到0.1)
解：令f(x)＝lnx＋x－3，即求函数f(x)在(2,3)内的零点．
因为f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3>0，即(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
区间长度
第1次
2
－0.30685
3
1.09861
1
第2次
2
－0.30685
2.5
0.41629
0.5
第3次
2
－0.30685
2.25
0.06093
0.25
第4次
2.125
－0.12123
2.25
0.06093
0.125
第5次
2.1875
－0.02974
2.25
0.06093
0.0625
第6次
2.1875
－0.02974
2.21875
0.01569
0.03125
由于区间(2.1875,2.21875)内所有值精确到0.1，都是2.2，所以方程的近似解是2.2.
[B级 能力提升]
7．用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得一个零点x0∈________，第二次应计算________，以上横线应填上的内容为( )
A．(0,0.5) f(0.125) B．(0,1) f(0.5)
C．(0.5,1) f(0.75) D．(0,0.5) f(0.25)
解析：选D.由f(0)<0，f(0.5)>0可知，函数f(x)＝x2＋3x－1在(0,0.5)内有零点，应用二分法取区间(0,0.5)的中点0.25，再计算f(0.25)，以逐步缩小函数的零点所在的区间，故选D.
8．用二分法计算函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值，其参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.4375)＝0.162
f(1.40625)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为( )
A．1.2 B．1.3
C．1.4 D．1.5
解析：选C.首先根据函数值的正负，确定方程的一个正实数解x0所在的区间．因为f(1)<0，f(1.5)>0，则x0∈(1,1.5)；又f(1.25)<0，则x0∈(1.25,1.5)；又f(1.375)<0，则x0∈(1.375,1.5)；又f(1.4375)>0，则x0∈(1.375,1.4375)，此时区间长度为0.0625，它小于0.1.因此，我们可以选取这一个区间内的任意一个数作为方程x3＋x2－2x－2＝0的近似解．所以，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解为1.4.
9．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量轻一点)，现在只有一台天平，请问：你最多称________次就可以发现这枚假币．
解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那13枚金币里面；将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则轻的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
答案：4
10．利用二分法求的一个近似值(精确度为0.01)．
解：令f(x)＝x2－3.因为f(1)＝－2<0，f(2)＝1>0，所以方程x2－3＝0在区间[1,2]上有实数解，如此下去，得到方程x2－3＝0的有解区间如下表：
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
区间长度
第1次
1
－2
2
1
1
第2次
1.5
－0.75
2
1
0.5
第3次
1.5
－0.75
1.75
0.0625
0.25
第4次
1.625
－0.359375
1.75
0.0625
0.125
第5次
1.6875
－0.15234375
1.75
0.0625
0.0625
第6次
1.71875
－0.045898437
1.75
0.0625
0.03125
第7次
1.71875
－0.045898437
1.734375
0.00805664063
0.015625
第8次
1.7265625
－0.018981933
1.734375
0.00805664063
0.0078125
至此，我们得到，区间[1.7265625,1.734375]的区间长度为0.0078125，它小于0.01.因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程x2－3＝0的一个近似解．例如，可以选取1.73作为方程x2－3＝0的一个近似解．即1.73为满足精确度0.01的的近似值．
11．(创新题)借助计算机或计算器，用二分法求方程log2(x＋4)＝2x的根的近似值．(精确到0.1)
解：令f(x)＝log2(x＋4)－2x，借助计算机作出函数f(x)的图像如图所示．
∵f(－3)·f(－2)<0，
f(1)·f(2)<0，
∴函数f(x)的零点
x0∈[－3，－2]或[1,2]．
若x0∈[1,2]时，取区间[1,2]的中点x1＝1.5，
计算f(1.5)≈－0.369，
∴f(1)·f(1.5)<0，
∴x0∈[1,1.5]，
再取区间[1,1.5]的中点x2＝1.25，
计算f(1.25)≈0.014，
∴x0∈[1.25,1.5]．
同理可得x0∈[1.25,1.375]，x0∈[1.25,1.3125]，
区间[1.25,1.3125]的端点精确到0.1的近似值都是1.3，故取x0≈1.3.若x0∈[－3，－2]时，x0取－2.9.
综上，方程log2(x＋4)＝2x精确到0.1的根的近似值为1.3或－2.9.
1．某物体一天中的温度T(℃)是时间t(h)的函数，T＝t3－3t＋60.当t＝0时表示12∶00，其后t取值为正，则上午8∶00的温度是( )
A．112 ℃ B．58 ℃
C．18 ℃ D．8 ℃
解析：选D.当t＝－4时，T＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8.故选D.
2．某地区土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4公顷和0.76万公顷，则与沙漠增加数y(万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
解析：选C.当x＝1时，y＝0.2，当x＝2，y＝0.4，当x＝3时，y≈0.8，近似为y＝.
3．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)(a为初始量)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只．
解析：由题意知，x＝1时，y＝100
即alog22＝100，
∴a＝100，∴y＝100log2(x＋1)
∴当x＝7时，y＝100×log28＝300.
答案：300
4．用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________．
解析：设矩形的长为x m，则宽为m，
∴面积S＝x(6－x)＝－x2＋6x(0当x＝3时，S最大＝9.
答案：9 m2
[A级 基础达标]
1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200副 B．400副
C．600副 D．800副
解析：选D.由5x＋4000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．
2．在一次数学实验中，采集到如下一组数据：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x、y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a、b为待定系数)( )
A．y＝a＋bx B．y＝bx
C．y＝ax2＋b D．y＝
解析：选B.散点图如图所示：
由散点图可知，此函数图像不是直线，排除A；此函数图像是上升的，是增函数，排除C、D，故选B.
3．已知A、B两地相距150 km，某人开汽车以每小时60 km的速度从A地到达B地，在B地停留1 h后再以每小时50 km的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x(km)表示为时间t(h)的函数，则函数表达式是( )
A．x＝60t
B．x＝60t＋50t
C．x＝
D．x＝
解析：选D.显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数，选D.
4．某工厂8年来某产品产量y与时间t(年)的函数关系如图，则
①前3年中总产量增长速度越来越快；
②前3年中总产量增长速度越来越慢；
③3年后，这种产品停止生产；
④3年后，这种产品年产量保持不变．
以上说法中正确的是________．
解析：由题图可知，前3年总产量的增长速度越来越快，从第3年开始，产量保持不变，故填①④.
答案：①④
5．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月，2月生产该产品分别为1万件，1.5万件，则该厂3月份产品的产量为________万件．
解析：先由，解得.
∴y＝－2×(0.5)x＋2，
∴3月份产量为－2×(0.5)3＋2＝1.75(万件)．
答案：1.75
6．研究人员发现某种特别物质的温度y(单位：摄氏度)随时间x(单位：分钟)的变化规律是：y＝m·2x＋21－x(x≥0，且m>0)．
(1)如果m＝2，求经过多长时间，温度为5摄氏度；
(2)若该物质的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
解：(1)1分钟．
(2)m·2x＋21－x≥2对一切x≥0恒成立，
则m≥－＝2()x－2()2x.
令t＝()x,0设f(t)＝－2t2＋2t，
当t＝时，f(t)max＝，
∴m≥f(t)max.
即m的取值范围是[，＋∞)．
[B级 能力提升]
7．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是从下午到18时他的体温一直上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．下列各图能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )
解析：选C.从0时到6时，体温上升是增函数，图像是上升的，排除A；从6时到12时，体温下降是减函数，图像是下降的，排除B；从12时到18时，体温上升是增函数，图像是上升的，排除D.
8．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为( )
A．2 B．6
C．8 D．10
解析：选A.依题意有(100－10x)×70×≥112，
∴2≤x≤8.
9．某地高山温度从山脚每升高100 m降低0.7 ℃.山高为x m的山顶温度为y ℃，已知山脚温度是10 ℃，则y与x的函数关系式为y＝________.
解析：y＝10－×0.7＝－0.007x＋10.
答案：－0.007x＋10
10．设某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人每年创造产值a万元(a为正常数)，现在决定从中分流x万人去加强第三产业．分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0＜x＜100)．而分流出的从事第三产业的人员平均每人每年可创造产值1.2a万元．
(1)若要保证第二产业的产值不减少，求x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，问应分流出多少万人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？
解：(1)由题意，得，
故?0＜x≤50.
(2)设该市第二、三产业的总产值增加f(x)(0＜x≤50)万元，则f(x)＝(100－x)(1＋2x%)a－100a＋1.2ax＝－(x2－110x)＝－[(x－55)2－3025]，
∵x∈(0,50]时，f(x)单调递增，
∴x＝50时，f(x)max＝60a，
即应分流出50万人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多．
11．(创新题)某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；….即一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个．乙店一律按原价的75%销售．现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙店购买，则所需金额为y2元．
(1)分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？
解：(1)对甲茶具店而言：当茶社购买这种茶壶的个数x满足0≤x≤18，x∈N＋时，每个售价为(80－2x)元；当茶社购买这种茶壶的个数x满足x≥19，x∈N＋时，每个售价为44元，则y1与x之间的函数关系式为：
y1＝.
对乙茶具店而言：茶社购买这种茶壶x个时，每个售价为80×75%＝60元，则y2与x之间的函数关系式为：y2＝60x(x≥0，x∈N＋)．
(2)当0≤x≤18时，y1－y2＝－2x2＋80x－60x＝－2x2＋20x＝－2x(x－10)，所以当0≤x<10时，y1>y2；当x＝10时，y1＝y2；当10当x≥19时，y1＝44x所以，茶社购买这种茶壶的个数小于10时，到乙茶具店购买茶壶花费较少；茶社购买这种茶壶的个数等于10时，到甲、乙两家茶具店购买茶壶花费一样多；茶社购买这种茶壶的个数大于10时，到甲茶具店购买茶壶花费较少．
