1.“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( )
A．红豆生南国 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思
解析：选A.“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．
2.命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析：选B.原命题的条件是：f(x)是奇函数，结论是：f(－x)是奇函数，同时否定条件与结论，即得否命题：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数．
3.(2012·九江检测)有以下四个命题：
①在△ABC中 ，“若A＞B，则sinA＞sinB”；
②若数列{an}为等比数列，且a4＝4，a8＝9，则a6＝±6；
③不等式≤0的解集为{x|x＜－5}；
④若P是双曲线－＝1上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝3，则|PF2|＝9.
其中真命题的序号为________(把正确命题的序号都填上)．
解析：对于①，在△ABC中 ，A＞B?a＞b?2RsinA＞2RsinB?sinA＞sinB，因此①是真命题；对于②，由已知得a＝a4·a8＝36，因为a4，a6，a8必同号，因此a6＝6，所以②是假命题；对于③，注意到x＝1是不等式≤0的一个解，因此③是假命题；对于④，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝6，因此3－|PF2|＝±6，所以|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去)，所以④是真命题．综上所述，其中真命题的序号为①④.
答案：①④
4.(2012·阜阳检测)在命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题，否命题，逆否命题中，假命题的个数为________．
解析：通过举反例知原命题为假命题，则其逆否命题为假命题；逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”，显然为假命题，则否命题也为假命题．
答案：3
[A级 基础达标]
1.(2012·驻马店质检)命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是( )
A．“若x＜y，则x2＜y2”
B．“若x＞y，则x2＞y2”
C．“若x≤y，则x2≤y2”
D．“若x≥y，则x2≥y2”
答案：C
2.有下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．其中真命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A.①错，当m＝0时，不是一元二次方程；②错，Δ＝4＋4a，并不一定大于或等于0；③正确；④错，?是任何非空集合的真子集．
3.(2011·高考陕西卷)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
解析：选D.命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”，所以选D.
4.(2012·南昌质检)命题“若c＞0，则函数f(x)＝x2＋x－c有两个零点”的逆否命题是________．
解析：原命题的条件c＞0的否定为c≤0，结论函数f(x)＝x2＋x－c有两个零点的否定为“函数f(x)＝x2＋x－c没有两个零点”，因此逆否命题为：若函数f(x)＝x2＋x－c没有两个零点，则c≤0.
答案：若函数f(x)＝x2＋x－c没有两个零点，则c≤0
5.下列四个命题中的真命题是________．(填序号)
①若sinA＝sinB，则A＝B；
②若lgx2＝0，则x＝1；
③若a＞b且ab＞0，则＜；
④若b2＝ac，则a，b，c成等比数列．
解析：①错，A＝30°，B＝150°；②错，还有x＝－1；③正确；④错，如b＝0，a＝0.
答案：③
6.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．
(1)若实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac；
(2)函数y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数时，loga2＜0.
解：(1)
名称
命 题
真假
逆命题
若实数a，b，c满足b2＝ac，则a，b，c成等比数列
假
否命题
若实数a，b，c不成等比数列，则b2≠ac
假
逆否命题
若实数a，b，c，且b2≠ac，则a，b，c不成等比数列
真
(2)
名称
命 题
真假
逆命题
若loga2＜0，则函数y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数
真
否命题
若函数y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数，则loga2≥0
真
逆否命题
若loga2≥0，则函数y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数
真
[B级 能力提升]
7.(2012·咸阳调研)已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，下列命题中的假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
解析：选D.举反例如图，已知α，β为两个不同的平面，且α∩β＝c，a⊥α于点A，b⊥β于点B，a与b异面．故“若α，β相交，则a，b相交”是假命题．
8.在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；
③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；
④若平面α内的三点A，B，C到平面β的距离相等，则α∥β.
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影也可能是一条直线或两个点；②正确；③当平面α与平面β不垂直时，则直线n与平面β不垂直；④不一定，若三点A、B、C分别在平面β两侧，则得不到α∥β.
9.把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)＝3＋log2x的图像与g(x)的图像关于________对称，则函数g(x)＝________．(填上你认为可以成为真命题的一种情况即可)
解析：该题将函数的图像和性质与命题综合在一起，要综合利用知识．可能的情况有：x轴，－3－log2x；y轴，3＋log2(－x)；原点，－3－log2(－x)；直线y＝x，2x－3等．答案不唯一．
答案：y轴 3＋log2(－x)(答案不唯一)
10.(2012·石河子质检)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)垂直于平面α内无数条直线的直线l垂直于平面α；
(2)设a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.
解：(1)原命题：若直线l垂直于平面α内的无数条直线，则直线l垂直于平面α.
逆命题：若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内的无数条直线．
否命题：若直线l不垂直于平面α内的无数条直线，则直线l不垂直于平面α.
逆否命题：若直线l不垂直于平面α，则直线l不垂直于平面α内的无数条直线．
(2)逆命题：设a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.
否命题：设a，b，c，d是实数，若a≠b，c≠d，则a＋c≠b＋d.
逆否命题：设a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b，c≠d.
11.(创新题)求证：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
证明：该命题的逆否命题为：若p＋q＞2，则p2＋q2≠2.
p2＋q2＝[(p＋q)2＋(p－q)2]≥(p＋q)2.
∵p＋q＞2，∴(p＋q)2＞4，∴p2＋q2＞2.
即p＋q＞2时，p2＋q2≠2成立．
∴若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
1.(2012·焦作质检)“x＝”是“函数y＝sin2x取得最大值”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.当x＝时，函数y＝sin2x＝sin＝1取得最大值；反过来，当函数y＝sin2x取得最大值时，不能推出x＝，如x＝时，函数y＝sin2x也可取得最大值．综上所述，“x＝”是“函数y＝sin2x取得最大值”的充分不必要条件，选A.
2.不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为R的充要条件是( )
A．a＞0，b2－4ac＞0 B．a＞0，b2－4ac＜0
C．a＜0，b2－4ac＞0 D．a＜0，b2－4ac＜0
解析：选B.由题意得二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像在x轴的上方，所以a＞0，b2－4ac＜0.
3.(2012·榆林调研)用符号“?”“?”“?”填空：
(1)x＝1________x＜2；
(2)整数a能被2整除________整数a的个位数字是偶数；
(3)三角形为等腰三角形________三角形为等边三角形．
答案：(1)? (2)? (3)?
4.在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种填空：
(1)“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的________；
(2)“sinα＞sinβ”是“α＞β”的________；
(3)“M＞N”是“log2M＞log2N”的________；
(4)“x∈M∩N”是“x∈M∪N”的________．
答案：(1)充要条件 (2)既不充分又不必要条件 (3)必要不充分条件 (4)充分不必要条件
[A级 基础达标]
1.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
解析：选A.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像的对称轴为x＝－，所以－＝1，即m＝－2.
2.(2011·高考福建卷)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选A.由(a－1)(a－2)＝0，得a＝1或a＝2，所以a＝2?(a－1)(a－2)＝0.而由(a－1)(a－2)＝0不一定推出a＝2，故a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分而不必要条件．
3.(2012·蚌埠质检)设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是( )
A．α⊥β，α∩β＝l
B．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ
C．α⊥β，β⊥γ，m⊥α
D．n⊥α，n⊥β，m⊥α
解析：选D.A、B、C都推不出m⊥β，而D中有α∥β，m⊥α，∴m⊥β.
4.在△ABC中，“sinA＝sinB”是“a＝b”的________条件．
解析：在△ABC中，由正弦定理及sinA＝sinB可得2RsinA＝2RsinB，即a＝b；反之也成立．
答案：充要
5.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①____________；充要条件②____________．(写出你认为正确的两个充要条件)
答案：两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；底面是平行四边形等．
6.(2012·淮北检测)已知m∈Z，关于x的一元二次方程
x2－4x＋4m＝0，①
x2－4mx＋4m2－4m－5＝0.②
求使方程①②的根都是整数的充要条件．
解：方程①有实数根?Δ＝16－16m≥0，得m≤1；
方程②有实数根?Δ＝16m＋20≥0，
得m≥－；
所以－≤m≤1.又因为m∈Z，所以m＝－1，0，1.
经检验只有m＝1时，①②的根都是整数．
所以方程①②的根都是整数的充要条件是m＝1.
[B级 能力提升]
7.(2012·商洛调研)设a，b都是非零向量，则“a·b＝±|a||b|”，是“a，b共线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.设〈a，b〉＝θ，a·b＝|a||b|cosθ，当|a||b|cosθ＝|a||b|，∴cosθ＝±1，θ＝0或π，则a与b共线，若a、b共线，则〈a，b〉＝0或π，则a·b＝±|a||b|.
8.“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.α＝＋2kπ(k∈Z)?2α＝＋4kπ(k∈Z)?cos2α＝cos＝，但cos2α＝?2α＝2kπ±(k∈Z)?α＝±＋kπ(k∈Z)α＝＋2kπ(k∈Z)．故选A.
9.(2012·宝鸡质检)若p：x(x－3)＜0是q：2x－3＜m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
解析：p：x(x－3)＜0，则0＜x＜3；q：2x－3＜m，则x＜.在数轴上表示出这两个解集如图所示，
由题意知p?q，q?/ p，则≥3，解得m≥3.
答案：m≥3
10.求证：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数的充要条件是：
b＝0.
证明：充分性：若b＝0，则f(x)＝ax2＋c，
∴f(－x)＝ax2＋c，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)是偶函数．
必要性：若f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，则对任意x，都有f(－x)＝f(x)．
∴ax2－bx＋c＝ax2＋bx＋c，
∴bx＝0，∴b＝0.
∴b＝0是f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数的充要条件．
11.(创新题)在如图所示电路图中，闭合开关K1是灯泡L亮的什么条件？
解：图①，闭合开关K1或闭合开关K2，都可以使灯泡L亮；反之，若要灯泡L亮，不一定非要闭合开关K1.因此，闭合开关K1是灯泡L亮的充分不必要条件．
图②，闭合开关K1而不闭合开关K2，灯泡L不亮；反之，若要灯泡L亮，开关K1必须闭合，说明闭合开关K1是灯泡L亮的必要不充分条件．
图③，闭合开关K1可使灯泡L亮；而灯泡L亮，开关K1一定是闭合的．因此，闭合开关K1是灯泡L亮的充要条件．
图④，灯泡L亮否与开关K1的闭合无关，故闭合开关K1是灯泡L亮的既不充分也不必要条件．
1.(2012·上饶质检)下列命题是特称命题的是( )
①有一个实数a，a不能取对数；
②所有不等式的解集A，都有A?R；
③有些向量方向不定；
④矩形都是平行四边形．
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
解析：选A.找出命题中含有的量词，根据量词的特征即可判断．①中含有存在量词“有一个”；②中含有全称量词“所有”；③中含有存在量词“有些”；④中含有存在量词“都是”．故①③是特称命题．
2.命题“每个二次函数的图像都开口向下”的否定是( )
A．每个二次函数的图像都不开口向上
B．存在一个二次函数，其图像开口向下
C．存在一个二次函数，其图像开口向上
D．每个二次函数的图像都开口向上
解析：选C.所给命题为全称命题，故其否定应为特称命题，即存在一个二次函数，其图像开口向上．
3.命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．
解析：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0，因为已知命题是特称命题，所以该命题的否定是全称命题．存在量词“存在”的否定是全称量词“任意”，所以该命题的否定是“对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0”．
答案：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
4.(2012·阜阳检测)命题“对任意x∈R，存在m∈Z，使m2－m＜x2＋x＋1”是________命题．(填“真”或“假”)
解析：由于对任意x∈R，x2＋x＋1＝＋≥>0，所以只需m2－m≤0，即0≤m≤1.所以当m＝0或m＝1时，对任意x∈R，m2－m＜x2＋x＋1成立，因此该命题是真命题．
答案：真
[A级 基础达标]
1.(2012·南阳质检)已知命题p：任意x∈R，sinx≤1，则p的否定为( )
A．存在x∈R，sinx≥1 B．任意x∈R，sinx≥1
C．存在x∈R，sinx＞1 D．任意x∈R，sinx＞1
解析：选C.由全称命题的否定，将“任意”改为“存在”，“sinx≤1”改为“sinx＞1”，可知选C.
2.命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是( )
A．不存在x∈R，2x＞0
B．存在x∈R，2x≥0
C．对任意的x∈R，2x≤0
D．对任意的x∈R，2x＞0
解析：选D.命题中含有存在量词“存在”，因此是特称命题，其否定为全称命题．“存在”否定为“对任意的”，“≤”的否定为“＞”，则此命题的否定为：对任意的x∈R，2x＞0.
3.已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．存在x∈R，使f(x)≤f(x0)
B．存在x∈R，使f(x)≥f(x0)
C．对任意x∈R，使f(x)≤f(x0)
D．对任意x∈R，使f(x)≥f(x0)
解析：选C.由x0＝－(a＞0)及抛物线的相关性质可得C选项是错误的．
4.(2012·咸阳检测)命题“任意常数列都是等比数列”的否定是________．
解析：该命题是全称命题，而全称命题的否定是特称命题．
答案：存在一个常数列不是等比数列
5.(2012·西安调研)若命题“存在x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知，不等式x2＋(1－a)x＋1＜0有实数解，则Δ＝(1－a)2－4＞0，解得a＞3或a＜－1.
答案：(3，＋∞)∪(－∞，－1)
.写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)所有正方形都是矩形；
(2)至少有一个实数x0使x3＋1＝0；
(3)存在θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)为偶函数；
(4)任意x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|≥0.
解：(1)命题的否定：
有的正方形不是矩形，假命题．
(2)命题的否定：
不存在实数x，使x3＋1＝0，假命题．
(3)命题的否定：
任意θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数，假命题．
(4)命题的否定：
存在x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|＜0，假命题．
[B级 能力提升]
7.(2010·高考天津卷)下列命题中，真命题是( )
A．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．对任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．对任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析：选A.由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题．
8.下列命题中的假命题是( )
A．存在实数α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
B．不存在无穷多个α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
C．对任意α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
D．不存在这样的α和β，使cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ
解析：选B.cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ，显然选项C，D为真；sinα·sinβ＝0时，选项A为真；选项B为假．故选B.
9.给出下列四个命题：①存在x∈R，使sin2＋cos2＝；②每个指数函数都是增函数；③存在x∈(0，1)，使logx＞logx；④对任意的x∈[0，π]，有 ＝sinx，其中假命题的序号为________．
解析：①是假命题，因为对任意x∈R，均有sin2＋cos2＝1；②是假命题，因为对于指数函数y＝，它是减函数；③是真命题，因为当x＝时，log＜log＝1＝log；④是真命题，因为当x∈[0，π]时，sinx≥0，所以 ＝＝sinx.
答案：①②
.已知特称命题“存在c＞0，使y＝cx在R上为减函数”为真命题，同时全称命题“任意x∈R，x＋|x－2c|＞1”为真命题，求c的取值范围．
解：命题“存在c＞0，使y＝cx在R上为减函数”是真命题，所以0＜c＜1.
因为x＋|x－2c|＝
由全称命题“任意x∈R，x＋|x－2c|＞1”是真命题，
所以任意x∈R，x＋|x－2c|的最小值为2c.
所以2c＞1.所以c＞.
综上所述，＜c＜1.
11.(创新题)若全称命题“对任意x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a恒成立”是真命题，求实数a的取值范围．
解：由题意对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2可转化为对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a成立．
对任意x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
由f(x)的最小值f(x)min≥a，
解得实数a的取值范围是[－3，1]．
1.“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0
C．x，y至少有一个不为0 D．x，y不都是0
答案：A
2.(2012·九江质检)对命题p：A∩?＝?，命题q：A∪?＝A，下列说法正确的是( )
A．p且q为真 B．p或q为假
C．非p为真 D．非q为真
解析：选A.p真，q真，p且q为真．
3.“空集是集合A的子集”的否定是________．
答案：空集不是集合A的子集
4.(2012·铜川调研)已知命题p：函数f(x)＝log0.5(3－x)的定义域为(－∞，3)；命题q：若k＜0，则函数h(x)＝在(0，＋∞)上是增函数．则下列结论中错误的是________．
①命题“p且q”为真；②命题“p或綈q”为假；③命题“p或q”为假；④命题“綈p且綈q”为假．
解析：由3－x＞0，得x＜3，所以命题p为真，命题綈p为假．
又由k＜0，易知函数h(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，所以命题q为真，命题綈q为假．
综上可知命题“p且q”为真，命题“p或綈q”为真，命题“p或q”为真，命题“綈p且綈q”为假．
答案：②③
[A级 基础达标]
1.(2011·高考北京卷)若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p且q是真命题 B．p或q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
解析：选D.由于p是真命题，q是假命题，所以綈p是假命题，綈q是真命题，p且q是假命题，p或q是真命题．
2.若p、q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有( )
A．p真q真 B．p假q假
C．p真q假 D．p假q真
解析：选B.“p或q”的否定是真命题，故“p或q”为假命题，所以p假q假．
3.(2012·宿州检测)已知命题p：＞0；命题q：lg(＋)有意义，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由p，得x＞－1，由q，得－1＜x≤1，则q是p的充分不必要条件，故綈p是綈q的充分不必要条件．
4.若命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是________命题(“真”或“假”)．
解析：∵綈p真，∴p假，
又p或q真，∴q真．
答案：真
5.(2012·新余调研)若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的范围是________．
解析：∵原命题为假命题，
∴∴1≤x＜2.
答案：[1，2)
6.(2012·蚌埠质检)已知命题p：关于x的不等式ax2＋2x＋3≥0解集为R.如果綈p是真命题，求实数a的取值范围．
解：∵綈p为真命题，∴p为假命题．
当p是真命题时，即关于x的不等式ax2＋2x＋3≥0解集为R时，
应有即解得a≥.
∴当p为假命题时，a＜.
即所求a的取值范围是.
[B级 能力提升]
7.已知命题p：任意x∈R，x2－x＋＜0；命题q：存在x∈R，sinx＋cosx＝.则下列命题正确的是( )
A．p或q真 B．p且q真
C．綈q真 D．p真
解析：选A.易知p假，q真，故p或q为真．
8.(2012·焦作调研)下列各组命题中，满足“‘p或q’为真、‘p且q’为假、‘非p’为真”的是( )
A．p：0＝?；q：0∈?
B．p：在△ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q：y＝sinx在第一象限内是增函数
C．p：a＋b≥2(a，b∈R)；q：不等式|x|＞x的解集是(－∞，0)
D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：对于任意的x∈{1，－1，0}，都有2x＋1＞0
解析：选C.若要满足“‘p或q’为真，‘p且q’为假、‘非p’为真”，则p为假命题，q为真命题．A中p为假命题，q为假命题；B中p为真命题，q为假命题；C中p为假命题，q为真命题；D中p为真命题，q为假命题．
9.(2012·亳州质检)已知命题p，q，“綈p为假命题”是“p或q为真命题”的________条件．
解析：∵綈p为假命题，∴p为真命题，因此p或q为真命题；而p或q为真命题时可能有p假q真，得不到p为真命题，故“綈p为假命题”是“p或q为真命题”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
10.(2012·榆林质检)已知a＞0，a≠1，设p：函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若“p且q”为假，“綈q”为假，求a的取值范围．
解：p：0＜a＜1，由Δ＝(2a－3)2－4＞0，得q：a＞或a＜.
因为“p且q”为假，“綈q”为假，所以p假q真，
即∴a＞.
11.(创新题)是否存在同时满足下列三个条件的命题p和命题q？若存在，试构造出这样的一组命题；若不存在，请说明理由．
①“p或q”为真命题；②“p且q”为假命题；③“非p”为假命题．
解：由①知，命题p，q中至少有一个为真命题，由②知，命题p，q中至少有一个为假命题，从而，命题p，q中一个为真命题，一个为假命题．
由③知，p为真命题，因此命题q为假命题．
综上知，满足题设三个条件的命题p，q存在，可举例如下：
p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的两条对角线相等．
1.设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8 D．10
解析：选D.由椭圆的标准方程得a2＝25，即a＝5.又由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，故选D.
2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选B.∵椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵2a＝＋＝8，∴a＝4，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为＋＝1.
3.(2012·咸阳检测)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，则点F1，F2的坐标分别是______．
解析：由椭圆的标准方程＋＝1，可得a2＝25，b2＝16，所以c2＝a2－b2＝25－16＝9，即c＝3.则点F1，F2的坐标分别是(－3，0)，(3，0)．
答案：(－3，0)，(3，0)
4.若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______．
解析：由10－k>k－5>0，得5
答案：
[A级 基础达标]
1.已知椭圆＋＝1上一点P到其一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．2 B．3
C．5 D．7
解析：选D.由方程知a＝5，设椭圆的两个焦点为F1、F2，则|PF1|＋|PF2|＝10，所以点P到另一个焦点的距离为10－3＝7.
2.(2012·焦作调研)椭圆2x2＋y2＝8的焦点坐标是( )
A．(±2，0) B．(0，±2)
C．(±2，0) D．(0，±2)
解析：选B.椭圆标准方程为＋＝1，
∴椭圆焦点在y轴上，且c2＝8－4＝4，
∴焦点为(0，±2)．
3.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6
C．4 D．12
解析：选C.设椭圆的另一个焦点为F(如图)，则△ABC的周长为(|AB|＋|BF|)＋(|CA|＋|CF|)＝2a＋2a＝4a.而a2＝3，a＝，∴4a＝4，
即△ABC的周长为4.
4.已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，则线段PP′的中点M的轨迹方程是________．
解析：设点M(x，y)，P(x0，y0)，则x＝，y＝y0.
∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴x＋y＝1.①
将x0＝2x，y0＝y代入①得4x2＋y2＝1.
答案：4x2＋y2＝1
5.(2012·淮北质检)过点A(－1，－2)且焦点与椭圆＋＝1的两个焦点相同的椭圆的标准方程是________．
解析：＋＝1的焦点坐标为(0，)，(0，－)，
∴2a＝＋，
∴a2＝6，∴b2＝a2－c2＝6－3＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
6.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点；
(2)a＝4，c＝；
(3)过点P(－3，2)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
解：(1)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，由A(，－2)和B(－2，1)两点在椭圆上可得
，即，
解得.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程是＋y2＝1；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程是＋x2＝1.
(3)因为所求的椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝5.
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为所求椭圆过点P(－3，2)，所以有＋＝1①
又a2－b2＝c2＝5，②
由①②解得a2＝15，b2＝10.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[B级 能力提升]
7.(2012·上饶检测)椭圆＋＝1上的一点M到其左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )
A．2 B．4
C．8 D.
解析：选B.设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋|MF2|＝10，知|MF2|＝10－2＝8，ON綊MF2，所以|ON|＝|MF2|＝4.
8.(2012·南昌质检)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1”表示焦点在y轴上的椭圆的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.椭圆方程为＋＝1，
当m>n>0时，有<，∴椭圆焦点在y轴上．
当椭圆焦点在y轴上时，有>>0，
∴m>n>0.∴是充要条件．
9.如图所示，F1、F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是________．
解析：因为F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且正三角形POF2的面积为，所以S△POF2＝|OF2|·|PO|sin 60°＝c2＝，所以c2＝4.
∴点P的坐标为，即(1，)，∴＋＝1，
又b2＋c2＝a2，所以，解得b2＝2.
答案：2
10.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的三边分别是a，b，c，且|BC|＝2，求满足b，a，c成等差数列且c>a>b的顶点A的轨迹．
解：由已知条件可得b＋c＝2a，则|AC|＋|AB|＝2|BC|＝4>|BC|，结合椭圆的定义知点A在以B，C为焦点的一个椭圆上，且椭圆的焦距为2.
以BC所在的直线为x轴，BC的中点为原点O，建立平面直角坐标系，如图所示．
设顶点A所在的椭圆方程为＋＝1(m>n>0)，则m＝2，n2＝22－12＝3，从而椭圆方程为＋＝1.又c>a>b且A是△ABC的顶点，结合图形，易知x>0，y≠0.
故顶点A的轨迹是椭圆＋＝1的右半部分(x>0，y≠0)．
11.(创新题)
船上两根高7.5 m的桅杆相距15 m，一条30 m长的绳子，两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧．假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离．
解：以两根桅杆的顶端A，C所在的直线为x轴，线段AC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则P点在以A，C为焦点的椭圆上，依题意，此椭圆的标准方程为＋＝1.因为P点的纵坐标为－7.5，代入椭圆方程可解得P点的坐标为(－12.25，－7.5)，所以P到桅杆AB的距离为12.25－7.5＝4.75(m)．
1.(2011·高考课标全国卷)椭圆＋＝1的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由＋＝1可得a2＝16，b2＝8，
∴c2＝a2－b2＝8.
∴e2＝＝，解得e＝或e＝－(舍去)．
2.椭圆＋＝1与＋＝1(0A．长轴的长相等 B．短轴的长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：选D.椭圆＋＝1与＋＝1(03.比较椭圆①9x2＋y2＝36与②＋＝1的形状，______更扁(填序号)．
解析：椭圆①9x2＋y2＝36的离心率是；椭圆②＋＝1的离心率是，因为>，所以，椭圆①比②更扁．故填①.
答案：①
4.(2012·石河子检测)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
解析：设椭圆的长半轴为a，由2a＝12知a＝6，又e＝＝，故c＝3，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
[A级 基础达标]
1.(2012·九江质检)若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D．2
解析：选B.由题意知2c＝2b，∴c＝b.
又b2＋c2＝a2，∴a＝c.∴e＝＝.
2.椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是( )
A. B.
C. D．－
解析：选C.将椭圆化为标准方程为＋＝1，
则必有m>0.
∵m＋1>m>0，∴<.
∴a2＝，a＝，2a＝.
3.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰将长轴三等分，则此椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A.设方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得＝，且a＝9，
∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝72.故方程为＋＝1.
4.若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2，0)，则椭圆的标准方程是________．
解析：由题意设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
∴(其中c＝)
∴b2＝20，a2＝80.
答案：＋＝1
5.(2012·焦作检测)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
解析：由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.
∴3a2－2ac－5c2＝0，∴5c2＋2ac－3a2＝0.
同除以a2得5e2＋2e－3＝0，
∴e＝或e＝－1(舍去)．
答案：
6.已知椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.求椭圆E的方程．
解：设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)．由e＝，即＝，得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，
∴椭圆方程可化为＋＝1.
将A(2，3)代入上式，得＋＝1，解得c2＝4，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
[B级 能力提升]
7.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
解析：选C.由椭圆＋＝1可得点F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
8.(2012·宝鸡调研)以F1(－1，0)、F2(1，0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C.设椭圆方程为＋＝1(a>1)，
由，
得(2a2－1)x2＋6a2x＋(10a2－a4)＝0，
由Δ≥0，得a≥，
∴e＝＝≤，此时a＝，
故椭圆方程为＋＝1.
9. 如图，已知椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于________．
解析：由BC，OA平行且相等及椭圆的对称性，得出C点的横坐标为，又∠COx＝30°，易知点C的坐标为，代入椭圆的方程得＋＝1，即a2＝9b2，又b2＝a2－c2，故c2＝8b2，则椭圆的离心率e＝＝＝.
答案：
10.已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．
解：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
F1(－c，0)，c2＝a2－b2，
则P，即P.
∵AB∥PO，∴kAB＝kOP，即－＝.∴b＝c.
又a＝＝c，∴e＝＝.
11.(创新题)设P(x，y)是椭圆＋＝1上的点且P的纵坐标y≠0，已知点A(－5，0)，B(5，0)，试判断kPA·kPB是否为定值．若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
解：是定值．因为点P的纵坐标y≠0，所以x≠±5.所以kPA＝，kPB＝.
所以kPA·kPB＝·＝.
因为点P在椭圆＋＝1上，
所以y2＝16×＝16×.
把y2＝16×代入kPA·kPB＝，
得kPA·kPB＝＝－.
所以kPA·kPB为定值，这个定值是－.
1.(2012·驻马店检测)抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
A．(2，0) B．(－2，0)
C．(4，0) D．(－4，0)
答案：B
2.在抛物线y2＝2px(p>0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为( )
A. B．1
C．2 D．4
解析：选C.由题意＋4＝5，所以p＝2.
3.(2012·吉安质检)已知抛物线过点(1，1)，则该抛物线的标准方程是______．
解析：设抛物线为y2＝2px(p>0)或x2＝2my(m>0)，把(1，1)代入得1＝2p或1＝2m，
∴p＝或m＝，
∴抛物线方程为y2＝x或x2＝y.
答案：y2＝x或x2＝y
4.动点P到点F(2，0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则P的轨迹方程为______________．
解析：由题意知，P的轨迹是以点F(2，0)为焦点，以直线x＋2＝0为准线的抛物线，所以p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.
答案：y2＝8x
[A级 基础达标]
1.(2012·阜阳检测)过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝4x和x2＝y B．y2＝4x
C．y2＝4x和x2＝－y D．x2＝－y
解析：选C.因为点(1，－2)在第四象限，所以满足条件的抛物线的标准方程是y2＝2p1x(p1>0)或x2＝－2p2y(p2>0)．将点(1，－2)分别代入上述两个方程，解得p1＝2，p2＝.因此满足条件的抛物线有两条，它们的方程分别为y2＝4x和x2＝－y.
2.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6
C．8 D．12
解析：选B.由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6，故选B.
3.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|
D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
解析：选C.由抛物线方程y2＝2px(p>0)得准线方程为x＝－.由定义得|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，则x1＝|FP1|－，x2＝|FP2|－，x3＝|FP3|－，又2x2＝x1＋x3，所以2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.
4.(2012·汉中质检)已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________．
解析：由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py.由抛物线定义有2＋＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将(m，－2)代入上式，得m2＝16.∴m＝±4.
答案：±4
5.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
解析：∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，∴xA＋xB＝.∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
答案：
6.设抛物线y2＝mx(m≠0)的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程．
解：当m>0时，由2p＝m，得＝，
这时抛物线的准线方程是x＝－.
∵抛物线的准线与直线x＝1的距离为3，
∴1－＝3，解得m＝8.
这时抛物线的方程是y2＝8x.
同理，当m<0时，抛物线的方程是y2＝－16x.
[B级 能力提升]
7.(2012·焦作检测)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率是－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8
C．8 D．16
解析：选B.如图，设准线l与x轴的交点为H，由直线AF的斜率为－，得∠AFH＝60°，∠FAH＝30°，∴∠PAF＝60°.
又由抛物线的定义知|PA|＝|PF|，
∴△PAF为等边三角形，
由|HF|＝4得|AF|＝8，
∴|PF|＝8.
8.(2011·高考山东卷)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0，2) B．[0，2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选C.圆心到抛物线准线的距离为p＝4，根据已知只要|FM|>4即可，根据抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．
9.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A的坐标为(0，2)，若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点F的坐标为(，0)，线段FA的中点B的坐标为(，1)，代入抛物线方程得1＝2p×，解得p＝
，故点B的坐标为(，1)，故点B到该抛物线准线x＝－的距离为＋＝.
答案：
10.点M到直线l：y＝－1的距离比它到点F(0，2)的距离小1，求点M的轨迹方程．
解：∵点M到直线l：y＝－1的距离比它到点F(0，2)的距离小1，
∴点M到点F的距离与它到直线l：y＝－2的距离相等，
即点M的轨迹是以F(0，2)为焦点，直线l：y＝－2为准线的抛物线．
设M点坐标为(x，y)，∵＝2，且开口向上，
∴点M的轨迹方程为x2＝8y.
11.(创新题)已知A，B为抛物线y2＝2x上两个动点，|AB|＝3，求AB的中点P到y轴距离的最小值．
解：
如图所示，分别过点A，B，P作准线l的垂线，设垂足分别为A1，B1，P1，PP1交y轴于Q点，连接AF，BF，由抛物线定义可知|AF|＝|A1A|，|BF|＝|B1B|，所以|A1A|＋|B1B|＝|AF|＋|BF|.又四边形ABB1A1为梯形，P1P是中位线，所以|PP1|＝(|A1A|＋|B1B|)＝(|AF|＋|BF|)，所以|PP1|≥|AB|＝.又|PQ|＝|PP1|－＝|PP1|－，所以|PQ|≥－＝1，当且仅当A，B，F三点共线时取等号．
故AB的中点P到y轴距离的最小值为1.
1.(2012·抚州调研)下列有关抛物线的说法正确的是( )
①有一个顶点；②有一个焦点；③有一个对称中心；④有一条对称轴；⑤有一条准线．
A．①②③ B．②③④
C．①②④⑤ D．①②③④⑤
答案：C.
2.过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若|AB|＝6，则线段AB的中点横坐标为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.抛物线y2＝4x中p＝2，弦AB为焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2＝6，即x1＋x2＝4，则＝2，即线段AB的中点横坐标为2.
3.已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝______．
解析：设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1，0)，|AF|＝x1＋1＝2，则x1＝1，故直线AF的方程是x＝1.此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2.
答案：2
4.(2012·宝鸡质检)垂直于x轴的直线与抛物线y2＝4x相交于点A，B，且|AB|＝4，则直线AB的方程为______________．
解析：设点A在x轴上方，且直线AB与x轴交于点M，则由抛物线的对称性可得|AM|＝2，此即为点A的纵坐标，代入抛物线方程可得x＝3，从而直线AB的方程为x＝3.
答案：x＝3
[A级 基础达标]
1.(2012·阜阳质检)顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M(－4，5)的抛物线方程为( )
A．y2＝x B．y2＝－x
C．x2＝y D．x2＝－y
解析：选C.由题设知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py(p>0)，将(－4，5)代入得p＝，所以，抛物线方程为x2＝y.
2.设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：选B.抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F坐标为(，0)，则直线l的方程为y＝2(x－)，它与y轴的交点为A(0，－)，所以△OAF的面积为·||·||＝4，解得a＝±8.所以抛物线方程为y2＝±8x.
3.已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值为( )
A．2 B．3
C．4 D．0
解析：选B.z＝x2＋×4x＋3＝(x＋1)2＋2，
∵x≥0，
∴x＝0时，z有最小值，zmin＝3.
4.顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是________．
解析：设抛物线的方程为y2＝2ax，
由于通径长为6，
即2|a|＝6，
∴a＝±3.
∴适合题意的抛物线方程为y2＝±6x.
答案：y2＝±6x
5.(2010·南阳质检)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则抛物线的焦点坐标为________．
解析：∵F(，0)，∴设AB：y＝x－，与y2＝2px联立，得x2－3px＋＝0，∴xA＋xB＝3p.由焦半径公式xA＋xB＋p＝4p＝8，得p＝2.故焦点坐标为(1，0)．
答案：(1，0)
6.已知抛物线y2＝2x.设点A，求抛物线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.
解：设P(x0，y0)为抛物线y2＝2x上任意一点，则|PA|2＝＋y＝x＋x0＋＝＋.
∵x0∈[0，＋∞)，∴当x0＝0时，|PA|＝＋＝，即|PA|min＝.
∴距点A最近点P的坐标为(0，0)，此时|PA|＝.
[B级 能力提升]
7.(2010·高考山东卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
解析：选B.抛物线的焦点为F(，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px，整理得y2－2py－p2＝0，由已知得该方程有两个不相等的实数根，则y1＋y2＝2p，所以p＝＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
8.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )
A. B.
C. D．3
解析：选A.设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，则该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为＝＝≥＝，当且仅当m＝时等号成立，此时，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值为.
9.(2012·上饶质检)过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C，若梯形ABCD的面积为12，则p＝________．
解析：依题意知抛物线的焦点F的坐标为(0，)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y－＝x，代入抛物线方程得y2－3py＋＝0，故y1＋y2＝3p，|AB|＝
|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝4p，又直线AB的斜率为1，故直角梯形有一个内角为45°，故|CD|＝|AB|＝×4p＝2p，则梯形ABCD的面积为(|BC|＋|AD|)×|CD|＝×3p×2p＝3p2＝12，解得p＝2.
答案：2
10.若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求点M的横坐标和p的值．
解：设M(x0，y0)，则
因为y＝2px0，
所以36＝2p(10－)．
所以p＝2或p＝18.
所以或
所以m的横坐标为9或1，相应的P值为2或18.
11.(创新题)已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
解：
(1)证明：如图所示，
由方程组消去x后，整理，得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得
y1·y2＝－1.
∵A，B在抛物线y2＝－x上，
∴y＝－x1，y＝－x2.∴y·y＝x1x2.
∴kOA·kOB＝·＝＝＝－1，
∴OA⊥OB.
(2)设直线AB与x轴交于点N，显然k≠0.
令y＝0，则x＝－1，即N(－1，0)．
∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|
＝|ON|·|y1－y2|，
∴S△OAB＝·1·
＝ .
∵S△OAB＝，
∴＝ ，
解得k＝±.
1.(2010·高考安徽卷)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A．(，0) B．(，0)
C．(，0) D．(，0)
解析：选C.将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，
∴a2＝1，b2＝，∴c＝＝，
故右焦点的坐标为(，0)．
2.在双曲线中，＝，且双曲线与椭圆4x2＋9y2＝36有公共焦点，则双曲线的方程是( )
A.－x2＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D．y2－＝1
解析：选B.椭圆＋＝1，焦点为(±，0)，
∴c＝，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝1，
双曲线为－y2＝1.
3.(2012·宿州质检)已知双曲线的焦距为26，＝，则双曲线的标准方程是________．
解析：由2c＝26，∴c＝13.
又＝，∴a2＝25.∴b2＝c2－a2＝132－25＝144.
∴所求方程为－＝1或－＝1.
答案：－＝1或－＝1
4.若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0，3)，则k＝______．
解析：依题意，双曲线方程可化为－＝1，已知一个焦点为(0，3)，所以－－＝9，解得k＝－1.
答案：－1
[A级 基础达标]
1.(2012·驻马店检测)双曲线－＝1的焦距为( )
A．3 B．4
C．3 D．4
解析：选D.由双曲线的标准方程知a2＝10，b2＝2，则c2＝a2＋b2＝10＋2＝12，因此2c＝4.故选D.
2.双曲线－＝1上一点P到点(5，0)的距离为15，则点P到点(－5，0)的距离为( )
A．7 B．23
C．7或23 D．5或25
解析：选C.依据题意知(5，0)，(－5，0)恰为双曲线的两个焦点，由双曲线的定义得点P到点(－5，0)的距离为15＋8＝23或15－8＝7.
3.(2012·商洛质检)设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝( )
A. B．2
C. D．2
解析：选B.依题意，△PF1F2构成直角三角形，O为F1F2的中点，故|PO|＝|F1F2|，又＋＝2，故|PF1＋|＝2||＝|F1F2|＝2c＝2，故选B.
4.F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P在双曲线上，且满足|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝______．
解析：由定义，知||PF1|－|PF2||＝2a＝6.两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝100.∵|F1F2|＝2c＝2＝10，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴∠F1PF2＝90°.
答案：90°
5.(2012·安康检测)已知抛物线C1的方程为y＝x2，它的焦点F关于原点的对称点为E.若曲线C2上的点到E，F的距离之差的绝对值等于6，则曲线C2的标准方程为________．
解析：方程y＝x2可化为x2＝20y，其焦点为F(0，5)，所以点E的坐标为(0，－5)，根据题意知曲线C2是焦点在y轴上的双曲线，且其两焦点分别为F，E，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则2a＝6，即a＝3.又c＝5，b2＝c2－a2＝16，所以曲线C2的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
6.求与双曲线－＝1有共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．
解：由于所求的双曲线与已知双曲线共焦点，从而可设所求的双曲线方程为－＝1.
由于点(3，2)在所求的双曲线上，
从而有－＝1.
整理，得k2＋10k－56＝0，∴k＝4或k＝－14.
又16－k>0，4＋k>0，∴－4从而得k＝4.故所求双曲线的方程为－＝1.
[B级 能力提升]
7.(2012·蚌埠调研)F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4 B．8
C．24 D．48
解析：选C.由P是双曲线x2－＝1上一点和3|PF1|＝4|PF2| ①，
可得|PF1|－|PF2|＝2 ②，解①②得|PF1|＝8，|PF2|＝6，又|F1F2|＝2c＝10，则有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以△PF1F2是直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝×6×8＝24.
8.如图，从双曲线－＝1的左焦点F引圆x2＋y2＝3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于( )
A. B.
C.－ D.＋
解析：选C.|OM|－|MT|＝|PE|－(|MF|－|FT|)
＝|FT|－(|PF|－|PE|)
＝－×2×
＝－.
9.
(2012·亳州质检)如图所示，F为双曲线C：－＝1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7－i(i＝1，2，3)关于y轴对称，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|－|P4F|－|P5F|－|P6F|的值是________．
解析：设双曲线的右焦点为F2，则点F与F2关于y轴对称，分别连接P1F2，P2F2，P3F2，由双曲线C上的点Pi与P7－i(i＝1，2，3)关于y轴对称，可得|P6F|＝|P1F2|，|P5F|＝|P2F2|，|P4F|＝|P3F2|，于是|P1F|＋|P2F|＋|P3F|－|P4F|－|P5F|－|P6F|＝(|P1F|－|P1F2|)＋(|P2F|－|P2F2|)＋(|P3F|－|P3F2|)＝2a＋2a＋2a＝6×3＝18.
答案：18
10.在△ABC中，B(－6，0)，C(6，0)，直线AB，AC的斜率乘积为，求顶点A的轨迹．
解：设顶点A的坐标为(x，y)，根据题意得
·＝，化简得－＝1(x≠±6)．
所以，顶点A的轨迹是双曲线(除去与x轴的交点)．
11.(创新题)设点P到点M(－1，0)，N(1，0)的距离之差为2m，到x轴，y轴的距离之比为2，求m的取值范围．
解：设点P的坐标为(x，y)，依题意，有＝2，
即y＝±2x(x≠0)．
所以点P(x，y)，M(－1，0)，N(1，0)三点不共线，
所以||PM|－|PN||<|MN|＝2.
又因为||PM|－|PN|＝2|m|>0，
所以0<|m|<1.
所以点P在以M，N为焦点的双曲线上，且a2＝m2，c2＝1，所以b2＝1－m2，
所以－＝1.①
把y＝±2x(x≠0)代入①，得x2＝.
因为1－m2>0，所以1－5m2>0，
解得0<|m|<，
所以m的取值范围为∪.
1.(2011·高考安徽卷)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：选C.∵2x2－y2＝8，∴－＝1，∴a＝2，∴2a＝4.
2.(2011·高考湖南卷)设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选C.－＝1的渐近线为y＝±x，∴a＝2.
3.已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______，渐近线方程为______．
解析：椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，故c＝4，且满足＝2，故a＝2，b＝＝2.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：(±4，0) y＝±x
4.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．
解析：如图，∵c>b，∴∠B1F1B2＝60°，
∴∠B1F1O＝30°.在△B1OF1中，＝tan 30°，
∴＝.
∴＝.∴1－＝，∴＝.
∴e2＝＝，∴e＝.
答案：
[A级 基础达标]
1.(2012·西安质检)下列曲线中离心率为的是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B.双曲线的离心率e＝＝＝＝，得＝，只有B选项符合，故选B.
2.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．－ B．－4
C．4 D.
解析：选A.由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2.∴－＝b2＝4.∴m＝－，故选A.
3.双曲线x2－y2＝－3的( )
A．顶点坐标是(±，0)，虚轴端点坐标是(0，±)
B．顶点坐标是(0，±)，虚轴端点坐标是(±，0)
C．顶点坐标是(±，0)，渐近线方程是y＝±x
D．虚轴端点坐标是(0，±)，渐近线方程是x＝±y
解析：选B.将x2－y2＝－3化为－＝1，知a＝，b＝，c＝，焦点在y轴上，所以顶点坐标是(0，±)，虚轴端点坐标是(±，0)，渐近线方程是y＝±x.
4.(2012·咸阳检测)双曲线－＝1的渐近线方程是______．
解析：方程－＝1，即为－＝1，∴a＝2，b＝2.∴双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
5.(2012·新余调研)与椭圆x2＋4y2＝16有共同焦点，且一条渐近线方程是x＋y＝0的双曲线的方程是________．
解析：椭圆x2＋4y2＝16化为标准方程为＋＝1，
∴焦点在x轴上，且c＝2.
∴双曲线焦点在x轴上，且c＝2.
又＝，
∴＝，即a2＝3b2.
又a2＋b2＝c2＝12，
∴a2＝9，b2＝3.
∴双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
6.双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，求该双曲线的方程．
解：椭圆4x2＋y2＝64即＋＝1，焦点为(0，±4)，离心率为，所以双曲线的焦点在y轴上，c＝4，e＝，所以a＝6，b＝＝2，所以双曲线方程为－＝1.
[B级 能力提升]
7.焦距为10，且＝的双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1或－＝1
解析：选D.由题意知2c＝10，c＝5，又＝，c2＝b2＋a2，∴a2＝9，b2＝16，∴所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.故选D.
8.(2011·高考天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：选B.由，解得，
由题得，得，
又＋a＝4，故a＝2，b＝1，c＝＝，∴焦距2c＝2.故选B.
9.(2012·驻马店质检)如果双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
解析：∵P在双曲线右支上，
∴|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＝4|PF2|，
∴|PF2|＝a≥c－a.
∴a≥c，即≤.
∴双曲线离心率e最大值为.
答案：
10.双曲线C与双曲线－＝1有共同的渐近线，且C上存在一点P与点Q(2－2，5)关于直线y＝－x＋2对称，求双曲线C的方程．
解：设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
又设P点坐标为(x，y)，由题意，
得解之得
又双曲线C过点P(－3，2)，所以λ＝－＝，所以所求双曲线C的方程为－＝，即x2－y2＝1.
11.(创新题)已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是椭圆和双曲线的离心率，求＋的值．
解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，
则有|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1|－|PF2||＝2a2.
由题意可知，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，
整理得(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，
(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，
则两式相加得4a＋4a＝8c2，
整理得＋＝2.
1.(2012·南阳检测)若曲线C的方程为x2－xy＋2y＋1＝0，则下列各点中，在曲线C上的点是( )
A．(－1，2) B．(1，－2)
C．(2，－3) D．(3，6)
解析：选B.将各点坐标代入代数式x2－xy＋2y＋1得：(－1)2－(－1)×2＋2×2＋1＝8≠0，A错；12－1×(－2)＋2×(－2)＋1＝0，B对；22－2×(－3)＋2×(－3)＋1＝5≠0，C错；32－3×6＋2×6＋1＝4≠0，D错．
2.(2012·延安质检)x＝表示的曲线是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．双曲线的一部分 D．椭圆的一部分
解析：选D.由已知得x≥0，把x＝两边平方得x2＝1－3y2，即x2＋3y2＝1(x≥0)为椭圆的一部分．
3.若曲线C：xy＋3x＋ky＋2＝0，则当k＝______时，曲线C经过点(2，－1)．
解析：将点(2，－1)代入曲线C的方程xy＋3x＋ky＋2＝0，由曲线与方程的概念知，方程成立，即2×(－1)＋3×2＋k×(－1)＋2＝0，解得k＝6.
答案：6
4.设P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是______．
解析：设点P(x0，y0)，M(x，y)，则
x＝，y＝，∴2x＝x0，2y＝y0.
把点P(x0，y0)的坐标代入－y2＝1，得
－4y2＝1，即x2－4y2＝1.
答案：x2－4y2＝1
[A级 基础达标]
1.如图，方程x＝表示的曲线是( )
解析：选D.x＝，∴x≥0，y≤0
∴x2＝－y，表示开口向下的抛物线右支．
2.下列各组方程中，表示相同的曲线的是( )
A．y＝x与y＝
B．|x|－|y|＝0与x2－y2＝0
C．y＝与xy＝1
D．y＝lgx2与y＝2lg x
解析：选B.判断两个方程表示的曲线是否为同一曲线，只需判断两个方程的解集是否相等，也可通过判断两个函数是否是同一函数来解决．
3.方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是( )
A．两个点 B．四个点
C．两条直线 D．四条直线
解析：选B.方程等价于，解得或或或，
故方程表示的图形是四个点．
4.已知BC是圆x2＋y2＝25的动弦且|BC|＝6，则BC的中点的轨迹方程是________．
解析：由已知可知圆心与BC中点的距离为定值4，由圆的定义知轨迹为以(0，0)为圆心4为半径的圆．
答案：x2＋y2＝16
5.过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过原点O作OM⊥AB，垂足为M，则点M的轨迹方程是________．
解析：设M(x，y)，
∵OM⊥AB，F(2，0)，
∴·＝0.
∵＝(x，y)，＝(2－x，－y)，
∴x(2－x)－y2＝0，
∴x2＋y2－2x＝0.
答案：x2＋y2－2x＝0
6.(2011·高考课标全国卷改编)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足∥，·＝·，M点的轨迹为曲线C.
求C的方程．
解：设M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1)，
所以＝(－x，－1－y)，
＝(0，－3－y)，＝(x，－2)．
由·＝·，
得(＋)·＝0，
即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0.
所以曲线C的方程为y＝x2－2.
[B级 能力提升]
7.(2012·榆林质检)已知定点A(1，0)和定直线l：x＝－1，在l上有两动点E，F，且满足⊥，另有动点P，满足∥，∥(O为坐标原点)，则动点P的轨迹方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝4x(x≠0)
C．y2＝－4x D．y2＝－4x(x≠0)
解析：选B.设P(x，y)，E(－1，y1)，F(－1，y2)(y1，y2均不为零)，由∥，得y1＝y，即E(－1，y)．由∥，得y2＝－，即F(－1，－)．由⊥，得y2＝4x(x≠0)．故选B.
8.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：选B.设P(x，y)，代入|PA|＝2|PB|，得(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，则点P的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，所以点P的轨迹所围成的图形的面积等于4π.
9.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1的右顶点为B，右焦点为F，设动点P满足|PF|2－|PB|2＝4，则点P的轨迹方程为________．
解析：由题设得B(3，0)，F(2，0)．
设点P(x，y)，则|PF|2＝(x－2)2＋y2，
|PB|2＝(x－3)2＋y2.
由|PF|2－|PB|2＝4，得(x－2)2＋y2－(x－3)2－y2＝4，化简得x＝.
故所求点P的轨迹方程为x＝.
答案：x＝
10.(2012·宿州调研)过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1，l2，l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解：法一：如图，设点M的坐标为(x，y)．
∵M为线段AB的中点，
∴点A的坐标为(2x，0)，点B的坐标为(0，2y)．
∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2，4)，
∴PA⊥PB，∴kPA·kPB＝－1.
而kPA＝＝，kPB＝＝2－y(x≠1)，
∴·＝－1(x≠1)．
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2，0)，(0，4)，
∴线段AB的中点坐标是(1，2)，也满足方程x＋2y－5＝0.综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二：如图，设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x，0)，(0，2y)，连接PM.
∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.
而|PM|＝，
|AB|＝，
∴2＝，
化简，得x＋2y－5＝0为所求轨迹方程．
11.(创新题)当实数a，b变化时，直线l1：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0与直线l2：m2x＋2y＋n＝0都过一个定点，问：点(m，n)应在怎样的曲线上？
解：因为(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝(2x＋y＋1)a＋(x＋y－1)b＝0对于任意的a，b都成立，所以2x＋y＋1＝0且x＋y－1＝0，二者联立，解得x＝－2，y＝3，即直线l1过定点(－2，3)．因此直线l2也过定点(－2，3)，将点坐标代入l2：m2x＋2y＋n＝0，可得－2m2＋6＋n＝0，即n＝2m2－6.
因此点(m，n)在抛物线y＝2x2－6上．
1.(2012·宿州检测)抛物线与直线有一个公共点是直线与抛物线相切的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.当直线与抛物线的对称轴平行时，与抛物线也有一个公共点．
2.若椭圆上的点P到一个焦点的距离最小，则点P是( )
A．椭圆短轴的端点 B．椭圆长轴的一个端点
C．不是椭圆的顶点 D．以上都不对
解析：选B.由统一定义点P到右焦点的距离|PF2|＝de
＝(－x0)e＝a－ex.当x0＝a时，|PF2|最小．
3.已知动点P的坐标(x，y)满足＝，则动点P的轨迹是______(填名称)．
解析：表示动点P到定点(1，1)的距离，表示动点P到定直线x＋y＋2＝0的距离，即原等式表示动点P到定点(1，1)和到定直线x＋y＋2＝0的距离之比等于常数，且0<<1，因此动点P的轨迹为椭圆．
答案：椭圆
4.(2012·杨凌检测)若直线y＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
解析：椭圆的上，下顶点为(0，2)，(0，－2)，故－2≤a≤2.
答案：[－2，2]
[A级 基础达标]
1.方程＝|x＋y＋2|表示的曲线是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．线段
解析：选B.∵＝|x＋y＋2|，
∴＝>1.
∴由圆锥曲线的统一定义知该方程表示双曲线．
2.(2012·南阳检测)曲线x2＋y2＝2|x|＋2|y|所围成的面积是( )
A．2π B．π＋2
C．4π＋4 D．4π＋8
解析：选D.此曲线在直角坐标系内所围成的图形在每个象限的面积相等且为π＋2，所以S＝4×(π＋2)＝4π＋8.
3.过点(2，4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选B.易知点(2，4)在抛物线上，从而这样的直线有两条，一条为切线，一条与x轴平行．
4.已知斜率为1的直线过椭圆＋y2＝1的右焦点交椭圆于A，B两点，则弦AB的长是________．
解析：由得5x2－8x＋8＝0.
∴设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝，e＝，
|AB|＝2a－e(x1＋x2)＝4－×＝.
答案：
5.(2012·汉中检测)已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条准线与抛物线y2＝－6x的准线重合，则a＝________．
解析：抛物线y2＝－6x的准线方程为x＝.由双曲线准线方程的求法得＝， ∴a2＝c.又b＝1，c2＝a2＋b2，∴c2＝a2＋1，即c2＝c＋1，解得c＝2或c＝－(舍去)，∴a＝.
答案：
6.已知椭圆的长轴长为2a，焦点是F1(－，0)、F2(，0)，点F1到直线x＝－的距离为，过点F2且倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|F2B|＝3|F2A|.
(1)求椭圆的方程；
(2)求直线l的方程．
解：(1)∵F1到直线x＝－的距离为，
∴－＝，得a2＝2，或－＋＝，得a2＝4.
而c＝，∴a2＝4，∴b2＝a2－c2＝1.
∵椭圆的焦点在x轴上，∴所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)．
∵|F2B|＝3|F2A|，∴
∴
∵A、B在椭圆＋y2＝1上，
∴
∴(取正值)．
∴l的斜率为＝.
∴l的方程为y＝(x－)
即x－y－＝0.
[B级 能力提升]
7.(2010·高考陕西卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )
A. B．1
C．2 D．4
解析：选C.圆x2＋y2－6x－7＝0的圆心坐标为(3，0)，半径为4，y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，
∴3＋＝4，∴p＝2.
8.(2011·高考江西卷)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.∪
解析：选B.C1：(x－1)2＋y2＝1，
C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．
当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；
当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m＝±，
即直线处于两切线之间时满足题意，则－综上知－9.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e，直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与该椭圆仅有的一个公共点，则等于______．
解析：设＝λ，由题意得A，B(0，a)．
由得.
∵M，＝λ，∴＝λ，
即而c＝，
∴λ＝1－e2且1－e2>0，故＝1－e2.
答案：1－e2
10.已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点？
解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组，
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0 ③.
这个关于x的一元二次方程③的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
11.(创新题)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0，4)代入C的方程得＝1，∴b＝4.
又由e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，∴C的方程为＋＝1.
(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得
＋＝1，即x2－3x－8＝0，
解得x1＝，x2＝.
设线段AB的中点坐标为(x′，y′)，则x′＝＝，
y′＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点坐标为.
1.(2012·吉安检测)下列有关空间向量的说法中，正确的是( )
A．如果两个向量的模相等，那么这两个向量相等
B．如果两个向量的方向相同，那么这两个向量相等
C．如果两个向量平行且它们的模相等，那么这两个向量相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
解析：选D.相等向量要求模相等且方向相同，故A和B错误；平行向量可以方向相同也可以方向相反，故C错误．D显然正确．
2.(2012·西安调研)若空间向量a与b不相等，则a与b一定( )
A．有不同的方向 B．有不相等的模
C．不可能是平行向量 D．不可能都是零向量
解析：选D.a，b不相等，可能方向不同，也可能模不相等，所以A，B，C都不正确，只有D正确．
3.已知直三棱柱ABC?A1B1C1，则分别以此棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，与向量的模相等的向量(本身除外)共有________个，与向量相等的向量(本身除外)共有________个．
解析：注意模相等、方向相同和相反都要考虑．
答案：5 2
4.在长方体中，从同一顶点出发的三条棱长分别为1，2，3，在分别以长方体的任意两个顶点为起点和终点的向量中，模为1的向量有________个．
解析：研究长方体模型可知，所有顶点两两连接得到的线段中，长度为1的线段只有4条，故模为1的向量有8个．
答案：8
[A级 基础达标]
1.下列说法正确的是( )
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
解析：选D.任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A、B不正确．向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C不正确．由于向量的模是一个实数，故可以比较大小．
2.下列有关平面法向量的说法中，不正确的是( )
A．平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果a，b与平面α平行，且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量
解析：选D.依据平面向量的概念可知A，B，C都是正确的．当a与b共线时，n就不一定是平面α的法向量，故D错误．
3.(2012·蚌埠质检)在正四面体A-BCD中，如图，〈，〉等于( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析：选D.两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量的起点平移到A点处，再求夹角得〈，〉＝120°，故选C.
4.在正四面体A-BCD中，O为面BCD的中心，连接AO，则面BCD的一个法向量可以是________．
解析：由于A-BCD是正四面体，易知AO⊥平面BCD.
答案：
5.如图，棱长都相等的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知∠A1AB＝60°，则〈，〉＝________；〈，〉＝______；〈，〉＝________．
解析：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∥，且方向相同，所以〈，〉＝0°；因为AB∥CD，CD∥C1D1，所以AB∥C1D1，所以∥，但方向相反，所以〈，〉＝180°；因为＝，所以〈，〉＝〈，〉＝180°－∠A1AB＝120°.
答案：0° 180° 120°
6.(2012·咸阳调研)如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC?A1B1C1.
(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，举出与向量相等的向量；
(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，举出向量的相反向量；
(3)若E是BB1的中点，举出与向量平行的向量．
解：(1)由正三棱柱的结构特征知与相等的向量只有向量.
(2)向量的相反向量为，.
(3)取AA1的中点F，连接B1F(图略)，则，，都是与平行的向量．
[B级 能力提升]
7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线与所成的角等于( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析：选B.因为与同向共线，与同向共线，所以〈，〉＝〈，〉，在正方体中△A1BC1为等边三角形，所以〈，〉＝〈，〉＝60°.
8.(2012·商洛质检)如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AC，则在向量，，，，，中，夹角为90°的共有( )
A．6对 B．5对
C．4对 D．3对
解析：选B.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，平面PAB⊥平面ABC.
又平面PAB∩平面ABC＝AB，BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.
由此知〈，〉，〈，〉，〈，〉，〈，〉，〈，〉都为90°.
9.若把空间内所有单位向量的起点放置于同一点，则这些向量的终点构成的图形是________．
答案：半径为1的球面
10.如图，在三棱锥S－ABC中，侧面SAB与侧面SAC都是等边三角形，∠BAC＝90°，O是BC的中点，证明：是平面ABC的一个法向量．
证明：由题意知，侧面SAB与侧面SAC都是等边三角形，故设SA＝SB＝SC＝a，因为O是BC的中点，SB＝SC，所以SO⊥BC.因为∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AO⊥BC，所以AO＝a，又SO＝a，SA＝a，所以△ASO是等腰直角三角形，即SO⊥OA，又OA∩BC＝O，所以SO⊥平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量．
11.(创新题)如图所示，正四面体ABCD中，E是AC的中点，求与的夹角的余弦值．
解：过E作EF∥CD交AD于F，连接BF.
∠BEF为向量与的夹角的补角．
设正四面体棱长为1，
则BE＝，EF＝，BF＝.
由余弦定理得
cos∠BEF＝
＝
＝.
∴与所成的角的余弦值为－.
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1.(2012·宝鸡质检)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，则其中可以作为空间的基底的向量组有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C.结合如图所示正方体可知向量x、y、z不共面，b、c、z和x、y、a＋b＋c也不共面．
2.空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN等于( )
A.a－b＋c B．－a＋b＋c
C.a＋b－c D.a＋b－c
解析：选B.MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA
＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.
3.已知ABCD-A′B′C′D′是棱长为2的正方体，E、F分别是BB′、B′D′的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则＝________，＝________.
解析：由正方体的性质可知，EB⊥平面ABCD，取BD中点G，连接FG，则FG⊥平面ABCD，则E、F的横纵坐标分别为点B、G的横纵坐标，E、F的竖坐标分别为BE、GF.又正方体的棱长为2，故BE＝1，GF＝2.因此点E的坐标为(2，2，1)，点F的坐标为(1，1，2)．
∴＝(2，2，1)，＝(1，1，2)
答案：(2，2，1) (1，1，2)
4.(2012·新余调研)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，且f＝－a＋b＋c，k＝a＋b＋c，h＝a－b＋c.那么与相等的向量是________．
解析：求与相等的向量，就是用基向量a，b，c线性表示.
＝＋＝＋(＋)
＝－＋＋
＝－a＋b＋c＝f.
答案：f
[A级 基础达标]
1.(2012·亳州检测)若点A在空间直角坐标系中的坐标为(2，0，1)，O是坐标原点，则的坐标为( )
A．(2，0，1) B．(0，2，1)
C．(1，0，2) D．不确定
解析：选A.由空间向量的坐标表示可知，以坐标原点为起点的向量的坐标即为向量终点的坐标．
2.若O，A，B，C为空间中的四个点，且，，为空间的一个基底，则( )
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点中任意三点不共线
D．O，A，B，C四点不共面
解析：选D.由基底的意义可知，，三个向量不共面，选项A，B，C都有可能使，，共面，只有选项D能保证这三个向量不共面．
3.(2012·宿州调研)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，点M、N是平面A1B1C1D1内任意两个不重合的点，＝xa＋yb＋zc(x，y，z∈R)，那么( )
A．x，y，z都不等于0
B．x，y，z中最多有一个值为0
C．x，y，z中z必等于0
D．x，y，z不可能有两个等于0
解析：选C.∵MN在平面A1B1C1D1内，
∴z必为0.
4.e1，e2，e3是空间一组基底，a＝e1－2e2＋e3，b＝－2e1＋4e2－2e3，则a与b的关系为________．
解析：∵b＝－2a，
∴a∥b.
答案：a∥b
5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________．
解析：＝＝(＋＋)．
故x＝y＝z＝，∴x＋y＋z＝.
答案：
6.(2012·焦作质检)四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E、F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示：、、、.
解：＝＝(＋)
＝(c－b－a)
＝－a－b＋c.
＝＋＝－a＋
＝－a＋(＋)＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＋(＋)
＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
[B级 能力提升]
7.(2012·南阳调研)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z等于( )
A．1 B.
C. D.
解析：选B.在平行六面体中，＝x＋2y＋3z＝＋＋＝＋－.
比较系数知x＝1，y＝，z＝－，
∴x＋y＋z＝.
8.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是( )
A．2 B.
C. D.
解析：选C.设＝a，＝b，＝c.
由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.
因为＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c，所以||2＝a2＋b2＋c2＋2＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos 60°＝1＋1＋4－1＝5，
所以||＝.
答案：
9.如图，已知空间四边形OABC，M是边OA的中点，G是△ABC的重心，用基向量、、表示向量的表达式为________．
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(＋－)＝－＋＋.
答案：－＋＋
10.(2012·蚌埠调研)已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，求的坐标．
解：∵PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，
∴可设＝e1，＝e2，＝e3.
以e1，e2，e3为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系．
因为＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋(＋＋)
＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)
＝－e1＋e3.
所以＝.
11.(创新题)如图所示，已知正四面体O-ABC的棱长为1，点E、F分别是OA、BC的中点，选择适当的基底：
(1)表示，并求出||；
(2)计算·，并求出〈，〉．
解：设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝，
∴a·b＝a·c＝b·c＝.
(1)连接OF，知＝－
＝(＋)－
＝－a＋b＋c
＝－(a－b－c)，
则有||＝
＝
＝＝；
(2)∵＝－＝c－a＝－(a－c)，
∴||＝ ＝
＝ ＝1，
∴·＝(a－b－c)·(a－c)＝(a2＋c2－a·b＋b·c－2a·c)＝(1＋1－＋－1)＝.
∴cos〈，〉＝＝＝，
∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝.
1.(2012·驻马店检测)已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于( )
A．(0，3，－6) B．(0，6，－20)
C．(0，6，－6) D．(6，6，－6)
解析：选B.x＝2b＋4a＝2(－4，－3，－2)＋4(2，3，－4)＝(－8，－6，－4)＋(8，12，－16)＝(0，6，－20)．
2.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，c＝(1，－x，2)，若(a＋b)⊥c，则x等于( )
A．4 B．－4
C. D．－6
解析：选B.a＋b＝(－2，1，3＋x)，
∴－2－x＋6＋2x＝0，
∴x＝－4.
3.已知向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a，b夹角的余弦值为，则λ等于________．
解析：cos〈a，b〉＝
＝＝，解得λ＝－2或λ＝.
答案：－2或
4.(2012·咸阳质检)已知a＝(2，－1，3)，b＝(1，－，)，c＝(1，1，－)，可确定它们之间的关系为________．
解析：由于2b＝2(1，－，)＝(2，－1，3)＝a，所以a∥b.由于a·c＝(2，－1，3)·(1，1，－)＝2－1－1＝0，所以a⊥c.由a∥b，可得b⊥c.
答案：a∥c，a⊥c，b⊥c
[A级 基础达标]
1.已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
解析：选D.a∥b，则＝＝，解得.
2.已知A(2，－2，1)，B(1，0，1)，C(3，－1，4)，则向量，夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由点A，B，C的坐标可求得＝(－1，2，0)，＝(1，1，3)，则||＝＝，||＝＝，·＝(－1)×1＋2×1＋0×3＝1，
因此，cos〈，〉＝＝＝.
3.已知向量a＝(2，－1，2)，则与a平行且满足关系式a·x＝－18的向量x为( )
A．(－4，2，－4) B．(－4，1，－4)
C．(4，2，－4) D．(－4，－2，－4)
解析：选A.向量x与a平行，则x＝λa(λ∈R)，a·x＝λa2＝－18，又a2＝9，则λ＝－2，所以x＝－2a＝(－4，2，－4)．
4.已知A(3，－2，4)，B(0，5，－1)，若＝，则C的坐标为________．
解析：＝(－3，7，－5)，因为＝＝(－3，7，－5)＝(－2，，－)，所以C(－2，，－)．
答案：(－2，，－)
5.(2012·石河子质检)已知M1(2，5，－3)，M2(3，－2，－5)，设在线段M1M2上的一点M满足＝4，则向量的坐标为________．
解析：＝(1，－7，－2)，设M(x，y，z)，
∴＝(3－x，－2－y，－5－z)．
由＝4，
∴(1，－7，－2)＝4(3－x，－2－y，－5－z)，
∴x＝，y＝－，z＝－.
答案：(，－，－)
6.(2012·亳州调研)已知O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别是(2，－1，2)、(4，5，－1)、(－2，2，3)．求点P的坐标，使：
(1)＝(－)；(2)＝(－)．
解：＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)．
(1)＝(－)＝(6，3，－4)＝(3，，－2)，
则点P的坐标为(3，，－2)．
(2)设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)．
由(1)知，(－)＝(3，，－2)，
则，解得.
则点P的坐标为(5，，0)．
[B级 能力提升]
7.已知A(1，0，0)、B(0，－1，1)、O(0，0，0)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为( )
A．± B.
C．－ D．±
解析：选C.＝(1，0，0)，＝(0，－1，1)，＋λ＝(1，－λ，λ)，(＋λ)·＝1×0＋(－λ)×(－1)＋λ×1＝2λ，|＋λ|＝，||＝.
由题意知：cos120°＝＝－，解得λ2＝.
因为＜0，所以λ＜0，所以λ＝－.
8.(2012·阜阳质检)△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于( )
A．5 B.
C．4 D．2
解析：选A.设AD＝λ，其中λ∈R，D(x，y，z)，
则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0，4，－3)，
∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ.
∴BD＝(－4，4λ＋5，－3λ)．
∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0.
∴λ＝－，
∴BD＝(－4，，)．
∴|BD|＝ ＝5.
9.(2012·安康质检)若A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，当||取最小值时，x的值等于________．
解析：＝(1－x，2x－3，－3x＋3)，所以||＝＝，当x＝时，||取得最小值．
答案：
10.已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，a＝(－1，1，3)，b＝(1，0，－2)，c＝a＋tb.
(1)当|c|取最小值时，求t的值；
(2)在(1)的情况下，求〈b，c〉的余弦值．
解：(1)∵关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，
∴Δ＝(t－2)2－4(t2＋3t＋5)≥0，即－4≤t≤－.
又c＝(－1，1，3)＋t(1，0，－2)＝(－1＋t，1，3－2t)，
∴|c|＝
＝ .
∵t∈[－4，－]时，上式是关于t的减函数，
∴t＝－时，|c|取最小值.
(2)当t＝－时，c＝(－，1，)，
∴cos〈b，c〉＝
＝
＝－.
11.(创新题)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题．
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求与所成角的余弦值；
(3)求FH的长．
解：如图，建立如图所示空间直角坐标系，D为坐标原点，设正方体棱长为1个单位，则有
E、F、C(0，1，0)、C1(0，1，1)、B1(1，1，1)、G.
(1)证明：＝－
＝，
＝(0，1，0)－(1，1，1)＝(－1，0，－1)．
∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，∴⊥，即EF⊥B1C.
(2)∵＝－(0，1，1)＝.
∴||＝.
又·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝，
即与所成角的余弦值为.
(3)∵F、H，
∴＝，
∴||＝ ＝.
即FH的长为.
1.(2012·驻马店质检)若＝(1，2，3)，＝(－1，3，4)，则以下向量中能成为平面OAB的法向量的是( )
A．(1，7，5) B．(1，－7，5)
C．(－1，－7，5) D．(1，－7，－5)
解析：选C.因为(－1，－7，5)·(1，2，3)＝－1－14＋15＝0，(－1，－7，5)·(－1，3，4)＝1－21＋20＝0，
所以向量(－1，－7，5)能成为平面OAB的法向量．
2.若直线l的方向向量为a＝(－1，0，2)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．lα D．l与α斜交
解析：选B.∵a＝(－1，0，2)，n＝(－2，0，4)，n＝2a，
∴n∥a，∴l⊥α.
3.设两条不重合的直线a，b的方向向量分别是e1，e2，平面α的法向量是n，有下面命题：
①?b∥α； ②?a∥b；
③?b∥α； ④?b⊥α.
其中，正确命题的序号是________．
解析：对于①，有b⊥α，不正确，④正确，易判断②③正确．
答案：②③④
4.(2012·吉安检测)已知空间向量a＝(λ＋1，0，2λ)，b＝(6，2μ－1，2)，若a∥b，则λ＋μ＝________．
解析：∵a∥b，∴a＝mb(m∈R)，
∴，解得.
∴λ＋μ＝.
答案：
[A级 基础达标]
1.若直线l的方向向量为a＝(1，1，1)，向量b＝(1，－1，0)和向量c＝(0，1，－1)所在的直线都与平面α平行，则( )
A．l⊥α B．l∥α
C．lα D．以上都不对
解析：选A.∵a·b＝(1，1，1)·(1，－1，0)＝0，
a·c＝(1，1，1)·(0，1，－1)＝0，∴a⊥b，a⊥c，
又b与c不平行且b、c所在的直线都与平面α平行，
∴l⊥α.
2.(2012·西安检测)已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则(x，y，z)等于( )
A．(，－，4) B．(，－，4)
C．(，－2，4) D．(4，，－15)
解析：选B.AB·BC＝3＋5－2z＝0，故z＝4，BP·AB＝x－1＋5y＋6＝0，且BP·BC＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝，y＝－.
3.平面α的一个法向量是n＝(，－1，)，平面β的一个法向量是m＝(－3，6，－2)，则平面α与平面β的关系是( )
A．平行 B．重合
C．平行或重合 D．垂直
解析：选C.∵m＝－6n，∴m∥n，∴平面α，β平行或重合．
4.已知平面α，β的法向量分别为(1，3，6)，(－2，x，y)，若α∥β，则x＋y＝________.
解析：因为α∥β，所以它们的法向量共线，则有＝＝，解得x＝－6，y＝－12，所以x＋y＝－18.
答案：－18
5.(2012·淮北检测)已知＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，则平面ABC的单位法向量是________．
解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则??，
令z＝2，则n＝(1，－2，2)，|n|＝＝3，
n＝±(，－，)．
答案：±(，－，)
6.如图，在空间直角坐标系中有正方体ABCD-A1B1C1D1，O1是B1D1的中点．证明：BO1∥面ACD1.
证明：设正方体的棱长为2，
则A(2，0，0)、D1(0，0，2)、C(0，2，0)、O1(1，1，2)、B(2，2，0)，
所以＝(－2，0，2)，＝(0，－2，2)，＝(－1，－1，2)．
法一：设＝λ＋μ，则
λ(－2，0，2)＋μ(0，－2，2)＝(－1，－1，2)，
∴
∴＝＋?与、共面，
∴∥面ACD1.
又BO1面ACD1，∴BO1∥面ACD1.
法二：设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)，
由?.
令x＝1可得：y＝1，z＝1，∴n＝(1，1，1)．
∵·n＝(－1，－1，2)·(1，1，1)＝－1－1＋2＝0?⊥n，∴∥面ACD1.
又BO1 面ACD1，∴BO1∥面ACD1.
[B级 能力提升]
7.(2012·南阳检测)已知P是平面ABCD外一点，四边形ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则PA与平面ABCD的位置关系为( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不确定
解析：选C.因为·＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－2－2＋4＝0，·＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝－4＋4＋0＝0，所以⊥，⊥，即AP⊥AB，AP⊥AD，且AB∩AD＝A，AB平面ABCD，AD平面ABCD，故PA⊥平面ABCD.
8.已知平面α内有一点A(2，－1，2)，它的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1，1) B．(1，3，)
C．(1，－3，) D．(－1，3，－)
解析：选B.要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即判断·n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．
对于选项A，＝(1，0，1)，则·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；
对于选项B，＝(1，－4，)，则·n＝(1，－4，)·(3，1，2)＝0，故选B.
9.已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，则直线AB与平面yOz交点C的坐标是________．
解析：令C的坐标为(0，y，z)，则由＝λ得解得
答案：(0，2，6)
10.(2011·高考安徽卷改编)如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．证明直线BC∥EF.
证明：过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，连接QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，∴FQ⊥QE，FQ⊥DQ.以Q为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由条件知E(，0，0)，F(0，0，)，B(，－，0)，
C(0，－，)，则有＝(－，0，)，＝(－，0，)．所以＝2，即得BC∥EF.
11.(创新题)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC＝AC＝2，AA1＝3，D是AC的中点，问在侧棱AA1上是否存在点P，使CP⊥平面BDC1，并证明你的结论．
解：不存在．证明如下：以C1为原点，C1A1，C1C，C1B1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，3，2)，C(0，3，0)，D(1，3，0)，
∴＝(0，3，2)，＝(1，3，0)．
假设侧棱AA1上存在一点P(2，y，0)(0≤y≤3)使CP⊥平面BDC1，＝(2，y－3，0)，
∴即
∴这样的y不存在．
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥平面BDC1.
1.(2012·阜阳检测)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B.如图建系，则D(0，0，0)，F(1，0，0)，D1(0，0，2)，O(1，1，0)，E(0，2，1)．
∴＝(－1，1，1)，＝(－1，0，2)．
∴cos〈，〉＝
＝＝.
2.在正四面体A-BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.如图，以△BCD的中心O为原点，OC，OA所在直线分别为x轴，z轴，平面BCD内垂直OC于点O的直线为y轴建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为1，则C(，0，0)，A(0，0，)，D(－，，0)，所以E(－，，)，所以CE＝(－，，)，因为平面BCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
所以?＝＝，
设夹角为θ，
∴sinθ＝＝.
3.底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠C＝90°，AA1＝AC，D为CC1上的点，且CC1＝3C1D，则平面BB1D与平面B1DA夹角的余弦值为________．
解析：以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AA1＝AC＝3，则A(0，3，0)，B1(3，0，3)，D(0，0，2)．
∴＝(0，－3，2)，＝(3，－3，3)．
设平面ADB1的法向量为n＝(1，λ，μ)，
则
∴
解得
∴n＝(1，－2，－3)．
又平面BB1D的法向量＝(0，3，0)，
∴cos〈n，〉＝＝＝－.
由图知，平面BB1D与平面B1DA夹角的余弦值为.
答案：
4.已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝2，D为SA的中点，那么直线BD与直线SC所成角的大小为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，2，0)，D(0，0，)，S(0，0，2)．
∴＝(－，－1，)，
＝(0，2，－2)．
∴cos〈，〉＝
＝－.
∴BD与SC的所成的角为45°.
答案：45°
[A级 基础达标]
1.(2012·焦作质检)平面α的一个法向量为n1＝(4，3，0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3，4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为( )
A．－ B.
C. D．以上都不对
解析：选B.∵cos〈n1，n2〉＝＝－，
∴平面α与平面β夹角的余弦值为.
2.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，那么直线AM与BN夹角的余弦值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系，可得A( 1，0，0)，M(1，，1)，B(1，1，0)，N(1，1，)，则＝(0，，1)，＝(0，0，)，视，分别为直线AM，BN的方向向量，则cos〈，〉＝
＝＝>0.
设直线AM和BN的夹角θ为〈，〉，
故cosθ＝.
3.(2012·淮北质检)如图，在空间直角坐标系中有正三棱柱ABC-A1B1C1，已知AB＝1，点D在BB1上，且BD＝1，则AD与侧面AA1C1C所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.A点坐标为(，－，0)，D点坐标为(1，0，1)，∴AD＝(，，1)．易知平面ACC1A1的法向量n＝CB－CA＝(1，0，0)－(，－，0)＝(，，0)．
∵＝＝，
∴所求角的余弦值为 ＝.
4.(2012·安康质检)如图，在空间直角坐标系中有正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是BB1、CD的中点，则＝________．
解析：设正方体的棱长为a，则C(0，a，0)，B1(a，a，a)，E(a，a，)，F(0，，0)，
于是得EF＝(－a，－，－)，＝(a，0，a)．
所以cos＝－，所以＝150°.
答案：150°
5.正方体A1C中，平面AB1C与平面A1B1C夹角的正切值为________．
解析：以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，设A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)．
则平面A1B1C的法向量为n1＝(1，0，－1)．
平面AB1C的法向量为n2＝(－1，－1，1)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝－，
∴sin〈n1，n2〉＝.
∴tan〈n1，n2〉＝－.
∵平面与平面间夹角的范围是[0，]，
故平面A1B1C与平面B1CA夹角的正切值为.
答案：
6.(2012·九江检测)如图，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′的夹角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D的夹角的大小．
解：如图，以D为原点，分别以DA、DC、DD′所在的直线为x、y、z轴，并以DA为单位长建立空间直角坐标系D－xyz.
则＝(1，0，0)，＝(0，0，1)．
在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.
设＝(m，m，1)(m>0)，由已知〈，〉＝60°，
由·＝||||cos〈，〉，
可得2m＝，解得m＝，
所以＝.
(1)因为cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝45°，即DP与CC′的夹角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是＝(0，1，0)．
因为cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝60°，
可得DP与平面AA′D′D的夹角为30°.
[B级 能力提升]
7.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D的夹角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.如图所示建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，D1(0，0，1)，C1(0，2，1)，所以＝(2，2，0)，＝(0，0，1)，＝(－2，0，1)．
设平面BB1D1D的一个法向量为a＝(x，y，z)，由·a＝0，·a＝0得，取x＝1，得y＝－1，z＝0，即平面BB1D1D的一个法向量为a＝(1，－1，0)．
所以所求角的正弦值为|cos〈a，〉|＝
＝＝|－|＝.
8.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面BFD夹角的正切值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.连接BD，设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
∴B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，，0)，D(－，0，0)．
∴＝(0，，0)，且为平面BDF的一个法向量．
由＝(－，，0)，＝(，0，－)可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．
∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.
∴tan〈n，〉＝.
9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1，0，1)，B(1，1，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)．
连接AC，则AC⊥BD，AC⊥BB1，
∴AC⊥平面BB1D1D，∴是平面BB1D1D的一个法向量．∵＝(0，1，－1)，＝(－1，1，0)．
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴〈，〉＝60°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角为90°－60°＝30°.
答案：30°.
10.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱CC1上的一点，CP＝m，试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正弦值为.
解：如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，
所以＝(－1，1，m)，＝(－1，1，0)，
又·＝0，·＝0，
所以是平面BDD1B1的一个法向量．
设AP与平面BDD1B1所成的角为θ，则sinθ＝cos(－θ)＝＝＝，
所以m＝.
11.(创新题)如图所示，矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有数据：①a＝；②a＝1；③a＝；④a＝2；⑤a＝4.
(1)当在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可以取所给数据中的哪些值？请说明理由；
(2)在满足(1)的条件下，a取所给数据中的最大值时，求直线DQ与平面ADP所成的角的大小．
解：(1)如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则P(0，0，2)，D(0，2，0)，设BQ＝x，则Q(a，x，0).＝(a，x－2，0)，＝(a，x，－2)．因为PQ⊥QD，所以a2＋(x－2)·x＝0，即x2－2x＋a2＝0有解，所以Δ＝4－4a2≥0，所以a2≤1.又a>0，所以0(2)由(1)知a＝1，所以x＝1，所以＝(1，－1，0)，平面ADP的一个法向量为n＝(1，0，0)．所以cos〈，n〉＝＝，所以〈，n〉＝，所以直线DQ与平面ADP所成的角的大小为.
1.(2012·吉安检测)如图，已知平面αAB、平面ABβ的夹角为120°，AC在α内，BD在β内，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝AC＝BD＝a，则CD的长是( )
A．a B．2a
C．3a D．4a
解析：选B.因为＝＋＋，
所以||2＝(＋＋)·(＋＋)
＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)
＝a2＋a2＋a2＋2a2cos60°＝4a2，
所以||＝2a，CD＝2a.
2.正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1到平面BDC1的距离为( )
A.a B.a
C.a D.a
解析：选D.明显A1C⊥面AB1D1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，BA＝(0，－a，0)，则两平面间的距离为d＝|BA·|＝＝a.
3.(2012·南昌质检)已知点A(－1，1，－1)，平面α经过原点O，且垂直于向量n＝(1，－1，1)，则点A到平面α的距离为________．
解析：∵OA＝(－1，1，－1)，n＝(1，－1，1)，
∴点A到平面α的距离为d＝＝＝.
答案：
4.在如图所示的空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，且AB＝AD＝1，BB′＝2，M，N分别是A′D′，D′C′的中点，则直线AC与直线MN的距离为________．
解析：依据长方体的性质可知AC∥MN，故两直线间的距离为点M到直线AC的距离．
由题意得＝(－1，1，0)，＝(0，，－2)．所以点M到直线AC的距离d＝
＝ ＝.
答案：
[A级 基础达标]
1.已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为n＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.＝(－2，0，－1)，||＝，·＝，则点P到直线l的距离d＝ ＝ ＝.
2.已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则平面α外点P(－2，1，4)到α的距离为( )
A．10 B．3
C. D.
解析：选D.＝(－1，－2，4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，所以点P到α的距离d＝|·|＝＝.
3.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A. B．1
C. D.
解析：选D.依题意，∠B1AB＝60°，如图BB1＝1×tan 60°＝，故选D.
4.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是边长为2的正方形，高AA1为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________．
解析：A1到平面AB1D1的距离为三棱锥A1－AB1D1的高h.
由VA1－AB1D1＝VA－A1B1D1，
可求S△AB1D1h＝S△A1B1D1·AA1，
h＝.
答案：
5.已知空间四点A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离是________．
解析：＝(2，－2，1)，＝(4，0，6)，设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，
则∴
令x＝3，则z＝－2，y＝2，∴n＝(3，2，－2)．
＝(7，7，－7)，n0＝＝(3，2，－2)．
∴d＝|·n0|＝.
答案：
6.在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别是BB′，CC′的中点．
(1)求证AD∥平面A′EFD′；
(2)求直线AD到平面A′EFD′的距离．
解：(1)证明：以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
如图所示，
∵＝(a，0，0)，＝(a，0，0)，
∴DA∥D′A′.∵D′A′平面A′EFD′，
∴AD∥平面A′EFD′.
(2)D′(0，0，a)，F(0，a，)，
∴＝，＝.
设平面A′EFD′的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
即不妨令z＝1，
则n＝.
∴在n上的投影的大小为d＝＝a.
因此直线AD到平面A′EFD′的距离为a.
[B级 能力提升]
7.如图，在空间直角坐标系中有棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，M、N分别是线段BB1、B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.因为A(1，0，0)，D1(0，0，1)，M(1，1，)，N(，1，1)，C(0，1，0)．
所以＝(－1，0，1)，＝(－，0，)．
所以＝.
又直线AD1与MN不重合，所以∥.
又MN 平面ACD1，所以MN∥平面ACD1.
因为＝(－1，0，1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，1，0)，
设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)，
则所以
所以x＝y＝z.令x＝1，则n＝(1，1，1)．
又因为＝(1，1，)－(1，0，0)＝(0，1，)，
n0＝(，，)，
所以点M到平面ACD1的距离
d＝|·n0|＝＋＝.
8.已知三棱锥O－ABC，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2.则点A到直线BC的距离为( )
A. B.
C. D．3
解析：选B.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可知A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，∴＝(－1，2，0)，＝(0，－2，2)，||＝＝，|·|＝.∴点A到直线BC的距离d＝＝.
9.如图，在空间直角坐标系中有棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是A1B1、CD的中点，则点B到直线EF的距离为________．
解析：A(1，0，0)，F(0，，0)，E(1，，1)，B(1，1，0)，
则＝(1，0，1)，＝(1，，0)，
＝＝，
∴d＝ ＝.
答案：
10.如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M、N分别为AB、SB的中点．
(1)证明：AC⊥SB；
(2)求平面NCM与平面CMB所成角的余弦值；
(3)求点B到平面CMN的距离．
解：(1)证明：取AC中点O，连接OS、OB.
∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，
∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.
如图，建立空间直角坐标系O-xyz.
则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，2)，M(1，，0)，N(0，，)．
∴AC＝(－4，0，0)，SB＝(0，2，－2)．
∵AC·SB＝(－4，0，0)·(0，2，－2)＝0，
∴AC⊥SB.
(2)由(1)得CM＝(3，，0)，MN＝(－1，0，)．
设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，
则取z＝1，则x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)．
又OS＝(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，
∴cos?n，OS?＝＝.
∵N的射影落在平面BCM上，故平面NCM与平面CMB的夹角为锐角，
∴平面NCM与平面CMB夹角的余弦值为.
(3)由(1)(2)得MB＝(－1，，0)，n＝(，－，1)为平面CMN的一个法向量，
∴点B到平面CMN的距离d＝＝.
11.(创新题)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点，试问在线段A1B上是否存在异于A1，B的一点E使得点A1到平面AED的距离d为？
解：以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，设＝λ，λ∈(0，1)，则E(2λ，2(1－λ)，2λ)．又＝(－2，0，1)，＝2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，设n＝(x，y，z)为平面AED的一个法向量，则?取x＝1，则y＝，z＝2，即n＝.由于d＝＝，所以＝.又λ∈(0，1)，解得λ＝.所以当点E为A1B的中点时，A1到平面AED的距离为.
