函数f(x)＝x3－3x的极小值为________．
解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可求得f(x)的极小值为f(1)＝－2.
答案：－2
函数f(x)＝x3－12x的极大值与极小值之和为________．
解析：函数的定义域为R，f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，解得x1＝－2或x2＝2.列表：
x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ?↗ 极大值16 ?↘ 极小值－16 ↗
∴当x＝－2时，函数有极大值f(－2)＝16.当x＝2时，函数有极小值f(2)＝－16.
∴极大值与极小值之和为f(2)＋f(－2)＝0.
答案：0
已知命题甲：f′(x0)＝0，命题乙：点x0是可导函数f(x)的极值点，则甲是乙的________条件．(填充分不必要，必要不充分或充要)
解析：f′(x0)＝0不能得出点x0是可导函数f(x)的极值点，即甲不是乙的充分条件；但点x0是可导函数f(x)的极值点可得出f′(x0)＝0，故甲是乙的必要条件．
答案：必要不充分
若函数f(x)＝x3＋mx2－m2x＋1(m为常数，且m>0)有极大值9，则m的值是________．
解析：由f′(x)＝3x2＋2mx－m2＝(x＋m)(3x－m)＝0，得x＝－m或x＝m，
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－m) －m m
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ?↗ 极大值 ?↘ 极小值 ↗
从而可知，当x＝－m时，函数f(x)取得极大值9，
即f(－m)＝－m3＋m3＋m3＋1＝9，
∴m＝2.
答案：2
[A级 基础达标]
函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．
解析：f′(x)＝3x2－6＝3(x＋)(x－)．
令f′(x)＝0得x1＝－，x2＝.
当x<－时，f′(x)>0；当－
当x>时，f′(x)>0.
∴f(x)极大值＝f(－)＝4＋a.
f(x)极小值＝f()＝－4＋a.
答案：4＋a －4＋a
函数f(x)的定义域为(a，b)，其导函数y＝f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a，b)内极值点的个数是________．
解析：函数在x＝x0处取得极值必须满足两个条件：(1)x0为f′(x)＝0的根；(2)导数值在x0左右异号．所以，有3个极值点．
答案：3
(2012·苏州检测)若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________．
解析：f′(x)＝，由f′(1)＝0，得a＝3.
答案：3
函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时有极值10，则a、b的值为________．
解析：f′(x)＝3x2－2ax－b，因为在x＝1处f(x)有极值，所以f′(1)＝0，∴3－2a－b＝0.①
又∵f(x)极值＝10，
∴f(1)＝1－a－b＋a2＝10，
即a2－a－b－9＝0.②
由①②得a2＋a－12＝0.
∴a＝3，或a＝－4.
∴或
但当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，f(x)在R上单调递增，不存在极值，舍去．故a＝－4，b＝11.
答案：－4，11
函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，由题意，f′(x)＝0有两个不等的实根，即Δ>0，解得a>2或a<－1.
答案：a>2或a<－1
求函数f(x)＝2x3＋6x2－18x＋3的极值．
解：f′(x)＝6x2＋12x－18，令f′(x)＝0，解得x1＝－3或x2＝1.当x∈(－3，1)时，f′(x)<0；当x∈(－∞，－3)或x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以，当x＝－3时，函数取得极大值f(－3)＝57；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－7.
已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝1和x＝－1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求实数a，b，c的值；
(2)试判断当x＝1时函数取得极大值还是极小值，并说明理由．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由f′(1)＝0，f′(－1)＝0，f(1)＝－1解得a＝，b＝0，c＝－；
(2)f(x)＝x3－x，f′(x)＝x2－，当x<－1或x>1时f′(x)>0，当－1所以，当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
[B级 能力提升]
(2012·苏州检测)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是________．
解析：由f′(x)＝3x2－6b＝0，得x＝±(b>0)，
∵f(x)在(0，1)内有极小值，
∴0<<1，∴0答案：0设a∈R，若函数y＝eax＋3x(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3＋aeax，函数在x∈R上有大于零的极值点，即f′(x)＝3＋aeax＝0有正根；
当f′(x)＝3＋aeax＝0成立时，显然有a<0，此时x＝ln；由x>0即ln>0结合a<0解得参数a的范围为a<－3.
答案：a<－3
设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，
(1)若f(x)在x＝3处取得极值，求实数a的值；
(2)若f(x)在(－∞，0)上为增函数，求实数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a，f(x)在x＝3处取得极值，则f′(3)＝0，
解得a＝3，经检验知当a＝3时，x＝3为f(x)的极值点．
(2)令f′(x)＝0，解得x1＝a或x2＝1.
当a<1时，若x∈(－∞，a)∪(1，＋∞)，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上为增函数，故当0≤a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．
当a≥1时，若x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上为增函数，所以f(x)在(－∞，0)上也为增函数．
综上所述，当a∈[0，＋∞)时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．
(创新题)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R；
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
解：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，ln2) ln2 (ln2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减?↘ 2(1－ln2＋a) 单调递增?↗
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，
f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.函数f(x)＝x3－2x＋1的单调递减区间是________．
解析：f′(x)＝2x2－2，由f′(x)<0解得函数f(x)的单调递减区间是(－1，1)．
答案：(－1，1)
函数y＝x(x2－1)在区间________上是单调增函数．
解析：f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，解得x>或x<－.因此，在区间上，f′(x)>0，函数是增函数；在区间上，f′(x)>0，函数也是增函数．
答案：，
函数y＝x2－6lnx的单调增区间为________，单调减区间为________．
解析：y′＝2x－＝，
∵定义域为(0，＋∞)，由y′>0得x>，
∴增区间为(，＋∞)；由y′<0得0∴减区间为(0，)．
答案：(，＋∞) (0，)
若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．
解析：若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，只需y′＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，即Δ＝4－12m≤0，
∴m≥.
答案：
[A级 基础达标]
函数f(x)＝3x－x3的单调递减区间是________．
解析：f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)<0，解得函数的递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
答案：(－∞，－1)，(1，＋∞)
函数y＝4x2＋的单调递增区间是________．
解析：y′＝8x－＝，令y′>0，解得x>，则函数的单调递增区间为.
答案：
函数f(x)＝lnx－ax(a>0)的单调递增区间为________．
解析：∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由f′(x)＝－a>0得0答案：(0，)
函数y＝ax3－x在R上是减函数，则实数a的取值范围为________．
解析：y′＝3ax2－1，函数在R上是减函数，即不等式3ax2－1≤0恒成立，解得a≤0.
答案：a≤0
函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上单调递增，那么实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝＝＝a＋≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即a≥－在区间(0，＋∞)上恒成立，故a≥0.
答案：a≥0
设函数f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)，求f(x)的单调区间．
解：①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，其减区间为(－∞，0)，
增区间为(0，＋∞)．
②当a<0时，
∵f′(x)＝－ax2＋2x，
f′(x)>0 (－ax＋2)x>0 x>0 x>0或x<.
f′(x)<0 故f(x)的递增区间为和(0，＋∞)，递减区间为.
综上：当a＝0时，f(x)的递增区间为(0，＋∞)，递减区间为(－∞，0)；
当a<0时，f(x)的递增区间为和(0，＋∞)，递减区间为.
已知函数f(x)＝ax4＋bx2＋c的图象经过点(0，1)，且在点(1，f(1))处的切线方程是y＝x－2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解：(1)f(x)＝ax4＋bx2＋c的图象经过点(0，1)，则c＝1，
f′(x)＝4ax3＋2bx，k＝f′(1)＝4a＋2b＝1，
切点为(1，－1)，则f(x)＝ax4＋bx2＋c的图象经过点(1，－1)，
得a＋b＋c＝－1，得a＝，b＝－，
∴f(x)＝x4－x2＋1.
(2)由f′(x)＝10x3－9x>0，得－，则函数f(x)的单调递增区间为
，.
[B级 能力提升]
已知函数f(x)＝alnx＋x在区间[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝alnx＋x，∴f′(x)＝＋1.
又∵f(x)在[2，3]上单调递增，∴＋1≥0在x∈[2，3]上恒成立，
∴a≥(－x)max＝－2，∴a∈[－2，＋∞)．
答案：[－2，＋∞)
设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当a解析：令y＝f(x)·g(x)，则y′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)，
由于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，所以y在R上单调递减，
又xf(b)g(b)．
答案：f(x)g(x)>f(b)g(b)
求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝＋sinx；
(2)f(x)＝.
解：(1)f′(x)＝＋cosx，令f′(x)<0，即cosx<－，解得π＋2kπ0即cosx>－，解得－π＋2kπ所以函数f(x)的单调递减区间为
，k∈Z，
单调递增区间为，k∈Z.
(2)f′(x)＝
＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝b－1.
当b－1<1，即b<2时，f′(x)的变化情况如下表：
x (－∞，b－1) b－1 (b－1，1) (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ －
当b－1>1，即b>2时，f′(x)的变化情况如下表：
x (－∞，1) (1，b－1) b－1 (b－1，＋∞)
f′(x) － ＋ 0 －
所以，当b<2时，函数f(x)在(－∞，b－1)上单调递减，在(b－1，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
当b>2时，函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，b－1)上单调递增，在(b－1，＋∞)上单调递减．
当b－1＝1，即b＝2时，f(x)＝，所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递减．
(创新题)已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)，当a≤时，讨论f(x)的单调性．
解：因为f(x)＝lnx－ax＋－1，
所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)，
令h(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)，
(1)当a＝0时，h(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，
所以当x∈(0，1)时，h(x)>0，此时f′(x)<0，
函数f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，此时f′(x)>0，
函数f(x)单调递增．
(2)当a≠0时，由f′(x)＝0，
即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝－1.
①当a＝时，x1＝x2，h(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
②当01，
x∈(0，1)时，h(x)>0，此时f′(x)<0，
函数f(x)单调递减；
x∈时，h(x)<0，此时f′(x)>0，
函数f(x)单调递增；
x∈时，h(x)>0，此时f′(x)<0，
函数f(x)单调递减；
③当a<0时，由于－1<0，
x∈(0，1)，h(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
综上所述：
当a≤0时，函数f(x)在(0，1)上单调递减；
函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增；
当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当0函数f(x)在上单调递增；
函数f(x)在上单调递减．函数y＝＋＋的导数是________．
解析：y＝＋＋＝x－1＋2x－2＋x－3，
∴y′＝(x－1＋2x－2＋x－3)′＝－x－2－4x－3－3x－4.
答案：－x－2－4x－3－3x－4
(2010·高考江西卷改编)若f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________．
解析：求导，f′(x)＝4ax3＋2bx，导函数为奇函数，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
答案：－2
(2012·深圳检测)函数y＝的导数是________．
解析：y′＝′＝
＝.
答案：
曲线y＝x3在点(0，0)处的切线方程是________．
解析：∵y′＝(x3)′＝3x2，∴k＝3×02＝0，∴切线方程为y＝0.
答案：y＝0
已知直线y＝kx与曲线y＝lnx相切，则k＝________．
解析：设切点为(x0，y0)，又y′＝(lnx)′＝，∴切线斜率k＝，又点(x0，lnx0)在直线上，代入方程得lnx0＝·x0＝1，∴x0＝e，∴k＝＝.
答案：
[A级 基础达标]
函数y＝(1－)的导数为________．
解析：法一：y′＝′
＝′＝′
＝－x－－x－；
法二：y′＝′
＝(1－)′＋(1－)′
＝－x－＋(1－)
＝－x－－x－.
答案：－x－－x－
已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．
解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，f′(1)＝2＋2f′(1)，
∴f′(1)＝－2.∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.
答案：－4
曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为________．
解析：y′＝，所以k＝2，故切线方程为y＝2x＋1.
答案：y＝2x＋1
函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝________．
解析：设切点为(x0，y0)，∵y′＝2ax，∴k＝2ax0＝1，①
又∵点(x0，y0)在曲线与直线上，
即：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝ax＋1,y0＝x0))，②
由①②得a＝.
答案：
已知曲线y＝x3＋x，则在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．
解析：∵在曲线上，又y′＝′＝x2＋1，
∴切线斜率k＝2，
∴切线方程为y－＝2(x－1)，其与坐标轴的两交点为，；
∴三角形面积为S＝××＝.
答案：
求下列函数的导数：
(1)y＝＋2x；(2)y＝lgx－sinx；
(3)y＝2sinxcosx；(4)y＝.
解：(1)y′＝′＝()′＋(2x)′＝x－＋2xln2；
(2)y′＝(lgx－sinx)′＝(lgx)′－(sinx)′＝－cosx；
(3)y′＝(2sinxcosx)′＝2[(sinx)′cosx＋sinx(cosx)′]
＝2(cos2x－sin2x)＝2cos2x；
(4)y′＝′＝
＝＝.
已知抛物线y＝x2，求过点且与抛物线相切的直线方程．
解：设直线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，则直线方程为y＋2＝k，∵y′＝2x，
∴k＝2x0，又点(x0，x)在切线上，
∴x＋2＝2x0，
∴x0＝1或x0＝－2，
∴直线方程为y＋2＝2或y＋2＝－4，
即为2x－y－1＝0和4x＋y＋4＝0.
[B级 能力提升]
设函数f(x)＝，集合M＝{x|f(x)<0}，P＝{x|f′(x)>0}，若MP，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝，
∵f′(x)>0，∴a>1，∴P＝{x|x≠1，a>1}，
而f(x)＝<0 (x－1)(x－a)<0.
∵a>1，∴1∴实数a的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
设μ∈R，函数f(x)＝ex＋的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则该切点的横坐标是________．
解析：∵f(x)＝ex＋，
∴f′(x)＝ex－，
由于f′(x)是奇函数，∴f′(－x)＝－f′(x)对于x恒成立，则μ＝1，∴f′(x)＝ex－.
又由f′(x)＝ex－＝，
∴2e2x－3ex－2＝0即(ex－2)(2ex＋1)＝0，
解得ex＝2，故x＝ln2.
答案：ln2
已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行且与曲线相切的切线方程．
解：设切点坐标为M(x0，y0)，则切线斜率为2x0，又直线PQ的斜率为kPQ＝＝1，
∵切线与直线PQ平行，∴2x0＝1，∴x0＝，
∴切点为，切线斜率为1.∴切线方程为y－＝x－即4x－4y－1＝0.
(创新题)已知函数f1(x)＝sinx，且fn＋1(x)＝fn′(x)，其中n∈N*，求f1(x)＋f2(x)＋…＋f100(x)的值．
解：∵f1(x)＝sinx，又fn＋1(x)＝fn′(x)，
∴f2(x)＝f1′(x)＝(sinx)′＝cosx，f3(x)＝－sinx，
f4(x)＝－cosx，f5(x)＝sinx，…，
∴f1(x)＋f2(x)＋…＋f100(x)＝0.某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．
解析：利润为S(x)＝(x－30)(200－x)
＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，
由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大．
答案：115
有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为________．
解析：设矩形的长为x m，则宽为(8－x)m，矩形面积为S＝x(8－x)(x>0)，令S′＝8－2x＝0，得x＝4，此时Smax＝42＝16 (m2)．
答案：16 m2
某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系为R＝R(x)＝，则总利润最大时，每年生产的产品数量是________．
解析：由题意，总成本为C＝20000＋100x.
∴总利润为
P＝R－C＝，
P′＝.
令P′＝0，即可得到正确答案，即x＝300.
答案：300
某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其它三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．
解析：要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长为L＝2x＋(x>0)，
则L′＝2－.
令L′＝0得x＝±16，又x>0，
∴x＝16，则当x＝16时，Lmin＝64，
∴长为＝32(米)．
答案：32米，16米
已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________．
解析：∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，
令y′＝0，得x＝9.当x∈(0，9)，y′>0；
x∈(9，＋∞)，y′<0，y先增后减，
∴x＝9时函数取最大值．
答案：9万件
[A级 基础达标]
把长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是________．
解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为
S＝x2＋(4－x)2＝x2－2x＋4.
令S′＝x－2＝0，则x＝2，所以Smin＝2.
答案：2 cm2
要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高为________．
解析：设圆锥的高为h cm，
∴V圆锥＝π(400－h2)×h，
∴V′(h)＝π(400－3h2)．令V′(h)＝0，
得h2＝，∴h＝ (cm)．
答案： cm
设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________．
解析：设底面边长为x，高为h，
∴x2·h＝V，∴h＝＝.
∴S表＝2·x2＋3x·h＝x2＋，
S′(x)＝x－，令S′(x)＝0可得x＝，
∴x3＝4V，∴x＝.
答案：
如图，在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，最大容积是________．
解析：设箱底边长为xcm，则箱高h＝，
箱子容积V(x)＝x2h＝(0V′(x)＝60x－x2，令V′(x)＝60x－x2＝0，
解得x＝0(不合题意，舍去)，x＝40，
并求得V(40)＝16000.
答案：16000 cm3
做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
解析：设底面半径为r，高为h，
∴πr2·h＝27π，
∴r2·h＝27，∴h＝.
∴S表＝2πr·h＋πr2＝＋πr2.
∴S′(r)＝2πr－54πr－2，令S′(r)＝0，
∴r＝3.
答案：3
用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
解：设容器高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则
V(x)＝x(90－2x)(48－2x)
＝4x3－276x2＋4320x(0求V(x)的导数，V′(x)＝12x2－552x＋4320
＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)．
令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)，
当00，V(x)为增函数；
当10因此，在定义域(0，24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为
V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600(m3)．
故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19600 m3.
(2012·泰安检测)某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(x>6)，年销量为u万件，若已知－u与(x－)2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．
(1)求年销售利润y关于x的函数关系式；
(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．
解：(1)设－u＝k(x－)2，
∵售价为10元时，年销量为28万件，
∴－28＝k(10－)2，解得k＝2.
∴u＝－2(x－)2＋
＝－2x2＋21x＋18.
∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)
＝－2x3＋33x2－108x－108.
(2)y′＝－6x2＋66x－108
＝－6(x2－11x＋18)
＝－6(x－2)(x－9)．
令y′＝0得x＝2(∵x>6，舍去)或x＝9.
显然，当x∈(6，9)时，y′>0；
当x∈(9，＋∞)时，y′<0.
∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6，9)上是关于x的增函数，在(9，＋∞)上是关于x的减函数，
∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135.
∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．
[B级 能力提升]
横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的宽是________．
解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y.由题意知，当xy2取最大值时，横梁的强度最大．
∵y2＝d2－x2，
∴xy2＝x(d2－x2)(0令f(x)＝x(d2－x2)(0得f′(x)＝d2－3x2，令f′(x)＝0，
解得x＝或x＝－(舍去)．
当00；当因此，当x＝时，f(x)取得极大值，也是最大值．
答案：d
某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数．
于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.
因此，两项费用之和为y＝＋(x>0)，y′＝－＋，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．当05时，y′>0.因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
答案：5
如图所示，设铁路AB＝50，B、C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A到C最省？
解：设M为AB上的一点，且MB＝x，于是AM上的运费为2(50－x)，MC上的运费为4，
则由A到C的总运费为
p(x)＝2(50－x)＋4(0≤x≤50)．
p′(x)＝－2＋，
令p′(x)＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当x<时，p′(x)<0；当x>时，p′(x)>0，
故当x＝时，p(x)取得最小值．
即在离点B距离为的点M处修筑公路至C时，货物运费最省．
(创新题)一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其它与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？
解：设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝＝0.006.于是有p＝0.006v3.
又设当船的速度为每小时v海里时，行1海里所需的总费用为q元，
那么每小时所需的总费用是0.006v3＋96(元)，
而行1海里所需时间为小时，
所以，行1海里的总费用为：
q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.
q′＝0.012v－＝(v3－8000)，
令q′＝0，解得v＝20.
∵当v<20时，q′<0；当v>20时，q′>0，
∴当v＝20时取得最小值．
即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
如果质点按规律s(t)＝t2－t(距离单位：m，时间单位：s)运动，则质点在3 s时的瞬时速度为________．
解析：质点在3 s时的瞬时速度即s′(3)＝5 m/s.
答案：5 m/s
设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝________．
解析：∵f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1；
∴由f′(x0)＝2得lnx0＋1＝2，∴x0＝e.
答案：e
若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不单调，则实数k的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝2x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－，由f′(x)＝0得x＝.由题意知
解得1≤k<.
答案：1≤k<
函数f(x)＝(x－1)2(x－2)2的极大值是________．
解析：∵f(x)＝(x－1)2(x－2)2，
∴f′(x)＝2(x－1)(2x－3)(x－2)；
令f′(x)＝0，得可能的极值点x1＝1，x2＝，x3＝2.列表如下：
x (－∞，1) 1 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ?↘ 极小值 ?↗ 极大值 ?↘ 极小值 ?↗
∴f＝是函数的极大值．
答案：
若直线y＝kx－3与曲线y＝2lnx相切，则实数k＝________．
解析：依题意，设切点为(x0，y0)，则有
，由此得2－3＝2lnx0，∴x0＝e－.
∴k＝＝＝2.
答案：2
若函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
解析：由函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，得函数f(x)有两个极值点，令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，得x1＝1，x2＝－1，所以函数f(x)的极小值为f(1)＝a－2，极大值为f(－1)＝a＋2，结合图象，应该有，∴－2答案：(－2，2)
已知函数f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f′(x)＝＝，
又∵f(x)在[1，＋∞)上为减函数，∴f′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立，
故lna应大于等于φ(x)＝1－lnx的最大值，
∵φ(x)max＝1，故lna≥1，
∴a≥e.
答案：[e，＋∞)
函数f(x)的定义域R，f(－1)＝2，对于任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为________．
解析：设h(x)＝f(x)－(2x＋4)，则h′(x)＝f′(x)－2>0，
故h(x)在R上为增函数，又∵h(－1)＝f(－1)－2＝0，
∴当x>－1时，h(x)>0，即f(x)>2x＋4.
答案：(－1，＋∞)
已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，由已知，f′(x)＝0应该有2个不等的实数根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.
答案：a>6或a<－3
函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为________．
解析：∵y′＝3x2－3a，令y′＝0，可得：a＝x2.又∵x∈(0，1)，∴0答案：0设f(x)＝x3－x2－2x＋5，当x∈[－2，2]时，f(x)－m<0恒成立，则实数m的取值范围为________．
解析：f′(x)＝3x2－x－2，由f′(x)>0得3x2－x－2>0，即x<－或x>1；
由f′(x)<0得3x2－x－2<0即－所以函数的单调增区间是，(1，＋∞)；函数的单调减区间是；
∵f(x)∵当x∈时，f(x)为增函数，
所以f(x)max＝f＝；
当x∈时，f(x)为减函数，
所以f(x)max＝f＝；
当x∈[1，2]时，f(x)为增函数，所以f(x)max＝f(2)＝7；
因为7>，∴f(x)在x∈[－2，2]上的最大值为7；从而m>7.
答案：m>7
方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是________．
解析：设f(x)＝x3－6x2＋9x－10，则f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，故函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数；而f(1)＝－6，f(3)＝－10；故函数f(x)的图象与x轴有且只有1个交点，即方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是1个．
答案：1
某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2.问该商品零售价定为________元时毛利润最大(毛利润＝销售收入－进货支出)．
解析：由题意知毛利润L(P)＝P·Q－20Q＝Q(P－20)
＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，
∴L′(P)＝－3P2－300P＋11700.
令L′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍)．
因为在P＝30附近的左侧L′(P)>0，右侧L′(P)<0，∴L(30)是极大值．
根据实际意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，有最大毛利润23000元．
答案：30
一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20千米时，每小时消耗的煤的费用为40元；火车行驶的其它费用为每小时200元，则火车行驶的速度为________(千米/小时)时，火车从甲城开往乙城的总费用最省(已知甲、乙两城距离为a千米，且火车最高速度为每小时100千米)．
解析：设火车速度为x千米/小时，每小时消耗的煤的费用为p元，依题意有p＝kx3(k为比例系数)，由x＝20时，p＝40，解得k＝，故总费用y＝·＝a(0由于y′＝a，令y′＝0，解得x＝10，
又当00，
∴当x＝10时，y取最小值，即要使费用最省，火车速度应为10千米/小时．
答案：10
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(本小题满分14分)用导数定义求：
(1)函数y＝在x＝1处的导数；
(2)函数y＝x2＋ax＋b(a、b为常数)的导数．
解：(1)Δy＝－1，＝
＝，
故Δx→0时，→，∴当x＝1时，y′＝.
(2)Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)
＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，
＝＝(2x＋a)＋Δx，
故Δx→0时，＝(2x＋a＋Δx)→2x＋a，∴y′＝2x＋a.
(本小题满分14分)
设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图所示，且与y＝0在原点相切，若函数的极小值为－4，
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数的递减区间．
解：(1)函数的图象经过(0，0)点，
∴c＝0，又图象与x轴相切于(0，0)点，y′＝3x2＋2ax＋b，
∴0＝3×02＋2a×0＋b，得b＝0，
∴y＝x3＋ax2，y′＝3x2＋2ax；
令y′＝0得：x＝0或x＝－a，结合f(x)图象知：
－a>0，
当0－a时，y′>0；
∴当x＝－a时，函数有极小值－4；
∴＋a＝－4，得a＝－3.
∴a＝－3，b＝0，c＝0.
(2)由f′(x)＝3x2－6x<0，解得0∴递减区间是(0，2)．
(本小题满分14分)
已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋4x的极小值为－8，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(－2，0)，如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数y＝f(x)－k在区间[－3，2]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋4，且y＝f′(x)的图象过点(－2，0)，所以－2为3ax2＋2bx＋4＝0的根，代入得：3a－b＋1＝0，①
由图象可知，f(x)在x＝－2时取得极小值，
即f(－2)＝－8，得b＝2a.②
由①②解得a＝－1，b＝－2，∴f(x)＝－x3－2x2＋4x.
(2)由题意，方程f(x)＝k在区间[－3，2]上有两个不等实根，
即方程－x3－2x2＋4x＝k在区间[－3，2]上有两个不等实根．
f′(x)＝－3x2－4x＋4，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝，可列表：
x －3 (－3，－2) －2 (－2，) 2
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) －3 ↘ 极小值－8 ↗ 极大值 ?↘ －8
由表可知，当k＝－8或－3(本小题满分16分)烟囱向其周围散落烟尘造成环境污染．已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比．现有A，B两座烟囱相距20 km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点C，使该点的烟尘浓度最低．
解：不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，
设AC＝x(0依题意得点C处的烟尘浓度y＝＋(k为比例系数)．
∴y′＝－＋
＝.
令y′＝0，得(3x－20)·(3x2＋400)＝0，又0∴x＝.
∵当x∈时，y′<0；当x∈时，y′>0；
∴在区间(0，20)上，当x＝时，y取最小值．
故当点C位于距A点 km处时，该点的烟尘浓度最低．
(本小题满分16分)
如图，四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)的一部分．新世纪公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积．
解：
以M为原点，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则D(4，2)．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．由点D在抛物线上，得22＝8p，解得p＝.
∴抛物线方程为y2＝x(0≤x≤4，y≥0)．
设P(y2，y)(0≤y≤2)是曲线MD上任一点，
则PQ＝2＋y，PN＝4－y2，
∴矩形游乐园面积S＝PQ·PN＝(2＋y)·(4－y2)＝8－y3－2y2＋4y.
∴S′＝－3y2－4y＋4，令S′＝0，
解得y＝或y＝－2(舍去)．
∵当y∈时，S′>0，S为增函数；
当y∈时，S′<0，S为减函数．
∴当y＝时，S有极大值，
此时PQ＝2＋y＝2＋＝，
PN＝4－y2＝4－＝，S＝×＝(km2)．
又当y＝0时，S＝8；当y＝2时，S＝0.
∴当y＝，x＝时，游乐园面积最大，最大面积为 km2.
故当点P到x轴距离为、到y轴距离为时，游乐园面积最大，最大面积为km2.
(本小题满分16分)设f(x)＝x3－kx(k>0)．
(1)若f′(2)＝0，求f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若函数f(x)＝x3－kx(k>0)在[1，＋∞)上是单调函数，
(Ⅰ)求证：0解：(1)由f(x)＝x3－kx得f′(x)＝3x2－k，∵f′(2)＝0，∴3×22－k＝0，即k＝12；
∴f(x)＝x3－12x，故f(2)＝23－12×2＝－16，
∴f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－f(2)＝f′(2)·(x－2)，即为y＋16＝0.
(2)证明：(Ⅰ)∵f′(x)＝3x2－k，又f(x)＝x3－kx在[1，＋∞)是单调函数；所以：①若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则f′(x)≥0恒成立，即恒有3x2≥k，而x∈[1，＋∞)，∴k≤3，又k>0，∴0②若f(x)在[1，＋∞)上是减函数，则f′(x)≤0恒成立，即恒有3x2≤k，而x∈[1，＋∞)，
∴这样的k不存在；
综上，得0(Ⅱ)设f(x0)＝m，则由f(f(x0))＝x0得f(m)＝x0；又f(x)＝x3－kx(k>0)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－kx0＝m,m3－km＝x0))，两式相减得(x－m3)－k(x0－m)＝m－x0，
即(x0－m)(x＋m2＋x0m＋1－k)＝0.
∵x0≥1，f(x0)≥1即m≥1，
∴x＋m2＋x0m＋1－k≥4－k，而0∴x＋m2＋x0m＋1－k≥1>0，从而只有x0－m＝0，即m＝x0，∴f(x0)＝x0.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网函数y＝f(x)的自变量在x＝1处有增量Δx时，函数值相应的增量为________．
答案：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
若函数y＝x2＋1的图象上的一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则＝________．
解析：将(1＋Δx，2＋Δy)代入y＝x2＋1，得2＋Δy＝(1＋Δx)2＋1，化简可得Δy＝2Δx＋(Δx)2，所以＝2＋Δx.
答案：2＋Δx
如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f(f(0))＝________；f(x)在x＝1处的瞬时变化率为________．(用数字作答)
解析：f(0)＝4，f(4)＝2；
∴f(f(0))＝2.f(x)在x＝1处的瞬时变化率即为kAB＝－2.
答案：2 －2
函数y＝2x2＋1在x＝1处的导数为________．
解析：＝＝2Δx＋4；
当Δx无限趋近于0时，2Δx＋4无限趋近于4，所以y＝2x2＋1在x＝1处的导数等于4.
答案：4
[A级 基础达标]
当t趋向于0时，5＋3t趋向于________，2t2－3趋向于________，趋向于________．
解析：5＋3t趋向于5，2t2－3趋向于－3，＝＝趋向于.
答案：5 －3
函数f(x)＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率为________．
解析：＝＝k.
答案：k
函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________．
解析：＝＝2，解得t＝5或t＝－2(舍去)．
答案：5
曲线y＝x2在点(2，4)处的切线方程为________．
解析：因为点(2，4)在曲线上，由y＝x2得，＝＝＝4＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，4＋Δx无限趋近于4，
则函数在点(2，4)处的切线斜率k等于4，
由直线的点斜式方程可知，所求切线方程是y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
答案：4x－y－4＝0
函数y＝x3＋1在x＝1时的瞬时变化率是________．
解析：＝＝(Δx)2＋3Δx＋3；
当Δx无限趋近于0时，(Δx)2＋3Δx＋3无限趋近于3，
所以y＝x3＋1在x＝1时的瞬时变化率是3.
答案：3
已知函数f(x)＝2x2＋3，分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率：
(1)[2，4]；(2)[2，3]；(3)[2，2.1]；(4)[2，2.001]．
解：(1)函数f(x)在[2，4]上的平均变化率为＝12；
(2)函数f(x)在[2，3]上的平均变化率为＝10；
(3)函数f(x)在[2，2.1]上的平均变化率为＝8.2；
(4)函数f(x)在[2，2.001]上的平均变化率为＝8.002.
航天飞机升空后一段时间内，第t s时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.
(1)h(0)，h(1)，h(2)分别表示什么？
(2)求第2 s内的平均速度；
(3)求第2 s末的瞬时速度．
解：(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度；h(1)表示航天飞机升空后1 s的高度；h(2)表示航天飞机升空后2 s的高度；
(2)＝＝125(m/s)．
(3)v＝＝5Δt2＋60Δt＋225，当Δt趋向于0时，v趋向于225，
因此，第2 s末的瞬时速度为225 m/s.
[B级 能力提升]
一木块沿一斜面下滑，下滑的水平距离S(m)与时间t(s)之间的函数关系式为S＝t2，t＝3 s时，此木块在水平方向上的瞬时速度为________．
解析：v＝＝Δt＋，当Δt趋向于0时，v趋向于1.5，所以所求瞬时速度为1.5 m/s.
答案：1.5 m/s
已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．
解析：由已知切点在切线上，所以f(1)＝＋2＝，切点
处的导数为切线斜率，所以f′(1)＝，所以f(1)＋f′(1)＝3.
答案：3
试求过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．
解：＝＝2x＋Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x；所以，f′(x)＝2x；
设所求切线的切点为A(x0，y0)，
∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x，
又∵A是切点，∴过点A的切线斜率k＝2x0，
∵所求切线过P(3，5)和A(x0，y0)两点，
∴其斜率又为＝eq \f(x－5,x0－3)，
∴2x0＝eq \f(x－5,x0－3)，解之得x0＝1或x0＝5.
从而切点A的坐标为(1，1)或(5，25)．
当切点为(1，1)时，切线斜率k1＝2x0＝2；
当切点为(5，25)时，切线斜率k2＝2x0＝10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，
即y＝2x－1和y＝10x－25.
(创新题)已知函数f(x)＝x3，求证：函数在任意区间[a，a＋b]上的平均变化率都是正数．
证明：＝＝3a2＋3ab＋b2
＝3＋b2>0；
因此，函数在任意区间[a，a＋b]上的平均变化率都是正数．设函数f(x)在区间[a，b]上满足f′(x)<0，则函数f(x)在区间[a，b]上的最小值为________，最大值为________．
解析：由f′(x)<0，可知f(x)在区间[a，b]上为单调减函数，则最小值为f(b)，最大值为f(a)．
答案：f(b) f(a)
函数y＝x＋，x∈[2，＋∞)的最小值为________．
解析：y′＝1－，x∈[2，＋∞)时，y′>0，函数为增函数，最小值为f(2)＝.
答案：
函数f(x)＝x3－3x＋1在[－3，0]上的最大值，最小值分别为________．
解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1，f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(0)＝1.比较可得f(x)max＝f(－1)＝3，f(x)min＝f(－3)＝－17.
答案：3，－17
已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，则m的值为________．
解析：f′(x)＝6x2－12x，6x2－12x＝0 x＝0或x＝2.
当x>2，或x<0时，f′(x)>0；
当0∴当x＝0时，f(x)取得极大值，当x＝2时，f(x)取得极小值．又f(0)＝m，f(2)＝m－8，f(－2)＝m－40，
∴f(x)的最大值为f(0)＝3.∴m＝3.
答案：3
[A级 基础达标]
函数y＝x4－2x2＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值的和为________．
解析：先求导数，得y′＝4x3－4x，
令y′＝0即4x3－4x＝0解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
函数y，y′的变化情况如下表
x －2 (－2，－1) －1 (－1，0) 0 (0，1) 1 (1，2) 2
y′ － 0 ＋ 0 － 0 ＋
y 13 ?↘ 4 ?↗ 5 ?↘ 4 ?↗ 13
从上表知，当x＝±2时，函数有最大值13，当x＝±1时，函数有最小值4.
∴最大值与最小值的和为17.
答案：17
函数f(x)＝xlnx在(0，＋∞)上的最小值为________．
解析：f′(x)＝(xlnx)′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋1.由f′(x)>0，得x>；由f′(x)<0，得x<.∴f(x)＝xlnx在x＝处取得极小值f()＝－，∴－就是f(x)在(0，＋∞)上的最小值．
答案：－
函数y＝x＋2 cosx在区间[0，]上的最大值是________．
解析：令y′＝1－2sinx＝0，得x＝，
比较0，，处的函数值，得ymax＝＋.
答案：＋
若函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上有最大值f(2)，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝2ax＋4，由f(x)在[0，2]上有最大值f(2)，则要求f(x)在[0，2]上单调递增，则2ax＋4≥0在[0，2]上恒成立．当a≥0时，2ax＋4≥0恒成立；当a<0时，要求4a＋4≥0恒成立，即a≥－1.∴a的取值范围是a≥－1.
答案：a≥－1
已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，
所以f′(x)＝2x3－6x2，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，
经检验知x＝3是函数的一个最小值点，
所以函数的最小值为f(3)＝3m－，
因为不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，
所以3m－≥－9，解得m≥.
答案：m≥
已知函数f(x)＝x3－3x.
(1)求函数f(x)在上的最大值和最小值；
(2)过点P(2，－6)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线的方程．
解：(1)f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，当x∈[－3，－1)或x∈时，f′(x)>0，
∴[－3，－1)，为函数f(x)的单调增区间；
当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，∴[－1，1]为函数f(x)的单调减区间．
又因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f＝－，
所以当x＝－3时，f(x)min＝－18；
当x＝－1时，f(x)max＝2.
(2)设切点为Q(x0，x－3x0)，则所求切线方程为y－(x－3x0)＝3(x－1)(x－x0)，由于切线过点P(2，－6)，∴－6－(x－3x0)＝3(x－1)(2－x0)，
解得x0＝0或x0＝3；
所以切线方程为y＝－3x或y＋6＝24(x－2)即为3x＋y＝0或24x－y－54＝0.
函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a，
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)若f(x)在[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
解：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9，令f′(x)<0，解得x<－1或x>3，所以函数的单调减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，则f(2)>f(－2)．由(1)可知，f(x)在[－1，2]上单调递增，在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值，所以22＋a＝20，解得a＝－2.
则f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝－7.
即函数在[－2，2]上的最小值为－7.
[B级 能力提升]
函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间[1，＋∞)上一定有________(填最大或最小值)．
解析：由函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，可得a的取值范围为a<1.
g(x)＝＝x＋－2a，则g′(x)＝1－.
易知在x∈[1，＋∞)上g′(x)>0，
∴g(x)为增函数，故g(x)在区间[1，＋∞)上一定有最小值．
答案：最小值
设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．
解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
当x>0，即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.
设g(x)＝－，则g′(x)＝.
所以，g(x)在区间(0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减．
因此，g(x)max＝g()＝4，从而a≥4；
当x<0，即x∈[－1，0)时，
f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，
g(x)在区间[－1，0)上单调递增，
因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4.
所以a＝4.
答案：4
设函数f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b，0(1)求函数f(x)的单调区间、极值；
(2)若x∈[0，3a]，试求函数f(x)的最值．
解：(1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2.令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝3a，列表：
x (－∞，a) a (a，3a) 3a (3a，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 递减 －a3＋b 递增 b 递减
由表可知：当x∈(－∞，a)时，函数f(x)为减函数；当x∈(3a，＋∞)时，函数f(x)也为减函数；当x∈(a，3a)时，函数f(x)为增函数．
∴函数f(x)的单调减区间为(－∞，a)，(3a，＋∞)，单调增区间为(a，3a)．当x＝a时，f(x)的极小值为－a3＋b；当x＝3a时，f(x)的极大值为b.
(2)x∈[0，3a]，列表如下：
x 0 (0，a) a (a，3a) 3a
f′(x) － 0 ＋ 0
f(x) b 递减 －a3＋b 递增 b
由表知：当x∈(0，a)时，函数f(x)为减函数；当x∈(a，3a)时，函数f(x)为增函数．
∴当x＝a时，f(x)的最小值为－a3＋b；当x＝0或x＝3a时，f(x)的最大值为b.
(创新题)设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；
(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
∵当x>或x<－时，f′(x)>0；
当－∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；
单调递减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当5－4(3)f(x)≥k(x－1)，
即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．
∵x>1，∴k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝x2＋x－5，g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
∴g(x)>g(1)＝－3.
∴k的取值范围是k≤－3.